Théorème de Brouwer en dimension 2

Sandrine CARUSO
Théorème de Brouwer en dimension 2
Références : Rouvière ou Queffélec (Topologie) pour l’implication théorème 2 ⇒
Brouwer
Théorème 1 (Brouwer).Notons Bla boule unité fermée de R2. Toute application conti-
nue de Bdans Badmet au moins un point fixe.
La démonstration du théorème de Brouwer utilise le résultat suivant :
Théorème 2. Il n’existe pas de rétraction de la boule Bdans le cercle S1=∂B.
Démonstration. Supposons qu’il existe une rétraction r:B→S1, c’est-à-dire une
application continue B→S1telle que ∀x∈S1,r(x) = x. Si on note il’inclusion de
S1dans B,
idS1:S1i →Br →S1
induit des morphismes sur les groupes fondamentaux :
(idS1)∗= idπ1(S1):π1(S1)i∗ →π1(B)r∗ →π1(S1).
Or, π1(B)' {1}et π1(S1)'Z. La seule application de {1}dans Zétant le morphisme
trivial, l’application r∗◦i∗ne peut être surjective, donc ne peut être l’identité.
« Autre » démonstration. On note Γ(X)l’ensemble des lacets (de base fixée, quelconque)
d’un espace topologique connexe par arcs X. Il est muni de la topologie induite par la
topologie produit sur X[0,1]. On considère, comme à la démonstration précédente,
idS1:S1i →Br →S1
et on définit ˜ı: Γ(S1)→Γ(B),γ7→ i◦γet ˜r: Γ(B)→Γ(S1),γ7→ r◦γ.
L’application ˜rest continue : soit Ωun ouvert de S1[0,1]. Il existe x1, . . . , xn∈[0,1] et
Ω1,...,Ωnouverts de S1tels que Ω = Ω1× · · · × Ωn×Qx6=xi S1. Ainsi r◦γ∈Ωssi
∀i, r ◦γ(xi)∈Ωissi ∀i, γ(xi)∈r−1(Ωi). Comme rest continue, r−1(Ωi)est ouvert, et
r◦γ∈Ωsi et seulement si γappartient à l’ouvert r−1(Ω1)× · · · × r−1(Ωn)×Qx6=xiB.
Donc ˜rest continue.
En outre, pour tout γ,˜r◦˜ı(γ) = r◦i◦γ=γ(car r◦i= id), d’où ˜r◦˜ı= idΓ(S1).
En particulier, ˜rest surjective, c’est-à-dire ˜r(Γ(B)) = Γ(S1). Or, Γ(B)est connexe par
arcs, alors que Γ(S1)ne l’est pas. Contradiction : l’image d’un connexe par arcs par une
application continue est connexe par arcs.
Démonstration du théorème de Brouwer. Soit f:B→Bcontinue, et supposons que
fn’a aucun point fixe. On définit une application r:B→S1de la manière suivante :
pour x∈B,r(x)est l’intersection de S1avec la demi-droite [f(x), x).
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f(x)
x
r(x)
Alors ∀x∈S1,r(x) = x. Montrons que rest continue. Pour x∈B, notons α(x)
le nombre tel que r(x)−f(x) = α(x)(x−f(x)) ; c’est un nombre positif (et même
supérieur ou égal à 1). Comme r(x)∈S1, on a kf(x) + α(x)(x−f(x))k2= 1, c’est-
à-dire, en développant la norme (on note h·,·i le produit scalaire),
α(x)2kx−f(x)k2+ 2α(x)hf(x), x −f(x)i+kf(x)k − 1 = 0.
Ainsi, α(x)est racine du polynôme Px=X2kx−f(x)k2+ 2Xhf(x), x −f(x)i+
kf(x)k − 1. Ce polynôme du second degré vérifie Px(0) = kf(x)k − 160,Px(1) =
kxk − 160, et tend vers l’infini en ±∞, donc a deux racines distinctes, l’une négative
et l’autre plus grande que 1. Le nombre α(x)est égal à cette deuxième racine, soit
α(x) = − hf(x), x −f(x)i+qhf(x), x −f(x)i2−(kf(x)k − 1)kx−f(x)k2
kx−f(x)k2.
Comme fest continue, αest, d’après l’expression ci-dessus, aussi une fonction conti-
nue, et r(x) = f(x) + α(x)(x−f(x)) également.
Ainsi, rest une rétraction de Bsur S1. Or, d’après le théorème 2, il n’existe pas
de telle rétraction. L’hypothèse faite au départ est donc absurde, et fadmet un point
fixe.
Compléments. Dans la première démonstration du théorème 2, on a utilisé le théo-
rème suivant :
Théorème 3 (Fonctorialité du π1).Soient Xet Yun espace topologique, x0∈X. Toute
application continue f:X→Yinduit un morphisme de groupes f∗:π1(X, x0)→
π1(Y, f(x0)), avec les propriétés suivantes :
(i) si fest l’identité de X, alors f∗est l’identité de π1(X, x0),
(ii) si f:X→Yet g:Y→Z, alors (g◦f)∗=g∗◦f∗.
On définit f∗par f∗([α]) = [f◦α], où αest un lacet de Xde base x0, et où [·]désigne
la classe d’homologie. Il faut vérifier que cette application est bien définie, c’est-à-dire
que si αet βont même classe d’homologie, alors f◦αet f◦βaussi, ce qui n’est pas
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très difficile. Montrer que c’est un morphisme de groupes se fait également aisément, et
les propriétés (i) et (ii) sont immédiates.
Plus généralement, le théorème de Brouwer est vrai dans Rnpour tout n, car le
théorème 2 l’est. Mais pour la démonstration de ce dernier, le groupe fondamental ne
suffit plus pour n>3, car Sn−1est simplement connexe. À la place, on utilise le groupe
d’homologie Hn−1, pour lequel le théorème 3 est encore valable. En effet, Hn−1(Bn)
est trivial et Hn−1(Sn−1)ne l’est pas.
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