Fonctions de R dans R - rappels et compléments

ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN
Chap 4 FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE A VALEURS REELLES
RAPPELS ET COMPLEMENTS
A) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS.
Ensemble
(
)
,
AF
R
ou
A
R
. Somme, produit et composée de fonctions.
Elément neutre pour la somme, pour le produit et pour la composée.
B) PROPRIETES GLOBALES.
1. Domaine de définition.
 Cas de la composée :
(
)
g f x
défini si
x Df
∈
et
(
)
f x Dg
∈ .
2. Courbe représentative.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x a
+
֏
s’obtient à partir de
Cf
par translation de vecteur
(
)
0,
u a
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x a
+
֏
s’obtient à partir de
Cf
par translation de vecteur
(
)
,0
u a
− .
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x
−
֏
s’obtient à partir de
Cf
par symétrie d’axe
Ox
.
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f x
−
֏
s’obtient à partir de
Cf
par symétrie d’axe
Oy
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x a f x
×
֏
avec
0
a
>
s’obtient à partir de
Cf
par dilatation ou contraction verticale.
( si
0
a
<
, on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe
Ox
)
 La courbe de la fonction
(
)
:
g x f a x
×
֏
avec
0
a
>
s’obtient à partir de
Cf
par dilatation ou contraction horizontale.
( si
0
a
<
, on combine la dilatation/contraction avec une symétrie orthogonale d’axe
Oy
)
3. Fonctions monotones.
Fonctions croissantes/décroissantes/monotones sur D.
Fonctions strictement croissantes/décroissantes/monotones sur D.
 composée de fonctions monotones.
4. Fonctions bornées.
Fonctions majorées/minorées/bornées sur D.
f est bornée sur D
⇔
(
)
0, ,
K x D f x K
∃ > ∀ ∈ ≤
.
5. Inégalités.
Relation
f g
≤
.
Méthode : étudier le signe de
f g
−
(factorisation ou étude de fonction)
C) RESTRICTION DU DOMAINE D’ETUDE.
1. Périodicité.
Intérêt : Restriction du domaine d’étude sur un intervalle d’amplitude T .
Propriété graphique : on obtient la courbe complète par translations de vecteur
(
)
,0
u T± .
2. Parité.
Intérêt : Restriction du domaine d’étude centré en 0.
Propriété graphique : on obtient la courbe complète : par symétrie d’axe
(
)
Oy
si f est paire.
par symétrie de centre O si f est impaire.
3. Autres symétries.
Symétrie de centre
(
)
,
A a b
, symétrie d’axe :
x a
∆ =
.
D) CONTINUITE
 Soit
a Df
∈
. Alors f est continue en a si
(
)
(
)
(
)
lim
x a
f x f a
→
=.
On dit que f est continue sur un intervalle I si f est continue en tout point de I .
 Soit I un intervalle, a un élément de I , et f une fonction définie sur
{
}
D I a
= − .
Si il existe un prolongement
ˆ
f
défini sur I et continu en a ,
alors on dit que
ˆ
f
est le prolongement de f par continuité en a .
 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :
Soit f continue sur un segment
[
]
,
a b
.
Alors f atteint toutes les valeurs comprises entre
(
)
f a
et
(
)
f b

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E) DERIVATION.
1. Dérivée de f en a.
 Soit
a Df
∈
. f est dérivable en a si
(
)
(
)
lim
x a
f x f a
x a
→
−
−
existe et est finie.
On note alors cette limite
(
)
f a
′
, appelé nombre dérivé de f en a.
La courbe
Cf
admet une tangente de pente
(
)
f a
′
au point
(
)
(
)
,
A a f a
 Equation de la tangente :
(
)
(
)
(
)
y f a x a f a
′
= × − +
 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
2. Fonctions dérivées successives.
Fonction dérivée de f sur D.
( )
0
f f
=
.
 Si
( )
n
f
est dérivable sur D, on note
( ) ( )
( )
1n n
f f
+
′
= la fonction dérivée
( )
1
ième
n + de f.
3. Dérivée et variations.
 Soit I un intervalle, et f une fonction dérivable sur I.
f est croissante sur I
⇔
0
f
′
≥
sur I
f est décroissante sur I
⇔
0
f
′
≤
sur I
f est constante sur I
⇔
0
f
′
=
sur I
de plus si
0
f
′
>
sur I, alors f est strictement croissante sur I
si
0
f
′
<
sur I, alors f est strictement décroissante sur I
 Soit I un intervalle, et f et g deux fonctions dérivables sur I.
Si
f g
′ ′
=
sur I , alors
f g c
= +
sur I , avec c constante à déterminer.
4. Opérations sur les dérivées.
Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
 dérivée d’une composée
Si f est dérivable sur D, à valeurs dans C, et g dérivable sur C,
f g
D C→ →
R
alors
g f
est dérivable sur D , et
( ) ( )
g f f g f
′′ ′
= ×
F) FONCTION RECIPROQUE.
1. Représentation graphique
 Soit
f une bijection. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de
1
f
−
est obtenue à partir de
la courbe représentative de f par symétrie orthogonale d’axe
:
y x
∆ =
.
2. Théorème de la bijection.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans
R
.
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I dans
(
)
J f I
= .
3. Dérivée d’une réciproque.
Soit f une bijection de A dans B.
Si f est dérivable sur A et si
f
′
ne s’annule pas sur A, alors
1
f
−
est dérivable sur B, et
( )
1
1
1
f
f f
−
−
′=′
.
Objectifs
Maitriser les différentes étapes d’une étude de fonction.
( domaine de définition, restriction du domaine d’étude avec périodicité et/ou parité, domaine de dérivabilité et
variations, limites, interprétations géométriques : point et tangente, asymptotes verticales, graphe )
Savoir traduire la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point a.
Savoir montrer une inégalité à l’aide d’une étude de fonction.
Savoir trouver le domaine de dérivabilité et dériver une composée de fonctions.