Maths 2002 ATI-MI

BTS Sujet 2002 Corr° 1
BTS FRN04
BTS 2002
Correction
E XERCICE 1 :
1° :
X suit une loi de Poisson de paramètre
:
28
,
0
=
λ
a) .756,0e
!
0
28,0e
)0X(P)A(P
28,0
028,0
≈====
−
−
b)
.997,0
!
2
28,0e
!
1
28,0e
e)2X(P)1X(P)0X(P)2X(P)B(P
228,0128,0
28,0
≈++==+=+==≤=
−−
−
2° :
a) Y suit une loi Binomiale car :
- deux issues possibles : sinistre ou pas ;
- 15 épreuves aléatoires indépendantes ;
- même probabilité de succès (p=0,6) à chaque épreuve.
Les paramètres de cette loi sont : n=15 et p=0,6.
b) .186,04,06,030034,06,0C)10Y(P
51051010
15
≈××===
3° :
C suit une loi Normale de moyenne
1200
m
=
et d’écart type
:
200
=
σ
On se ramène à la loi normale centrée réduite N(0 ;1) par le changement
de variable suivant :
σ
−
=mC T .
( )
[ ] .775,07745,08413,019332,0)1(1)5,1()1(1)5,1()1()5,1(
)5,1T1P
200
12001500
T
200
12001000
P)1500C1000(P
≈=+−=Π+−Π=Π−−Π=−Π−Π
=≤≤−=
−
≤≤
−
=≤≤
4° :
a) .91,0
100
91
p==

BTS Sujet 2002 Corr° 2
b) Un coefficient de confiance de 95% correspond à une valeur de t de
1,96.
L’intervalle de confiance est alors défini par la formule suivante :
[ ]
.966,0;854,0
99
09,091,0
96,191,0;
99
09,091,0
96,191,0
1100
)p1(p
96,1p;
1100
)p1(p
96,1p
=
×
+
×
−=
−
−
+
−
−
−
c) Non car on a 5% de « chance » qu’il ne soit pas dans l’intervalle !
E XERCICE 2 :
A. Résolution d’une équation différentielle :
1° :
.1
2
91
r ;2
2
91
r 0
981)2(14)²1(
02r²r:)EC(
0y2'y''y:)E(
21
0
−=
−
==
+
=⇒>∆
=+=−××−−=∆ =−−
=
−
−
Les solutions générales de (E
0
) sont de la forme :
x
2
x2
11
eCeC)x(y
−
+= avec
C
1
, C
2
nombres réels.
2° :
h est une solution particulière de (E) si et seulement si :
(
)
x
e4x6h2'h''h
−
−−=−− .
Il nous faut donc calculer h’, puis h’’ :
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.2²xex2²x2x2eex2²xe22x'UVV'U)x('h
eV' eV
22xU' x2²xU
ex2²x)x(h
x-x-xx-
xx-
x
+−=−−+=−+++=+= −==
+=+= +=
−
−
−
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
.2x2²xe2x-e2²xe-UV'VU'(x)'h'
-2xV' 2²xV
-eU' eU
2²xe)x('h
xxx-
x-x
-x
−−=++−=+= =+−= ==
+−=
−−
−
On remplace tout cela dans le premier membre de (E) :
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
( )
.4x6e
x4²x22²x2x2²xex2²x22²x2x2²xeh2'h''h
x
xx
−−
=−−−+−−=+−+−−−−=−−
−
−−
Donc h est bien une solution particulière de (E).
3° :
Il suffit d’additionner les deux fonctions trouvées précédemment :
(
)
.ex2²xeCeC)x(h)x(y)x(y
xx
2
x2
11 −−
+++=+=

BTS Sujet 2002 Corr° 3
4° :
=
=
1)0('f
0)0(f
conditions initiales qui vont permettre de trouver la valeur des deux
constantes C
1
et C
2
.
(
)
(1) 1CC
CCe02²0eCeC)0(y
21
21
00
2
02
1
=+ +=×+++=
−−×
(
)
( )
(2) 1CC2
12CC2
2CC2e2²0eCeC2)0('y
e2²xeCeC2)x('y
21
21
21
00
2
02
1
xx
2
x2
1
−=− =+− +−=+−+−=
+−+−=
−−×
−−
Les équations (1) et (2) forment un système d’équations à deux inconnues :
−=− =+
1
CC2
1CC
21
21
on additionne les deux équations et on obtient :
1
01C1C
0C0C3
12
11
=−=−= =⇔=
d’où
(
)
(
)
(
)
.e²1xe1x2²xex2²xe)x(f
xxxx −−−−
+=++=++=
B. Etude d’une fonction :
1° :
a) +∞=+
−∞→
)²1x(lim
x
et +∞=
−
−∞→
x
x
elim donc
+∞=
−∞→
)x(flim
x
.
b) +∞=+
+∞→
)²1x(lim
x
et
+−
+∞→
=0elim
x
x
c’est une forme indéterminée mais la
fonction exponentielle est prioritaire devant la fonction polynôme donc
.0)x(flim
x
+
+∞→
=
c) La limite obtenue au b) traduit géométriquement la présence d’une
asymptote horizontale en
∞
+
d’équation y=0.
2° :
a)
(
)
( )
x
x
e
V
1
x2²x²1xU
e²1x)x(f
−
−
=++=+= +=
x
e
'
V
2x2'U
−
−=
+=
(
)
(
)
(
)
).1²x(e)1x2²x2x2(e
)²)1x(2x2(ee²1xe2x2'UVV'U)x('f
xx
xxx
+−=−−−+= +−+=−×++×+=+=
−−
−−−
b)
0
1
²
x
0
)
x
(
'
f
≥
+
−
⇔
≥
car
0
e
x
>
−
pour tout x réel,
.
1
x
1
1
²
x
1
²
x
0
1
²
x
≤
≤
−
⇔
≤
⇔
−
≥
−
⇔
≥
+
−

