ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRES
Définition. Soit une fonction réelle fdéfinie sur un intervalle ouvert I=]a;b[et m∈I.
On appelle mun maximum local de fs’il existe un voisinage Umde mtel que f(x)≤f(m)
∀x∈Um. Evidemment, un minimum local se définit de manière analogue.
Le but de cette note est de montrer que des propriétés élémentaires de f0et de f00
permettent d’obtenir de nombreuses informations sur le comportement de f(croissance,
minima, maxima, (c’est-à-dire les extrema), points d’inflexion, concavité, convexité,...).
Définition (Rappel).. On dit qu’une fonction réelle fdéfinie dans un voisinage de aest
dérivable en asi limh→0f(a+h)−f(a)
hexiste, et dans ce cas elle se note f0(a), la dérivée de
févaluée au point a.
Théorème 1. Si fest dérivable en aalors fest continue en a.
Démonstration. Nous devons prouver que limx→af(x) = f(a)ce qui équivalent à prouver
que limx→af(x)−f(a) = 0, or
lim
x→af(x)−f(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a·(x−a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a·lim
x→ax−a=f0(a)·0 = 0
Théorème 2 (de préparation).Si fest défini sur I= [a;b; ], admet un maximum local
en met est dérivable en m∈]a;b[alors f0(m)=0.
Démonstration. Par hypothèses, il existe δ > 0tel que si x∈]m−δ[alors f(m)−f(x)
m−x≥0et
si x∈]m+δ[alors f(m)−f(x)
m−x≤0. Si δtend vers 0 alors f0(m)ne peut être que nulle.
Définition. On dit que cest point critique si f0(c) = 0 ou si f0(c)n’existe pas.
Conclusion : pour localiser les extrema (maxima ou minima) d’une fonction fdéfinie
sur [a;b]il suffit de s’intéresser aux points critiques, aux extrémités aet b, ainsi qu’aux
points non dérivables de f.
Théorème 3 (de Rolle 1690).Si fest continue sur I= [a;b], dérivable sur ]a;b[et que
f(a) = f(b)alors il existe x0∈]a;b[tel que f0(x0)=0.
Démonstration. Par continuité on sait que fatteint son maximum Met son minimum m
sur I. Si M=malors la fonction est constante. Sinon, il existe un x0∈]a;b[dont l’image
est soit mou M, pour lequel on a f0(x0) = 0 par le résultat précédent.
Théorème 4 (des accroissements finis ou de Lagrange, 1797).Si fest continue sur
I= [a;b], dérivable sur ]a;b[alors il existe x0∈]a;b[tel que f0(x0) = f(b)−f(a)
b−a.
Démonstration. Si fn’est pas la fonction constante (pour laquelle le théorème est vrai),
il suffit d’appliquer Rolle à la fonction g(x) := f(x)−f(b)−f(a)
b−a(x−a) + f(a). On a
g(a) = g(b) = 0 et gvérifie toutes les hypothèses de Rolle (à expliquer). Donc il existe
x0∈Itel que 0 = g0(x0) = f0(xo)−f(b)−f(a)
b−a.
Corollaire 1. a) Si f0(x) = 0 ∀x∈Ialors fest une fonction constante.
b) Si f0(x) = g0(x)∀x∈Ialors il existe c∈Rtel que g(x) = f(x) + c(unicité de la
primitive à une constante près).
c) Si f0(x)>0∀x∈Ialors fest strictement croissante sur I(résultat analogue pour
la décroissance).
1