thèse extensions au cadre banachique de la notion d`opérateur de

N ° D ’ ORDRE
: 4622
T HÈSE
PRÉSENTÉE À
L’U NIVERSITÉ B ORDEAUX 1
I NSTITUT DE M ATHÉMATIQUES DE B ORDEAUX
PAR
S AID A MANA A BDILLAH
POUR OBTENIR LE GRADE DE
D OCTEUR
S PÉCIALITÉ : M ATHÉMATIQUES PURES
INTITULÉE
E XTENSIONS AU CADRE B ANACHIQUE
DE LA NOTION D ’ OPÉRATEUR DE
H ILBERT-S CHMIDT
26 N OVEMBRE 2012
DEVANT LE JURY COMPOSÉ DE :
SOUTENUE LE
G ILLES G ODEFROY
J EAN M ARTIN PAOLI
H ERVÉ QUEFFÉLEC
R OBERT D EVILLE
J EAN E STERLE
B ERNHARD H AAK
DIRECTEUR DE RECHERCHE CNRS À L’ IMJ
RAPPORTEUR
MAÎTRE DE CONFÉRENCE À L’ UNIVERSITÉ DE CORSE
PROFESSEUR ÉMÉRITE À L’ UNIVERSITÉ DE
RAPPORTEUR
L ILLE 1
PROFESSEUR À L’ UNIVERSITÉ BORDEAUX 1
PROFESSEUR À L’ UNIVERSITÉ BORDEAUX
1
B ORDEAUX 1
MAÎTRE DE CONFÉRENCE À L’ UNIVERSITÉ
DIRECTEUR DE THÈSE
DIRECTEUR DE THÈSE
2
Table des matières
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Les opérateurs p-sommants
1.1 Espaces des suites p-sommables . . . . . . . .
1.2 Les opérateurs p-sommants . . . . . . . . . . .
1.3 Caractérisation des Opérateurs 2-sommants .
1.4 Les inégalités de Khintchine et Grothendieck
1.5 Application aux espaces L p . . . . . . . . . .
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4
6
9
9
10
11
19
25
2 Les Opérateurs de Hilbert-Schmidt
31
2.1 Les Opérateurs Compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Caractérisation des Opérateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . 35
3 Les opérateurs γ-sommants
39
3.1 Suites Gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Opérateurs γ-sommants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Les opérateurs γ-radonifiants
4.1 Théorème de Hoffmann-Jorgensen et Kwapien . . . . . .
4.2 Exemple d’un opérateur γ-sommant et non γ-radonifiant
4.3 Opérateurs dans les espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Les opérateurs dans les espaces de Hilbert . . . . .
4.3.2 Etude de convergence en moyenne de Cesàro . . .
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47
47
50
53
53
56
5 Les opérateurs p-nucléaires et faiblement ∗p-nucléaires
61
5.1 Opérateurs p-nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Opérateurs faiblement ∗p-nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Caractérisation des opérateurs faiblement ∗p-nucléaires . . . . . . . . 66
6 Généralisation des opérateurs γ-radonifiants
69
6.1 Les opérateurs γ-sommants sur un espace de Banach . . . . . . . . . . 69
6.2 Les opérateurs de Rademacher-bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Les opérateurs presque sommants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
4
TABLE DES MATIÈRES
Remerciements
Je ne peux commencer et finir ce travail sans remercier au préalable le détenteur
du savoir, en l’occurrence le tout puissant ALLAH.
C’est un moment très fort en émotion, fermer ce chapitre de ma vie en remerciant toutes les personnes qui ont eu le courage de m’accompagner durant toutes
ses longues années de recherche.
Je tiens à remercier vivement mon directeur de thèse le docteur Haak Bernhard,
et à l’ exprimer ma profonde gratitude pour son soutien constant durant ces années
de recherche.
Je tiens à lui dire qu’il a réussi par ses conseils et ses encouragements à développer le plaisir de la recherche.
Sincèrement, je ne sais pas comment exprimer ma reconnaissance envers mon
directeur de thèse, le professeur Esterle Jean pour le soutien moral et pédagogique
qu’il m’a apporté depuis mon arrivée à l’Institut de Mathématiques de Bordeaux
(I M B ) jusqu’à ce jour.
Ses idées et sa facilité à poser des questions simples et intéressantes m’ont fortement guidé et m’ont fait aimer davantage ce métier difficile qu’est la recherche.
Je mesure la chance qui m’a été offerte de travailler avec ces deux éminents savants et de pouvoir bénéficier de leur savoir et aussi d’avoir appris avec eux des mathématiques belles et variées.
Je leur en suis encore infiniment reconnaissant pour leurs précieux conseils,
leurs suggestions et aussi leurs encouragements.
J’adresse mes sincères remerciements au président de jury de cette soutenance.
Je tiens à vous remercier d’avoir accepté cette tâche et d’avoir apporté votre regard sur mon travail.
Je remercie très chaleureusement Mr Gilles Godefroy directeur de recherche CNRS
à l’Institut de Mathématique de Jussieu et Mr Jean Martin Paoli maître de conférence
habilité à diriger des travaux de recherches pour avoir accepté d’être rapporteurs de
cette thèse.
Je leur suis très reconnaissant du temps qu’ils ont consacré à l’évaluation de
cette thèse et de leur présence de cette jury.
Je remercie infiniment l’ensemble des membres de jury pour l’honneur qu’ils
m’ont offert ce jour.
Je remercie infiniment le président de l’Université des Comores pour leur soutien administratif, financier et aussi surtout pour l’honneur qu’il m’a offert ce jour.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à l’équipe d’analyse pour les moments
précieux qu’on a passé ensemble.
J’avoue que cette dernière m’a donnée le goût de la recherche et j’espère continuer à travailler davantage avec elle après cette thèse de doctorat.
Je remercie tous les membres de l’Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB)
de l’accueil qu’il m’a offert dépuis mon arrivée en France. Je ne pourrais jamais oublier les moments chaleureux que j’ai passé au sein de ce laboratoire.
Je remercie mes collégues de l’école doctorale et en particulier Lezowski Pierre
et Lazzarini Giovanni pour notre amitié et leur esprit de travail d’équipe.
TABLE DES MATIÈRES
5
Je remercie mon ami et collègue Mohamed Rachadi Ibrahim pour son soutien
inlassable et la confiance qu’il m’a toujours témoignée pédagogiquement. J’avoue
très sincérement que je lui en suis reconnaissant.
Finalement, ce rêve n’aurait pas pu aussi se réaliser sans l’amour, la confiance,
et le soutien des gens que je vais les remercier maintenant car, sans eux je ne serais
pas où j’en suis aujourd’hui.
Je remercie mon oncle Mohamed Hassane Halidi (paix à son âme) qui a fait
grandir mon imagination dès mon enfance en m’initiant sur les calculs et aussi de
m’avoir appris à ne jamais baisser les bras.
Je remercie très vivement mon père (paix à son âme), qui m’a appris à rester
toujours débout face aux difficultés, à aimer la recherche et la science.
Je remercie ma grande-mère (Moinaecha Tadjiri), qui m’a appris à être simple,
que l’on peut être heureux juste en regardant ceux qu’on aime à nos côtés. Elle a
embrassé mes échecs et mes réussites sans distinction.
Je remercie ma mère qui m’a toujours été présente à chaque instant dans ma vie
même en étant père de famille.
Je remercie ma femme qui a vécu ses longues années des doutes et d’angoisses
de la recherche scientifique. J’espère que ce n’était pas trop pésant sur elle.
Je remercie mes frères de m’avoir donné tellement de chaleur et de joie de vivre.
