ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE Définition. Soit

ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE
Définition. Soit une fonction réelle f définie sur un intervalle ouvert I =]a; b[ et m ∈ I.
On appelle m un maximum local de f s’il existe un voisinage Um de m tel que f (x) ≤ f (m)
∀x ∈ Um . Evidemment, un minimum local se définit de manière analogue.
Le but de cette note est de montrer que des propriétés élémentaires de f 0 et de f 00
permettent d’obtenir de nombreuses informations sur le comportement de f (minima,
maxima, (c’est-à-dire les extrema), points d’inflexion, concavité, convexité,...).
Définition (Rappel). . On dit qu’une fonction réelle f définie dans un voisinage de a
(a)
est dérivable en a si limh→0 f (a+h)−f
existe, et dans ce cas se note f 0 (a), la dérvée de f
h
évaluée au point a.
Théorème 1. Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
Démonstration. Nous devons prouver que limx→a f (x) = f (a) ce qui équivalent à prouver
que limx→a f (x) − f (a) = 0, or
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
lim f (x) − f (a) = lim
· (x − a) = lim
· lim x − a = f 0 (a) · 0 = 0
x→a
x→a
x→a
x→a
x−a
x−a
Théorème 2 (de préparation). Si f est défini sur I = [a; b; ], admet un maximum local
en m et est dérivable en m ∈]a; b[ alors f 0 (m) = 0.
(x)
Démonstration. Par hypothèses, il existe δ > 0 tel que si x ∈]m − δ[ alors f (m)−f
≥ 0 et
m−x
f (m)−f (x)
0
si x ∈]m + δ[ alors m−x ≤ 0. Si δ tend vers 0 alors f (m) ne peut être que nulle. Définition. On dira qu’un nombre c est point critique si f 0 (c) = 0.
Conclusion : pour localiser les extrema (maxima ou minima) d’une fonction f définie
sur [a; b] il suffit de s’intéresser aux points critiques, aux extrémités a et b, ainsi qu’aux
points non dérivables de f .
Théorème 3 (de Rolle 1690). Si f est continue sur I = [a; b], dérivable sur ]a; b[ et que
f (a) = f (b) alors il existe x0 ∈]a; b[ tel que f 0 (x0 ) = 0.
Démonstration. Par continuité on sait que f atteint son maximum M et son minimum m
sur I. Si M = m alors la fonction est constante. Sinon, il existe un x0 ∈]a; b[ dont l’image
est soit m ou M , pour lequel on a f 0 (x0 ) = 0 par le résultat précédent.
Théorème 4 (des accroissements finis ou "formule de Lagrange", 1797). Si f est continue
(a)
sur I = [a; b], dérivable sur ]a; b[ alors il existe x0 ∈]a; b[ tel que f 0 (x0 ) = f (b)−f
.
b−a
Démonstration. Si f n’est pas la fonction constante (pour laquelle le théorème est vrai), il
(a)
suffit d’appliquer Rolle à la fonction g(x) = f (x)− f (b)−f
(x−a). On a g(a) = g(b) = f (a)
b−a
et g vérifie toutes les hypothèses de Rolle (à expliquer) donc il existe x0 ∈ I tel que
(a)
0 = g 0 (x0 ) = f 0 (xo ) − f (b)−f
.
b−a
Corollaire 1. a) Si f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I alors f est une fonction constante.
b) Si f 0 (x) = g 0 (x) ∀x ∈ I alors il existe c ∈ R tel que g(x) = f (x) + c (unicité de la
primitive à une constante près).
c) Si f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I alors f est strictement croissante sur I (résultat analogue pour
la décroissance).
1
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ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE
Démonstration. a) Par l’absurde : sinon il existerait deux nombres c et d dans l’intervalle
I avec c < d et f (c) 6= f (d). Or Lagrange garantit l’existence d’un x entre c et d pour
lequel
f (c) − f (d)
0 6=
= f 0 (x) ce qui est contraire à notre hypothèse
c−d
b) Appliquer le point a) à la fonction (f − g)(x).
c) Application directe du théorème de Lagrange : si x1 et x2 sont deux nombres dans I
avec x1 < x2 alors il existe x entre les deux tel que
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (x) > 0 d’où f (x2 ) > f (x1 )
x2 − x 1
Définition. On dit qu’une fonction f est convexe sur un intervalle I si ∀x1 < x2 < x3 ∈ I
on a que f (x2 ) est situé "en-dessous" de la droite passant par (x1 ; f (x1 )) et (x3 ; f (x3 )).
En d’autres termes Tvf (x1 ; x2 ) < Tvf (x2 ; x3 ) où Tvf (a; b) est le taux de variation de f entre
a et b.
Si −f est convexe alors on dit que f est concave.
On appelle un point d’inflexion un point qui sépare une zone convexe d’une zone concave.
Théorème 5. Si f 0 (x0 ) = 0 et que f 00 (x0 ) > 0 alors x0 est un minimum local de f . De
plus, si f 00 est continue dans un voisinage de x0 alors f est localement convexe autour de
x0 .
Démonstration. Comme f 00 (x0 ) > 0 alors pour tout h > 0 suffisamment petit on a
0
f 0 (x0 +h)−f 0 (x0 )
= f (xh0 +h) > 0. Par le corollaire c) de Lagrange f est croissant à droite
h
0
0 (x )
0
0
0 −h)
= f (x−h
>0
de x0 . De même pour tout h > 0 suffisamment petit on a f (x0 −h)−f
−h
0
D’où f (x0 − h) < 0. Par le corollaire c) de Lagrange f est décroissant à gauche de x0 .
D’où x0 est un minimum local sur un voisinage de x0 .
Si f 00 est continue dans un voisinage de x0 alors par corollaire c) de Lagrange (sur f 0 et
non sur f ) f 0 est strictement croissant sur un voisinage I de x0 . Supposons que la fonction
ne soit pas convexe sur I alors il existerait x1 < x2 < x3 dans l’intervalle I pour lesquels
Tvf (x1 ; x2 ) > Tvf (x2 ; x3 ). Dans ce cas, par Lagrange il existerait x12 et x23 dans I avec
x1 < x12 < x2 et x2 < x23 < x3 tels que
f 0 (x12 ) = Tvf (x1 ; x2 ) > Tvf (x2 ; x3 ) = f 0 (x23 )
ce qui est contraire au fait que f 0 soit croissant sur I.
Evidemment, le théorème symétrique est vrai pour les fonctions concaves : Si f 0 (x0 ) = 0
et que f 00 (x0 ) < 0 alors x0 est un maximum local de f . De plus, si f 00 est continue dans
un voisinage de x0 alors f est localement concave autour de x0
Corollaire 2. Une condition suffisante pour que x0 soit un point d’inflexion de f est que
f 00 (x0 ) = 0 et que f 000 (x0 ) 6= 0