Préparation au concours EDHEC AST1 DM3 - pgepgo

Préparation au concours EDHEC AST1
DM3
PGE-PGO
2016-2017
Problème 1 : polynômes interpolateurs
Soit I un intervalle ouvert non vide de R et soient a, b, c ∈ I tels que a < b < c. On considère
l’application
(
R2 [X] → R3
u:
P 7→ (P (a), P (b), P (c))
1. Montrer que u est un isomorphisme.
2. Montrer qu’il existe trois polynômes A, B, C ∈ R2 [X] tels que



A(a) = 1, A(b) = 0 et A(c) = 0
B(a) = 0, B(b) = 1 et B(c) = 0


C(a) = 0, C(b) = 0 et C(c) = 1
et expliciter ces polynômes.
3. (a) Montrer que (A, B, C) est une base de R2 [X].
(b) Si P ∈ R2 [X], donner les coordonnées de P dans la base (A, B, C).
4. Soit g ∈ C 2 (I) telle que g(a) = g(b) = g(c). Montrer à l’aide du théorème de Rolle que
g 00 s’annule sur ]a, c[.
5. Soit f ∈ C 2 (I).
(a) Si P (X) = f (a)A(X) + f (b)B(X) + f (c)C(X), montrer que P est un élément de
R2 [X] dont la fonction polynomiale associée prend les mêmes valeurs que f en a,
b et c.
(b) En utilisant la question 4), montrer qu’il existe w ∈]a, c[ tel que l’on ait :
f (a)
f (b)
f (c)
f 00 (w)
+
+
=
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b)
2
(c) Soit x0 ∈ I. Montrer que
f (x0 + h) + f (x0 − h) − 2f (x0 )
f 00 (x0 )
=
h→0
h2
2
lim
1
Problème 2 : un problème du collectionneur
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On effectue des tirages à l’aveugle successifs et avec
remise dans une urne contenant n boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à n, et
on définit une suite (Ui )i∈N∗ de variables aléatoires comme suit : on pose U1 = 1, et pour
tout entier i > 2 on associe à Ui la valeur 1 si le numéro de boule obtenu au i-ème tirage n’a
pas été obtenu lors des i − 1 tirages précédentes, et 0 sinon. Enfin, pour tout i ∈ N∗ on note
Ti la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue lors du i-ème tirage.
1. Donner la loi de U2 .
2. (a) Donner la loi de Ti pour tout i ∈ N∗ .
(b) En déduire grâce à la formule des probabilités totales que l’on a :
∗
∀i ∈ N ,
1
P(Ui = 1) = 1 −
n
i−1
Pour tout entier k > 2, on note Vk (n) la variable aléatoire égale au nombre de numéros
distincts obtenus lors des n premiers tirages.
3. (a) Si k > 2, exprimer Vk (n) en fonction des variables Ui .
(b) Si k > 2, calculer l’espérance de Vk (n).
(c) Déterminer la limite de la quantité E(Vk (n)) lorsque k tend vers l’infini.
Problème 3 : un endomorphisme nilpotent
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est


1 −1 1


A = 5 1 −7
2 0 −2
1. Montrer que f 3 = 0.
2. En déduire que Im (f ) ⊂ ker(f 2 ) et que Im (f 2 ) ⊂ ker(f ).
3. Calculer le rang de f et en déduire que Im (f ) = ker(f 2 ) et ker(f ) = Im (f 2 ).
2