Topologie Algébrique M1 Maths Université Denis Diderot

Topologie Algébrique
M1 Maths Université Denis Diderot
Déroulement du cours 2014
(ce document est mis à jour après chaque cours)
1. 20 janvier : Non rétraction du disque Dn sur son bord (en supposant l’existence
d’un “foncteur” H ayant les bonnes propriétés). Théorème du point fixe de Brouwer.
Définition des catégories et des foncteurs, exemples (Ens, Top, Gr, Ab, ensembles ordonnés, monoïdes), isomorphismes, monomorphismes épimorphismes, Catégorie X/G
où G : C → D est un foncteur et X un objet de D, objet initial/final, unicité à isomorphisme canonique près, exemple dans X/U , avec U foncteur d’oubli Ab → Gr
(abélianisé) ou VectK → Ens (espace vectoriel libre sur X).
2. 22 janvier : Foncteur Chem qui associe sa catégorie des chemins à extrémités dans
A à chaque paire topologique (X, A) (notation Top 2 pour la catégorie des paires topologiques). Congruence sur une catégorie et théorème de passage au quotient (la
projection sur le quotient étant vue comme un objet initial dans la catégorie appropriée), Notion d’homotopie avec un certain degré de généralité (à savoir homotopies
entre morphismes de paires), et catégorie quotient HoTop 2. Foncteur groupoïde fondamental (X, A) 7→ Π(X, A).
3. 27 janvier : Transformations naturelles. Flèches universelles, exemples. Théorème
de fonctorialité. Foncteurs adjoints.
4. 29 janvier : Unité et co-unité d’une adjonction. Naturalité de ces transformations.
Compositions hétérogènes. Équations triangulaires. Exemples d’utilisation du théorème de fonctorialité : construction de l’adjoint à gauche du foncteur d’oubli Cat →
Grph (construction de l’adjoint à gauche de Grpd → Grph admise). Définition de la
notion de cône sur un diagramme, et notion de limite. Exemples : produit et produit
fibré.
5. 2 février : Limites et colimites. Les adjoints à gauche préservent les colimites.
Sommes amalgamées et exemples avec des ensembles, avec des graphes et avec des
groupoïdes. Chemins n-propres. Théorème de van Kampen. Groupe fondamental du
cercle.
6. 5 février : Revêtements triviaux, revêtements. Tout revêtement est un homéomorphisme local. Si un groupe discret agit sur un espace topologique de manière proprement discontinue, la projection sur le quotient est un revêtement. La projection d’un
groupe topologique sur son quotient par un sous-groupe discret est un revêtement.
Exemples. Lemme d’unicité des relèvements. Théorème de relèvement des homotopies. Relèvement des chemins. La flèche induite par un revêtement sur les groupes
fondamentaux est injective.
7. 10 février : Carrés cartésiens et pullbacks. Action du groupe fondamental de la base
d’un revêtement sur la fibre au dessus du point de base. Action transitive du groupe
fondamental de la base sur la fibre quand l’espace total est connexe par arcs. Identification du sous-groupe d’isotropie d’un point de la fibre. Suite exacte courte d’un revêtement principal. Tout revêtement sur une base connexe, localement connexe par arcs
et simplement connexe est trivial. Critère de relèvement d’une application continue
pointée le long d’un revêtement pointé.
8. 12 février : Tout homéomorphisme local propre entre espaces localement compacts
est un revêtement. Colimites dans Ens et dans Top. Toute surface de classe C 2 com1
pacte connexe orientable plongée dans R3 dont la courbure de Gauss ne s’annulle pas
est difféomorphe à S2 .
9. 17 février : Foncteurs représentables, classifiant et élément universel, unicité à isomorphisme près, exemples. Revêtement universels, espaces semi-localement simplement connexes, existence d’un revêtement universel.
10. 19 février : Premier examen partiel.
11. 24 février : Introduction à l’homologie. Simplexes topologiques standard. Simplexes
singuliers. Chaînes singulières. Opérateur bord. Preuve de ∂ ◦ ∂ = 0 dans le cas des
chaînes singulières. Module différentiel gradué. Sous-modules des cycles et des bords.
Définition de l’homologie d’un module différentiel gradué.
12. 25 février : Élément homogène dans un module gradué. Application (linaire) homogène entre modules différentiels gradués. Définition de la commutation des applications homogènes f ◦ g = (−1)|f ||g| g ◦ f (convention de Koszul). Homologie d’un espace
réduit à un point. Homologie d’une partie étoilée de Rn . Lemme des cinq. Lemme des
neuf. Lemme du serpent. Complexe des chaînes singulières C(X, A) pour une paire
topologique (X, A). Suite exacte longue d’une paire. Suite exacte longue d’un triple.
