TD 5 : Sous-groupes distingués Exercice 1. Soit H un sous

Université Paris-Est Créteil, UFR Sciences et Technologie
Licences deuxième-Troisième années
2016
Structure Algèbrique
TD 5 : Sous-groupes distingués
Exercice 1. Soit H un sous-groupe de G. Montrer que xH est un sous-groupe si et
seulement si x ∈ H.
Exercice 2. Soit G un groupe non abélien d’ordre 8. Montrez que G a un élément d’ordre
4.
Exercice 3. Décrire tous les groupes à n éléments avec n = 4, 5. Sont-ils commutatifs ?
Exercice 4.
a) Montrer que l’ensemble U := {z ∈ C : |z| = 1} des nombres complexes de module
un est un sous-groupe distingué de (C, .).
b) Soit n ∈ N ∗ . Montrer que l’ensemble Un := {z ∈ C : z n = 1} des racines n-ièmes
de l’unité est un sous-groupe distingué de (U, .).
Exercice 5. Soient G un groupe et H, K deux sous-groupes distingués de G tels que
H ∩ K = {e}.
a) Montrer que ∀h ∈ H, ∀k ∈ K, hk = kh.
b) Montrer que HK est un sous-groupe distingué de G et que HK est isomorphe à
H × K.
c) On suppose que G est d’ordre 55, et que G possède deux sous-groupes distingués
d’ordres respectifs 5 et 11. Montrer que G est isomorphe à Z/55Z.
Exercice 6. Soient G un groupe, a ∈ G et τa : G → G, x 7→ axa−1 un automorphisme
intérieur de G.
a) Vérifier que l’ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sousgroupe de Aut(G).
b) Montrer que le centre Z(G) de G est un sous-groupe distingué de G et que G/Z(G)
est isomorphe à Int(G).
Exercice 7. Soit G un groupe fini et f un morphisme de G. Montrer que ker(f ) =
ker(f 2 ) ⇐⇒ im(f ) = im(f 2 ).
Exercice 8 (Lemme chinois).
a) Soient p, q ∈ N tels que p ∧ q = 1. Montrer que Z/pZ × Z/qZ ' Z/pqZ.
b) Que peut on dire si p ∧ q = d > 1 ?
Exercice 9. Soit G un groupe, H un sous-groupe distingué contenu dans le centre de
G, tel que G/H soit cyclique. Montrer que G est commutatif.
1
Exercice 10. (Examen janvier 2005 - partie) G étant un groupe, on définit son centre
Z(G) comme l’ensemble :
Z(G) = {a ∈ G / ∀g ∈ G ag = ga} .
On note Aut G le groupe de tous les automorphismes de G. Pour a ∈ G, on désigne par
fa l’automorphisme intérieur : x 7→ axa−1 . On note Int G l’ensemble des automorphismes
intérieurs de G.
a) Démontrer que Int G est un sous-groupe distingué de Aut G.
b) 1) Démontrer que Z(G) est un sous-groupe abélien distingué de G.
2) Montrer que Z(G) est stable par tout automorphisme de G.
3) Montrer que G/Z(G) est isomorphe à Int G.
c) Soit H un sous-groupe de Z(G).
1) Montrer que H est distingué dans G.
2) Si de plus, G/H est un groupe monogène, montrer que G est abélien. Indication :
considérant a ∈ G tel que ā engendre G/H, on montrera que pour tout g ∈ G il
existe h ∈ H et k ∈ N tel que g = ak h.
La propriété montrée en 3. implique en particulier que, si Aut G est monogène,
alors G est abélien.
d) On suppose que G/Z(G) est un groupe fini. Démontrer que [G : Z(G)] n’est pas un
nombre premier.
Exercice 11. Montrez les résultats suivants.
a) Soient G et G0 deux groupes et ϕ : G → G0 un morphisme de groupes. Alors Imϕ est
un sous-groupe de G0 , ker ϕ est un sous-groupe distingué de G et G/ ker ϕ ' imϕ.
b) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous groupe distingué de G.
Alors HK est un sous groupe de G, K est un sous-groupe distingué de HK, K ∩ H
est un sous-groupe distingué de H et HK/K ' H/(K ∩ H).
c) Soient G un groupe, H et K deux sous groupes distingués de G tels que K est
contenu dans H. Alors K est un sous-groupe distingué de H, H/K est un sousgroupe distingué de G/K et (G/K)/(H/K) ' G/H.
Exercice 12. Illustrez le deuxième théorème d’isomorphisme (HK/K ' H/(K ∩ H))
par les choix suivants : G est le groupe multiplicatif des rationnels non nuls, K = {−1, 1}
et H le sous-groupe de G engendré par 1/2.
2