Trigonométrie

Trigonométrie
1
Une nouvelle unité de mesure des angles
On considère un cercle de centre O et de rayon r.
B
b
Exercice 1.
b
θ
A
1. Quelle est la circonférence de ce cercle ? L’aire
du disque associé ?
r
2. Exprimer, en fonction de la mesure θ en de¯ représenté en
grés, la longueur de l’arc AB
gras ainsi que l’aire du secteur circulaire associé.
b
O
Définition [Le radian] : Sur le cercle de centre O et de rayon r ci-dessous, on dit que l’angle
÷ mesure 1 radian (symbole : rad) lorsque la longueur de l’arc AB
¯ représenté en gras vaut r
AOB
unités de longueur.
Pour convertir les degrés en radians et réciproquement, on doit se souvenir que : π rad = 180°
Propriétés : Sur un cercle de centre C et de rayon R, la longueur d’un arc de cercle délimité par
un angle au centre de θ rad vaut Rθ.
R2 θ
.
L’aire d’un secteur circulaire délimité par le même angle au centre vaut
2
Exercice 2. Donner les mesures en radians des angles dont les mesures en degrés sont : 0, 30, 45,
60, 90, 180, 360, 270, 135, 120.
2
Rappel - Trigonométrie dans le triangle rectangle
2.1
Rappels sur le triangle rectangle
M
P
θ°
N
Le triangle M N P ci-contre est rectangle en . . . . . ..
◊
La mesure de l’angle M
N P étant notée . . . . . . en
◊
degré, la mesure de l’angle M
P N est . . . . . ..
Le côté [N P ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle
MNP.
◊
Concernant l’angle M
NP,
– Le côté [M N ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle ;
– Le côté [M P ] est . . . . . . . . . . . . . . . . . . à cet angle.
Exercice 3. Supposons que l’unité d’angle, dans le dessin ci-dessus, soit le radian. Exprimer alors
◊
la mesure de l’angle en M , puis la mesure de l’angle M
P N en fonction de θ.
Seconde
Trigonométrie
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2.2
Rapports trigonométriques
PM
MN PM
,
et
de
NP PN
MP
◊
dépendent pas des dimensions du triangle, mais seulement de la mesure θ de l’angle M
NP.
Théorème : Dans le triangle M N P rectangle en M , la valeur des rapports
Définition :
MN
est appelé cosinus de θ et se note cos θ.
NP
PM
• Le rapport
est appelé sinus de θ et se note sin θ.
PN
PM
est appelé tangente de θ et se note tan θ.
• Le rapport
MP
• Le rapport
Exercice 4.
÷ mesure 1.2 rad.
1. Dans un triangle ABC rectangle en B, la longueur AC vaut 4 et l’angle BAC
Déterminer, à 0,01 près, la longueur BC et la longueur AB.
2. Dans un triangle IJK rectangle en K, IK = 4 et KJ = 7. Déterminer, à 0,01 près, la mesure
’
en radians de l’angle IKJ.
2.3
Valeurs remarquables
x en degrés
30°
45°
60°
Correspondance en rad
sin x
cos x
tan x
Seconde
Trigonométrie
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3
Cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère :
– C, le cercle de centre O et de rayon 1,
– ∆, tangente à C au point I(1; 0) : son
équation est . . . . . . . . ..
(Sur cette droite, les points ont tous
pour abscisse . . . . . . et on les repère
par leur ordonnée.)
– le point J(0; 1).
•
•
J
j
Å ã
π
2
m(t)
M
•
t
I′
•
O
J′
I
∆
Exercice 5.
1. Que vaut la circonférence du cercle C ?
ˆ?
2. Que vaut la longueur du quart de cercle IJ
π
On choisit “d’enrouler” la droite ∆ sur le C de sorte que le point j d’ordonnée + vienne coïncider
2
π
avec le point J : par ce procédé, on associe le réel + au point J du cercle C.
2
Plus généralement, à tout réel t (positif ou négatif) représenté par le point m sur ∆, on peut associer,
par enroulement, un unique point M de C.
Exercice 6.
et au réel 2π ?
π
Sur la figure ci-dessus, quel est le point de associé au réel − , au réel π, au réel −π
2
Ainsi, il existe sur le cercle C deux sens de “parcours” :
– le sens contraire des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique (ou direct), qui permet
de joindre les points I et J par le “plus court chemin” ;
– le sens des aiguilles d’une montre, appelé sens rétrograde (ou indirect), qui permet de joindre les
points I et J par le plus long chemin.
Définition : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O, on appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique.
Exercice 7. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C, D, E et F associés respectivement aux réels :
5π
π
2. π
3.
4. 3π
1.
3
4
11π
5π
11π
5. −8π
6.
7. −
8. −
6
4
3
Remarque – Lorsque −π 6 t 6 π, la valeur absolue de t, |t|, est la mesure en radians de l’angle
÷.
IOM
Seconde
Trigonométrie
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Exercice 8. Soit deux réels s et t. Les points A et B qui leur sont associés sur le cercle trigonométrique sont confondus.Que peut-on dire de la différence s − t ?
Propriété : Pour tout réel t et tout entier relatif k, les points M et M ′ représentant respectivement t et t + k × 2π sur le cercle trigonométrique sont confondus.