13. 26 février : H0 d’un espace connexe par arcs. Homologie d’une union disjointe d’espaces topologiques. Comparaison entre homologie et homologie réduite. Homotopies
entre morphismes de modules différentiels gradués. Egalité des flèches induites en
homologie par des morphismes homotopes. Invariance homotopique de l’homologie
des applications continues (démonstration à venir). Théorème des petites chaînes (démonstration à venir). Théorème d’excision et suite exacte de Mayer-Vietoris.
14. 26 février : Homologie des sphères. Non rétraction de Dn sur son bord. Théorème
du point fixe de Brouwer. Invariance de la dimension et du bord. Degré de Brouwer
d’une application continue Sn → Sn . Degré de l’application antipodale. Degré d’une
application Sn → Sn sans point fixe. Champ de vecteurs sans singularité sur une
sphère. Action d’un groupe discret sur une sphère. Théorème de Borsuk-Ulam.
15. 10 mars : Démonstration des théorèmes d’invariance homotopique et des petites
chaînes par la méthode des modèles acycliques.
16. 12 mars : Produit tensoriel (définition comme application bilinéaire universelle).
Construction. Propriétés de base. Adjonction avec Hom. Distributivité sur la somme
/B
/C
/ 0. Cône d’un
directe. Préservation de suites exactes de la forme A
morphisme de DG-modules. Suite exacte du cône.
17. 17 mars : Quelques lemmes sur le cône d’un morphisme de DG-modules. Foncteur
Z[Z/p]
Tor. Exemples de calculs : TorZi (Z/p, Z/q), Tori
(Z, Z).
18. 19 mars : Exemple d’utilisation du foncteur Tor : toute action continue de Z/p (p
premier) sur Rn a un point fixe. Application canonique H(M ) ⊗ H(N ) → H(M ⊗ N ).
Formule de Künneth algébrique.
19. 24 mars : Construction de la transformation d’Eilenberg-Mac Lane et de la diagonale
d’Alexander-Whitney. Principales propriétés de ces transformations naturelles.
20. 26 mars : Formule de Künneth topologique. Cross-produit homologique. Cohomologie. Cup-produit.
21. 31 mars : Cross-produit cohomologique, x × y = p∗1 (x) ^ p∗2 (y), x ^ y = δ ∗ (x × y).
Théorème des coefficients universels pour la cohomologie. Calcul de H∗ (RP2 ; Z) et
2
H∗ (RP2 ; Z/2). Calcul de l’algèbre de cohomologie H ∗ (RP2 ; Z/2). Cup-produit relatif
C ∗ (X, A) ⊗ C ∗ (X) → C ∗ (X, A) et H ∗ (X, A) ⊗ H ∗ (X) → H ∗ (X, A). Relation entre le
connectant de la suite exacte d’une paire et le cup-produit ∂ ∗ (i∗ (x) ^ y) = (−1)|x| x ^
∂ ∗ (y).
22. 2 avril : Relation entre le connectant de la suite exacte de Mayer-Vietoris et le cupproduit ∂ ∗ (i∗ (x) ^ y) = (−1)|x| x ^ ∂ ∗ (y). Isomorphismes H ∗ (X) ⊗ H ∗ (Sn ) → H ∗ (X ×
Sn ) et H ∗ (X) ⊗ H ∗ (Dn , Sn−1 ) → H ∗ (X × Dn , X × Sn−1 ). Fibrés vectoriels. Orientation
des fibrés vectoriels.
23. 7 avril : Classe de Thom et isomorphisme de Thom (pour la cohomologie). Classe
d’Euler et suite exacte de Gysin. Algèbre de cohomologie H ∗ (RPn ; Z/2Z).
24. 9 avril : Second examen partiel.
25. 28 avril : Rappels et compléments sur les fibrés vectoriels (voir « Espaces fibrés vectoriels et invariance homotopique » dans le dossier des documents complémentaires).
Définition axiomatique des classes de Stiefel-Whitney. Classe de Stiefel-Whitney totale w(π) pour un fibré vectoriel π. Cas des fibrés triviaux. Classe de Stiefel-Whitney
totale du fibré tangent à Sn , du fibré en droites universel γn1 sur RPn , de son orthogonal dans le fibré canonique trivial de fibre Rn+1 sur RPn , et du fibré tangent à RPn .
26. 30 avril : (dernier cours)
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