Je remercie mon beau frère, mes cousins et cousines qui au long de ces trois
années de recherche ont toujours été là pour entretenir mon enthousiasme ou me
remonter le moral quand il le fallait.
Je remercie aussi à mes oncles, mes amis, et mes collègues pour leur soutien
moral et pédagogique.
Je remercie enfin l’Université des Comores(UDC)et ses partenaires(AUF et SCAC)
pour leur soutien administratif et financier.
Je dédie ce travail à tous ceux que j’aime et je respecte et en particulier à mes
filles. Je leur souhaite une longue vie de bonheur, de prospérité et de plein succés.
Amine !
6
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
La notion d’opérateur de Hilbert-Schmidt joue un rôle fondamental en Analyse
Fonctionnelle et Harmonique.
Rappelons que si H1 et H2 sont des espaces de Hilbert séparables, un opérateur T :
H1 → H2 est dit de Hilbert-Schmidt si et seulement si on a, pour au moins une base
P
orthonormale (e i )i ∈I de H1 ; i ∈I kT (e i )k2H2 < +∞ et dans ce cas, la condition cidessus est en fait vérifiée pour toute base orthonormale de H1 .
¡ ¢
2
Un exemple standard¡ est
¢ donné
¡ ¢les¡ opérateurs
¢
¡ ¢Tk : f → Tk f sur L (Ω, C)
R par
définis par la ¡formule
T¡k f ¢ (x) = Ω f y k x, y d m y , où m désigne la mesure de
¢
Lebesgue, k : x, y = k x, y désignant un noyau de carré intégrable sur Ω × Ω.
En effet, soit (e n ) une base orthonormale de H1 . On a :
X
XZ
kTk e n k2L 2 (Ω) =
|Tk e n |2 d t
n
n
Ω
=
¯
¯2
X Z ¯Z
¯
¯ k (t , s) e n (s) d s ¯ d t
¯
¯
n Ω Ω
¯2
Z X ¯Z
¯
¯
¯ k (t , s) e n (s) d s ¯ d t
¯
¯
Ω n
Ω
Z X
¯
®¯
¯ k (t , .) , e n ¯2 d t
Ω n
Z
kk (t , .)k2L 2 (Ω) d t
Ω
Z Z
|k (t , s)|2 d sd t
=
kkk2L 2 (Ω×Ω) .
=
=
=
=
Ω Ω
Notre travail est réparti en six chapitres.
Dans le chapitre 1, on présente la classe des opérateurs p-sommants introduite par
A.Pietsch [34] en 1966 et étudiée ensuite par J. Lindenstrauss et A.Pelczynski en
1968[33] puis par B.Maurey en 1973[37].
Une grande attention est apportée en particulier aux opérateurs 2-sommants. On a
détaillé les théorèmes de domination et de factorisation puis “la propriété d’idéal”.
On utilise les inégalités de Kahane-Kintchine [27] et les inégalités de Grothendieck
[43] pour établir un lien entre opérateurs p-sommants et factorisation à travers les
espaces L p .
Dans le chapitre 2, on a introduit la classe de Schatten von-Neumann S 2 (H1 , H2 )
pour donner d’autres caractérisations des opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Cette étude est basée sur le “théorème spectral”qui permet d’écrire tout opérateur
P
compact u : H1 ¡→ H
¢ 2 sous la forme u = n τn ⟨., e n ⟩ f n où (e n ) est un système orthonormal de H1 , f n un système orthonormal de H2 et τn tend vers 0 quand n tend
vers +∞.
Une propriété remarquable de la classe d’opérateurs de Hilbert-Schmidt est qu’elle
coincide d’une part avec la classe des opérateurs 2-sommants de H1 dans H2 et
d’autre part avec les classes de Schatten von-Neumann S 2 (H1 , H2 ) .
TABLE DES MATIÈRES
7
Dans le chapitre 3, on étudie les opérateurs γ-sommants d’un espace de Hilbert H
vers un espace de Banach E .
La classe des opérateurs γ-sommants a été introduite par Linde et Pietsch[35] en
1974 et étudiée en détail par Diestel, Jarchow, Tonge [44].
Dans le chapitre 4, on s’interesse aux opérateurs γ-radonifiants initiés par Gross[7]en
1962 et qui ont été dévéloppés par Van Neerven et Weis[50] en 2005. Ces notions ont
permis de dégager des notions analogues à celles d’opérateurs de Hilbert-Schmidt
pour les opérateurs linéaires d’un espace de Hilbert H dans un espace de Banach F.
Dans le chapitre 5, on s’interesse aux opérateurs p-nucléaires et faiblement ∗ pnucléaires et on observe que la classe des opérateurs faiblement∗ 1-nucléaire coincide avec la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Enfin au chapitre 6 on étudie des extensions naturelles des notions d’opérateurs γsommants et γ-radonifiants d’un espace de Banach X dans un espace de Banach Y .
Notons `faible
(X ) l’ensemble des suites (x n )n≥1 d’éléments de X telles que
2
sup
∞ ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2 < +∞.
kx ∗ k≤1 n=1
°PN
°2
On dira que u : X −→ Y est γ-sommant si supN ≥1 E ° n=1
γn u(x n )° < +∞ pour
P
toute suite (x n )n≥1 ∈ `faible
(X ), et on dira que u est γ-radonifiant si la série ∞
n=1 γn u(x n )
2
2
converge dans L (Ω, X ) où (γn ) désigne une suite de variables gaussiennes indépendantes.
En utilisant la suite (r n )n≥1 des fonctions de Rademacher sur [0, 1], qui prennent
les valeurs 1 et −1 avec la probabilité 21 , nous introduisons de même les opérateurs
“Rademacher-bornés” et les opérateurs “ presque-sommants”.
On dit qu’un opérateur u : X → Y est Rademacher-borné si
°2
Z 1°
°X
°
N
°
°
sup
r n (t )u(x n )° d t < +∞
°
°
°
0
N ≥1
n=1
f ai bl e
pour toute suite (x n )n≥1 ∈ `2
(X ), et on dit que u est presque sommant si la sé+∞
P
rie
r n (t )u(x n ) converge pour presque tout t ∈ [0, 1] pour toute suite (x n )n≥1 ∈
n=1
+∞
P
f ai bl e
(X ), ce qui équivaut au fait que la série
`2
r n (t )u(x n ) converge dans L p ([0, 1], X )
n=1
pour un réel p ≥ 1, ou pour tout réel p ≥ 1. Comme l’ont remarqué avant nous
Blasco, Tarieladze et Vidal dans [1], les auteurs du livre “Absolutely Summing Operators” ont malheureusement confondu ces deux classes dans le théorème 12.12
[8],alors qu’elles ne coincident que si Y ne contient pas une copie de c 0 (voir[39]).
En utilisant des résultats de [8], on montre en fait que la classe des opérateurs γsommants coincide avec la classe des opérateurs Rademacher-bornés et que la classe
des opérateurs γ-radonifiants coincide avec la classe des opérateurs presque-sommants.
L’adhérence dans la classe des opérateurs γ-sommants de l’ensemble des opérateurs de rang fini est composée d’opérateurs γ-radonifiants.
On voit donc que l’on dispose de plusieurs généralisations naturelles de la notion
d’opérateur de Hilbert-Schmidt aux espaces de Banach.
8
TABLE DES MATIÈRES
– Les classes Πp (X , Y ) des opérateurs p-sommants de X dans Y (1 ≤ p < +∞)
– La classe Πps (X , Y ) des opérateurs presque sommants de X dans Y , qui coincide avec la classe γ(X , Y ) des opérateurs γ-radonifiants de X dans Y .
– La classe des opérateurs faible ∗ 1-nucléaires de X dans Y .
On sait que Πp (X , Y ) ⊂ Πq (X , Y ) si 1 ≤ p ≤ q, et on a ∪p≥1 Πp (X , Y ) ⊂ πps (X , Y )
(en d’autres termes, tout opérateur sommant est presque sommant).
Toutes ces classes coincident avec la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt si X
et Y sont des espaces de Hilbert, ainsi que les classes des opérateurs u : X −→ Y tels
que u ∗ : Y ∗ −→ X ∗ appartiennent à une des classes ci-dessus par rapport à Y ∗ et
X ∗.
Soient maintenant X , Y , Z trois espaces de Banach, et soient u : X → Y et v : Y → Z
deux opérateurs bornés.
