Définitions mathématiques importantes

Microéconomie 1
Dénitions mathématiques importantes
Marianne Tenand
Département d'économie ENS, 2016 - 2017
[email protected]
Voici quelques dénitions et propriétés mathématiques auxquelles la thoéorie microéconomique fait appel, et qu'il faut bien avoir en tête1 .
1 Convexité, concavité
1.1 Convexité et concavité de fonctions
NB : les dénitions de concavité et convexité ne sont données ici que pour les fonctions
à une seule variable. Les dénitions pour les fonctions à plusieurs variables seront (re)vues
plus tard.
Fonction convexe
Une fonction f ∶ X → R est dite convexe sur un intervalle C ∈ X si ∀(x, y) ∈ C 2 , ∀t ∈
[0, 1]:
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)
1
Pour
une
présentation
reportez-vous au
plus
Vade Mecum
détaillée
des
concepts
mathématiques
de Julien Grenet, à l'adresse :
com/grenet-julien/TD/Annexe1.pdf, ainsi qu'au cours de
ment d'économie.
1
utilisées
en
microéconomie,
http://www.parisschoolofeconomics.
Mathématiques pour économistes
du départe-
Figure 1: Fonction convexe
Source: Wikipedia
Fonction strictement convexe
Une fonction f ∶ X → R est dite strictement convexe sur un intervalle C ∈ X si
∀(x, y) ∈ C 2 , ∀t ∈ ]0, 1[:
f (tx + (1 − t)y) < tf (x) + (1 − t)f (y)
Fonction convave
Une fonction f ∶ X → R est dite concave sur un intervalle si −f est convexe
Fonction quasi-concave
Une fonction f ∶ X → R est dite quasi-concave sur un intervalle C ∈ X si ∀(x, y) ∈
C , ∀t ∈ [0, 1]:
2
f (tx + (1 − t)y) ≥ min(f (x), f (y))
2
Fonction strictement quasi-concave
Une fonction f ∶ X → R est dite strictement quasi-concave sur un intervalle C ∈ X si
∀(x, y) ∈ C 2 , ∀t ∈ ]0, 1[:
f (tx + (1 − t)y) > min(f (x), f (y))
Figure 2: Fonction quasi-concave
Propriétés
● La concavité d'une fonction implique sa quasi-concavité
La réciproque n'est pas vraie ! Si une fonction n'est pas concave, elle peut-être
quasi-concave, mais ce n'est pas nécessaire.
● Soit f une fonction quasi-concave, g une fonction monotone strictement croissante.
Alors g ○ f est quasi-concave.
3
1.2 Convexité d'ensembles
NB : la notion de concavité pour un ensemble n'est pas dénie.
Ensemble convexe
Un ensemble S de Rn est convexe ssi, ∀(x, y) ∈ S 2 , ∀λ ∈ [0, 1] :
(1 − λ)x + λy ∈ S
Ensemble strictement convexe
Un ensemble S de Rn est strictement convexe ssi, ∀(x, y) ∈ S 2 , ∀λ ∈ ]0, 1[ :
(1 − λ)x + λy ∈ S
Figure 3: Ensembles convexe et non-convexe
2 Ensembles fermés et bornés
2.1 Ensembles fermés
Rappels : boules ouvertes et boules fermées
Soit E un ensemble, d ∶ E × E → R+ une distance sur E ((E, d) est donc un espace
métrique). ∀x0 ∈ E et ∀r > 0 :
On appelle boule ouverte de rayon r l'ensemble :
B(x, r) = {x ∈ E, d(x, x0 ) < r}
4
On appelle boule fermée de rayon r l'ensemble :
B(x, r) = {x ∈ E, d(x, x0 ) ≤ r}
Nb : R ou C sont des espaces métriques munis de la distance d(x, y) = ∣x − y∣.
