TDC 03-Calcul Matrice

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
MATHEMATIQUES TP-cours 3
Initiation au calcul matriciel
A) Définitions :
On appelle matrice réelle de n lignes et p colonnes tout tableau de réels possèdant n lignes et p colonnes.
Notation :
1,1 1, 1,
,1 , ,
,1 , ,
j p
i i j i p
n n j n p
a a a
a a a
A
a a a
=
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
ou
(
)
1
1
i n
j p
i j
A a
≤ ≤
≤ ≤
=
 On dit que A est de type
(
)
,
n p
ou de format
(
)
,
n p
.
L’ensemble des matrices réelle de type
(
)
,
n p
est noté
(
)
,n p
M
R
.
 Si
n p
=
, on dit que A est une matrice carrée d’ordre n (ou de type
(
)
,
n n
).
L’ensemble des matrices réelles carrées d’ordre n est noté
(
)
n
M
R
.
B) Vocabulaire :
Généralités :
 Matrice nulle : matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note 0 ( ou
,
0
n p
si on a besoin de préciser son type).
 Matrice ligne : matrice possédant une seule ligne (càd matrice de type
(
)
1,
p
).
 Matrice colonne : matrice possédant une seule colonne (càd matrice de type
(
)
,1
n
).
 Diagonale d’une matrice : ligne reliant les coefficients
ii
a
de la matrice.
 Matrice carrée d’ordre n : matrice n lignes, n colonnes (matrice de type
(
)
,
n n
).
 Matrice diagonale : matrice carrée dont les coefficients
ij
a
tels que
i j
≠
sont tous nuls (ceux qui sont en dehors de la
diagonale). Pas de contrainte sur les coefficients de la diagonale.
 Matrice identité d’ordre n, ou matrice unité d’ordre n : matrice diagonale dont tous les termes diagonaux valent 1.
On la notera I (ou
n
I
si on veut préciser son ordre).
C) Opérations :
Def Somme de deux matrices.
Soit A et B deux matrices de même type
(
)
,
n p
.
La somme
A B
+
est la matrice C de type
(
)
,
n p
définie par :
, , ,
1, , 1, ,
i j i j i j
i n j p c a b
∀ ∈ ∀ ∈ = + .
Rmq : La somme de matrices n’a de sens que si les matrices sont de même type..
 Soit A, B et C trois matrices de même type
(
)
,
n p
.
A B B A
+ = +
la loi + est commutative.
(
)
(
)
A B C A B C
+ + = + + la loi + est associative : on peut enlever les parenthèses.
0 0
A A A
+ = + =
la matrice nulle
,
0
n p
est l’élément neutre pour la somme dans
(
)
,n p
M
K
.
Def Multiplication externe.
A une matrice de type
(
)
,
n p
et λ un réel.
Le produit
A
λ
est la matrice C de type
(
)
,
n p
définie par :
, ,
1, , 1, , .
i j i j
i n j p c a
λ ∀ ∈ ∀ ∈ = .
Def on appelle combinaison linéaire de A et B toute matrice de la forme
A B
α β
+
avec
α
∈
R
et
β
∈
R
.
 Soit A, B et C trois matrices, et
,
α β
des réels. Sous réserve de compatibilité des opérations :
(
)
A B A B
α α α
+ = + et
(
)
A A A
α β α β
+ = +
Le coefficient
,
i j
a
est le terme de
la i
ème
ligne et de la j
ième
colonne.

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
Def Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne.
Soit
(
)
1 2
p
A a a a
=⋯ une matrice ligne de type
(
)
1,
p
et
1
p
b
B
b
=
⋮
une matrice colonne de type
(
)
,1
p
.
Le produit
A B
×
est la matrice de type
(
)
1,1
définie par :
(
)
A B c
× = avec
1 1 2 2
1
... .
p p k k
p
k
c a b a b a b a b
=
= + + + =
∑
.
Def Multiplication interne.
Soit A une matrice de type
(
)
,
n p
et B une matrice de type
(
)
,
p q
.
Le produit
A B
×
est la matrice C de type
(
)
,
n q
dont le coefficient
,
i j
c
est obtenu
en mutipliant la ligne i de A par la colonne j de B.
 Soit A, B et C trois matrices, et
,
α β
des réels. Sous réserve de compatibilité des opérations :
(
)
(
)
A B A B AB
α α α × = × =
(
)
A B C AB AC
× + = + et
(
)
B C A BA CA
+ × = + la multiplication est distributive sur l’addition
(
)
(
)
A BC AB C ABC
× = × = la loi
×
est associative, on peut enlever les parenthèses.
 Si A est une matrice carrée d’ordre n, et I la matrice identité d’ordre n, alors
A I I A A
× = × =
la matrice identité est l’élément neutre pour la loi
×
sur
(
)
n
M
R
.
 Attention à la compatibilité des types de matrices pour le produit !!
 La multiplication interne n’est pas commutative. En général,
AB BA
≠
.
 La multiplication interne n’est pas intègre :
(
)
(
)
0 0 ou 0
AB A B
=⇒= =
.
D) Matrices inversibles :
Def Soit A, matrice carrée d’ordre n.
A est inversible si il existe une matrice B carrée d’ordre n telle que
n
AB BA I
= =
.
B est alors appelée inverse de A et notée
1
B A
−
=
. Ce qui donne
1 1
n
A A A A I
− −
× = × =
 Si A est inversible, alors
1 1
n
A A A A I
− −
× = × =
.
 Si A est inversible, alors
1
A
−
est inversible et
(
)
1
1
A A
−
−
=
.
 Une matrice carrée A n’est pas toujours inversible !! On ne peut utiliser la notation
1
A
−
que si A est inversible.
 La multiplication interne n’est pas commutative sur
(
)
n
M
K
. On doit donc dissocier
1
M N
−
× et
1
N M
−
×
.
On ne peut donc pas utiliser la notation
M
N
avec les matrices (pas de divisions de matrices !!!).
Prop : cas des matrices d’ordre 2.
La matrice
a b
A
c d
= est inversible ssi
(
)
det 0
A ad bc
= − ≠
, et alors
( )
1
1
det
d b
A
c a
A
−
−
=
−
.
E) Puissances de matrices.
Def Soit A, matrice carrée d’ordre n. On définit par récurrence :
0
A I
=
et
1
0, . .
p p p
p A A A A A
+
∀ ≥ = =
Point méthode : calcul de
p
A
→
Conjectures, puis récurrence. (voir exo 6)
→
Cas des matrices diagonales. (voir exo 6)
→
Diagonalisation de la matrice. (voir exo 7)
Prop : Soit A matrice d’ordre n.
 Si A est diagonale, alors p
∗
∀ ∈
N
,
p
A
s’obtient en élevant les termes diagonaux à la puissance p.
Def : Une matrice carrée A d’ordre n est diagonalisable si il existe une matrice P inversible et une matrice D diagonale
vérifiant
1
A P D P
−
=××
.