Introduction `a la théorie des nombres Série 6

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 29.03.2010
S´erie 6
Exercice 1. Soit dun entier relatif sans facteur carr´e. Soit pun nombre premier de la forme
p=x2−dy2.
1. Montrer que dest un carr´e modulo p.
2. Si d= 6, montrer que pest congru `a 1, −1, 5 ou −5 modulo 24.
Exercice 2. On rappelle qu’un anneau Aest euclidien s’il est int`egre et s’il est muni d’une
division euclidienne, c’est-`a-dire d’une fonction v:A− {0} → Ntelle que, pour tous a, b ∈
A−{0}, il existe q, r ∈Aavec a=bq +ret (r= 0 ou v(r)< v(b)). L’application vest parfois
appel´ee stathme euclidien.
1. Soit Aun anneau euclidien, on note A∗le groupe des unit´es de A. Montrer qu’il existe
x∈A,x6∈ A∗, tel que la restriction `a A∗∪ {0}de la projection canonique de Asur
A/(x) soit surjective.
Indication : si An’est pas un corps, on pourra choisir xparmi les ´el´ements non nuls et
non inversibles de Atel que v(x)soit minimal.
2. Illustrations. Pour chaque anneau euclidien Asuivant, d´eterminer A∗et trouver xqui
satisfait aux conditions de la question pr´ec´edent :
A=ZA=Q[X]A=Z[i]
3. Application. Soit α=1 + i√19
2∈C. L’objectif de cette question est de montrer que
l’ensemble Z[α] est un anneau qui n’est pas euclidien.
(a) Donner le polynˆome minimal de αsur Qet montrer que αest entier sur Z.
(b) Montrer que l’ensemble Z[α] = {a+bα, a, b ∈Z}est un sous-anneau de C. En
particulier, Z[α] est int`egre.

(c) V´erifier la relation ¯α= 1 −α(conjugu´e de α) et en d´eduire que Z[α] est stable par
conjugaison.
(d) Si z∈Z[α], on pose N(z) = z¯z. Calculer N(z) en fonction de aet bsi z=a+bα.
Puis v´erifier les relations : N(z)∈N,N(zz0) = N(z)N(z0) et N(z)>0 pour z6= 0.
(e) Montrer que zest une unit´e de Z[α] si et seulement si N(z) = 1. En d´eduire que les
unit´es de l’anneau Z[α] sont pr´ecis´ement ±1.
(f) En d´eduire qu’il n’existe pas d’´el´ement x∈Z[α] satisfaisant les conditions de la
question 1, c’est-`a-dire que l’anneau Z[α] n’est pas euclidien.
Exercice 3.
1. Parmi les nombres complexes suivants, lesquels sont entiers sur Z?
2
√5√6−1 √31 + π−2 + √2 + i√2
2
2. Soit α∈Cun entier sur Z(α6= 0). On note fson polynˆome minimal sur Q. Montrer
que 1/α est un entier sur Zsi et seulement si f(0) = ±1. Montrer qu’alors 1/α ∈Z[α].