Introduction `a la théorie des nombres Série 6

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 29.03.2010
Série 6
Exercice 1. Soit d un entier relatif sans facteur carré. Soit p un nombre premier de la forme
p = x2 − dy 2 .
1. Montrer que d est un carré modulo p.
2. Si d = 6, montrer que p est congru à 1, −1, 5 ou −5 modulo 24.
Exercice 2. On rappelle qu’un anneau A est euclidien s’il est intègre et s’il est muni d’une
division euclidienne, c’est-à-dire d’une fonction v : A − {0} → N telle que, pour tous a, b ∈
A − {0}, il existe q, r ∈ A avec a = bq + r et (r = 0 ou v(r) < v(b)). L’application v est parfois
appelée stathme euclidien.
1. Soit A un anneau euclidien, on note A∗ le groupe des unités de A. Montrer qu’il existe
x ∈ A, x 6∈ A∗ , tel que la restriction à A∗ ∪ {0} de la projection canonique de A sur
A/(x) soit surjective.
Indication : si A n’est pas un corps, on pourra choisir x parmi les éléments non nuls et
non inversibles de A tel que v(x) soit minimal.
2. Illustrations. Pour chaque anneau euclidien A suivant, déterminer A∗ et trouver x qui
satisfait aux conditions de la question précédent :
A=Z
A = Q[X]
A = Z[i]
√
1 + i 19
3. Application. Soit α =
∈ C. L’objectif de cette question est de montrer que
2
l’ensemble Z[α] est un anneau qui n’est pas euclidien.
(a) Donner le polynôme minimal de α sur Q et montrer que α est entier sur Z.
(b) Montrer que l’ensemble Z[α] = {a + bα, a, b ∈ Z} est un sous-anneau de C. En
particulier, Z[α] est intègre.
(c) Vérifier la relation ᾱ = 1 − α (conjugué de α) et en déduire que Z[α] est stable par
conjugaison.
(d) Si z ∈ Z[α], on pose N (z) = z z̄. Calculer N (z) en fonction de a et b si z = a + bα.
Puis vérifier les relations : N (z) ∈ N, N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ) et N (z) > 0 pour z 6= 0.
(e) Montrer que z est une unité de Z[α] si et seulement si N (z) = 1. En déduire que les
unités de l’anneau Z[α] sont précisément ±1.
(f) En déduire qu’il n’existe pas d’élément x ∈ Z[α] satisfaisant les conditions de la
question 1, c’est-à-dire que l’anneau Z[α] n’est pas euclidien.
Exercice 3.
1. Parmi les nombres complexes suivants, lesquels sont entiers sur Z ?
√
√
√
2
1
−2 + 2 + i 2
√
6− √
1+π
2
5
3
2. Soit α ∈ C un entier sur Z (α 6= 0). On note f son polynôme minimal sur Q. Montrer
que 1/α est un entier sur Z si et seulement si f (0) = ±1. Montrer qu’alors 1/α ∈ Z[α].