Dérivée de fonctions algébriques et de fonctions implicites

Dérivée de fonctions algébriques et de fonctions implicites
Dans ce chapitre, nous allons utiliser la définition de fonction dérivée
pour en déduire des règles de dérivation qui abrègeront les calculs et les
rendront moins laborieux.
Dérivées des fonctions constantes, identité et de la forme x
r
Théorème 4.1 : Dérivée d’une fonction constante
Si f ( x) = k , où k ∈ R , alors f '( x ) = 0
Exemple : Soit f ( x) = −4 . Calculons f '( x)
f '( x) = 0
Graphique de f ( x) : pente nulle
Théorème 4.2 : Dérivée de la fonction identité
Si f ( x) = x alors f '( x) = 1
Remarque : Lorsque nous utilisons la notation
d
dy
( y ) , ça signifie
ou
dx
dx
que nous dérivons la fonction y par rapport à x .
1
Exemple : Calculer
a)
d
( x) = 1
dx
b)
d
(t ) = 1
dt
c)
d
(8) = 0
dx
Théorème 4.3 : Dérivée de x n , où n ∈ N
Si f ( x) = x n , où n ∈ N alors f '( x) = nx n −1
Nous pouvons également écrire
Exemple : Calculer
a) y = t 5 :
d n
( x ) = nx n −1 ou ( x n ) ' = nx n −1
dx
dy
si
dt
dy d 5
= (t ) = 5t 5−1 = 5t 4
dt dt
b) y = t 20 :
dy d 20
= (t ) = 20t19
dt dt
Théorème 4.4 : Dérivée de x r , où r ∈ R
Si f ( x) = x r , où r ∈ R alors f '( x ) = rx r −1 pour les valeurs de x telles que
f ( x ) et f '( x ) sont définies.
2
Exemple : Calculer y ' si :
a) y =
1
1
6
y ' = ( 6 ) ' = ( x −6 ) ' = − 6 x − 7 = − 7
6 :
x
x
x
1 13 −1 1 − 32
1
b) y = x : y ' = ( x ) ' = ( x ) ' = x = x = 3 2
3
3
3 x
c) y =
1
8
1
3
3
3
x5
: y'= (8
1
x5
)' = (
5
−
5 − 85 −1
5 −138
5
8
=
=
−
=
−
)
'
(
x
)
'
x
x =−
5
8
8
8 8 x13
x8
1
Dérivées de produits, de sommes et de quotients de fonctions
Théorème 4.5 : Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Soit k , une constante, et f , une fonction dérivable.
Si H ( x) = k f ( x) alors H '( x) = k f '( x)
Exemple : Soit f ( x) = 7 x 6 et g ( x) =
df
dg
9
.
Calculons
et
9
dx
dx
x
df
d
= (7 x 6 ) = 7(6) x 5
dx dx
1
10
−
−
dg d 9
d
1 − 19 −1
1
9
= ( 9 ) = (9 x ) = 9( − ) x
= −x 9 = −
9 10
dx dx x
dx
9
x
3
Théorème 4.6 : Dérivée d’une somme ou d’une différence de fonctions
Soit f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), ..., et f n ( x) , n fonctions dérivables.
