EPFL Section de Mathématiques Introduction à la théorie des nombres Prof. Eva Bayer-Fluckiger Semestre de Printemps, 2009 - 2010 Semaine du 29.03.2010 Série 6 Exercice 1. Soit d un entier relatif sans facteur carré. Soit p un nombre premier de la forme p = x2 − dy 2 . 1. Montrer que d est un carré modulo p. 2. Si d = 6, montrer que p est congru à 1, −1, 5 ou −5 modulo 24. Exercice 2. On rappelle qu’un anneau A est euclidien s’il est intègre et s’il est muni d’une division euclidienne, c’est-à-dire d’une fonction v : A − {0} → N telle que, pour tous a, b ∈ A − {0}, il existe q, r ∈ A avec a = bq + r et (r = 0 ou v(r) < v(b)). L’application v est parfois appelée stathme euclidien. 1. Soit A un anneau euclidien, on note A∗ le groupe des unités de A. Montrer qu’il existe x ∈ A, x 6∈ A∗ , tel que la restriction à A∗ ∪ {0} de la projection canonique de A sur A/(x) soit surjective. Indication : si A n’est pas un corps, on pourra choisir x parmi les éléments non nuls et non inversibles de A tel que v(x) soit minimal. 2. Illustrations. Pour chaque anneau euclidien A suivant, déterminer A∗ et trouver x qui satisfait aux conditions de la question précédent : A=Z A = Q[X] A = Z[i] √ 1 + i 19 3. Application. Soit α = ∈ C. L’objectif de cette question est de montrer que 2 l’ensemble Z[α] est un anneau qui n’est pas euclidien. (a) Donner le polynôme minimal de α sur Q et montrer que α est entier sur Z. (b) Montrer que l’ensemble Z[α] = {a + bα, a, b ∈ Z} est un sous-anneau de C. En particulier, Z[α] est intègre. (c) Vérifier la relation ᾱ = 1 − α (conjugué de α) et en déduire que Z[α] est stable par conjugaison. (d) Si z ∈ Z[α], on pose N (z) = z z̄. Calculer N (z) en fonction de a et b si z = a + bα. Puis vérifier les relations : N (z) ∈ N, N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ) et N (z) > 0 pour z 6= 0. (e) Montrer que z est une unité de Z[α] si et seulement si N (z) = 1. En déduire que les unités de l’anneau Z[α] sont précisément ±1. (f) En déduire qu’il n’existe pas d’élément x ∈ Z[α] satisfaisant les conditions de la question 1, c’est-à-dire que l’anneau Z[α] n’est pas euclidien. Exercice 3. 1. Parmi les nombres complexes suivants, lesquels sont entiers sur Z ? √ √ √ 2 1 −2 + 2 + i 2 √ 6− √ 1+π 2 5 3 2. Soit α ∈ C un entier sur Z (α 6= 0). On note f son polynôme minimal sur Q. Montrer que 1/α est un entier sur Z si et seulement si f (0) = ±1. Montrer qu’alors 1/α ∈ Z[α].