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Limites Continuité Page 1 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS
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Exercice 1: Calculer les limites suivantes :
1°)
(
)
52lim
23
++−
−∞→
xx
x
; 2°)
(
)
732lim
35
+−
+∞→
xx
x
; 3°)
(
)
435lim
3
+−−
∞−→
xx
x
4°
(
)
123lim
4
++−
+∞→
xx
x
; 5°)
(
)
274lim
23
++−
−∞→
xx
x
; 6°)
(
)
732lim
24
+−
+∞→
xx
x
7°)
(
)
123lim
2
2
++−
→
xx
x
; 8°)
(
)
143lim
2
1
+−
−→
xx
x
; 9°)
(
)
42lim
2
0
+−−
→
xx
x
10°)
5
23
lim −
+
−∞→
x
x
x ; 11°)
5
2
25
lim −
+
−
+∞→
x
x
x ; 12°)
5
72
lim
2
−
+
−∞→
x
x
x ; 13°)
5
72
lim
4
+
+
−∞→
x
x
x
14°)
1
425
lim
2
2
++ −+−
+∞→
x
x
xx
x
; 15°)
1
3
423
lim
3
2
+− −+
+∞→
x
x
xx
x
; 16°)
1
5
423
lim
2
3
+− −+
+∞→
x
x
xx
x
17°)
3
2
23
lim
2
2
1
−+
+
−
→
x
x
xx
x
; 18°)
2
3
2
652
lim 2
23
2
−− −−+
→
x
x
xxx
x
; 19°)
2
5
4
35
lim
23
23
1
+++ −−−
−→
x
x
x
xxx
x
20°)
1
2
7
85
lim
3
3
++ −+
+∞→
x
x
xx
x
; 21°)
5
2
1
2
2
lim
−+− −∞→
x
xx
x
; 22°)
3
9
lim
2
3
−
−
→
x
x
x
; 23°)
1
23
lim
2
1
++−
→
x
xx
x
24°)
3
47
lim 2
3+−+ −→
x
x
x ; 25°)
1
572
lim
2
1
−+−
→
x
xx
x
; 26°)
)3)(2( 1253
lim
2
3
+− −+
−→
xx xx
x
;
27°)
2
22
lim
2−−+ →
x
x
x
; 28°)
2
4
lim
4−
−
→x
x
x
; 29°)
11
lim
2
0
−+
→
x
x
x
; 30°)
x
xx
x−− →
4
8
lim
4
;
31°)
2
25
lim
2
2
−−+
→
x
x
x
; 32°)
(
)
xx
x
−−
+∞→
1lim
2
; 33°)
(
)
xxx
x
−+
∞+→
2
lim
32°) Calculer la limite de f en
∞
+
et en
∞
−
dans chacun des cas suivants
a)
1
3
13
)(
2
−+
=
x
x
xf ; b) 132)(
2
+−++= xxxxf ; c)
1
3
513
)(
2
−++
=
x
xx
xf
d) 1)(
22
+−+= xxxxf ; e)
34
13
)(
2
2
+
+
=x
x
xf ; f)
(
)
xxx
xxx
xf ++ +−− =
2
2
42
13
)(
33°) )
cos1 sin
(lim
0x
xx
x− → ; 34°)
x
x
x
5
sin
3sin
lim
0→
; 35°)
x
xx
x
−
→
2
0
lim
36°)
4
3
3
97
lim
2
3
++− −+
∞−→
x
x
xx
x
; 37°)
−
−
→
6
2
1
sin
lim
6
π
π
x
x
x
; 38°)
−
−
→
4
1
lim
4
π
π
x
tgx
x
39°)
−
→)2cos(
2
cos
1
4
lim
2
x
tgx
x
x
π
; 40°)
x
x
x
x
cos
2sin
lim
0→
; 41°)
( )
2
2
2
sin1
lim x
x
x
−
−
→
π
π

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Exercice 2:
Pour chacune des fonctions suivantes donner l’ensemble de définition D
f
puis
calculer les limites aux bornes de D
f
.
1°)
3
15
)( −
+
=
x
x
xf ; 2°)
x
x
xf 12 )(
+
= ; 3°)
2
4
)( +
+
−
=
x
x
xf ; 4°)
1
23
)(
2
+−
−
=
x
x
xf
5°)
1
1
)( 2
+
−
=
x
x
xf ; 6°)
1
232
)(
2
2
+
−+
=
x
xx
xf ; 7°)
3
2
54
)( 2
−
+
−
=
x
x
x
xf
8°)
( )
2
3
1
)( − =x xf ; 9°)
4
1
)(
2
−
=x xf ; 10°)
2
232
)( 2
+− −+
=
x
xx
xf
11°)
8
2
26
)( +−
−
=
x
x
xf ; 12°)
2
232
)( 2
2
+
−
−
−+
=
x
x
xx
xf ; 13°) xxxxf 753)(
23
−+−=
Exercice 3:
Soit la fonction numérique f définie par
=−=−
≠−≠
−+ −−+
=
0)1(;1)2(
12;
633
2332
)( 2
23
ff
xetxsi
xx
xxx
xf
La fonction
f
est-elle continue en x = –2 ; en x = 1 ?
Exercice 4:
Soit la fonction numérique f définie par
(
)
=
−+
=
5)0(
42
)( 2
fx
x
xf ; étudier la continuité de
f
en x = 0.
Exercice 5:
Soit la fonction numérique f définie par
=−−++
=
12)1( 1733
)( 23
fxxxx
xf ;
=
−
+=
2)0( sin 2cos1
sin)(
gxx
xxg
Etudier la continuité de
f
en x = 1 ; la continuité de
g
en x = 0.

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Exercice 6:
Soit la fonction numérique f définie par 
=
≠
−+−
=
mf
xsi
xx
xf
)2(
2,
2523
)( ;
Quelle valeur faut-il donner à m pour que
f
soit continue au point
?
2
=
x
Exercice 7:
Soit les deux fonctions numériques 413
21
:−+ −+
xx
xf a
=
≠
−+ −+
=
mg
xsi
xx
xgx
g)3(
3,
413
21
)(
:a
Quelle valeur faut-il attribuer à m pour que
g
soit un prolongement de
f
par
continuité au point
?
3
=
x
.
Exercice 8:
Soit la fonction numérique f définie par
1
2
1)( + +−=
x
xxf
1°) Etudier la continuité de
f
au point d’abscisse x = 1
2°) Etudier la dérivabilité de
f
au point d’abscisse x = 1.
Exercice 9:
1°) Soient les fonctions
f
et
g
définies respectivement par
11
1
)(
11
)( ++ =
−+
=x xget
x
x
xf .
Vérifier que g est le prolongement de
f
, par continuité au point x = 0.
2°) Dans chacun des cas suivants, préciser l’ensemble de définition de la fonction
f
et déterminer s’il existe le prolongement par continuité de cette fonction en x
0
.
a) 2
2
7
3
23
)(
0
2
2
=
+
−
+−
=xet
x
x
xx
xf ; b) 0)(
0
=
−
=xet
x
xx
xf
c) 0
tan
)(
0
== xet
x
x
xf ; d) 0
3
)(
0
2
== xet
x
xf .
3°) On considère la fonction
f
définie sur [2 ; + ∞[ par
1
sin2
)( −
+
=
x
xx
xf .
a) Encadrer
f
par deux fonctions rationnelles ;
b) En déduire la limite de
f
en – ∞ et en + ∞.