Si H ( x) = f1 ( x) ± f 2 ( x) ± f3 ( x) ± ... ± f n ( x)
alors H '( x ) = f1 '( x) ± f 2 '( x) ± f 3 '( x) ± ... ± f n '( x)
Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes
4
−8
a) f ( x) = 4 x +
x
3
4
4
x
x
−8
f '( x ) = [4 x +
]' = [4 x ]'+ [ ]'
3
3
−8
= [4 x −8 ]'+ [
1
4
x
1x
]' = 4( −8) x −8−1 +
3
4 3
−
= −32 x −9 +
1
−1
4
3
4
x
12
b) g (t ) = 3t 4 − 5t 3 + 8t 2 − t + 9
g '(t ) = [3t 4 − 5t 3 + 8t 2 − t + 9]'
= [3t 4 ]'− [5t 3 ]'+ [8t 2 ]'− [t ]'+ [9]'
= 12t 3 − 15t 2 + 16t − 1 + 0
4
c) y = ( x 3 − 1)(2 x + 3)
y = ( x 3 − 1)(2 x + 3) = 2 x 4 + 3 x 3 − 2 x − 3
dy d
= [2 x 4 + 3 x 3 − 2 x − 3]
dx dx
d
d
d
d
= [2 x 4 ] + [3 x 3 ] − [2 x ] − [3]
dx
dx
dx
dx
3
2
= 8x + 9x − 2
Remarque :
d 3
d 3
d
( x − 1)(2 x + 3) ≠
( x − 1) (2 x + 3)
dx
dx
dx
3
2
2
8 x + 9 x − 2 ≠ (3 x )(2)
Théorème 4.7 : Dérivée d’un produit de 2 fonctions
Soit f et g deux fonctions dérivables.
Si H ( x) = f ( x) g ( x) ,
alors H '( x) = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x)
Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes
a) y = ( x 3 − 1)(2 x + 3)
dy
d
d
= (2 x + 3) ( x 3 − 1) + ( x 3 − 1) (2 x + 3)
dx
dx
dx
2
3
= (2 x + 3)(3 x ) + ( x − 1)(2)
= 6 x3 + 9 x 2 + 2 x3 − 2
= 8 x3 + 9 x 2 − 2
5
b) y = (3 − 2 x 4 )(7 − 5 x 3 )
y ' = [(3 − 2 x 4 )(7 − 5 x 3 )]'
= (3 − 2 x 4 ) '(7 − 5 x 3 ) + (3 − 2 x 4 )(7 − 5 x 3 ) '
= (−8 x 3 )(7 − 5 x 3 ) + (3 − 2 x 4 )( −15 x 2 )
= −56 x 3 + 40 x 6 − 45 x 2 + 30 x 6
= 70 x 6 − 56 x 3 − 45 x 2
Corollaire 1 : Dérivée d’un produit de 3 fonctions
Soit f , g et j trois fonctions dérivables.
Si H ( x) = f ( x) g ( x) j ( x) ,
alors H '( x) = f '( x ) g ( x ) j ( x ) + f ( x ) g '( x ) j ( x ) + f ( x) g ( x) j '( x)
Exemple : Calculer la dérivée de f ( x) = (2 − x)(2 x + 1)(5 x + 3)
f '( x ) = (2 − x ) '(2 x + 1)(5 x + 3) + (2 − x)(2 x + 1) '(5 x + 3) + (2 − x)(2 x + 1)(5 x + 3) '
= ( −1)(2 x + 1)(5 x + 3) + (2)(2 − x )(5 x + 3) + (5)(2 − x )(2 x + 1)
= ( −1)(10 x 2 + 11x + 3) + (2)( −5 x 2 + 7 x + 6) + (5)( −2 x 2 + 3 x + 2)
= −30 x 2 + 18 x + 19
6
Corollaire 2 : Dérivée d’un produit de n fonctions
Soit f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), ..., et f n ( x) , n fonctions dérivables.
Si H ( x) = f1 ( x) f 2 ( x) f3 ( x)... f n ( x) , alors
H '( x ) = f1 '( x ) f 2 ( x) f 3 ( x)... f n ( x) + f1 ( x) f 2 '( x) f3 ( x)... f n ( x)
+ f1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 '( x )... f n ( x ) + ... + f1 ( x) f 2 ( x) f 3 ( x)... f n '( x)
Exemple : Calculer la dérivée de y =
3x + 1
x
d 3x + 1
d 3x 1
[
]= [ + ]
dx x
dx x x
d
1
d
d 1
= [3 + ] = 3 + [ ]
dx
x
dx
dx x
1
1
= 0− 2 = − 2
x
x
Remarque :
d
[3 x + 1]
d 3 x + 1 dx
[
]≠
d
dx x
x
dx
1 3
− 2 ≠
x
1
Théorème 4.7 : Dérivée d’un quotient de 2 fonctions
Soit f et g deux fonctions dérivables, et g ( x) ≠ 0 .
Si H ( x) =
f ( x)
f '( x ) g ( x ) − f ( x ) g '( x )
, alors H '( x) =
g ( x)
[ g ( x )]2
7
Exemple : Calculer les dérivées des fonctions suivantes
a) y =
3x + 1
x
(3 x + 1) ' x − (3 x + 1) x '
[ x ]2
(3) x − (3 x + 1)(1)
=
[ x ]2
−1
= 2
x
y'=
b) y =
x− x
x+ x
( x − x ) '( x + x ) − ( x − x )( x + x ) '
( x + x )2
1
1
(1 −
)( x + x ) − ( x − x )(1 +
)
2
x
2
x
=
( x + x )2
x
1
x
1
[x + x −
− ] −[x +
− x− ]
2
2 x 2
2 x
=
2
(x + x )
y'=
=
2 x
( x + x )2
c) y =
y'=
xn −1
xn
( x n − 1) ' x n − ( x n − 1)( x n ) '
( x n )2
nx n −1 x n − ( x n − 1)( nx n −1 )
x2n
nx n −1 x n − nx n −1 x n + nx n −1
=
x2n
nx n −1
n
= 2 n = n +1
x
x
=
8
Dérivées de fonctions composées et dérivées successives
Dérivées de fonctions composées
Ex : Soit H ( x) = (5 x 5 + 6 x)3 . Évaluer H '( x)
Avec le théorème 4.7, on a :
H '( x ) = [(5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6)]'
= (5 x 5 + 6) '(5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6) + (5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6) '(5 x 5 + 6) + (5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6)(5 x 5 + 6) '
= 3(5 x 5 + 6) 2 (5 x 5 + 6) '
Théorème 4.10 : Dérivée de [ f ( x)]r , où r ∈ R
Soit f une fonction dérivable
Si H ( x) = [ f ( x)]r , alors H '( x) = r[ f ( x)]r −1 f '( x)
Ex : Trouver
d
(3 − 2 x 5 ) 6
dx
d
(3 − 2 x 5 ) 6 = 6(3 − 2 x 5 ) 6 −1 (3 − 2 x 5 ) '
dx
= 6(3 − 2 x 5 )5 (0 − 10 x 4 ) = −60 x 4 (3 − 2 x 5 )5
Ex : Trouver
d
3t 2 − 1
dt
1
1
−1
d
d
1
3t 2 − 1 = (3t 2 − 1) 2 = (3t 2 − 1) 2 (3t 2 − 1) '
dt
dt
2
1
−
1
3t
= (3t 2 − 1) 2 (6t ) =
2
3t 2 − 1
9
Ex : Trouver la dérivée de y = ( x − 1) 2 ( x + 2)3
Souvent, comme dans ce cas, on aura à utiliser plus d’une règle :
y ' = [( x − 1) 2 ( x + 2)3 ] = [( x − 1) 2 ]'( x + 2)3 + ( x − 1) 2 [( x + 2)3 ]'
= [2( x − 1) 2 −1 (1)]( x + 2)3 + ( x − 1) 2 [3( x + 2)3−1 (1)]
= 2( x − 1)( x + 2)3 + 3( x − 1) 2 ( x + 2) 2
= ( x − 1)( x + 2) 2 [2( x + 2) + 3( x − 1)]
= ( x − 1)( x + 2) 2 (5 x + 1)
Théorème 4.11 : Règle de dérivation en chaîne
Soit f et g deux fonctions dérivables
Si y = ( f o g )( x) , i.e. y = f ( g ( x)) , alors y ' = f '( g ( x)) g '( x)
On peut réécrire ce théorème en utilisant la notation de Leibniz :
Théorème 4.11 : Règle de dérivation en chaîne (avec la notation de Leibniz)
⎧ y = f (u )
Soit y = f ( g ( x)) le résultat de la composition de ⎪⎨
⎪ u = g ( x)
⎩
Alors
dy dy du
=
⋅
(notation de Leibniz)
dx du dx
10
où
dy
représente la dérivée de y par rapport à x,
dx
dy
représente la dérivée de y par rapport à u et
du
du
représente la dérivée de u par rapport à x
dx
3
⎛ x2 ⎞
dy
en utilisant la notation de Leibniz
Ex : Soit y = ⎜
2 ⎟ . Calculer
dx
⎝7−x ⎠
En posant u =
x2
, on a que y = u 3
7 − x2
dy dy du
=
⋅
dx du dx
=
(notation de Leibniz)
d 3 d ⎛ x2 ⎞
(u ) ⋅ ⎜
⎟
du
dx ⎝ 7 − x 2 ⎠
(car u =
x2
)
7 − x2
⎛ 2 x1 (7 − x 2 ) − x 2 ( −2 x ) ⎞
= 3u 2 ⋅ ⎜
⎟
(7 − x 2 ) 2
⎝
⎠
2
⎛ x 2 ⎞ ⎛ 14 x ⎞
= 3⎜
2 ⎟ ⎜
2 2 ⎟
⎝ 7 − x ⎠ ⎝ (7 − x ) ⎠
=
x2
(car u =
)
7 − x2
42 x 5
(7 − x 2 ) 4
11
Dérivées successives
Si f ( x) est une fonction dérivable, alors sa dérivée est aussi une fonction
qui peut elle aussi être dérivable. La dérivée d’une fonction f '( x)
s’appelle la dérivée seconde ou dérivée d’ordre 2 de f ( x) . Lorsqu’on
dérive à nouveau, on obtient la dérivée troisième ou dérivée d’ordre 3 de
f ( x ) . De la même façon on peut dériver plusieurs fois une même
fonction.
Notations possibles pour exprimer les dérivées successives de y = f ( x)
Dérivée première :
dy
= y'
dx
d
f ( x ) = f '( x )
dx
Dérivée seconde :
d2y
= y ''
dx 2
d2
f ( x ) = f ''( x )
dx 2
Dérivée troisième :
d3y
= y '''
dx 3
d3
f ( x ) = f '''( x )
dx 3
Dérivée quatrième :
d4y
= y (4)
4
dx
d4
f ( x ) = f (4) ( x )
4
dx
dny
= y (n)
n
dx
dn
f ( x) = f ( n ) ( x)
n
dx
…
ième
Dérivée n
:
d5y
Ex : Calculer 5 si y = x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 7 x + 5
dx
Pour pouvoir calculer
d5y
, on doit dériver y 5 fois de suite :
dx 5
12
dy
= y ' = 4 x3 − 6 x 2 + 6 x − 7
dx
d2y
= y '' = 12 x 2 − 12 x + 6
2
dx
d3y
= y ''' = 24 x − 12
dx 3
d4y
= y (4) = 24
4
dx
d5y
= y (5) = 0
5
dx
Ex : Évaluer f '''(3) si f ( x) =
2 x2 − 3
5x
2 x 2 − 3 2 x 2 3 2 x 3 x −1
f ( x) =
=
−
=
−
5x
5x 5x 5
5
f '( x ) = [
2 x 3 x −1
2 3 x −2
−
]' = +
5
5
5
5
2 3 x −2
6 x −3
f ''( x ) = [ +
]' = 0 −
5
5
5
6 x −3
18 x −4 18
= 4
f '''( x ) = [ −
]' =
5
5
5x
Donc f '''(3) =
18
2
=
4
5(3)
45
13
Dérivation implicite
Jusqu’à présent, toutes les fonctions étudiées l’ont été à partir d’équations
où la variable y était exprimée d’une façon
explicite
en terme de la
variable indépendante x. Les équations avaient la forme y = f ( x) .
⎛ x2 ⎞
=
y
Par exemple,
⎜
2 ⎟
⎝7−x ⎠
3
et
y = (3 − 2 x 4 )(7 − 5 x 3 )
définissent toutes les deux une fonction sous une forme explicite.
Il arrive cependant que l’équation ne soit pas donnée sous cette forme.
C’est le cas de l’équation
xy − 3 y − 4 = 0
, qui représente également
une fonction mais qui est présentée sous la forme f ( x, y ) = g ( x, y ) . On dit
alors que la variable y est exprimée d’une façon
implicite
en terme
de la variable x.
Pour passer de la forme implicite à la forme explicite, on résout
l’équation par rapport à la variable y :
xy − 3 y − 4 = 0 ⇒ xy − 3 y = 4 ⇒ y ( x − 3) = 4 ⇒ y =
4
x −3
L’équation définit à présent une fonction sous une forme explicite. On
peut maintenant la dériver en utilisant les règles vues précédemment.
Par contre, dans certains cas, il peut être difficile, voire impossible, de
définir explicitement une fonction. Par exemple, les deux équations
suivantes représentent des fonctions, mais on ne peut isoler la variable y :
14
x 5 y − x 3 y 2 = 16 − xy
x3 + y 3 = x 2 y 4 + 5
et
Avec les outils que nous avons actuellement, nous ne pouvons trouver la
dérivée de fonctions implicites. Heureusement, nous pouvons l’obtenir
en utilisant une technique dite de dérivation implicite. Avant de la voir,
complétons l’exemple suivant :
Ex : Si y est une fonction de x, effectuer chacune des dérivées suivantes :
a)
a)
d 3
x
dx
b)
d 3
y
dx
c)
d 3 3
x y
dx
d 3
x = 3x 2
dx
Puisque y est fonction de x, on remplace y par f(x) dans les deux dernières
dérivées :
b)
d 3 d
d
dy
y =
( f ( x ))3 = 3( f ( x )) 2
f ( x) = 3 y 2
dx
dx
dx
dx
c)
d 3 3 d 3
x y =
x ( f ( x ))3
dx
dx
d 3
d
x + x 3 ( f ( x ))3
dx
dx
d
f ( x)
= ( f ( x ))3 3 x 2 + x 3 3( f ( x )) 2
dx
dy
= 3x 2 y 3 + x3 3 y 2
= 3x 2 y 3 + x3 3 y 2 y '
dx
= ( f ( x ))3
15
Technique de dérivation implicite
Soit une équation de la forme F ( x, y ) = G ( x, y ) . Pour déterminer
dy
, on
dx
suivra les étapes suivantes :
1ère étape : On dérive les deux membre de l’équation:
d
d
( F ( x, y )) =
(G ( x, y ))
dx
dx
2ième étape : On isole
Ex : Trouver
dy
de l’équation obtenue à la 1ère étape
dx
dy
si y 3 − 2 xy − 3 x 2 = 1
dx
On dérive les deux membres de l’équation par rapport à x :
d 3
d
( y − 2 xy − 3 x 2 ) = 1
dx
dx
d 3 d
d
d
y − 2 xy − 3 x 2 = 1
dx
dx
dx
dx
(Indiquer comment ça se développe)
3y2
dy
dy
− 2 y − 2x − 6x = 0
dx
dx
dy
(3 y 2 − 2 x ) = 2(3 x + y )
dx
dy 2(3 x + y )
=
dx 3 y 2 − 2 x
16
Ex : Trouver par dérivation implicite
dy
si xy − y 3 = 8 + 3 x
dx
On dérive les deux membres de l’équation par rapport à x :
d
d
( xy − y 3 ) = (8 + 3 x )
dx
dx
d
d 3 d
d
xy −
y = 8 + 3x
dx
dx
dx
dx
(Indiquer comment ça se développe)
y+x
dy
dy
− 3y2
=3
dx
dx
dy
(x − 3y2 ) = 3 − y
dx
3− y
dy
=
dx x − 3 y 2
17