Il serait intéressant d’étudier des conditions garantissant que le produit v ◦u est nucléaire quand v et u appartiennent à des classes ci-dessus. Par exemple, il est classique v ◦ u est nucléaire si v et u sont 2-sommants.
D’autre part, on sait que tout opérateur p-sommant est faiblement compact et complètement continu, c’est à dire transforme une suite convergeant faiblement vers 0
en une suite convergeant en norme vers 0. On en déduit que si u est p-sommant et
si v est q-sommant, alors v ◦ u est compact.
Si H est un Hilbert séparable, tout opérateur presque sommant est limite en norme
d’opérateurs de rang fini, donc tout opérateur presque sommant est compact. Il serait intéressant d’étudier pour quelles classes d’espaces X et Y les opérateurs presque
sommants de X dans Y sont compacts.
Chapitre 1
Les opérateurs p-sommants
Dans ce chapitre, on rappelle des résultats sur les opérateurs p-sommants et en
particulier les opérateurs 2-sommants. On demontre les inégalités de Khintchine et
Grothendieck que l’on applique aux opérateurs 2-sommants, voir[8]. Une présentation générale des“idéaux d’opérateurs” est donnée par Pietsch, Diestel et Jarchow
[9].
1.1 Espaces des suites p-sommables
On notera X et Y deux espaces de Banach et H un espace de Hilbert. Le dual de X
sera noté X ∗ et la boule unité de X sera notée B X . Pour p > 1 on note q le conjugué
de p, défini par la formule p1 + q1 = 1. On pose q = +∞ si p = 1.
1. On désignera par `p (X ) l’espace des suites absolument p-sommables d’éléments de X dont la norme est :
µ
k(x n )k`p (X ) =
∞
X
kx n k
p
¶ p1
pour 1 ≤ p < +∞
n=1
2. et par `∞ (X ) l’espace des suites bornées, normées par :
k(x n )k`∞ = sup kx n k .
n
3. Lorsque X = C on note simplement `p , p ∈ [1, +∞] . On note par :
4. c 0 (X ) l’espace des suites (x n ) d’éléments de X convergeant vers 0.
5. `faible
(X ) l’espace des suites (x n ) d’éléments de X faiblement p-sommables,
p
P
c’est à dire des suites (x n ) vérifiant n |⟨x ∗ , x n ⟩|p < +∞ pour tout x ∗ ∈ X ∗
muni de la norme :
µ
k(x n )k`faible (X ) = sup
p
∞ ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯p
kx ∗ k≤1 n=1
9
¶ p1
si 1 ≤ p < +∞.
10
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
On pourrait introduire `faible
(X ), l’espace des suites faiblement bornées, mais
∞
ceci ne presente pas d’intérêt car
k(x n )k`faible (X )
=
∞
¯
®¯
sup (sup ¯ x ∗ , x n ¯)
n
kx ∗ k≤1
=
¯
®¯
sup sup ¯ x ∗ , x n ¯
=
k(x n )k`∞ (X )
n kx ∗ k≤1
et en fait `faible
(X ) = `∞ (X ).
∞
L’espace `faible
(X ) est un espace de Banach,[8], p33.
p
1.2 Les opérateurs p-sommants
Définition 1.2.1. Soit X et Y deux espaces de Banach. On suppose que 1 ≤ p < +∞.
Un opérateur u : X → Y est p-sommant si et seulement si il existe une constante c ≥ 0
telle que pour m ∈ N, x 1 , . . . , x m ∈ X , on a :
m
X
m ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x i ¯p .
kux i kp ≤ c p sup
(1.1)
kx ∗ k≤1 i =1
i =1
On voit donc que les opérateurs p-sommants transforment les suites faiblement
p-sommantes en suites fortement p-sommantes. On notera πp (u) la plus petite constante
c telle que (1.1) soit vérifiée. Il est clair que kuk ≤ πp (u). En effet pour m=1, on a :
¡¯
®¯p ¢
kuxkp ≤ πp (u)p sup ¯ x ∗ , x ¯ = πp (u)p kxkp
kx ∗ k≤1
i.e kuxk ≤ πp (u) kxk. On note Πp (X , Y ) l’espace des opérateurs p-sommants dans X
vers Y et Πp (X , Y ) muni de la norme πp est un espace de Banach [8], p38 prop 2.6.
On a alors la “ propriété d’idéal” (ideal property) [8], p 37.
Si u : X −→
on définit u ∗ : Y ∗ −→ X ∗ par la
 ∗ Y ∗est ®un opérateur
® linéaire continu,
∗
∗
formule u (y ), x = y , u(x) , et on a ku k = kuk .
Proposition 1.2.2. Soient X, Y, Z, L des espaces de Banach . Soit u : X → Y un opérateur p-sommant ; v ∈ L (Z , X ) un opérateur linéaire continu et w ∈ L (Y , L) un opérateur linéaire continu. Alors w ◦u ◦v est p-sommant et πp (w ◦ u ◦ v) ≤ kwk πp (u) kvk .
Démonstration. Il suffit d’utiliser la définition des opérateurs p-sommants pour w.
On a
X
X ¯
®¯p
k(u ◦ v)(x i )kp ≤ πp (u)p sup kx ∗ k≤1 ¯ x ∗ , v(x i ) ¯
i
X ¯ ∗ ∗
®¯
¯ v (x ), x i ¯p
=
πp (u)p sup kx ∗ k≤1
≤
πp (u)p sup kx ∗ k≤kvk
i
X ¯ ∗ ®¯p
¯ x , xi ¯
i
=
p
p
kvk πp (u) sup kx ∗ k≤1
X ¯ ∗ ®¯p
¯ x , xi ¯ .
i
1.3. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS 2-SOMMANTS
11
Théorème 1.2.3. (théorème d’inclusion)
Si 1 ≤ p < q < ∞, alors Πp (X , Y ) ⊆ Πq (X , Y ) .
De plus, on a : πq (u) ≤ πp (u) pour tout u ∈ Πp (X , Y ) .
q
−1
Démonstration. Soit x 1 , . . . , x n ∈ X et posons λk = ku(x k )k p .
¡P
¢ 1 ¡P
¢1
Donc ku (λk x k )kp = ku (x k )kq . Par suite nk=1 ku(x k )kq p = nk=1 ku(λk x k )kp p .
¡P
¢1
¡P
¢1
p
Si u est p-sommant, alors nk=1 ku (λk x k )kp p ≤ πp (u) supx ∗ ∈B X ∗ nk=1 λk |⟨x ∗ , x k ⟩|p p .
¡P
¢1
¡P
¢1
p
Donc nk=1 ku (x k )kq p ≤ πp (u) supx ∗ ∈B X ∗ nk=1 λk |⟨x ∗ , x k ⟩|p p . Si de plus, p < q,
alors en appliquant l’inégalité de Hölder sur les indices α =
Ã
n
X
!1
Ã
p
ku (x k )k
q
≤
n
X
πp (u)
k=1
k=1
Ã
≤
pq
q−p
Ã
qp
λk
n ³
X
πp (u)
! q−p
sup
≤
n
X
πp (u)
q
et β = p , On a :
n ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x k ¯q
!1
q
x ∗ ∈B X ∗ k=1
ku(x k )k
q
p −1
qp
´ q−p
! q−p
qp
°
°
°(x k )
°
1≤k≤n `faible
q
k=1
Ã
q
q−p
!
ku(x k )k
q
k=1
1 1
p−q
°
°
°(x k )
°
1≤k≤n `faible .
q
Ceci est équivalent à :
Ã
n
X
!1 Ã
p
ku (x k )k
q
n
X
!1
Ã
q
ku (x k )k
q
≤ πp (u)
k=1
k=1
n
X
!1
p
ku(x k )k
q
°
°
°
°(x k )
1≤k≤n `faible .
q
k=1
Donc, on a :
Ã
n
X
!1
q
ku (x k )k
k=1
q
°
°
≤ πp (u) °(x k )1≤k≤n °`faible .
q
C’est à dire πq (u) ≤ πp (u) .
1.3 Caractérisation des Opérateurs 2-sommants
Définition 1.3.1. Soit X un espace de Banach. On dit qu’un sous-ensemble K de B X ∗
est normant si kxk = supx ∗ ∈K |⟨x ∗ , x⟩| ∀ x ∈ X .
On rappelle que la boule unité B X ∗ de X ∗ est faible ∗ compacte, donc tout sousensemble faible ∗-fermé de B X ∗ est faiblement ∗ compact.
Lemme 1.3.2. Soit X un espace de Banach. On suppose que 1 ≤ p < ∞. On note par
q le conjugué de p défini par p1 + q1 = 1. Si K est un sous-ensemble normant de B X ∗ et
¡P
¢1
faible
si (x n )n≥1 ∈ `p (X ), alors on a : kx n k`faible = supx ∗ ∈K n |⟨x ∗ , x n ⟩|p p .
p
12
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
Démonstration.
kx n k`faible
p
=
sup sup
sup
m x ∗ ∈B X ∗ (a n )∈B `m
¯¿
À¯
¯ ∗ X
¯
¯ x ,
¯
a
x
n
n
¯
¯
n≤m
q
=
sup
¯¿
À¯
X
¯
¯
sup ¯¯ x ∗ ,
a n x n ¯¯
∗
sup
m (a n )∈B `m x ∈B X ∗
n≤m
q
=
sup
sup
m (a n )∈B `m
q
=
sup
°
°
°X
°
°
°
a
x
n n°
°
n≤m
¯¿
À¯
X
¯
¯
sup ¯¯ x ∗ ,
a n x n ¯¯
sup
m (a n )∈B `m x ∗ ∈K
n≤m
q
sup
¯¿
À¯
¯ ∗ X
¯
¯ x ,
¯
a
x
n n ¯
¯
=
sup sup
=
µ
¶1
X ¯ ∗
®¯p p
¯
¯
.
sup
x , xn
m x ∗ ∈K (a n )∈B `m
n≤m
q
x ∗ ∈K
n
La proposition suivante vient de [8], Exemple 2.9.a.
Proposition 1.3.3. Soient K un compact, µ une mesure régulière borelienne, positive
sur K et 1 ≤ p < ∞. Pour tout ϕ ∈ L p (µ), l’opérateur
° de
° multiplication M ϕ : C (K ) −→
L p (K , µ) : f 7−→ f ϕ est p-sommant avec πp (M ϕ ) = °ϕ°L p (K ,µ) .
Démonstration.
A chaque k ∈ K est associé la fonctionnelle δk ∈ C (K )∗ qui vérifie

