Alg`ebre - IMJ-PRG

L3 Math´ematiques et Math´ematiques/Enseignement Universit´e Paris Diderot
2015/2016
Alg`ebre
Partiel du 18 novembre 2015
Dur´ee: 3 heures
Une feuille A4 recto-verso autoris´ee. Tout autre document et calculatrice interdits. Les
exercices sont ind´ependants.
Exercice 1. On consid`ere les sous-groupes suivants de (GL2(R),×):
H=a b
0c, a, b, c ∈R, ac 6= 0, T =1u 0 1, u ∈R.
1. Montrer que Hn’est pas ab´elien.
2. Montrer que l’application
R→T
u7→ 1u
0 1
est un isomorphisme de groupes.
3. Montrer que Test distingu´e dans Hmais n’est pas distingu´e dans GL2(R).
4. Montrer que le quotient H/T est un groupe ab´elien.
Exercice 2. On se fixe pun nombre entier premier, nun nombre entier non nul et Aun
ensemble `a n´el´ements. L’ensemble Apest l’ensemble des p-uplets de A; un ´el´ement de cet
ensemble sera not´e (a1,...,,ap).
On consid`ere l’application
ϕ: Σp×Ap→Ap
(σ, (a1, . . . , ap)) 7→ (aσ−1(1), . . . , aσ−1(p)).
1. Montrer que ϕd´efinit une action `a gauche du groupe des permutations Σpsur l’ensemble
Ap.
2. On restreint l’action ϕau sous-groupe Kde Σpengendr´e par le cycle (12 . . . p).
(a) Quel est l’ordre de K?
(b) Montrer que l’ensemble des points fixes pour l’action de Ksur Apest le sous-ensemble
de Apconstitu´e des ´el´ements de la forme (a, . . . , a
| {z }
pfois
) pour a∈A.
(c) En vous aidant de la formule des classes, d´eduire de la question pr´ec´edente que np
est congru `a nmodulo p.
T.S.V.P
1

Exercice 3. Pour α∈C∗et β∈Con consid`ere l’application fα,β :C→Cd´efinie par
f(α,β)(z) = αz +β.
1. Montrer que l’application fα,β :C→Cest une bijection.
2. Montrer que F={fα,β |(α, β)∈C∗×C}est un sous-groupe du groupe des bijections de
C.
3. Montrer que la compos´ee fα,β ◦. . . ◦fα,β
| {z }
nfois
vaut fαn,(Pn−1
i=0 αi)β.
4. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (α, β) pour que fα,β soit
d’ordre fini.
Exercice 4. Dans tout l’exercice on se fixe pun nombre premier.
On rappelle qu’un p-groupe Gest un groupe d’ordre une puissance de p. On rappelle que
le centre de Gest not´e Z(G)et est d´efini par Z(G) = {x∈G, ∀g∈G, xg =gx}. Enfin, on
utilisera les r´esultats suivants que l’on ne demande pas de re-d´emontrer:
P1. Si G/Z(G)est cyclique alors Gest ab´elien.
P2. Si Gest un p-groupe alors pdivise l’ordre de Z(G), en particulier Z(G)n’est pas r´eduit
`a l’´el´ement neutre.
P3. Tout groupe d’ordre pest cyclique.
1. Soit Gun groupe d’ordre p2. En vous aidant des r´esultats P1, P2 et P3 montrer que
|Z(G)|∈{p, p2}et montrer que Gest ab´elien.
2. Dans cette question on suppose que Gest un groupe d’ordre p3, non ab´elien.
(a) Donner un exemple d’un groupe non ab´elien d’ordre 8.
(b) Montrer que Z(G) est d’ordre p.
(c) D´eduire de la question 1. que G/Z(G) est ab´elien.
(d) Le sous-groupe d´eriv´e de G, not´e D(G), est le sous-groupe de Gengendr´e par les
commutateurs, c’est-`a-dire le sous-groupe de Gengendr´e par les ´el´ements de la forme
xyx−1y−1. Montrer que si Hest un sous-groupe distingu´e de Gtel que G/H est
ab´elien alors D(G)⊂H.
(e) Montrer que D(G)⊂Z(G), puis que D(G) = Z(G).
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