Trigonométrie

Trigonométrie
1 Une nouvelle unité de mesure des angles
On considère un cercle de centre Oet de rayon r.
r
θ
O
B
A
Exercice 1.
1. Quelle est la circonférence de ce cercle ? L’aire
du disque associé ?
2. Exprimer, en fonction de la mesure θen de-
grés, la longueur de l’arc ¯ AB représenté en
gras ainsi que l’aire du secteur circulaire as-
socié.
Définition [Le radian] : Sur le cercle de centre Oet de rayon rci-dessous, on dit que l’angle
÷
AOB mesure 1radian (symbole : rad) lorsque la longueur de l’arc ¯ AB représenté en gras vaut r
unités de longueur.
Pour convertir les degrés en radians et réciproquement, on doit se souvenir que : πrad = 180°
Propriétés : Sur un cercle de centre Cet de rayon R, la longueur d’un arc de cercle délimité par
un angle au centre de θrad vaut Rθ.
L’aire d’un secteur circulaire délimité par le même angle au centre vaut R2θ
2.
Exercice 2. Donner les mesures en radians des angles dont les mesures en degrés sont : 0, 30, 45,
60, 90, 180, 360, 270, 135, 120.
2 Rappel - Trigonométrie dans le triangle rectangle
2.1 Rappels sur le triangle rectangle
θ°
M
P
N
Le triangle MNP ci-contre est rectangle en .......
La mesure de l’angle ◊ MN P étant notée ...... en
degré, la mesure de l’angle ◊ MP N est .......
Le côté [NP ]est . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle
MN P .
Concernant l’angle ◊ MN P ,
– Le côté [M N ]est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle ;
– Le côté [MP ]est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle.
Exercice 3. Supposons que l’unité d’angle, dans le dessin ci-dessus, soit le radian. Exprimer alors
la mesure de l’angle en M, puis la mesure de l’angle ◊ MP N en fonction de θ.
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2.2 Rapports trigonométriques
Théorème : Dans le triangle MNP rectangle en M, la valeur des rapports M N
NP ,P M P N et P M MP de
dépendent pas des dimensions du triangle, mais seulement de la mesure θde l’angle ◊ MN P .
Définition :
•Le rapport MN
NP est appelé cosinus de θet se note cos θ.
•Le rapport P M
P N est appelé sinus de θet se note sin θ.
•Le rapport P M
MP est appelé tangente de θet se note tan θ.
Exercice 4.
1. Dans un triangle ABC rectangle en B, la longueur AC vaut 4 et l’angle ÷ BAC mesure 1.2rad.
Déterminer, à 0,01 près, la longueur BC et la longueur AB.
2. Dans un triangle IJ K rectangle en K,IK = 4 et KJ = 7. Déterminer, à 0,01 près, la mesure
en radians de l’angle ’ IKJ.
2.3 Valeurs remarquables
xen degrés 30° 45° 60°
Correspondance en rad
sin x
cos x
tan x
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3 Cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère ortho-
normé.
On considère :
–C, le cercle de centre Oet de rayon 1,
–∆, tangente à Cau point I(1; 0) : son
équation est ..........
(Sur cette droite, les points ont tous
pour abscisse ...... et on les repère
par leur ordonnée.)
– le point J(0; 1).
I
J
O
∆
•
jÅπ
2ã
•
m(t)
•
M
t
J′
•
I′
Exercice 5.
1. Que vaut la circonférence du cercle C?
2. Que vaut la longueur du quart de cercle ˆ IJ ?
On choisit “d’enrouler” la droite ∆sur le Cde sorte que le point jd’ordonnée +π
2vienne coïncider
avec le point J: par ce procédé, on associe le réel +π
2au point Jdu cercle C.
Plus généralement, à tout réel t(positif ou négatif) représenté par le point msur ∆, on peut associer,
par enroulement, un unique point Mde C.
Exercice 6. Sur la figure ci-dessus, quel est le point de associé au réel −π
2, au réel π, au réel −π
et au réel 2π?
Ainsi, il existe sur le cercle Cdeux sens de “parcours” :
– le sens contraire des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique (ou direct), qui permet
de joindre les points Iet Jpar le “plus court chemin” ;
– le sens des aiguilles d’une montre, appelé sens rétrograde (ou indirect), qui permet de joindre les
points Iet Jpar le plus long chemin.
Définition : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on appelle cercle trigo-
nométrique le cercle Cde centre Oet de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique.