®
∗
δk , f° =
¯
° f (k). L’ensemble
¯ {δk : k¡∈ K¢ } est normant dans C (K ) , si f est continue sur
°
¯
°
¯
K et f K = maxk∈K f (k) . Soit f n ⊂ C (K ) ; on a par le lemme précédent
°
°
°( f n )° faible
`
(C (K ))
µ
¶1
X ¯
®¯p p
¯
¯
sup
δk , f n
=
p
k∈K
n
µ
¶1
X¯
¯p p
¯
¯
.
sup
f n (k)
=
k∈K
n
Par suite, on a :
µ
X°
°
° M ϕ f n °p
n
L p (K ,µ)
¶1
p
=
µ Z
¶1
X ¯
¯
p
¯ f n ϕ¯p d µ(k)
n
µZ
=
K
K
µ
¶
¶1
¯
¯ X¯
¯
p
¯ϕ(k)¯p
¯ f n (k)¯p d µ(k)
n
¶1
µ
¶1
X¯
¯
¯
¯ p
p
¯ϕ(k)¯p d µ(k) sup
¯ f n (k)¯p
K
k∈K n
° °
°
°
°ϕ°
°( f n )° faible
L p (K ,µ)
`
(C (K )) .
µZ
≤
=
p
1.3. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS 2-SOMMANTS
13
° °
M ϕ est donc p-sommant et πp (M ϕ ) ≤ °ϕ°L p (K ,µ) d’une part, et d’autre part, on a :
πp (M ϕ )
≥
≥
=
°
°
°M ϕ °
°
°
° M ϕ 1°
L p (K ,µ)
° °
°ϕ°
L p (K ,µ) .
Corollaire 1.3.4. Soient K un compact, µ une mesure régulière positive sur K et soit
1 ≤ p < ∞. L’application canonique j p : C (K ) −→ L p (K , µ) est p-sommante avec
1
πp ( j p ) = µ(K ) p .
Démonstration. Il suffit de prendre ϕ = 1 dans la proposition précédente.
P
Lemme 1.3.5. Soient (Ω, , µ) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞. Pour tout ϕ ∈ L p (Ω, µ),
l’opérateur de multiplication
M ϕ : L ∞ (Ω, µ) −→ L p (Ω, µ), f 7−→ f ϕ est p-sommant
° °
avec πp (M ϕ ) = °ϕ°L p (Ω,µ) .
¡
¢
∞ K , µ est l’ensemble des homomorphismes χ :
Démonstration. Le compact L = Lá
L ∞ (Ω, µ) −→ C qui est un sous-ensemble faiblement fermé de la boule unité du dual
L ∞ (Ω, µ). L’isomomorphisme isométrique entre L ∞ (Ω, µ) et C (L) est donnée par la
ˆ
transformationRde Gelfand
R f −→ f : χ −→ χ( f ). Il existe une mesure de probabilité ν
sur L telle que Ω f d µ = L fˆd ν ∀ f ∈ L ∞ (Ω, µ) et on a :
° °
°f °
L p (Ω,µ)
° °
= ° fˆ°L p (L,ν) pour f ∈ L ∞ (Ω, µ).
L ∞ (Ω, µ)
G
ip
¡
¢
L p Ω, µ
/ C (L)
Gp
jp
/ L p (L, ν)
Comme L ∞ (Ω, µ) est dense dans L p (Ω, µ) et C (L) est dense dans L p (L, ν) alors il
existe un isomorphisme isométrique G p : L p (Ω, µ) −→ L p (L, ν) tel que i p = G p−1 ◦ j p ◦
G [2].
P
Corollaire 1.3.6. Soit (Ω, , µ) un espace mesuré fini et 1 ≤ p < ∞. L’application i p :
1
L ∞ (Ω, µ) −→ L p (Ω, µ) est p-sommant avec πp (i p ) = µ(Ω) p .
Démonstration. Il suffit de prendre ϕ = 1 dans le lemme précédent.
Lemme 1.3.7. Soit 1 ≤ p < ∞. L’opérateur diagonal D λ : `∞ −→ `p : (a n ) 7−→ (λn a n ),
est p-sommant avec πp (D λ ) = kλkL p .
Démonstration. Il suffit de remarquer que `∞ = L ∞ (N, µ) avec µ la mesure de comptage. Par suite, il suffit d’utiliser la même démarche que dans le corollaire précédent
tout en tenant compte du fait que λ ∈ `p = L p (µ).
14
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
Théorème 1.3.8. (Théoréme de domination de Pietsch)
Soit u : X → Y un opérateur et K ⊂ B X ∗ un ensemble normant faible ∗-fermé. Alors u
est 2-sommant si et seulement si il existe une constante c et une mesure régulière de
probabilité µ sur K telle que ∀ x ∈ X ,
µZ
kuxk ≤ c
K
¶1
¯ ∗ ®¯2
¡ ¢ 2
¯ x , x ¯ d µ x∗
.
(1.2)
Dans ce cas, la plus petite constante qui vérifie (1.2) est égale à π2 (u).
Démonstration. On suppose qu’il existe une mesure de probabilité µ sur K telle que
(1.2) est satisfait. Pour chaque x i avec i = 1, 2, . . . , m, on a :
Ã
!
m ¯
m
m Z ¯
X
X
X
®¯2
®¯2
¡ ∗¢
∗
∗
2
2
2
¯ x , xi ¯
¯ x , x i ¯ d µ x ≤ c sup
kux i k ≤ c
i =1
kx ∗ k≤1 i =1
i =1 K
u est donc 2-sommant et π2 (u) ≤ c.
Montrons la réciproque :
Soit M une partie finie de X ; on définit g M : K → R; x ∗ 7−→ g M (x ∗ ) par
¯
¡ ¢ X ³
®¯2 ´
kuxk2 − π2 (u)2 ¯ x ∗ , x ¯ .
gM x∗ =
x∈M
Pour chaque partie finie M, g M ∈ C (K , R). Soit Q l’ensemble de tous les g M quand M
parcourt les parties finies de K ; montrons que Q est convexe. Soient M et M’ deux
parties finies de X et 0 < λ < 1 ; on a :
X ³
¯
¡ ¢
¡ ¢
®¯2 ´
λg M x ∗ + (1−λ) g M 0 x ∗
=
λ kuxk2 − π2 (u)2 ¯ x ∗ , x ¯
x∈M
X
+
³
¯
®¯2 ´
(1−λ) kuxk2 − π2 (u)2 ¯ x ∗ , x ¯
x∈M 0
=
µ
°
¯D
E¯2 ¶
X °
1
° 12 °2
¯
¯
°λ ux ° − π2 (u)2 ¯ x ∗ , λ 2 x ¯
x∈M
+
µ
°2
¯D
E¯2 ¶
X °
1
1
°
¯
°
¯
°(1−λ) 2 ux ° − π2 (u)2 ¯ x ∗ , (1−λ) 2 x ¯
x∈M 0
=
X ³° °2
¯
®¯ ´
°u y ° − π2 (u)2 ¯ x ∗ , y ¯2
y∈M "
o n
o
n 1
1
avec M 00 = λ 2 x : x ∈ M ∪ (1 − λ) 2 x : x ∈ M 0 .
° °2
¯
®¯2
1
1
Si y = λ 2 x, avecx ∈ M , ou si y = (1−λ) 2 x, avec x ∈ M 0 ,on a °u y ° −π2 (u)2 ¯ x ∗ , y ¯ ≤
0 puisque
Donc g M (x ª∗ ) ≤ 0 pour tout x ∗ ∈ K et M ∈ Q.
© u est 2-sommant.
∗
Soit ∆ = f ∈ C (K , R) : f (x ) > 0 ∀x ∗ ∈ K . Le cône ∆ est un ouvert convexe, disjoint
de Q. D’après le théorème de Hahn-Banach, il existe L ∈ C (K , R)∗ et δ ∈ R tels que :

