COMPLEXES POND´
ER´
ES SUR LES COMPACTIFICATIONS DE BAILY-BOREL 5
de niveau nsur Aest un isomorphisme (au-dessus de S)η:A[n]∼
−→ (Z/nZ)2d
Squi,
`a un automorphisme du S-sch´ema en groupes Z/nZSpr`es, envoie l’accouplement
de Weil A[n]×A[n]−→ Z/nZSassoci´e `a λsur la forme bilin´eaire altern´ee sur
(Z/nZ)2dde matrice Jd,d.
D´efinition 1.1.2. On note Md,n le champ sur Z[1/n] des sch´emas ab´eliens prin-
cipalement polaris´es de dimension relative davec structure de niveau n.
Md,n est au choix de la forme altern´ee pr`es le champ d´efini par Chai et Faltings
dans [CF] IV.6.1, mais vu comme champ sur Z[1/n] (au lieu de Z[1/n, e2iπ/n], cf la
remarque [CF] IV.6.12). C’est un champ de Deligne-Mumford, lisse et de dimension
relative d(d+ 1)/2 sur Z[1/n]. Si n≥3, Md,n est un espace alg´ebrique, et mˆeme
un sch´ema quasi-projectif sur Z[1/n]. La fibre g´en´erique de Md,n est la vari´et´e de
Shimura MKd(n)(G,X) associ´ee `a la donn´ee de Shimura pure (G,X) et au sous-
groupe ouvert compact Kd(n) = Ker(GSp2d(b
Z)−→ GSp2d(Z/nZ)) de G(Af). En
particulier, l’ensemble des points complexes de Md,n est
Md,n(C) = MKd(n)(G,X)(C) = G(Q)\(X × G(Af)/Kd(n)).
Comme Gder =Ker(c) et c:G−→ Gm,Qest surjectif, on a
π0(Md,n(C)) 'R+×Q×\A×/c(Kd(n)) = Q+×\A×
f/c(Kd(n)) '(Z/nZ)×.
Si d= 0, on a G=Gm,Q,X0={±1}=π0(R×) avec l’action ´evidente de
G(R) = R×, et
M0,n =Spec(Z[1/n, e2iπ/n]),
vu comme un sch´ema sur Z[1/n].
Soit d∈N. Si ndivise m, on a un morphisme ´evident T1:Md,m −→ Md,n|Spec(Z[1/m])
(qui est un morphisme d’oubli d’une partie de la structure de niveau). Ce morphisme
est fini ´etale galoisien de groupe Kd(n)/Kd(m).
Soit g∈G(Af). Si m∈Nest tel que Kd(m)⊂gKd(n)g−1, alors on a un
morphisme fini (de degr´e [gKd(n)g−1: Kd(m)]) et ´etale Tg:Md,m,Q−→ Md,n,Q
(cf [P1] 3.4 et 11.5). Sur les points complexes, ce morphisme Tgest le morphisme
G(Q)\(X × G(Af)/Kd(m)) −→ G(Q)\(X × G(Af)/Kd(n))
[(x, h)] 7−→ [(x, hg)].
En particulier, si m∈Nest tel que Kd(m)⊂gKd(n)g−1∩Kd(n), on dispose d’une
correspondance (Tg, T1) : Md,m,Q−→ Md,n,Q× Md,n,Q.
Soit pun nombre premier ne divisant pas n; on note Z(p)le localis´e en pde
l’anneau Zet Ap
fl’anneau des ad`eles finies dont la composante en pest triviale.
On suppose que l’´el´ement gde G(Af) fix´e ci-dessus est en fait dans G(Ap
f). Alors,
si m∈Nest tel que pne divise pas met Kd(m)⊂gKd(n)g−1, le morphisme
Tg:Md,m,Q−→ Md,n,Qse prolonge en un morphisme Md,m,Z(p)−→ Md,n,Z(p),
qui sera encore not´e Tg(cf le d´ebut de [K] 6). Si de plus Kd(m)⊂gKd(n)g−1∩Kd(n),
on obtient donc une correspondance (Tg, T1) : Md,m,Z(p)−→ Md,n,Z(p)× Md,n,Z(p).
Remarque 1.1.3.Le choix de mn’a pas d’importance lorsque l’on s’int´eresse `a
l’action de la correspondance (Tg, T1) sur la cohomologie. En effet, si l’on remplace
mpar un multiple m0, la correspondance (Tg, T1) est remplac´ee par sa compos´ee
avec le morphisme fini ´etale galoisien T1:Md,m0,Z(p)−→ Md,m,Z(p).