Ordre maximal d`un élément du groupe symétrique(1) - IMJ-PRG

Ordre maximal d’un élément du groupe symétrique(1)
Notons γ(n) l’ordre maximal d’un élément de Sn . On a donc
γ(n) =
max
m1 +...+mr ≤n
P P CM (m1 , . . . , mr ).
On montre aisément que l’on aussi
γ(n) =
max
α
r
p1 1 +...+pα
r ≤n
αr
1
(pα
1 . . . pr )
où les pi désignent des nombres premiers distincts.
PROPOSITION. On a l’estimation suivante :
log γ(n)
lim p
= 1.
n→∞
n log(n)
On va utiliser l’inégalité de la moyenne arithmétique et géométrique (élémentaire et équivalent à la concavité
de log(x)) :
√
1
m
x1 . . . xm ≤ (x1 + . . . + xm )
m
et le théorème des nombres premiers qu’on peut énoncer sous plusieurs formes:
π(x) := card{p ≤ x | p premier } ∼ x/ log(x)
θ(x) :=
X
log(p) ∼ x
p≤x
ou encore, si qr désigne le r-ième nombre premier : qr ∼ r log(r).
α1
αr
r
Soit p1α1 + . . . + pα
r ≤ n avec γ(n) = p1 . . . pr . On a
1
pα
1
r
. . . pα
r
≤
αr
1
pα
1 + . . . + pr
r
r
≤
n r
r
.
Le théorème des nombres premiers entraı̂ne que
αr
1
n ≥ pα
1 + . . . + pr ≥ q 1 + . . . + q r ∼
donc
r2
log(r)
2
r
n
r≤2
(1 + o(1))
log n
or la fonction f (x) = (n/x)x est croissante sur l’intervalle [1, n/e] donc
p
log γ(n) ≤ r log(n/r) ≤ n log(n)(1 + o(1))
(1)
Pour obtenir l’inégalité inverse, introduisons, pour n donné, le plus
p grand entier r = r(n) tel que q1 + q2 +
. . . + qr ≤ n. Comme q1 + . . . + qr ∼ r2 /2 log r on voit que r ∼ 2 n/ log n. on obtient par ailleurs
log γ(n) ≥ log(q1 . . . qr ) = θ(qr ) ∼ qr ∼ r log r ∼
Ce qui conclut la preuve.
(1)
Question posée par un étudiant.
1
p
n log n.