®

®
∀ g ∈ Q, ∀ f ∈ ∆,
L, g ≤ δ < L, f
et on peut supposer que kLk = 1.
On voit d’une part que δ ≥ 0 car 0 ∈ Q et d’autre part que δ ≤ 0 car les fonctions
1.3. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS 2-SOMMANTS
15

®

®
constantes positives appartiennent à ∆. On obtient L, g ≤ 0 <® L,Rf ∀ f ∈ ∆, ∀ g ∈
∗
∗
Q. Il existe une mesure regulière
¯ ¯ ∗µ sur
R positive
R K telle∗que L, f = K f (x )d µ(x ) ∀
¯
¯
f ∈ C (K , R). Comme 1 = kLk = K d µ (x ) = K d µ(x ), µ est une mesure de probabilité et on a :
Z ³
¯
®¯2 ´
¡ ¢
kuxk2 − π2 (u)2 ¯ x ∗ , x ¯ d µ x ∗ ≤ 0
K
pour tout x ∈ X . Et cette derniére inégalité nous donne (1.2).
Il est à noter que si K ⊂ B X ∗ est un sous-ensemble normant, alors l’application
i X : X −→ `K∞ , i X (x)(k) = ⟨k, x⟩ est linéaire et isométrique. Si K est un sous ensemble
normant et faible ∗-fermé, alors l’application i X est définie sur X et à valeurs dans
C (K ), et K est compact par le théorème de Banach-Alaoglu.
Définition 1.3.9. On dit qu’un espace de Banach Z est injectif si pour tout espace de
Banach W ; pour tout sous-espace de Banach W0 de W et pour tout opérateur
° ° continu
T : W0 −→ Z , il existe une extension continue T̃ : W −→ Z de T , telle que °T̃ ° = kT k .
Lemme 1.3.10. L’espace `∞ (K ) est injectif, si K est un sous- ensemble normant faible
∗-fermé de B X ∗ .
Démonstration. On considère un opérateur T : W0 −→ `∞ (K ) et πk ◦ T : W0 −→ R
tel que πk ◦ T (w) = πk (T (w)). On pose πk ◦ T = u k . D’après le théorème de HahnBanach, il existe une extension u˜k : W −→ R de même norme que u k . Donc T̃ (w)
=
° °
(u˜k (w))k∈K est une extension de T (w) = (u k (w))k∈K . Montrons maintenant que °T̃ ° =
kT k :
kT k
=
ª
©
sup |T (w 0 )|`∞ (K ) : w 0 ∈ W et kw 0 k ≤ 1
=
sup {|u k (w 0 )| , k ∈ K , w ∈ W0 et kw 0 k ≤ 1}
=
sup {ku k k : k ∈ K } .
et
°
°
°T̃ (w)° (K )
`∞
=
sup |u˜k (w)|
≤
sup ku˜k k kwk
=
sup ku k k kwk
=
kT k .
k∈K
k∈K
k∈K
° °
° °
Donc °T̃ ° ≤ kT k . De plus, on a toujours kT k ≤ °T̃ ° car T̃ est une extension de T .
Proposition 1.3.11. Soit Z un espace de Banach et W un espace contenant Z . Si Z
est injectif, alors il existe une projection P : W −→ Z de norme 1.
Démonstration. Soit Z ⊂ W . Si Z est injectif, alors T = i d : Z −→ Z admet une extension T̃ : W −→ Z de norme 1. On a (T̃ ◦ T̃ )(x) = T̃ (T̃ (x)) = T (T̃ (x)) = T̃ (x) car T = i d .
Donc T̃ est une projection. Réciproquement, considérons i Z : Z −→ `∞ (B Z ∗ ) = W.
16
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
Il existe une projection P : `∞ (B Z ∗ ) −→ Z , de norme 1. Soit V un espace de Banach,
V0 un sous-espace de V . On a pour T : V0 → Z ,on pose l’application S = i Z ◦ T .
/Z
T
V0
iZ
S
#
{
`∞ (B Z ∗ )
Comme
° °`∞ (B Z ∗ ) est injectif, alors il existe une extension S̃ : V −→ `∞ (B Z ∗ ) de S
telle que °S̃ ° = kSk. Mais kSk = ki Z ◦ T k = kT k car i Z est une isométrie.
S
VO
/ `∞ (B Z ∗ )
U
iV
P
V0
iZ
/Z
T
° °
T̃ = P ◦ S est une extension de T = P ◦ S ◦ i W , avec °T̃ ° = kT k .
Théorème 1.3.12. (Théorème de factorisation de Pietsch)
Soit u : X → Y un opérateur et K ⊂ B X ∗ un sous-ensemble normant faible ∗-fermé.
Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. u est 2-sommant.
¡ ¢
2. Il existe une mesure de probabilité µ sur K, un sous-espace vectoriel fermé X 2 d e L 2 µ
et un opérateur û : X 2 → Y tels que :
(a) j 2 ◦ i X (X ) ⊂ X 2 et
(b) û ◦ j 2 ◦i X (x) = ux ∀ x ∈ X . Autrement dit le diagramme suivant commute.
iX
/Y
O
u
X
û
i X (X
_ )
/ X 2
_
j 2X
/ L2 µ
¡ ¢
C (K )
j2
¡ ¢
3. Il existe une mesure de probabilité µ sur K et ũ : L 2 µ → `B∞ ,où B = B Y ∗ (0, 1),
tel que le diagramme suivant commute.
X
iX
u
/Y
iY
/ `B
∞
O
ũ
C (K )
j2
¡ ¢
/ L2 µ
1.3. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS 2-SOMMANTS
17
¡ P ¢
¡ ¢
B
4. Il existe un
¡ ¢ espace probabilisé Ω, , µ et un opérateur ũ : L 2 µ → `∞ et v :
X → L ∞ µ tel que le diagramme suivant commute.
/Y
u
X
iY
/ `B
∞
O
v
ũ
/ L2 µ
¡ ¢
L∞
i2
Donc kũk = kûk = π2 (u). Dans 4., on a considéré que kvk = 1 et kũk = π2 (u) .
Démonstration. 1. ⇒ 2. Si u est 2-sommant, alors d’après le théorème de domination de Pietsch, il existe une mesure de probabilité µ sur K telle que :
kuxk ≤ π2 (u)
µZ
K
¶1
¯ ∗ ®¯2
2
¯ x , x ¯ d µ(x ∗ ) ∀ x ∈ X
¡
¢
Soit S = I m j 2 ◦ i X . L’application ũ : ( j 2 ◦ i X )(x) −→ u(x) est une application de S
dans Y qui est bien définie :
Z
°
°
°( j 2 ◦ i X )(x)°2
L 2 (K ,µ)
=
K
Z
=
K
|i X (x)(k)|2 d µ(k)
|⟨k, x⟩|2 d µ(k)
car [i X (x)] (x ∗ ) = ⟨x ∗ , x⟩ par définition. Autrement dit :
Si ( j 2 ◦i X )(z) = 0, alors u(z) = 0 d’après le théorème de domination de Pietsch. Ainsi :
( j 2 ◦ i X )(x) = ( j 2 ◦ i X )(y)
⇔
( j 2 ◦ i X )(x − y) = 0
⇔
u(z) = 0, z = x − y
⇔
u(x) − u(y) = 0
⇔
u(x) = u(y).
L’application est donc bien définie.
De plus, cette application est continue et kũk ≤ π2 (u).
Soit X 2 la fermeture de S dans L 2 (µ). Alors il existe une extension û : X 2 −→ Y telle
que û ◦ j 2X ◦ i X = u et kûk ≤ π2 (u).
Réciproquement, on a :
π2 (u)
1
=
π2 (û ◦ j 2X ◦ i X )
≤
kûk π2 ( j 2X ) ki X k
≤
kûk π2 ( j 2 ).
Or π2 ( j 2 ) = µ(K ) 2 par le corollaire 1.3.4 et µ(K ) = 1 car µ est une mesure de probabilité. Donc π2 (u) ≤ kûk .
18
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
¯
¯
©
ª
2. ⇒ 3. Par définition : B = B Y ∗ (0, 1) et `B∞ = f : B → C : tel que supb∈B ¯ f (b)¯ < ∞ .
On a le diagramme suivant :
/Y
û
X2
iY
ũ
`B∞

