ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE Définition. Soit

ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE
Définition. Soit une fonction réelle fdéfinie sur un intervalle ouvert I=]a;b[et m∈I.
On appelle mun maximum local de fs’il existe un voisinage Umde mtel que f(x)≤f(m)
∀x∈Um. Evidemment, un minimum local se définit de manière analogue.
Le but de cette note est de montrer que des propriétés élémentaires de f0et de f00
permettent d’obtenir de nombreuses informations sur le comportement de f(minima,
maxima, (c’est-à-dire les extrema), points d’inflexion, concavité, convexité,...).
Définition (Rappel).. On dit qu’une fonction réelle fdéfinie dans un voisinage de a
est dérivable en asi limh→0f(a+h)−f(a)
hexiste, et dans ce cas se note f0(a), la dérvée de f
évaluée au point a.
Théorème 1. Si fest dérivable en aalors fest continue en a.
Démonstration. Nous devons prouver que limx→af(x) = f(a)ce qui équivalent à prouver
que limx→af(x)−f(a) = 0, or
lim
x→af(x)−f(a) = lim x→a
f(x)−f(a)
x−a·(x−a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a·lim
x→ax−a=f0(a)·0 = 0
Théorème 2 (de préparation).Si fest défini sur I= [a;b; ], admet un maximum local
en met est dérivable en m∈]a;b[alors f0(m)=0.
Démonstration. Par hypothèses, il existe δ > 0tel que si x∈]m−δ[alors f(m)−f(x)
m−x≥0et
si x∈]m+δ[alors f(m)−f(x)
m−x≤0. Si δtend vers 0 alors f0(m)ne peut être que nulle. 
Définition. On dira qu’un nombre cest point critique si f0(c)=0.
Conclusion : pour localiser les extrema (maxima ou minima) d’une fonction fdéfinie
sur [a;b]il suffit de s’intéresser aux points critiques, aux extrémités aet b, ainsi qu’aux
points non dérivables de f.
Théorème 3 (de Rolle 1690).Si fest continue sur I= [a;b], dérivable sur ]a;b[et que
f(a) = f(b)alors il existe x0∈]a;b[tel que f0(x0)=0.
Démonstration. Par continuité on sait que fatteint son maximum Met son minimum m
sur I. Si M=malors la fonction est constante. Sinon, il existe un x0∈]a;b[dont l’image
est soit mou M, pour lequel on a f0(x0) = 0 par le résultat précédent. 
Théorème 4 (des accroissements finis ou "formule de Lagrange", 1797).Si fest continue
sur I= [a;b], dérivable sur ]a;b[alors il existe x0∈]a;b[tel que f0(x0) = f(b)−f(a)
b−a.
Démonstration. Si fn’est pas la fonction constante (pour laquelle le théorème est vrai), il
suffit d’appliquer Rolle à la fonction g(x) = f(x)−f(b)−f(a)
b−a(x−a). On a g(a) = g(b) = f(a)
et gvérifie toutes les hypothèses de Rolle (à expliquer) donc il existe x0∈Itel que
0 = g0(x0) = f0(xo)−f(b)−f(a)
b−a.
Corollaire 1. a) Si f0(x) = 0 ∀x∈Ialors fest une fonction constante.
b) Si f0(x) = g0(x)∀x∈Ialors il existe c∈Rtel que g(x) = f(x) + c(unicité de la
primitive à une constante près).
c) Si f0(x)>0∀x∈Ialors fest strictement croissante sur I(résultat analogue pour
la décroissance).
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2 ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE
Démonstration. a) Par l’absurde : sinon il existerait deux nombres cet ddans l’intervalle
Iavec c<det f(c)6=f(d). Or Lagrange garantit l’existence d’un xentre cet dpour
lequel
06=f(c)−f(d)
c−d=f0(x)ce qui est contraire à notre hypothèse
b) Appliquer le point a) à la fonction (f−g)(x).
c) Application directe du théorème de Lagrange : si x1et x2sont deux nombres dans I
avec x1< x2alors il existe xentre les deux tel que
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=f0(x)>0d’où f(x2)> f(x1)
Définition. On dit qu’une fonction fest convexe sur un intervalle Isi ∀x1< x2< x3∈I
on a que f(x2)est situé "en-dessous" de la droite passant par (x1;f(x1)) et (x3;f(x3)).
En d’autres termes Tvf(x1;x2)< Tvf(x2;x3)où Tvf(a;b)est le taux de variation de fentre
aet b.
Si −fest convexe alors on dit que fest concave.
On appelle un point d’inflexion un point qui sépare une zone convexe d’une zone concave.
Théorème 5. Si f0(x0)=0et que f00(x0)>0alors x0est un minimum local de f. De
plus, si f00 est continue dans un voisinage de x0alors fest localement convexe autour de
x0.
Démonstration. Comme f00(x0)>0alors pour tout h > 0suffisamment petit on a
f0(x0+h)−f0(x0)
h=f0(x0+h) h>0. Par le corollaire c) de Lagrange fest croissant à droite
de x0. De même pour tout h > 0suffisamment petit on a f0(x0−h)−f0(x0)
−h=f0(x0−h) −h>0
D’où f0(x0−h)<0. Par le corollaire c) de Lagrange fest décroissant à gauche de x0.
D’où x0est un minimum local sur un voisinage de x0.
Si f00 est continue dans un voisinage de x0alors par corollaire c) de Lagrange (sur f0et
non sur f)f0est strictement croissant sur un voisinage Ide x0. Supposons que la fonction
ne soit pas convexe sur Ialors il existerait x1< x2< x3dans l’intervalle Ipour lesquels
Tvf(x1;x2)> Tvf(x2;x3). Dans ce cas, par Lagrange il existerait x12 et x23 dans Iavec
x1< x12 < x2et x2< x23 < x3tels que
f0(x12) = Tvf(x1;x2)> Tvf(x2;x3) = f0(x23)
ce qui est contraire au fait que f0soit croissant sur I.
Evidemment, le théorème symétrique est vrai pour les fonctions concaves : Si f0(x0)=0
et que f00(x0)<0alors x0est un maximum local de f. De plus, si f00 est continue dans
un voisinage de x0alors fest localement concave autour de x0
Corollaire 2. Une condition suffisante pour que x0soit un point d’inflexion de fest que
f00(x0) = 0 et que f000 (x0)6= 0