Polycopié de cours - Julian Tugaut

Probabilités et statistiques1
Julian Tugaut2
12 février 2014
1. Ce cours est largement inspiré du cours donné par le professeur Monnez à l’IUT
Nancy-Charlemagne
2. Si vous avez des remarques ou des questions, envoyez-moi un message à tu-
[email protected]

ii

Table des matières
Table des matières iii
Liste des figures vii
Liste des tableaux ix
I Probabilités 1
1 Le langage des ensembles 3
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Inclusion, Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Opération sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Complémentaire d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le modèle probabiliste 13
2.1 Modélisation d’une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 L’espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Définition et propriétés d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Cas particulier d’un espace fondamental dénombrable . . . 22
2.3 Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Indépendance d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Le modèle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
2.4.3 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.4 Application au sondage au hasard . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Les variables aléatoires réelles 35
3.1 Définition et Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Opérations sur les variables aléatoires réelles . . . . . . . . 37
3.2 Loi d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Cas d’une variable aléatoire réelle discrète . . . . . . . . . 43
3.2.4 Variable aléatoire réelle absolument continue . . . . . . . . 46
3.3 Indépendance des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Caractéristiques d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 Espérance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . 53
3.4.2 Variance, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Lois de probabilités usuelles 69
4.1 Lois de probabilités discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Lois de probabilités absolument continues . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Loi normale (ou gaussienne) . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
II Statistique descriptive 95
Éléments de vocabulaire statistique 97
Types d’enquêtes statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Types de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
L’inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Méthode de sondages probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Méthode de sondages non probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Étude d’une série statistique simple 99
5.1 Présentation d’une série statistique simple . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.1 Série à valeurs isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2 Série à valeurs classées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

TABLE DES MATIÈRES v
5.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Caractéristiques de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.1 Variance, Écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.2 L’interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Étude d’une série statistique double 111
6.1 Définition et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Définition d’une série statistique double . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Tableau de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.3 Indépendance de deux caractères . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.4 Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Régression et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.1 Objectif de la régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.2 Objectif de la corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.3 Description empirique de la dépendance . . . . . . . . . . 116
6.2.4 Régression linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.5 Corrélation linéaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118