Exercice 7. Placer sur le cercle trigonométrique les points A,B,C,D,Eet Fassociés respecti-
vement aux réels :
1. π
32. π3. 5π 44. 3π
5. −8π6.11π
67. −5π 48. −11π 3
Remarque – Lorsque −π6t6π, la valeur absolue de t,|t|, est la mesure en radians de l’angle
÷
IOM.
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Exercice 8. Soit deux réels set t. Les points Aet Bqui leur sont associés sur le cercle trigono-
métrique sont confondus.Que peut-on dire de la différence s−t?
Propriété : Pour tout réel tet tout entier relatif k, les points Met M′représentant respecti-
vement tet t+k×2πsur le cercle trigonométrique sont confondus.
Réciproquement, si les points Met M′respectivement associés aux réels set tsont confondus, alors
il existe un entier relatif ktel que s=t+k×2π.
Exercice 9. Sur le cercle trigonométrique, placer les points Met Nassociés aux réels π
3et 3π 4.
Quelle est la longueur de l’arc de cercle ˘ MN ? Quelle est la mesure en degré de l’angle ◊ MON ?
4 Sinus et cosinus d’un nombre réel
4.1 Cadre de travail
Le plan est rapporté à un repère ortho-
normé.
On considère le cercle trigonométrique C.
tdésignant un nombre réel, le point M
est le point associé à tsur C.
I
J
O
•
M
t
•
•
cos t
sin t
4.2 Définitions
Définitions : Soit tun réel et Mle point du cercle trigonométrique associé à t.
L’abscisse de Mest appelé cosinus du réel t, notée cos t.
L’ordonnée de Mest appelée sinus du réel t, notée sin t.
Exercice 10. Remplir, par lecture du cercle trigonométrique, le tableau suivant :
t0π
2π−π 2
cos t
sin t
Exercice 11. En se souvenant que πrad = 180°, calculer le cosinus de 180°, −90°, 270°.
A l’aide de la calculatrice, donner la valeur de sin 1789◦,cos(−1492◦).
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Exercice 12. Considérons un réel 0< t < π
2et le point Mde Cassocié à tsur le cercle
trigonométrique. Soit Hle projeté orthogonal de Msur l’axe des abscisses.
1. Quelle est la nature du triangle MOH ?
2. Que vaut la distance OM ? Combien mesure, en radians, l’angle géométrique ◊ HOM ?
3. Exprimer en fonction de t, les distances OH et HM.
Ainsi, dans les définitions du cosinus et du sinus données ci-dessus sont cohérentes avec celles données
dans le cadre d’un triangle rectangle : on ne fait ici que généraliser la notion de sinus et de cosinus
à tous les nombres réels.
5 Fonctions sinus et cosinus
On définit sur Rles fonctions sinus et cosinus. Ce sont les fonctions :
cos : x7→ cos x
sin : x7→ sin x
Exercice 13. Représenter les courbes de ces fonctions sur la calculatrice. (La calculatrice doit
être en mode “radians”.)
Ces courbes portent le nom de sinusoïde.
À partir de ces représentations graphiques :
1. Compléter : “Pour tout réel x,...... 6cos x6...... et ...... 6sin x6.......”
2. Compléter : “Pour tout réel x,cos(−x) = ......... et sin(−x) = . . . . . . . . ..”
3. Dresser le tableau de variations des fonctions sin et cos sur l’intervalle [−π;π].
4. Résoudre dans l’intervalle [−π;π]l’équation cos x= 0.
5. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π]l’équation sin x= 0.
6. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π]l’inéquation cos x > 0.
5.1 Périodicité
Propriété : Quel que soit le réel t, quel que soit l’entier relatif k, on a :
•cos(t+ 2kπ) = cos t
•sin(t+ 2kπ) = sin t
Interprétation graphique : Connaissant le motif de la courbe des fonctions sin et cos sur un in-
tervalle de longueur 2π, on peut obtenir la courbe de ces fonctions en entier en faisant subir au motif
initial des .........................................................................................
de vecteurs ........................................................................................
Exercice 14. Quelle est la période des fonctions f:x7→ sin(3x)et g:x7→ cos x
2?
5.2 Relation fondamentale de la trigonométrie
Théorème : Quel que soit le réel t,cos2t+ sin2t= 1.
Exercice 15. Existe-t-il un réel atel que cos a= 0.2et sin a= 0.8?
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