Contrôle d'Algèbre M2 - Endomorphismes et Applications Linéaires

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année Univ.2013-14
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMP-SMC
Département de Mathématiques
Contrôle d’Algèbre M2
durée: 1h30
Tous les résultats doivent être justifiés .
Exercice 1 :( 10 points )
Soit fl’application de R3vers R3définie par :
∀x,y,z∈R3:fx,y,z2xy−z,4x2y−4z,4xy−3z.
1) Montrer que fest un endomorphisme de R3( c’est à dire fest une aplication linéaire
de R3vers R3).
2) Donner la matrice AMf,Bde fpar rapport à la base canonique Be1,e2,e3
de R3.
3) Soient v11,1,1,v21,0,1et v30,1,1.
Calculer : fv1,fv2et fv3en fonction de v1,v2et v3.
4) En déduire que Sv1,v2,v3est une base de R3.
5) Donner la matrice DMf,Sde fpar rapport à la base Sv1,v2,v3de R3.
6) Déterminer une matrice carrée inversible P∈M3Rd’ordre 3telle que :
P−1AP 
20 0
01 0
00−2
.
7) Calculer l’inverse A−1de Aen fonction de Pet D.
8) Calculer l’inverse P−1de P.
9) En déduire :
a) l’inverse A−1de A.
b) la réciproque f−1de f.
Exercice 2 :( 10 points )
Soient Be1,e2,e3la base canonique de R3et S1,2,3,4la base canonique
de R4
On considère l’application linéaire fde R4vers R3définie par : ∀x,y,z,t∈R3:
fx,y,z,t3x6y5z21t,2x4y3z13t,x2yz5t.
1) Donner la matrice Ade fpar rapport à Bet S.
2) Trouver une base de Imfet le rang de f.
3) En déduire dimkerf.
4) Trouver kerf.
5) Montrer que : vect1,3⊕kerfR4.
6) Soit u,vune base quelconque de kerf.
Montrer que S′1,3,u,vest une base de R4.
7) Soit w∈R3tel que w∉Imf.
Montrer que B′f1,f3,west une base de R3.
8) Déterminer la matrice A′de fpar rapport à B′et S′.Boncourage