TD5 (2016-2017)

Universit´e de ROUEN D´epartement de Math´ematiques
L1 M.I.E.E.A.-P.M.S.I.
Alg`ebre 1
Fiche de Travaux Dirig´es NoV 2016-2017
Groupes
Exercice 1. Soient (E, T ) et (E0, T 0) deux ensembles munis d’une loi de composition interne et soit f:E−→ E0
un morphisme surjectif de (E, T ) dans (E0, T 0).
1. Montrer les implications suivantes:
Tassociative ⇒T0associative ; Tadmet un ´el´ement neutre ⇒T0admet un ´el´ement neutre ;
Tout ´el´ement de Eadmet un sym´etrique pour T⇒Tout ´el´ement de E0admet un sym´etrique pour T0;
Tcommutative ⇒T0commutative.
2. Montrer que si (E, T ) est un groupe, alors (E0, T 0) aussi. Montrer que si de plus (E, T ) est ab´elien, alors (E0, T 0)
aussi.
Exercice 2. Montrer que la relation 'd´efinie par : G'H⇔Gest isomorphe `a H, est une relation d’´equivalence
sur tout ensemble de groupes.
Exercice 3. Sous-groupes de Z.On rappelle que (Z,+) est un groupe ab´elien. On s’int´eresse dans cet exercice `a
la forme de ses sous-groupes.
1. Soit k∈Z, on note kZ={kn;n∈Z}. Montrer que kZest un sous-groupe de Z.
2. Soit Gun sous-groupe de Z.
(a) Montrer que si `∈G, alors `Z⊂G.
(b) Soit k= min{`∈N∗, ` ∈G}. Montrer que G=kZ.
3. Conclure sur les sous-groupes de Z, et montrer que tous les sous-groupes de Zsont isomorphes, en dehors du
sous-groupe {0}.
Exercice 4. Soit n∈N∗. On rappelle que (Z,+) est un groupe ab´elien et que nZest un sous-groupe de Z.
1. Montrer que xRy⇔x−y∈nZd´efinit une relation d’´equivalence sur Z, et qu’elle est ´egale `a la relation de
congruence modulo n. On note Z/nZl’ensemble quotient Z/R. Pour tout k∈Z, on note ksa classe.
2. D´efinir une lci sur Z/nZ, not´ee aussi +, telle que (Z/nZ,+) soit un groupe (ou telle que k7→ ksoit un
morphisme).
3. V´erifier que (Z/nZ,+) est ab´elien.
Exercice 5. Morphismes de (Z,+).
1. Montrer que si fest un homomorphisme de (Z,+), alors f(Z) = f(1) Z.
2. D´eterminer la forme des homomorphismes du groupe (Z,+). Quels sont ceux qui sont injectifs ? Surjectifs ?
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Exercice 6.
1. Montrer que (R,+) et (R+∗,×) sont isomorphes.
2. Montrer que x2= 2 n’a pas de solution dans Q.
3. En d´eduire que (Q,+) et (Q+∗,×) ne sont pas isomorphes.
Exercice 7. Sur l’ensemble R\ {1}, on consid`ere la loi: x∗y=x+y−xy, ∀(x, y)∈(R\{1})2.Montrer que ∗est
une loi de composition interne. (R\ {1},∗) est-il un groupe ?
Exercice 8. Soit Xun ensemble. On munit l’ensemble P(X) des parties de Xde la diff´erence sym´etrique ∆ d´efinie
par A∆B= (A\B)∪(B\A). Montrer que (P(X),∆) est un groupe ab´elien.
Exercice 9. Soit (G, ∗) et (H, ·) deux groupes et f:G→Hun morphisme.
1. Montrer que Ker fest un sous-groupe de Get f(G) un sous-groupe de H.
2. Montrer que fest injective si et seulement si Ker f={e}o`u eest l’´el´ement neutre de G.
3. Montrer que pour tout x, y ∈G,f(x) = f(y)⇔x∗y−1∈Ker f.
4. Montrer que la relation d´efinie par xRy⇔f(x) = f(y) est une relation d’´equivalence sur G. Pour tout x∈G,
on notera xla classe de x.
5. Montrer que f:G/R → H
x7→ f(x)est une application bien d´efinie. Que vaut f−1({e0}) o`u e0est l’´el´ement
neutre de H?
Exercice 10. Pour r≥0, on note Url’ensemble des nombres complexes de module r.
1. V´erifier que U1est un sous-groupe de (C∗,·).
2. Etant donn´e r > 0, Urest-il un groupe ?
3. V´erifier que f:R→U1
t7→ e2iπt est un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ?
Exercice 11. Soit n∈N∗.
1. Montrer que l’ensemble Rndes racines n-i`emes de l’unit´e dans Cforment un sous-groupe de (U1,·). Quel est
son ordre ?
2. V´erifier que f:Z→Rn
k7→ e2iπk
nest un morphisme de groupes surjectif. Quel est son noyau ?
Exercice 12. Soit Gun groupe et soient G1et G2deux sous-groupes de G.
1. Montrer que G1∩G2est un sous-groupe de G.
2. Montrer que G1∪G2est un sous-groupe de Gsi et seulement si G1⊂G2ou G2⊂G1.
Exercice 13. Soit (G, ·) un groupe et a∈G.
1. Montrer que l’application f:G→Gd´efinie par f(x) = axa−1est un automorphisme de G.
2. D´eterminer f−1.
Exercice 14. Soit Gun groupe et eson ´el´ement neutre.
1. Montrer que si pour tout x∈G,x2=e, alors Gest ab´elien.
2. Plus g´en´eralement, montrer que l’application x7→ x−1est un morphisme de Gsi et seulement si Gest ab´elien.
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