¯
¯
∗ ¯
∗ ¯
car
¯ i Y∗(y)
° effectivement
° ° ∗ ° ° ° une fonction bornée sur la boule unité de Y : i Y (y)(y ) =
®¯ est
¯ y, y ¯ ≤ ° y ° ° y ° ≤ ° y ° . Donc on a :
/Y
ub
X 2 _
iY
/ `∞
B
L 2 (K ; µ)
L’application ũ existe par l’injectivité de `B∞ (ceci est le lemme 1.3.10) qui préserve la norme.
kũk
=
ki Y ûk
=
kûk
=
π2 (u) d’après 2.
j∞
i2
3. ⇒ 4.. Il est clair qu’on peut définir j 2 : C (K ) → L ∞ (µ) → L 2 (µ). Donc en posant
v = j ∞ ◦ i X dans 3.), on obtient 4..
4. ⇒ 1. On sait que l’opérateur i 2 : L ∞ (µ) −→ L 2 (µ) est 2-sommant, i Y ◦ u est donc
2-sommant par la propriété d’idéal (pr op1.2.2). Par définition des opérateurs 2sommants
P
P
2
∗ 2
n k(i Y ◦ u) (x n )k ≤ supkx ∗ k≤1 n |⟨(i Y ◦ u) (x n ), x ⟩| . Mais i Y est une isométrie. Donc
P
P
2
∗ 2
n ku(x n )k = n |⟨(i Y ◦ u) (x n ), x ⟩| . k(x n )k`faible (X ).
2
Corollaire 1.3.13. u : X → Y est 2-sommant
si il existe une mesure
¡ si¡ et¢ seulement
¢
de probabilité µ sur un compact K et ũ ∈ L L 2 µ , Y tel que le diagramme suivant
commute
X
iX
u
ũ
C (K )
/Y
O
j2
¡ ¢
/ L2 µ
et on a dans ce cas kũk = π2 (u) .
Démonstration. On suppose que u est 2-sommant. D’après le théorème de factorisation de Pietsch, il existe une¡ mesure
régulière de probabilité µ sur K, un sous¢
espace vectoriel fermé X 2 de L 2 µ et un opérateur û : X 2 → Y tels que û◦ j 2 ◦i X (x) =
1.4. LES INÉGALITÉS DE KHINTCHINE ET GROTHENDIECK
19
¡ ¢
ux ∀ x ∈ X et π2 (u) = kûk. Soit P la projection orthogonale de L 2 µ sur X 2 . Donc
ũ = ûP satisfait ũ ◦ j 2 ◦ i X = u. D’une part,
u
X
iX
û
i X (X )
XO 2
P
C (K )
kũk
/Y
O
j2
¡
¢
/ L2 K ; µ
=
kûP k ≤ kûk kP k ≤ kûk
=
π2 (u) .
et d’autre part ũ est une extension de û, donc kũk ≥ kûk = π2 (u) .
Corollaire 1.3.14. Tout opérateur 2-sommant u : X → Y admet une factorisation de
¡ ¢ i2
¡ ¢ ũ
v
la forme u : X → L ∞ µ → L 2 µ → Y où µ est une mesure de probabilité de Radon,et
où v et ũ sont des opérateurs linéaires continus tels que kvk = 1 et kũk = π2 (u) .
Démonstration. Utiliser 4. dans le théorème de factorisation de Pietsch puis faire la
même démonstration que pour le corollaire 1.3.13.
Corollaire 1.3.15. Soient X , Y , Z trois espaces de Banach avec X ⊂ Z . Si u : X → Y est
un opérateur 2-sommant, alors il existe une extension de u, notée ũ : Z → Y qui est
aussi 2-sommant avec π2 (ũ) = π2 (u) .
Démonstration. Soit u : X → Y un opérateur 2-sommant. L’opérateur u admet donc
¡
¢ i2
¡
¢w
v
une factorisation de la forme u : X → L ∞ K , µ → L 2 K , µ → Y avec µ une mesure
de probabilité de Radon, kvk = 1 et kwk = π2 (u) . Comme L ∞ (K , µ) est injectif, alors
¡
¡ ¢¢
¡ ¢ i2
ṽ
v admet une extension ṽ ∈ L Z , L ∞ µ avec kṽk = 1. D’où on a ũ : Z → L ∞ µ →
¡ ¢ w
L 2 µ → Y et par conséquent ũ est 2-sommant. De plus, ũ = w ◦ i 2 ◦ ṽ et π2 (ũ) ≤
kwk π2 (i 2 ) kṽk = π2 (u) . Puisque ũ est une extension de u, alors π2 (ũ) ≥ π2 (u) . Donc
π2 (ũ) = π2 (u) .
1.4 Les inégalités de Khintchine et Grothendieck
Il est à noter que les fonctions de Rademacher jouent un rôle très important dans
l’inégalité de Khintchine. On définit les fonctions de Rademacher r n : [0, 1] → R, n ∈
N, par r n (t ) = sign (sin(2n πt )). La caractéristique la plus importante de ces fonctions
est qu’elles ont des propriétés d’orthogonalités. On£peut ajouter d’où
¤ elles
R viennent :
Si n < m, r n est constant sur les intervalles I j = j 2−n , ( j + 1)2−n et I j r n (t )d t =
20
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
P R
0 ∀ j. Donc j I j r n (t )r m (t )d t = 0.
Si 0 < n 1 < n 2 < · · · < n k et p 1 , p 2 , . . . , p k sont positifs ou nuls, alors
1
Z
0
p
p
r n11 (t ) . . . r nkk (t )d t
=
(
1
0
si t ous l es p j sont pai r s
sinon
Une conséquence
est que les r n forment une suite orthonormale dans
R 1 immédiate
P
P
L 2 [0, 1] et on a : 0 | n a n r n (t )|2 d t = n |a n |2 ∀ (a n ) ∈ `2 .
Théorème 1.4.1. (Inégalité de Khintchine)
Pour 0 < p < +∞, il existe des constantes positives A p et B p telles que pour toute suite
(a n ) ∈ `2 , on a :
Ap
µ
X
|a n |
2
¶1
2
¯p ¶ 1
µZ 1 ¯
µ
¶1
p
X
¯X
¯
2
2
¯
¯
|a n |
≤
,
¯ a n r n (t )¯ d t ≤ B p
0
n
n
n
r n étant la suite de Rademacher définie ci-dessus.
Démonstration. On traite ici le cas où p = 4, qui est le cas que nous utiliserons plus
loin.
=
¯4
Z 1¯ X
¯
¯
¯
¯ dt
a
r
(t
)
n n
¯
¯
0 n≤m
Ã
!
Ã
!Ã
!Ã
!
Z 1 X
X
X
X
a i r i (t )
a j r j (t )
a k r k (t )
a l r l (t ) d t
0
i ≤m
X
=
j ≤m
ai a j ak al
0
i , j ,k,l ≤m
=
X
3
i , j ≤m
≤
3
X
i
=
3
a i2
µ
X
n
a i2 a 2j − 2
X
a n2
j
i ≤m
l ≤m
r i (t ) r j (t ) r k (t ) r l (t ) d t
a i4
a 2j
¶2
.
Par suite, on a :
°
°
°X
°
°
°
a
r
n
n
°
°
n≤m
X
k≤m
1
Z
L 2 [0,1]
°
°
°
°X
°
≤°
a
r
n
n
°
°
n≤m
L 4 [0,1]
°
°
°
1 ° X
°
≤ 34 °
a
r
n
n
°
°
n≤m
L 2 [0,1]
1
Donc on peut poser B 4 = 3 4 et A 4 = 1.
Le cas général est traité dans les pages 11 − 12 de[8].
Théorème 1.4.2. (Théorème de Grothendieck)
Tout opérateur linéaire continu u : `1 → `2 est absolument sommant.
.
1.4. LES INÉGALITÉS DE KHINTCHINE ET GROTHENDIECK
21
Dans la suite, B H désigne la boule unité d’un espace de Hilbert H.
La demonstration du théorème est basée sur le résultat suivant.
Théorème 1.4.3. (Inégalité de Grothendieck)
Soit H un espace de Hilbert réel de dimension n, (a i j )i , j ≤1 une matrice n × n et soient
x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ B H . On a :
¯
¯
¯
¯
(¯
)
(¯
)
¯X
¯
¯
¯X
¯X
¯ ¯
®¯¯

¯
¯
¯
¯
0¯
0
¯
¯
¯ a i j x i , y j ¯ ≤ KG sup ¯ a i j s i t j ¯ : |s i | ≤ 1; t j ≤ 1 = KG sup ¯ a i j ²i ² j ¯ : ²i , ² j = ±1
¯
¯
¯
¯i,j
¯i,j
¯i,j
où KG est une constante universelle appelée constante de Grothendieck.
¯
¯ ¯
©¯P
ª
¯
¯
¯ ¯
Démonstration.
On
©¯P
 pose
®¯ : A = sup ªi , j a i j s i t j : |s i | ≤ 1; t j ≤ 1 et
B = sup ¯ i , j a i j x i , y j ¯ : x i , y j ∈ B H
On va d’abord construire un plongement de H dans L 2 ([0, 1]). Soit (e n )n une base orP
thonormale de H . Si x ∈ H , x = ∞
n=1 ⟨x, e n ⟩ e n ∈ H . On note ζn = ⟨x, e n ⟩ . On définit
P
X : [0, 1] −→ R par XR(t ) = n ζn r n (t ) où les r n sont des variables de Rademacher. Il
P
P
1
est clair que kX k22 = 0 (X (t ))2 d t = n ζ2n = kxk2 . Donc ∀ x, y ∈ H , avec y = n η n e n ;

®
R1
P
on a : ⟨X , Y ⟩ = 0 X (t ) Y (t ) d t = n ζn η n = x, y . L’application ϕ : H −→ L 2 ([0, 1])
qui à x associe X est un plongement, c’est à dire une isométrie sur son image. On
va travailler avec X au lieu de x et bénéficier de l’inégalité de Khintchine. Soit donc
x ∈ H et M > 0. On définit X L et X U dans L 2 [0, 1] par :
(
L
X (t ) =
X (t )
si |X (t )| ≤ M ,
M sign (X (t )) si |X (t )| > M .
et X U (t ) := X (t ) − X L (t ). Alors X L (t ) est uniformément
borné sur [0, 1] . Si,pour un
¯
¯
t ∈ [0, 1], X U (t ) 6= 0, alors |X (t )| > M et ¯ X U (t )¯ = |X (t )| − M . Utilisons
³ l’inégalité´
p p
2
q −q
s
∀ m, s > 0 qui découle de la formule ab = inft >0 a pt + b qt
suivante : s ≤ m + 4m
¯
¯
(t )|2
pour a, b > 0. On pose s = |X (t )| et m = M . L’inégalité devient : ¯ X U (t )¯ ≤ |X4M
si
X U (t ) 6= 0 ,l’inégalité trivialement satisfaite si X U (t ) = 0. Par suite
Z
0
1¯
¯
¯ X U (t )¯2 d t
≤
≤
≤
Z 1
1
|X (t )|4 d t
16M 2 0
1
kX k4L 4
16M 2
3
kX kL 2
d’après l’inégalité de Khintchine, th 1.4.1
16M 2
p
°
°
Donc on a : ° X U °L 2 ≤ 4M3
¯
¯
¯X

® ¯¯
¯
¯ ai j xi , y j H ¯
¯i,j
¯
¯Z
¯
¯
¯ 1X
¯
¯
= ¯
a i j X i (t ) Y j (t ) d t ¯
¯ 0 i,j
¯
22
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
¯Z
¯
¯ 1X
³
´ ¯
¯
¯
a X (t ) Y jU (t ) + Y jL (t ) d t ¯
¯
¯ 0 i,j i j i
¯
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯ 1X
¯ ¯ 1X
¯
¯
¯ ¯
¯
U
L
a i j X i (t ) Y j (t ) d t ¯ + ¯
a i j X i (t ) Y j (t ) d t ¯
¯
¯ 0 i,j
¯ ¯ 0 i,j
¯
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯ 1X
¯ ¯ 1X
¯
¡ U
¢ L
¯
¯ ¯
¯
U
L
a i j X i (t ) Y j (t ) d t ¯ + ¯
a i j X i (t ) + X i (t ) Y j (t ) d t ¯
¯
¯ 0 i,j
¯ ¯ 0 i,j
¯
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯ 1X
¯ ¯ 1X
¯
¯
¯ ¯
¯
a i j X i (t ) Y jU (t ) d t ¯ + ¯
a i j X iU (t ) Y jL (t ) d t ¯
¯
¯ 0 i,j
¯ ¯ 0 i,j
¯
¯Z
¯
¯ 1X
¯
¯
¯
+¯
a i j X iL (t ) Y jL (t ) d t ¯ .
¯ 0 i,j
¯
=
≤
≤
≤
¯R P
¯
¯R P
¯
¯ 1
¯
¯ 1
¯
On pose : A 0 = ¯ 0 i , j a i j X iL (t ) Y jL (t ) d t ¯ , B 0 = ¯ 0 i , j a i j X i (t ) Y jU (t ) d t ¯ et C =
¯R P
¯
¯ 1
¯
¯ 0 i , j a i j X iU (t ) Y jL (t ) d t ¯ . Donc
¯
¯Z
L
¯ 1X
Y jL (t ) ¯¯
X
(t
)
¯
i
·
d t ¯ = M 2 A.
A0 = M 2 ¯
a
¯
¯ 0 i,j i j M
M
¯
¯
¯X
¯

®
¯
¯
B = ¯ a i j X i , y j L 2 [0,1] ¯
¯i,j
¯
0
≤
i
≤
≤
¯
¯
¯X
¯
D
E
¯
¯
U L
C = ¯ ai j X i , y j 2
¯
¯i,j
L [0,1] ¯
Donc, on a : B ≤
p
3
2M B
+ M 2 A. i.e B ≤
81
16 A.
°
°
°
°
B sup kX i kL 2 [0,1] sup °Y jU °
L 2 [0,1]
j
p
° °
3
B kX i k °Y j °
4M
p
3
B.
4M
≤
° °
°
°
° °
B sup ° X iU °L 2 [0,1] sup °Y jL °
≤
p
3
B.
4M
i
3
2Mp
2M − 3
pour M >
j
p
3
2 .
L 2 [0,1]
En prenant M =
p
3 3
4
; on
a:B≤
Pour terminer la démonstration,
il suffit ¢de noter que l’opérateur a : `n∞ −→ `n1 soit
¡
P
défini par la formule a(e j ) = a 1 j , . . . , a n j = ni=1 a i j e i pour 1 ≤ j ≤ n. On a :
¯
)
(¯
¯X
¯
¯
¯ ¯
®¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
kak`n∞ −→`n = sup
x, a(y) = sup ¯ a i j s i t j ¯ : |s i | ≤ 1, t j ≤ 1 .
1
¯i,j
¯
kxk n
`∞ ≤1
Donc
kak`n∞ −→`n =
1
¯
®¯
sup ¯ ², a(y) ¯ =
²∈{−1,1}n
n¯D
E¯
o
¯
®¯
0 ¯
0
¯
sup ¯ a ∗ (²), y ¯ = sup ¯ a ∗ (²), ² ¯ : ², ² ∈ {−1, 1}n
²∈{−1,1}n
1.4. LES INÉGALITÉS DE KHINTCHINE ET GROTHENDIECK
23
¡ ¢∗
car {−1, 1}n est un sous-ensemble normant de la boule unité de `n∞ ' `n1 .
Finalement :
kak
`n∞ −→`n1
¯
(¯
)
¯
¯X
©¯
®¯
ª
¯
0 ¯
0
0¯
n
¯
= sup ², a(² ) : ², ² ∈ {−1, 1} = sup ¯ a i j ²i ² j ¯ = ±1
¯
¯i,j
¡ ¢1
Il est à noter que G.Pisier a montré que KG ≤ π2 2 .[18]
Démonstration du théorème de Grothendieck.
On suppose que kuk ≤ 1. Soit (x n ) une suite inconditionnellement sommable dans
P
P
P
∗
`1 . Donc pour ²n ∈ {−1, 1} , ²n x n converge dans `1 et k ²n x n k ≤ supx ∗ ∈B `
n |⟨x , x|⟩ =
∞
kvk . où v est un opérateur de `∞ = `∗1 dans `1 , voir[8],page 9 théorème 1.9.
P
Montrons que ni=1 kux i k`2 < ∞.
Soit m ∈ N et δ > 0 fixés. On choisit n ≥ m et des vecteurs y 1 , . . . , y m ∈ `n1 ⊂ `1 tels que
°
°
°x i − y i ° ≤ δ ∀1 ≤ i ≤ m.
2i
P
Si n > m, on pose y m+1 = · · · = y n = 0. On écrit y i = nj=1 a i j e j pour 1 ≤ i ≤ n, où
(e 1 , . . . , e n ) désigne la base canonique de `n1 . On a :
n °
X
°
°u y i °
`2
=
i =1
=
° Ã
!°
°
n °
n
X
° X
°
ai j e j °
°u
°
°
i =1
j =1
`
°
° 2
°
n °X
n
X
°
°
° a i j u(e j )° .
°
°
i =1 j =1
`2
°P
°
°
°
Pour i ≤ n, il existe z i ∈ B `n2 tel que ° nj=1 a i j u(e j )°
`2
tient
n °
n
X
X
°
°u y i ° =
`2
i =1
*
zi ,
i =1
n
X
j =1
D P
E
= z i , nj=1 a i j u(e j ) . On ob-
+
a i j u(e j ) =
X

