Fonctions de R dans R - rappels et compléments

Chap 4
FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE A VALEURS REELLES
RAPPELS ET COMPLEMENTS
A) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS.
Ensemble F ( A, R ) ou R A . Somme, produit et composée de fonctions.
Elément neutre pour la somme, pour le produit et pour la composée.
B) PROPRIETES GLOBALES.
1. Domaine de définition.
Cas de la composée : g f ( x ) défini si x ∈ Df et f ( x ) ∈ Dg .
2. Courbe représentative.
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( x ) + a s’obtient à partir de Cf par translation de vecteur u ( 0, a ) .
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( x + a ) s’obtient à partir de Cf par translation de vecteur u ( −a, 0 ) .
La courbe de la fonction g : x ֏ − f ( x ) s’obtient à partir de Cf par symétrie d’axe Ox .
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( − x ) s’obtient à partir de Cf par symétrie d’axe Oy
La courbe de la fonction g : x ֏ a × f ( x ) avec a > 0 s’obtient à partir de Cf par dilatation ou contraction verticale.
( si a < 0 , on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe Ox )
La courbe de la fonction g : x ֏ f ( a × x ) avec a > 0 s’obtient à partir de Cf par dilatation ou contraction horizontale.
( si a < 0 , on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe Oy )
3. Fonctions monotones.
Fonctions croissantes/décroissantes/monotones sur D.
Fonctions strictement croissantes/décroissantes/monotones sur D.
composée de fonctions monotones.
4. Fonctions bornées.
Fonctions majorées/minorées/bornées sur D.
f est bornée sur D ⇔ ∃K > 0, ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ K .
5. Inégalités.
Relation f ≤ g .
Méthode : étudier le signe de f − g (factorisation ou étude de fonction)
C) RESTRICTION DU DOMAINE D’ETUDE.
1. Périodicité.
Intérêt : Restriction du domaine d’étude sur un intervalle d’amplitude T.
Propriété graphique : on obtient la courbe complète par translations de vecteur ± u (T , 0 ) .
2. Parité.
Intérêt : Restriction du domaine d’étude centré en 0.
Propriété graphique : on obtient la courbe complète :
par symétrie d’axe ( Oy ) si f est paire.
par symétrie de centre O si f est impaire.
3. Autres symétries.
Symétrie de centre A ( a, b ) , symétrie d’axe ∆ : x = a .
D) CONTINUITE
Soit a ∈ Df . Alors f est continue en a si lim ( f ( x ) ) = f ( a ) .
x →a
On dit que f est continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I.
Soit I un intervalle, a un élément de I, et f une fonction définie sur D = I − {a} .
Si il existe un prolongement fˆ défini sur I et continu en a,
alors on dit que fˆ est le prolongement de f par continuité en a.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :
Soit f continue sur un segment [ a, b ] .
Alors f atteint toutes les valeurs comprises entre f ( a ) et f ( b )
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
E) DERIVATION.
1. Dérivée de f en a.
 f ( x) − f (a) 
Soit a ∈ Df . f est dérivable en a si lim 
 existe et est finie.
x →a 
x−a


On note alors cette limite f ′ ( a ) , appelé nombre dérivé de f en a.
La courbe Cf admet une tangente de pente f ′ ( a ) au point A ( a, f ( a ) )
Equation de la tangente : y = f ′ ( a ) × ( x − a ) + f ( a )
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
2. Fonctions dérivées successives.
Fonction dérivée de f sur D.
f( ) = f .
0
( )
ième
n
n +1
n ′
Si f ( ) est dérivable sur D, on note f ( ) = f ( ) la fonction dérivée ( n + 1)
de f.
3. Dérivée et variations.
Soit I un intervalle, et f une fonction dérivable sur I.
f est croissante sur I ⇔ f ′ ≥ 0 sur I
f est décroissante sur I ⇔ f ′ ≤ 0 sur I
f est constante sur I ⇔ f ′ = 0 sur I
de plus
si f ′ > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
si f ′ < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
Soit I un intervalle, et f et g deux fonctions dérivables sur I.
Si f ′ = g ′ sur I , alors f = g + c sur I , avec c constante à déterminer.
4. Opérations sur les dérivées.
Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
dérivée d’une composée
Si f est dérivable sur D, à valeurs dans C, et g dérivable sur C,
alors g f est dérivable sur D, et ( g f )′ = f ′ × ( g ′ f )
f
g
D 
→ C 
→R
F) FONCTION RECIPROQUE.
1. Représentation graphique
Soit f une bijection. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de f −1 est obtenue à partir de
la courbe représentative de f par symétrie orthogonale d’axe ∆ : y = x .
2. Théorème de la bijection.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R .
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I dans J = f ( I ) .
3. Dérivée d’une réciproque.
Soit f une bijection de A dans B.
Si f est dérivable sur A et si f ′ ne s’annule pas sur A, alors f −1 est dérivable sur B, et
( f )′ =
−1
1
.
f ′ f −1
Objectifs
Maitriser les différentes étapes d’une étude de fonction.
( domaine de définition, restriction du domaine d’étude avec périodicité et/ou parité, domaine de dérivabilité et
variations, limites, interprétations géométriques : point et tangente, asymptotes verticales, graphe )
Savoir traduire la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point a.
Savoir montrer une inégalité à l’aide d’une étude de fonction.
Savoir trouver le domaine de dérivabilité et dériver une composée de fonctions.
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN