TD4 : Equations différentielles

Travaux Dirigés Chapitre 4 – Equations différentielles linéaires
sd STS 2ème année
Travaux Dirigés Équations différentielles du premier ordre...
Exercice 1 Résoudre les équations différentielles du premier ordre suivantes
1) 2y0(x)−3y(x) = 0 sur R
2) y0(t) + 5y(t) = 0 sur R
3) x0(t)−2
tx(t) = 0 sur ]0; +∞[
4) tu0+ (1 −t)u= 0 sur ]0; +∞[
5) (1 + t2)y0+ty = 0 sur R
6) (x−1)y0+y= 0 sur ]0; 1[
Exercice 2 Avec une fraction rationnelle... On considère l’équation différentielle
(1 + t2)x=t(1 −t)x0(E).
1) Déterminer des réels a, b et ctels que, pour tout t∈]1; +∞[
1 + t2
t(t2−1) =a t+b t−1+c 1 + t.
2) Résoudre (E)sur ]1; +∞[.
3) Trouver la solution particulière x1telle que x1(2) = −2
3.
Exercice 3 On souhaite résoudre sur Rl’équation différentielle
y0−y=x2−x−1 (E).
1) Résoudre sur Rl’équation différentielle homogène associée
y0−y= 0.
2) Vérifier que la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = −x2−xest une solution de l’équation différentielle
(E).
3) En déduire l’ensemble des solutions de (E).
4) Déterminer la solution fde (E)qui vérifie la condition initiale f(0) = 1.
Exercice 4 Soit (E)l’équation différentielle
y0+xy =x2e−x.
1) Résoudre l’équation différentielle homogène associée.
2) Déterminer des réels aet btels que la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = (ax +b)e−xsoit une solution
particulière de (E).
3) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Exercice 5 On considère l’équation différentielle (E):
y0+y=1
1 + ex.
1) Résoudre sur Rl’équation différentielle (E0):y0+y= 0.
2) Déterminer une fonction k, définie et dérivable sur Rtelle que pour tout x∈R, la fonction hdéfinie sur
Rpar
h(x) = k(x)e−x
soit une solution de (E).
3) Déduire des deux questions précédentes l’ensemble des solutions de l’équation (E).
4) Déterminer l’unique solution fde (E)vérifiant la condition initiale f(0) = 1 + ln 2.
Exercice 6 Soit l’équation différentielle
(1 + x)y0−y= ln 1
1 + x(E)
où yest une fonction de la variable x, définie et dérivable sur [0; +∞[.

1) Déterminer la solution génrérale de l’équation différentielle
(1 + x)y0−y= 0 (E0)
2) Déterminer la fonction f, solution particulière de (E), définie sur [0; +∞[par
f(x) = ln(1 + x) + C
où Cest une constante réelle à déterminer.
3) En déduire l’ensemble des solutions sur [0; +∞[de l’équation (E).
4) Déterminer la fonction ϕ, solution de l’équation (E)vérifiant ϕ(0) = 0.
Exercice 7 On considère l’équation différentielle
(ln x)y0+y
x= 1 (E)
où yest une fonction de la variable xdéfinie et dérivable sur l’intervalle I=]1; +∞[et y0la fonction dérivée
de y.
1) Déterminer une primitive de la fonction gdéfinie sur Ipar
g(x) = 1
xln x.
2) (a) Déterminer la solution générale sur Ide l’équation différentielle homogène (E0)associée à (E).
(b) Déterminer, par la méthode de variation de la constante, une solution particulire de l’équation
différentielle (E).
(c) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E)sur l’intervalle I.
3) Déterminer la solution fde l’équation (E)qui vérifie la condition initiale f(e) = e.
Travaux Dirigés Equations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants
Exercice 8 Résoudre l’équation différentielle suivante où yest une fonction dérivable de la variable réelle x
définie et deux fois dérivable sur R.
1) y00 + 3y0+ 2y= 0
2) y00 −4y0+ 4y= 0
3) y00 −4y0+ 13y= 0
4) y00 −y= 0
Exercice 9 On considère l’équation différentielle (E)définie par
y00 −3y0+ 2y= 4.
