Ordre maximal d`un élément du groupe symétrique(1) - IMJ-PRG

Ordre maximal d’un ´el´ement du groupe sym´etrique(1)
Notons γ(n) l’ordre maximal d’un ´el´ement de Sn. On a donc
γ(n) = max
m1+...+mr≤nP P CM(m1, . . . , mr).
On montre ais´ement que l’on aussi
γ(n) = max
pα1
1+...+pαr
r≤n
(pα1
1. . . pαr
r)
o`u les pid´esignent des nombres premiers distincts.
PROPOSITION. On a l’estimation suivante :
lim
n→∞
log γ(n)
pnlog(n)= 1.
On va utiliser l’in´egalit´e de la moyenne arithm´etique et g´eom´etrique (´el´ementaire et ´equivalent `a la concavit´e
de log(x)) :
m
√x1. . . xm≤1
m(x1+. . . +xm)
et le th´eor`eme des nombres premiers qu’on peut ´enoncer sous plusieurs formes:
π(x) := card{p≤x|ppremier } ∼ x/ log(x)
θ(x) := X
p≤x
log(p)∼x
ou encore, si qrd´esigne le r-i`eme nombre premier : qr∼rlog(r).
Soit pα1
1+. . . +pαr
r≤navec γ(n) = pα1
1. . . pαr
r. On a
pα1
1. . . pαr
r≤pα1
1+. . . +pαr
r
rr
≤n
rr
.
Le th´eor`eme des nombres premiers entraˆıne que
n≥pα1
1+. . . +pαr
r≥q1+. . . +qr∼r2
2log(r)
donc
r≤2rn
log n(1 + o(1))
or la fonction f(x) = (n/x)xest croissante sur l’intervalle [1, n/e] donc
log γ(n)≤rlog(n/r)≤pnlog(n)(1 + o(1)) (1)
Pour obtenir l’in´egalit´e inverse, introduisons, pour ndonn´e, le plus grand entier r=r(n) tel que q1+q2+
. . . +qr≤n. Comme q1+. . . +qr∼r2/2 log ron voit que r∼2pn/ log n. on obtient par ailleurs
log γ(n)≥log(q1. . . qr) = θ(qr)∼qr∼rlog r∼pnlog n.
Ce qui conclut la preuve.
(1) Question pos´ee par un ´etudiant.
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