TD 5 : Sous-groupes distingués Exercice 1. Soit H un sous

Universit´e Paris-Est Cr´eteil, UFR Sciences et Technologie 2016
Licences deuxi` eme-Troisi` eme ann´ ees Structure Alg`ebrique
TD 5 : Sous-groupes distingu´es
Exercice 1. Soit Hun sous-groupe de G. Montrer que xH est un sous-groupe si et
seulement si x∈H.
Exercice 2. Soit Gun groupe non ab´elien d’ordre 8. Montrez que Ga un ´el´ement d’ordre
4.
Exercice 3. D´ecrire tous les groupes `a n´el´ements avec n= 4,5. Sont-ils commutatifs ?
Exercice 4.
a) Montrer que l’ensemble U:= {z∈C:|z|= 1}des nombres complexes de module
un est un sous-groupe distingu´e de (C, .).
b) Soit n∈N∗. Montrer que l’ensemble Un:= {z∈C:zn= 1}des racines n-i`emes
de l’unit´e est un sous-groupe distingu´e de (U, .).
Exercice 5. Soient Gun groupe et H,Kdeux sous-groupes distingu´es de Gtels que
H∩K={e}.
a) Montrer que ∀h∈H,∀k∈K,hk =kh.
b) Montrer que HK est un sous-groupe distingu´e de Get que HK est isomorphe `a
H×K.
c) On suppose que Gest d’ordre 55, et que Gposs`ede deux sous-groupes distingu´es
d’ordres respectifs 5 et 11. Montrer que Gest isomorphe `a Z/55Z.
Exercice 6. Soient Gun groupe, a∈Get τa:G→G,x7→ axa−1un automorphisme
int´erieur de G.
a) V´erifier que l’ensemble Int(G) des automorphismes int´erieurs de Gest un sous-
groupe de Aut(G).
b) Montrer que le centre Z(G) de Gest un sous-groupe distingu´e de Get que G/Z(G)
est isomorphe `a Int(G).
Exercice 7. Soit Gun groupe fini et fun morphisme de G. Montrer que ker(f) =
ker(f2)⇐⇒ im(f) = im(f2).
Exercice 8 (Lemme chinois).
a) Soient p, q ∈Ntels que p∧q= 1. Montrer que Z/pZ×Z/qZ'Z/pqZ.
b) Que peut on dire si p∧q=d > 1 ?
Exercice 9. Soit Gun groupe, Hun sous-groupe distingu´e contenu dans le centre de
G, tel que G/H soit cyclique. Montrer que Gest commutatif.
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Exercice 10. (Examen janvier 2005 - partie) G´etant un groupe, on d´efinit son centre
Z(G) comme l’ensemble :
Z(G) = {a∈G / ∀g∈G ag =ga}.
On note Aut Gle groupe de tous les automorphismes de G. Pour a∈G, on d´esigne par
fal’automorphisme int´erieur : x7→ axa−1. On note Int Gl’ensemble des automorphismes
int´erieurs de G.
a) D´emontrer que Int Gest un sous-groupe distingu´e de Aut G.
b) 1) D´emontrer que Z(G) est un sous-groupe ab´elien distingu´e de G.
2) Montrer que Z(G) est stable par tout automorphisme de G.
3) Montrer que G/Z(G) est isomorphe `a Int G.
c) Soit Hun sous-groupe de Z(G).
1) Montrer que Hest distingu´e dans G.
2) Si de plus, G/H est un groupe monog`ene, montrer que Gest ab´elien. Indication :
consid´erant a∈Gtel que ¯aengendre G/H, on montrera que pour tout g∈Gil
existe h∈Het k∈Ntel que g=akh.
La propri´et´e montr´ee en 3. implique en particulier que, si Aut Gest monog`ene,
alors Gest ab´elien.
d) On suppose que G/Z(G) est un groupe fini. D´emontrer que [G:Z(G)] n’est pas un
nombre premier.
Exercice 11. Montrez les r´esultats suivants.
a) Soient Get G0deux groupes et ϕ:G→G0un morphisme de groupes. Alors Imϕ est
un sous-groupe de G0, ker ϕest un sous-groupe distingu´e de Get G/ ker ϕ'imϕ.
b) Soient Gun groupe, Hun sous-groupe de Get Kun sous groupe distingu´e de G.
Alors HK est un sous groupe de G,Kest un sous-groupe distingu´e de HK,K∩H
est un sous-groupe distingu´e de Het HK/K 'H/(K∩H).
c) Soient Gun groupe, Het Kdeux sous groupes distingu´es de Gtels que Kest
contenu dans H. Alors Kest un sous-groupe distingu´e de H,H/K est un sous-
groupe distingu´e de G/K et (G/K)/(H/K)'G/H.
Exercice 12. Illustrez le deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme (HK/K 'H/(K∩H))
par les choix suivants : Gest le groupe multiplicatif des rationnels non nuls, K={−1,1}
et Hle sous-groupe de Gengendr´e par 1/2.
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