LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Exercice 1: Calculer les limites suivantes : 1°) xlim (− x 3 + 2 x 2 + 5) ; 2°) lim (2 x 5 − 3x 3 + 7 ) ; 3°) lim (− 5x 3 − 3x + 4) → −∞ x→ −∞ x → +∞ (− 4 x + 7 x + 2) ; 6°) xlim (2 x 4 − 3x 2 + 7 ) 4° xlim (− 3x + 2 x + 1) ; 5°) xlim → +∞ → −∞ → +∞ 4 3 2 (− 3x 2 + 2 x + 1) ; 8°) lim (3x 2 − 4 x + 1) 7°) lim x→2 x → −1 9°) lim (− x 2 − 2 x + 4) x→ 0 ; 3x + 2 − 5x + 2 2x + 7 2x + 7 ; 11°) xlim ; 12°) lim 2 ; 13°) lim 4 → +∞ x → −∞ x → −∞ x + 5 x−5 2x − 5 x −5 − 5x 2 + 2x − 4 3x 2 + 2 x − 4 3x 3 + 2 x − 4 14°) xlim ; 15°) ; 16°) lim lim → +∞ x → +∞ x →+∞ x2 + x + 1 x 3 − 3x + 1 x 2 − 5x + 1 10°) xlim → −∞ x 2 − 3x + 2 x3 + 2x 2 − 5x − 6 x 3 − x 2 − 5x − 3 ; 18°) ; 19°) lim lim 2 x 2 − 3 x − 2 3 2 x →−1 x + 4 x + 5 x + 2 x2 + 2x − 3 x→2 x2 − 9 x 2 − 3x + 2 x3 + 5x − 8 x2 − x + 1 20°) lim 3 ; 21°) lim ; 22°) lim ; 23°) lim 2 x→ 3 x→ 1 x → +∞ 7 x + 2 x + 1 x→−∞ 2 x − 5 x−3 x +1 17°) lim x →1 x2 + 7 − 4 x+3 24°) lim x → −3 ; 25°) lim x →1 2x 2 − 7 x + 5 3x 2 + 5 x − 12 ; 26°) lim x → −3 ( x − 2)( x + 3) x −1 x−4 27°) lim x→2 x+2 −2 x−2 31°) lim x→ 2 x2 + 5 − 2 ; 32°) xlim x 2 − 1 − x ; 33°) xlim x2 + x − x → +∞ → +∞ x−2 ; 28°) lim x→4 ( x −2 ; 29°) lim x →0 ) x 1+ x2 −1 ; 30°) lim x→4 ( ; x x −8 ; 4−x ) 32°) Calculer la limite de f en + ∞ et en − ∞ dans chacun des cas suivants a) f ( x) = 3x 2 + 1 3x 2 + 1 + 5 x ; b) f ( x) = x + 2 + x 2 − 3 x + 1 ; c) f ( x) = 3x − 1 3x − 1 3x 2 + 1 d) f ( x) = x + x − x + 1 ; e) f ( x) = 2 2 x sin x 33°) lim ( ) x → 0 1 − cos x x + 7x − 9 − 3x 2 + 3x + 4 3 36°) xlim → −∞ 1 − 2tgx 2 39°) lim cos x cos( 2 x ) π x→ 4 Limites Continuité ; 34°) lim x →0 4x + 3 2 sin 3 x sin 5 x ; f) 40°) lim x →0 sin 2 x x cos x Page 1 sur 3 x 2 − 3x + 1 ) 2x + 4x + x ; 35°) lim x→ 0 1 sin x − 2 ; 37°) limπ π x → x− 6 6 ; (x − f ( x) = 2 x2 − x x tgx − 1 ; 38°) limπ π x→ 4 x − 4 ; 41°) limπ x→ 2 1 − sin x (π − 2 x )2 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 2: Pour chacune des fonctions suivantes donner l’ensemble de définition Df puis calculer les limites aux bornes de Df. 1°) f ( x) = 5x + 1 x−3 ; 2°) f ( x) = 2x + 1 −x+4 ; 3°) f ( x) = x x+2 ; 4°) f ( x) = 3x − 2 − x2 + 1 x2 − 1 2 x 2 + 3x − 2 4 − 5x 5°) f ( x) = ; 6°) f ( x) = ; 7°) f ( x) = 2 2 x +1 x +1 x + 2x − 3 1 2 x 2 + 3x − 2 1 ; 9°) f ( x) = 2 8°) f ( x) = ; 10°) f ( x) = x −4 −x+2 (x − 3)2 11°) f ( x) = 6x − 2 2 x 2 + 3x − 2 ; 12°) f ( x) = ; 13°) f ( x) = −3x 3 + 5 x 2 − 7 x 2 − 2x + 8 −x −x+2 Exercice 3: Soit la fonction numérique f définie par 2 x 3 + 3x 2 − 3x − 2 ; si x ≠ −2 et x ≠ 1 f ( x) = 2 3 x + 3 x − 6 f (−2) = −1 ; f (1) = 0 La fonction f est-elle continue en x = –2 ; en x = 1 ? Exercice 4: Soit la fonction numérique f définie par 2 f ( x) = (2 + x ) − 4 ; étudier la continuité de f en x = 0. x f (0) = 5 Exercice 5: Soit la fonction numérique f définie par 3 2 1 − cos 2 x f ( x) = x + 3 x + 3 x − 7 g ( x) = sin x + ; sin x x −1 g ( 0 ) = 2 f (1) = 12 Etudier la continuité de f en x = 1 ; la continuité de g en x = 0. Limites Continuité Page 2 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 6: f ( x) = 3 − 2 x + 5 , si x ≠ 2 ; x−2 f (2) = m Soit la fonction numérique f définie par Quelle valeur faut-il donner à m pour que f soit continue au point x = 2 ? Exercice 7: Soit les deux fonctions numériques f : x a x +1 − 2 x + 13 − 4 x +1 − 2 x a g ( x) = , si x ≠ 3 g : x + 13 − 4 g (3) = m Quelle valeur faut-il attribuer à m pour que g soit un prolongement de f par continuité au point x = 3 ? . Exercice 8: Soit la fonction numérique f définie par f ( x) = x − 1 + 2 x +1 1°) Etudier la continuité de f au point d’abscisse x = 1 2°) Etudier la dérivabilité de f au point d’abscisse x = 1. Exercice 9: 1°) Soient les fonctions f et g définies respectivement par f ( x) = x +1 −1 x g ( x) = et 1 1+ x +1 . Vérifier que g est le prolongement de f , par continuité au point x = 0. 2°) Dans chacun des cas suivants, préciser l’ensemble de définition de la fonction f et déterminer s’il existe le prolongement par continuité de cette fonction en x0. a) f ( x) = x 2 − 3x + 2 et x0 = 2 ; 3x 2 − 7 x + 2 c) f ( x) = tan x et x0 = 0 x b) f ( x) = ; d) f ( x) = x− x et x0 = 0 x 3 x2 et x0 = 0 . 3°) On considère la fonction f définie sur [2 ; + ∞[ par f ( x) = 2 x + sin x . x −1 a) Encadrer f par deux fonctions rationnelles ; b) En déduire la limite de f en – ∞ et en + ∞. Limites Continuité Page 3 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique