I – Notion d`intégrale sur un intervalle le sur un intervalle

Chapitre 10
I –
Notion d’intégrale sur un intervalle
1) Intégrale d’une fonction en escalier
a) Fonction constante sur un intervalle
 est une fonction définie sur 
telle que, pour tout
Les valeurs de  et 
peuvent être différentes de
Définition : On appelle intégrale de 
Interprétation géométrique :
• Si   
, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie,
coloré.
• Si   
, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie, l’opposé de l’aire
du rectangle coloré.
b) Fonction en escalier sur un intervalle
Définitions :
• On dit qu’une fonction 
définie sur un intervalle
subdivision  (avec 
et pour laquelle sur chaque intervalle
On dit dans ce cas que  est
constante par morceaux
• On appelle intégrale de 
sur l’intervalle
Interprétation géométrique :
L’intégrale de  sur  est la
somme algébrique
colorés, ces aires étant comptées :
• positivement si le rectangle est au-
dessus de l’axe des abscisses
• négativement s’il est en dessous.
Notation et vocabulaire :
• L’intégrale  sur  est notée
:
•
Cette notation est due à Leibniz. Le symbole
CALCUL INTEGRAL
Notion d’intégrale sur un intervalle
1) Intégrale d’une fonction en escalier
a) Fonction constante sur un intervalle
telle que, pour tout
  ,  .
peuvent être différentes de
.
sur l’intervalle  le réel  tel que :
, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie,
l’aire du rectangle
, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie, l’opposé de l’aire
b) Fonction en escalier sur un intervalle
définie sur un intervalle
 est une
fonction en escalier
   ) de l’intervalle  telle que
et pour laquelle sur chaque intervalle
, 
est constante (égale à
constante par morceaux
.
sur l’intervalle
 le réel  tel que :
somme algébrique
des aires des rectangles
dessus de l’axe des abscisses
:
 ou   ou  …
Cette notation est due à Leibniz. Le symbole
est un S stylisé pour signaler que l’on effectue une somme.
Term S
fonction en escalier
s’il existe une
est constante (égale à
).
est un S stylisé pour signaler que l’on effectue une somme.

2) Intégrale d’une fonction continue
Propriété : (admise)
Soit 
une fonction continue sur un intervalle
Il existe deux suites de fonctions en escalier
• pour tout    et tout   , 
• les suites  et 
sont convergentes et ont la même limite
De plus, si  et  sont deux suit
es de fonctions en escalier vérifiant les mêmes propriétés et convergeant
vers , alors   .
Définition : La limite 
de la propriété précédente est appelée
On note :   
.
Interprétation géométrique :
II –
Extension et premières propriétés
1) Extension de la définition à  et 
Remarques
: Les définitions précédentes supposent
Si 
est une fonction continue sur un intervalle
définition :
• Si   , 
• Si   , 
2) Relation de Chasles
Théorème (admis) :
Relation de Chasles
Soit 
une fonction continue sur un intervalle
Quelques soient  et  dans , on a
:
Illustration graphique :
Lorsque  est positive et     
, la relation de Chasles traduit l’additivité des
………………..
une fonction continue sur un intervalle
.
Il existe deux suites de fonctions en escalier
 et  telles que :
sont convergentes et ont la même limite
.
es de fonctions en escalier vérifiant les mêmes propriétés et convergeant
de la propriété précédente est appelée
intégrale de  sur
Extension et premières propriétés
quelconques
: Les définitions précédentes supposent
  .
est une fonction continue sur un intervalle
, et  et  sont deux réels de 
tels que
Relation de Chasles
une fonction continue sur un intervalle
.
:
……………………..
, la relation de Chasles traduit l’additivité des
es de fonctions en escalier vérifiant les mêmes propriétés et convergeant
.
tels que
  , on pose, par
……………………..

Conséquences :
• Si  est paire sur , 
• Si  est impaire sur , 
3) Linéarité de l’intégrale
Théorème (admis) : Soient  et 
deux fonctions continues sur un intervalle
Quelques soient les réels  et 
dans l’intervalle
……………………….. et
4) Aire entre deux courbes
Théorème :
Soient et
deux fonctions continues sur un intervalle
que pour tout  de ,   
L’aire du domaine D
compris entre les cour
est :
Remarque :
De façon plus générale, on admettra que pour
calculer l’aire entre deux courbes
et
 :
• on décompose cet intervalle en sous-
intervalles sur lesquels la
fonction différence est de ……………………
• on intègre cette fonction en veillant au lien entre intégrale et
aire suivante le ………………………
:
A
= …………………………………………………
III –
Encadrement, valeur moyenne
1) Signe de l’intégrale, encadrement
Théorème : Soient  et 
deux fonctions continues sur un intervalle
• Si    et si, pour tout   , 
• Si    et si, pour tout   , 
Démonstration (2
ème
point) :
………………………………………….
……………
deux fonctions continues sur un intervalle
 et 
dans l’intervalle
,
……………………….. et
………………………………………
deux fonctions continues sur un intervalle
telles
.
compris entre les cour
bes de  et de  sur 
De façon plus générale, on admettra que pour
et
 sur un intervalle
intervalles sur lesquels la
fonction différence est de ……………………
• on intègre cette fonction en veillant au lien entre intégrale et
:
= …………………………………………………
Encadrement, valeur moyenne
deux fonctions continues sur un intervalle
 ;  et 
deux réels de
  , alors ……………………………….
, alors ………………………………………………………
un réel quelconque.
………………………………………
deux réels de
.
, alors ………………………………………………………

Théorème : Inégalité de la moyenne
Soit  une fonction continue sur un intervalle ,  et  deux réels,  et  deux réels de  tels que   .
Si      sur , alors ……………………………………………………………
Démonstration :
2) Valeur moyenne d’une fonction
Théorème :  est une fonction continue sur un intervalle I ;  et  sont deux réels distincts de I.
Alors il existe un réel  entre  et  tel que 
 ……………
Le nombre 
 est appelé ……………………………………………………………………..
Démonstration (dans le cas où  est monotone) :
IV – Primitives, détermination de primitives
1) Définition, lien entre deux primitives
Définition :  est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de  sur I est une fonction  dérivable
sur I, telle que pour tout  de I, ……………………………………………..
Théorème :  est une fonction définie sur un intervalle I. Si  est une primitive de  sur I, alors  admet une
……………………………………………………… Toute autre primitive de  sur I est définie par :
………………………………………où  est une constante réelle.
Démonstration :

Conséquence :  est un réel quelconque de I et  un réel quelconque.
Alors il existe une unique …………………………………………………………………………………
Démonstration :
Remarque : En physique la condition   est appelée ………………………………………………
2) Primitives d’une fonction continue
Théorème :  est une fonction continue sur un intervalle I ;  est un réel de I.
Alors la fonction  définie par 
 est …………………………………………………………..
Démonstration :
Exemple 1 : La fonction    est la primitive s’annulant en 1 de ……………………………………………
Ainsi, pour tout   ,  ………………..
Exemple 2 : Trouvez la primitive  sur  de la fonction    telle que   .