Réciproquement, si les points M et M ′ respectivement associés aux réels s et t sont confondus, alors
il existe un entier relatif k tel que s = t + k × 2π.
3π
π
et
.
3
4
˘
◊
Quelle est la longueur de l’arc de cercle M
N ? Quelle est la mesure en degré de l’angle M
ON ?
Exercice 9.
4
4.1
Sur le cercle trigonométrique, placer les points M et N associés aux réels
Sinus et cosinus d’un nombre réel
Cadre de travail
J
sin t
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère le cercle trigonométrique C.
t désignant un nombre réel, le point M
est le point associé à t sur C.
•
t
•
O
4.2
M
•
cos t
I
Définitions
Définitions : Soit t un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à t.
L’abscisse de M est appelé cosinus du réel t, notée cos t.
L’ordonnée de M est appelée sinus du réel t, notée sin t.
Exercice 10.
Remplir, par lecture du cercle trigonométrique, le tableau suivant :
t
0
π
2
π
− π2
cos t
sin t
Exercice 11. En se souvenant que π rad = 180°, calculer le cosinus de 180°, −90°, 270°.
A l’aide de la calculatrice, donner la valeur de sin 1789◦ , cos(−1492◦ ).
Seconde
Trigonométrie
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π
Exercice 12.
Considérons un réel 0 < t <
et le point M de C associé à t sur le cercle
2
trigonométrique. Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses.
1. Quelle est la nature du triangle M OH ?
◊?
2. Que vaut la distance OM ? Combien mesure, en radians, l’angle géométrique HOM
3. Exprimer en fonction de t, les distances OH et HM .
Ainsi, dans les définitions du cosinus et du sinus données ci-dessus sont cohérentes avec celles données
dans le cadre d’un triangle rectangle : on ne fait ici que généraliser la notion de sinus et de cosinus
à tous les nombres réels.
5
Fonctions sinus et cosinus
On définit sur R les fonctions sinus et cosinus. Ce sont les fonctions :
cos : x 7→ cos x
sin : x 7→ sin x
Exercice 13. Représenter les courbes de ces fonctions sur la calculatrice. (La calculatrice doit
être en mode “radians”.)
Ces courbes portent le nom de sinusoïde.
À partir de ces représentations graphiques :
1. Compléter : “Pour tout réel x, . . . . . . 6 cos x 6 . . . . . . et . . . . . . 6 sin x 6 . . . . . ..”
2. Compléter : “Pour tout réel x, cos(−x) = . . . . . . . . . et sin(−x) = . . . . . . . . ..”
3. Dresser le tableau de variations des fonctions sin et cos sur l’intervalle [−π; π].
4. Résoudre dans l’intervalle [−π; π] l’équation cos x = 0.
5. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π] l’équation sin x = 0.
6. Résoudre dans l’intervalle [0; 2π] l’inéquation cos x > 0.
5.1
Périodicité
Propriété : Quel que soit le réel t, quel que soit l’entier relatif k, on a :
• cos(t + 2kπ) = cos t
• sin(t + 2kπ) = sin t
Interprétation graphique : Connaissant le motif de la courbe des fonctions sin et cos sur un intervalle de longueur 2π, on peut obtenir la courbe de ces fonctions en entier en faisant subir au motif
initial des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 14.
5.2
Quelle est la période des fonctions f : x 7→ sin(3x) et g : x 7→ cos
x
?
2
Relation fondamentale de la trigonométrie
Théorème : Quel que soit le réel t, cos2 t + sin2 t = 1.
Exercice 15.
Seconde
Existe-t-il un réel a tel que cos a = 0.2 et sin a = 0.8 ?
Trigonométrie
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5.3
Valeurs remarquables du cosinus et du sinus d’un réel
0
t
π
6
π
4
π
3
π
2
cos t
sin t
Exercice 16.
Å
ã
3π
π
5π
5π
2π
Déterminer les valeurs exactes de cos , sin − , sin , cos
, sin .
4
3
3
6
6
Exercice 17. La figure ci-dessous montre une partie des courbes d’équations y = sin x et y = cos x.
1
b
C
b
F
B
b
b
−2
−1
1
2
A
b
3
4
5
−1
b
D
6
b
7
E
8
9
G
1. Associer à chaque courbe son équation.
2. Écrire les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G en utilisant si besoin le réel π.
3. Par quelle transformation passe-t-on de la courbe de la fonction sinus à celle de la fonction
cosinus ?
La figure ci-dessous
√ montre la courbe de la fonction x 7→ sin x pour −π 6 x 6 3π.
2
.
On a tracé la droite d’équation y =
2
Exercice 18.
y=
√
1
2
2
b
C
B
F
b
b
b
A
−3
b
−2
−1
1
2
3
D
4
5
6
7
8
9
y = sin x
E
−1
b
1. Combien le réel 0 admet-il d’antécédents x par la fonction sin, tels que −π 6 x 6 3π ?
2. Écrire pour quelles valeurs de x comprises entre −π et 3π, on a sin x > 0.
3. En utilisant si besoin les réels π et
Seconde
√
2
2 ,
écrire les coordonnées des points A, B, C, D, E et F .
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