BTS Sujet 2002 Corr° 4
c) Tableau de variations :
x
∞
−
-1 1 +
∞
Sign(f’(x)) - 0 + 0 -
f
∞
+
1
e
4
−
0
0
+
3° :
a) DL d’ordre 2 par le formulaire : )t(t
!
2
²t
!
1
t
1e
2
0
t
ε+++= avec 0)t(lim
0t
=ε
→
.
On change de variable : t en -x et on obtient :
(
)
( ) )x(x
!
2
²x
!
1
x
1e
2
0
x
−ε−+
−
+
−
+=
−
avec 0)x(lim
0x
=ε
→
)x(x
2
²x
1
x
1e
2
0
x
−ε++
−
+=
−
avec 0)x(lim
0x
=ε
→
)x('x
2
²x
x1e
2
0
x
ε++−=
−
avec 0)x('lim
0x
=ε
→
b) On reconstruit à partir du DL précédent la fonction f en multipliant la
partie régulière par
(
)
²1x + :
( ) ( ) ( )
)x('x1x2²x
2
²x
x1)x('x²1x
2
²x
x1²1xe
22
0
x
ε+++
+−=ε++ +−=+
−
)x('x
2
²x
x1x²x2x2
2
x
x²x)x(f
23
4
3
0
ε++−++−++−= avec 0)x('lim
0x
=ε
→
)x('x
2
²x
x1)x(f
2
0
ε+−+= avec 0)x('lim
0x
=ε
→
.
c) Equation de la tangente x1y:T
0
+= .
L’étude du signe de 2
²x
− va nous indiquer les positions de C et T
0
.
Quand 0
2
²x
0x <− ⇒ < C est au dessous de T
Quand x = 0 0
2
²x
=− ⇒ C intercepte T
Quand 0
2
²x
0x <− ⇒ > C est au dessous de T.
C. Calcul intégral :
1° :
a) f est solution de (E) donc on peut écrire :

BTS Sujet 2002 Corr° 5
(
)
(
)
xx
e4x6'f''ff2e4x6f2'f''f
−−
−−++−=− ⇒ −−=−−
( )
(
)
( ) ( )
x
x
e4x6'f''f
2
1
f
e4x6'f''f
2
1
f
−
−
++−=
−−++−−=
b) Si F est une primitive de f alors on doit démontrer F’ = f :
( )
(
)
( ) ( )
x
x
e610x6'f''f
2
1
)x('F
e10x6f'f
2
1
)x(F
−
−
+−−−−=
+−−=
car la dérivée de
(
)
x
e10x6
−
+ se fait par
(
)
'UVV'U'UV +=
avec
x-x
-e
V'
e
V
6
U'
10
x
6
U
=
=
=
+
=
−
( )
(
)
).x(fe4x6'f''f
2
1
)x('F
x
=−−−−=
−
c) En remplaçant par la valeur des fonctions, on obtient :
( ) ( ) ( )
[
]
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) .5x4²xe10x8²x2e
2
1
)x(F
10x61x2²x1²xe
2
1
)x(F
e10x6e²1x1²xe
2
1
)x(F
xx
x
xxx
−−−=−−−=
−−−−−+−=
+−+−+−=
−−
−
−−−
2° :
[ ] ( ) ( ) e25e5)1(4)²1(e504²0)x(Fdx)x(fA
)1(0
0
1
0
1
+−=−−×−−−−−×−−===
−−−
−
−
∫
u.a.
On peut raisonner en faisant une intégration par parties (même si cela
n’était pas demandé, on peut alors ne pas avoir fait les questions précédentes) :
( )
∫∫
−
−
−
+==
0
1
x
0
1
dxe²1xdx)x(fA
On choisit alors :
(
)
x
e
'
V
²
1
x
U
−
=
+
=
x
x
e
1
e
V
2
x
2
'
U
−
−
−=
−
=
+
=
La formule donne :
( )
(
)
[
]
( )
(
)
( )
( ) [ ]
( )
( )
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
−
++−+=
−+−−+=
0
1
x
0
1
x
0
1
x
0
1
x
dxe2x2e²1xA
dxe2x2e²1xA