Dérivée de fonctions algébriques et de fonctions implicites

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Dérivée de fonctions algébriques et de fonctions implicites
Dans ce chapitre, nous allons utiliser la définition de fonction dérivée
pour en déduire des règles de dérivation qui abrègeront les calculs et les
rendront moins laborieux.
Dérivées des fonctions constantes, identité et de la forme r
x
Théorème 4.1 : Dérivée d’une fonction constante
Si ()
f
xk=, où k∈R, alors '( ) 0fx
=
Exemple : Soit () 4fx=− . Calculons '( )
f
x
'( ) 0fx=
Graphique de ()
f
x : pente nulle
Théorème 4.2 : Dérivée de la fonction identité
Si ()
f
xx= alors '( ) 1fx
=
Remarque : Lorsque nous utilisons la notation dy
dx ou ()
dy
dx , ça signifie
que nous dérivons la fonction ypar rapport à
x
.

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Exemple : Calculer
a) () 1
dx
dx
=
b) () 1
dt
dt =
c) (8) 0
d
dx =
Théorème 4.3 : Dérivée de n
x
, où n
∈
N
Si () n
f
xx=, où n∈N alors 1 '( ) n
f
xnx
−
=
Nous pouvons également écrire 1
()
nn
d
x
nx
dx
−
= ou 1
()'
nn
x
nx − =
Exemple : Calculer dy
dt si
a) 5
yt=: 5514
() 5 5
dy d tt t
dt dt
−
===
b) 20
yt= : 20 19
()20
dy d tt
dt dt
==
Théorème 4.4 : Dérivée de r
x
, où r
∈
R
Si () r
f
xx=, où r∈R alors 1 '( ) r
f
xrx
−
= pour les valeurs de x telles que
()
f
x et '( )
f
x sont définies.

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Exemple : Calculer '
y
si :
a) 6
1
y
x
= : 67
67
16
'()'( )' 6yxx
x
x
−−
= = =− =−
b) 3
yx= : 11 2
1
333 3
32
11 1
'( )'()'333
yxx x x
x
−−
=====
c) 85
1
y
x
= : 5513
1
888
5
8 8
513
8
11 5 5 5
' ( )' ( )' ( )' 88
8
yxxx
x
x
x
−−−−
====−=−=−
Dérivées de produits, de sommes et de quotients de fonctions
Théorème 4.5 : Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Soit k, une constante, et
f
, une fonction dérivable.
Si () ()
H
xkfx=alors '( ) '( )
H
xkfx
=
Exemple : Soit 6
() 7
f
xx= et 9
9
()gx
x
=. Calculons df
dx et dg dx
65
(7 ) 7(6)
df d
x
x
dx dx
==
1110
1
999
9910
911
() (9)9()
9
dg d d xxx
dx dx dx
x
x
−−−−
= = = − =− =−

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Théorème 4.6 : Dérivée d’une somme ou d’une différence de fonctions
Soit 123
( ), ( ), ( ),...,fx fx fx et ()
n
f
x, n fonctions dérivables.
Si 123
() () () () ... ()
n
H
xfxfxfx fx=±±±±
alors 123
'( ) '( ) '( ) '( ) ... '( )
n
H
xfxfxfx fx=±±±±
Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes
a) 4
8
() 4 3
x
fx x
−
=+
44
88
11
1
44
881
3
4
9
'( ) [4 ]' [4 ]' [ ]'
33
1
[4 ]' [ ]' 4( 8)
343
32 12
x
x
fx x x
x
x
xx
x
x
−−
−
−−−
−
−
=+= +
=+=−+
=− +
b) 432
() 3 5 8 9gt t t t t=−+−+
432
432
32
'( ) [3 5 8 9]'
[3 ]' [5 ]' [8 ]' [ ]' [9]'
12 15 16 1 0
gt t t t t
tttt
ttt
=−+−+
=−+−+
=−+−+

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c) 3
( 1)(2 3)yx x=− +
343
43
43
32
( 1)(2 3) 2 3 2 3
[2 3 2 3]
[2 ] [3 ] [2 ] [3]
892
yx x x x x
dy d xxx
dx dx
dddd
xxx
dx dx dx dx
xx
=− += +−−
=+−−
=+−−
=+−
Remarque :
33
32 2
(1)(23) (1)(23)
892(3)(2)
ddd
xx x x
dx dx dx
xx x
−+≠ − +
+−≠
Théorème 4.7 : Dérivée d’un produit de 2 fonctions
Soit
f
et gdeux fonctions dérivables.
Si () () ()
H
xfxgx=,
alors '() '()() () '()
H
xfxgxfxgx=+
Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes
a) 3
( 1)(2 3)yx x=− +
33
23
323
32
(2 3) ( 1) ( 1) (2 3)
(2 3)(3 ) ( 1)(2)
6922
892
dy d d
xxx x
dx dx dx
xxx
xxx
xx
=+ −+− +
=+ +−
=++−
=+−