1) Résoudre sur Rl’équation différentielle (E0):
y00 −3y0+ 2y= 0
2) Déterminer une fonction constante gsolution de l’équation (E).
3) Déduire des questions précédentes l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4) Déterminer la solution particulière fde (E)vérifiant les deux conditions initiales
f(0) = 1 et f0(0) = 2.
Exercice 10 On considère l’équation différentielle (E)définie par
x00 + 2x0+x= 3t2+ 1
où xest une fonction de la variable t, définie et deux fois dérivable sur R.
1) Résoudre sur Rl’équation différentielle (E0):
x00 + 2x0+x= 0
2) Déterminer une solution particulière de (E)sous la forme d’une fonction polynôme du second degré.
3) Déduire des questions précédentes l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4) Déterminer la solution particulière fde (E)vérifiant les deux conditions initiales
f(0) = 0 et f0(0) = 0.
Exercice 11 Le plan Pest muni d’un repère orthonormal (O, −→ i , −→ j). On considère l’équation différentielle
y00 + 4y0+ 4y=e−2x.
1) Résoudre sur Rl’équation différentielle
y00 + 4y0+ 4y= 0 (E0).
2) Déterminer une solution particulière gde l’équation différentielle (E)où gest une fonction qui s’écrit
g(x) = Ax2e−2xoù Aest une constante réelle à déterminer.
3) En déduire l’ensemble des solutions définies sur Rde l’équation différentielle (E).
4) Déterminer l’unique solution particulière hde (E)dont la courbe représentative passe par les points
I(−1; 0) et J(0; 1
2).
Exercice 12 A. On considère l’équation différentielle définie sur R
y00 + 4y0+ 4y= 0 (E).
1) Déterminer la solution générale de (E).
2) Déterminer la solution fde (E)qui vérifie les conditions f(0) = 2 et f0(0) = −3.
B. Soit fla fonction numérique définie sur Rpar
f(x) = (x+ 2)e−2x.
1) f0désigne la fonction dérivée de f. Calculer f0(x).
2) Démontrer, en utilisant l’équation différentielle (E)que
f(x) = −1
4(f00(x) + 4f0(x)) .
En déduire l’expression d’une primitive Fde fsur R.
3) Calculer
1
−2,5
f(x)dx.
Exercice 13 Problème de synthèse. Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;−→
i , −→ j).
A. Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E):
y00 + 4y0+ 4y= 0
où ydésigne une fonction de la variable réelle xdéfinie et deux fois dérivable sur R,y0la dérivée de yet y00 la
dérivée seconde de y.
1) Résoudre l’équation différentielle (E).
2) Trouver la solution fde (E)dont la courbe représentative Cpasse par le point Ade coordonnées (0,1)
et admet en ce point un tangente parallèle à la droite d’équation y=−x.
B. Etude d’une fonction
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = (x+ 1)e−2xet Csa courbe représentative dans le repère (O;−→ i , −→ j).
1) Déterminer lim
x→−∞ f(x)et lim x→+∞f(x). Interpréter graphiquement le résultat.
2) (a) Montrer que pour tout x∈R,
f0(x) = (−2x−1)e−2x.
(b) En déduire le sens de variation de la fonction f.
3) (a) Montrer que le développement limité à l’ordre 3de fau voisinage de 0est
f(x) = 1 −x+2
3x3+x3ε(x)avec lim
x→0ε(x) = 0.
(b) En déduire une équation de la tangente ∆à la courbe Cau point d’abscisse 0et la position relative
de Cet ∆au voisinage de ce point.
C. Calcul d’une intégrale
Soit I=1
0f(x)dx.
1) (a) En utilisant le fait que fest solution de (E), exprimer f(x)en fonction de f0(x)et f00(x).
(b) En déduire une primitive de f.
2) Calculer Iet donner une interprétation graphique (on donnera une valeur exacte puis une valeur approchée
de Iarrondie à 10−2.)