Ensembles ouverts et fermés
Une partie S de E est un (ensemble) ouvert de E si ∀x ∈ S il existe > 0 tel que
B(x, ) ∈ S
Une partie S ′ de E est un (ensemble) fermé de E ssi le complémentaire de S ′ dans
E est un ouvert de E .
Ensemble borné
Soit S une partie de l'espace métrique (E, d). S est dit borné s'il existe M ∈ R tel
que, ∀(x, y) ∈ S , d(x, y) ≤ M .
3 Dérivée et diérentielle
On considère une fonction à deux variables, f (x, y).
Dérivées partielles premières
Pour une fonction à deux variables, il y a deux dérivées partielles premières.
La dérivée partielle première par rapport à x s'écrit:
∂f (x, y)
∂x
Diérentielle totale
La diérentielle totale de f (x, y) se note df et est égale à:
df =
∂f (x, y)
∂f (x, y)
dx +
dy
∂x
∂y
5
La diérentielle totale exprime la variation dans la valeur de la fonction f (x, y) en
fonction des variations dans les arguments de la fonction, notées dx et dy .
Exemple d'utilisation : Ecriture du TMS (on pose dU = 0).
Diérentielles partielles
Comme pour les dérivées partielles premières, si f est une fonction de k variables
alors il existe k diérentielles partielles. La diérentielle partielle de f (x, y) par rapport
à x est égale à :
∂f (x, y)
dx
∂x
On notera que:
● dx (tout comme dy ) n'est pas a
variable et non une fonction ;
priori une diérentielle puisque x (resp. y) est une
● La diérentielle totale est la somme des diérentielles partielles.
Exemple d'utilisation : Montrer que la recette marginale du monopole associée à un
niveau de production Q, qu'on note Rm(Q), est égale à ( 1 + 1).P (Q), où :
● est l'élasticité-prix de la demande adressée au monopole ;
● P (Q) l'inverse de la fonction de demande.
Dénition mathématique de l'élasticité-prix :
=
dQ
Q
dP
P
=
dQ P
.
dP Q
Par ailleurs, la recette totale du monopole vaut P (Q).Q. La recette marginale est
donc égale à :
Rm(Q) =
∂[P (Q)Q]
∂Q
= P (Q) +
∂P (Q)
.Q
∂Q
Si on prend la diérentielle (partielle ou totale, ici cela revient au même puisque P (.)
est fonction de la seule variable Q) de la fonction P (Q) :
dP (Q) =
∂P (Q)
.dQ
∂Q
6
Donc :
∂P (Q) dP (Q)
=
∂Q
dQ
En réinjectant cette expression dans celle de la recette marginale :
dP (Q)
.Q
dQ
dP (Q) Q
. )
= P (Q).(1 +
dQ P
1
= P (Q).(1 + )
Rm(Q) = P (Q) +
Règle de dérivation en chaîne
Cette règle permet de dériver des fonctions composées. Supposons une fonction f (z)
où z est en fait une fonction d'une variable x (z = z(x)). Alors la dérivée partielle de f
par rapport à x s'écrit :
∂z(x)
∂f (z)
= f ′ (z(x))
∂x
∂x
Supposons maintenant une fonction g(z, x) où z est en fait une fonction d'une variable
x (z = z(x)). Alors la dérivée partielle de g par rapport à x s'écrit :
∂g(z(x), x) ∂g(z, x) ∂z(x) ∂g(z, x) ∂x
=
+
∂x
∂z
∂x
∂x ∂x
∂g(z, x) ∂z(x) ∂g(z, x)
+
=
∂z
∂x
∂x
De manière similaire, si on suppose une fonction h(z, y) où z et y sont en fait des
fonctions de x (z = z(x) et y = y(x), alors la dérivée partielle de h par rapport à x s'écrit
:
∂f (z(x), y(x)) ∂f (z, y) ∂z(x) ∂f (z, y) ∂y(x)
=
+
∂x
∂z
∂x
∂y
∂x
Exemple d'utilisation : Démonstration du théorème d'Euler et de l'identité de Roy.
7