I – Notion d`intégrale sur un intervalle le sur un intervalle

Chapitre 10
CALCUL INTEGRAL
Term S
I – Notion d’intégrale sur un intervalle
1) Intégrale d’une fonction en escalier
a) Fonction constante sur un intervalle ; est une fonction définie sur ; telle que, pour tout ; , .
Les valeurs de et peuvent être différentes de .
Définition : On appelle intégrale de sur l’intervalle ; le réel tel que :
Interprétation géométrique :
• Si 0,, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie, l’aire du rectangle
coloré.
• Si 0,, l’intégrale est, dans l’unité d’aire choisie, l’opposé de l’aire
du rectangle coloré.
b) Fonction en escalier sur un intervalle ; Définitions :
• On dit qu’une fonction définie sur un intervalle ; est une fonction en escalier s’il existe une
; subdivision ; ; … (avec ) de l’intervalle ; telle que ;
; … ; et pour laquelle sur chaque intervalle ; , est constante (égale à ).
On dit dans ce cas que est constante par morceaux
morceaux.
• On appelle intégrale de sur l’intervalle ; le réel tel que :
Interprétation géométrique :
L’intégrale de sur ; est la somme algébrique des aires des rectangles
colorés, ces aires étant comptées :
• positivement si le rectangle est au-dessus
dessus de l’axe des abscisses
• négativement s’il est en dessous.
Notation et vocabulaire :
"
"
"
• L’intégrale sur ; est notée : # ! ou # ! ou # $!$…
• Cette notation est due à Leibniz. Le symbole est un S stylisé pour signaler que l’on effectue une somme.
2) Intégrale d’une fonction continue
Propriété : (admise)
Soit une fonction continue sur un intervalle ; .
Il existe deux suites de fonctions en escalier ' et ( telles que :
• pour tout % & et tout ; , ' - - ( • les suites ' et ( sont convergentes et ont la même limite *.
De plus, si ) et sont deux suites
es de fonctions en escalier vérifiant les mêmes propriétés et convergeant
vers *+, alors * *+.
.
Définition : La limite * de la propriété précédente est appelée intégrale de sur ;
"
On note : * # ! .
Interprétation géométrique :
II – Extension et premières propriétés
1) Extension de la définition à et quelconques
Remarques : Les définitions précédentes supposent .
Si est une fonction continue sur un intervalle , et et sont deux réels de tels que 0 , on pose, par
définition :
"
#
• Si , # ! " !
"
• Si , # ! 0
2) Relation de Chasles
Théorème (admis) : Relation de Chasles
Soit une fonction continue sur un intervalle .
"
/
Quelques soient , et dans , on a : # ! " ! ……………………..
……………………..
Illustration graphique :
Lorsque est positive et - - ,, la relation de Chasles traduit l’additivité des
………………..
Conséquences :
#
• Si est paire sur 1– ; 3, # ! ………………………………………….
#
• Si est impaire sur 1– ; 3, # ! ……………
3) Linéarité de l’intégrale
Théorème (admis) : Soient et ' deux fonctions continues sur un intervalle et 4 un réel quelconque.
Quelques soient les réels et dans l’intervalle ,
"
"
………………………………………
# 4 ! ……………………….. et # ' ! ………………………………………
4) Aire entre deux courbes
Théorème :
Soient et ' deux fonctions continues sur un intervalle ; telles
que pour tout de ; , 0 '.
L’aire du domaine D compris entre les cour
courbes de et de ' sur ; est :
"
5………………..
#
Remarque : De façon plus générale, on admettra que pour
calculer l’aire entre deux courbes 67 et 69 sur un intervalle
; :
• on décompose cet intervalle en sous-intervalles
intervalles sur lesquels la
fonction différence est de ……………………
• on intègre cette fonction en veillant au lien entre intégrale et
aire suivante le ……………………… :
A = …………………………………………………
III – Encadrement, valeur moyenne
1) Signe de l’intégrale, encadrement
Théorème : Soient et ' deux fonctions continues sur un intervalle ; et deux réels de .
• Si - et si, pour tout ; , 0 0, alors ……………………………….
• Si - et si, pour tout ; , - ' ,, alors ………………………………………………………
Démonstration (2ème point) :
Théorème : Inégalité de la moyenne
Soit une fonction continue sur un intervalle , : et ; deux réels, et deux réels de tels que - .
Si : - - ; sur ; , alors ……………………………………………………………
Démonstration :
2) Valeur moyenne d’une fonction
Théorème : est une fonction continue sur un intervalle I ; et sont deux réels distincts de I.
"
Alors il existe un réel entre et tel que # ! ……………
Le nombre
"
"# #
! est appelé ……………………………………………………………………..
Démonstration (dans le cas où est monotone) :
IV – Primitives, détermination de primitives
1) Définition, lien entre deux primitives
Définition : est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de sur I est une fonction < dérivable
sur I, telle que pour tout de I, ……………………………………………..
Théorème : est une fonction définie sur un intervalle I. Si < est une primitive de sur I, alors admet une
……………………………………………………… Toute autre primitive de sur I est définie par :
………………………………………où = est une constante réelle.
Démonstration :
Conséquence : est un réel quelconque de I et > un réel quelconque.
Alors il existe une unique …………………………………………………………………………………
Démonstration :
Remarque : En physique la condition ? > est appelée ………………………………………………
2) Primitives d’une fonction continue
Théorème : est une fonction continue sur un intervalle I ; est un réel de I.
@
Alors la fonction < définie par < # ! est …………………………………………………………..
Démonstration :
Exemple 1 : La fonction A ln est la primitive s’annulant en 1 de ……………………………………………
Ainsi, pour tout 0, ln ………………..
Exemple 2 : Trouvez la primitive < sur D de la fonction : A F @G telle que <ln 2 0.
3) Primitives des fonctions usuelles
Remarques : Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d’une primitive conduisent aux
résultats suivants :
• Si < et ? sont des primitives de et ' sur un intervalle I, alors < ?…………………………………………
• Si < est une primitives de sur un intervalle I et 4 un réel quelconque, alors 4< est …………………………..
……………………………………………………..
On obtient également, en « inversant » les formules des dérivées :
Fonction A (constante)
Primitive <
Sur l’intervalle I = ….
Primitive <
Remarques
A , % I J1L
A
1
√
1
A
A F@
A sin A cos A 1 % 1
R) 4) Formules générales
Fonction $+$ , % I J1L
$+
√$
$+
$
$+F S
$+ sin $
$+ cos $
A $ , T 0, et constantes
Remarque : On peut résumer la troisième ligne du tableau par :
SU
Les primitive de S sont de la forme …………………………………………………………….
Exemples : Déterminez une primitive de la fonction sur l’intervalle indiqué.
@
a) 3 1W sur D.
b) @ X , sur 1; 1.
Y@
c) √@ X , sur D.
G
d) 6 cos , sur 0; [.
V – Calculs d’intégrales
1) A partir d’une primitive
Théorème : est une fonction continue sur un intervalle I, < est une primitive quelconque de sur I, et sont deux réels de I. Alors :
"
5 ! #
Démonstration :
Remarque : On écrit souvent la différence < < sous la forme condensée …………………………
"
Ainsi : # ! ……………………………………………
2) Intégration par parties
Théorème : $ et \ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telles que leurs dérivées $+ et \+ sont
continues sur I. Alors pour tous réels et de I,
"
5 $U \ ! … … … … … … … … … … … ..
#
Démonstration :
Exemples : a) Calculez l’intégrale ] 1 F @ !.
b) Déterminez une primitive sur 0; ∞ de : A ln .