®
a i j z i , u(e j ) .
i,j
D’autre part, on a, pour ²i = ±1,
°
°
°X
°
n
°
°
° ²i y i °
°i =1
°
=
`1
=
=
=
°
Ã
!°
°X
°
n
n
X
°
°
ai j e j °
° ²i
°i =1
°
j =1
`
° Ã
! ° 1
°X
°
n
n
X
°
°
² a e °
°
° j =1 i =1 i i j j °
`1
¯
¯
¯
n ¯X
n
X
¯
¯
¯ ²i a i j ¯
¯
¯
j =1 i =1
¯
)
(¯
¯X 0
¯ 0
¯
¯
max ¯ ²i ² j a i j ¯ : ² j = ±1 .
¯
¯i,j
24
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
D’après la variante de l’inégalité de Grothendieck, on obtient
n °
X
°
°u y i °
`2
=
i =1
≤
=
¯
¯
¯X

®¯¯
¯
¯ a i j z i , u(e j ) ¯
¯
¯i,j
¯
(¯
)
¯
¯X
n
0
¯
¯
KG max ¯ ²i ² j a i j ¯ : ²i = ±1, ² j = ±1
¯
¯i =1
°
(°
)
°
°X
n
°
°
KG max ° ² j y j ° : ² j = ±1 .
°
° j =1
On obtient
n
X
kux i k`2
n °
X
°
°u y i ° + δ
`2
≤
i =1
i =1
°
(°
)
°X
°
n
°
°
KG max ° ² j y j ° : ² j = ±1 + δ.
° j =1
°
≤
On a :
°
°
°X
°
n
°
°
° ²j y j °
° j =1
°
≤
`1
≤
°
°
°X
°
n
n ¯ ¯°
X
°
°
°
¯² j ¯ °x j − y j °
° ²j x j ° +
° j =1
°
j =1
`
°
° 1
°X
°
n
°
°
° ² j x j ° + δ.
° j =1
°
`1
Finalement :
n
X
ku(x i )k`2
°
°
° X
°
n
°
°
KG max ° ² j x j °
° j =1
°
≤
i =1
`1
Pn
i =1
: ² j = ±1 + (1 + KG ) δ

KG kvk + (1 + KG ) δ
≤
Donc


pour tout δ > 0.
ku(x i )k`2 ≤ KG kvk ≤ +∞.
Corollaire 1.4.4. Soient n et N deux entiers naturels, et u : `n1 → `2N un opérateur.
Alors, pour x 1 , . . . , x m ∈ `n1 ,
m
X
n=1
°m
°
°X
°
°
kux i k`N ≤ KG kuk sup °
²
x
i i°
°
2
Démonstration. Soit x i =
²i =±1 n=1
Pn
j =1 a i j e j
.
`n1
∈ `n1 et z i ∈ B `N tels que ku (x i )k = ⟨z i , u (x i )⟩ .
2
1.5. APPLICATION AUX ESPACES L P
25
On a
n
X
i =1
kux i k`N
2
=
° Ã
!°
°
n
X°
° X
°
ai j e j °
°u
°
°
i =1
j =1
`2N
=
*
n
X
Ã
zi , u
n
X
!+
ai j e j
j =1
i =1
*
=
X
kuk a i j
zi ,
i,j
*
=
kuk
X
ai j
zi ,
¡ ¢+
u ej
kuk
¡ ¢+
u ej
kuk
¯
(¯
)
¯X
¯
¯
¯
kuk KG sup ¯ a i j ²i ² j ¯ : ²i , ² j = ±1 d’après l’inégalité de Grothendieck
¯i,j
¯
¯
¯
(
)
¯
n ¯ ¯¯X
n
X
¯
¯
¯
¯
KG kuk sup
² j ¯ a i j ²i ¯ : ²i = ±1
¯i =1
¯
j =1
¯
¯
¯
n ¯X
n
X
¯
¯
KG kuk
¯ a i j ²i ¯
¯
¯
j =1 i =1
°
°
°X
°
n
°
°
KG kuk sup ° ²i x i ° .
° N
²i =±1 °i =1
i,j
≤
≤
≤
≤
`1
1.5 Application aux espaces L p
Définition 1.5.1. On dit qu’un espace de Banach X est L p,λ avec 1 ≤ p ≤ ∞ et 1 ≤
λ < +∞, si pour tout sous-espace vectoriel E de dimension finie de X, il existe un sousespace vectoriel°F °de
finie de X contenant E et un isomorphisme φ : F →
° dimension
°
)
tel que °φ° °φ−1 ° ≤ λ.
`dim(F
p
Définition 1.5.2. On dit que X est un espace L p s’il est un espace L p,λ pour un λ ≥ 1.
Théorème 1.5.3. Si X est un espace L 1,λ et Y un espace L 2,λ0 , alors tout opérateur
0
u : X → Y est 1-sommant avec π1 (u) ≤ KG · λ · λ kuk .
Démonstration. Soit (x 1 , . . . , x m ) ∈ X . Si X est L 1,λ , alors il existe un sous-espace vectoriel E de dimension finie qui°contient
{x 1 , . . . , x m } et un isomorphisme v : E → `n1 ,
°
avec dim(E ) = n et tel que kvk °v −1 ° < λ. Si Y est L 2,λ0 , alors u (E ) est contenu dans
un sous-espace vectoriel F de dimension finie
il existe un isomorphisme
° et°tel qu’
0
w : F → `2N , avec dim(F ) = N et tel que kwk °w −1 ° < λ . Soit u 0 : E → F la restriction
26
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
de u à E et définissons l’opérateur ρ : `n1 −→ `2N par la formule ρ = w ◦ u 0 ◦ v −1 .
`n1
ρ
v −1
/E
u0
`2N o
w
F
Puisque v, w sont des isomorphismes et puisque u 0 est borné, ρ l’est aussi. On écrit :u o =
w −1 ◦ ρ ◦ v, d’où :
m
X
ku (x i )kY
=
m
X
ku 0 (x i )kY
i =1
i =1
≤
m °
° −1 ° X
°
°w ° °ρ (v (x i ))°
`2N
i =1
≤
°
°
°X
°
m
° −1 °
° °
°
°w ° KG °ρ ° sup °
° ²i v (x i )°
°
°
²i =±1 i =1
`n1
≤
≤
≤
≤
°
°
°X
°
m
° −1 °
° −1 °
°
°w ° KG kwk ku 0 k °v ° kvk sup ° ²i x i °
°
°
²i =±1 °i =1
X
¯
¯
¯
¯
m
X

®
0
¯
¯
λ · λ KG kuk sup sup ¯ ²i x ∗ , x i ¯
¯
kx ∗ k≤1 ²i =±1 ¯i =1
0
λ · λ KG kuk sup
m ¯
X
®¯
¯ x ∗ , xi ¯
kx ∗ k≤1 i =1
0
°
°
°
λ · λ KG kuk °(x i )m
1 `faible .
1
¡
¢
Proposition 1.5.4. Soit Ω, µ un espace mesuré.
¡ ¢
1. Les espaces de Lebesgue L p µ sont des espaces L p pour 1 ≤ p ≤ +∞.
2. L’espace C (K ) des fonctions continues sur un compact K est un espace L ∞ .
Démonstration. Voir [8],page 61.
Théorème 1.5.5. Soit K un compact et µ une mesure. Si 1 ≤ p ≤ 2, alors l’opérateur
u : C (K ) −→ L p (µ) est 2-sommant avec π2 (u) ≤ KG · kuk .
Le théorème découle de la proposition et du lemme suivant :
Lemme 1.5.6. Soit 1 ≤ p ≤ 2 et n, N deux entiers naturels. Tout opérateur u : `n∞ → `N
p
satisfait π2 (u) ≤ KG kuk .
Démonstration. On veut montrer que : ∀ x 1 , . . . , x m ∈ `n∞ ,
Ã
m
X
k=1
!1
2
kux k k2
Ã

!1
 X

2
m ¯
®¯
¯ x ∗ , x k ¯2 ; x ∗ ∈ B `n .
≤ KG kuk sup
1
 k=1

(1.3)
1.5. APPLICATION AUX ESPACES L P
27
Soient n 1 et n 2 deux
¡ entiers,¢ avec¡n 1 < n 2 . ¢
On
note
Π
:
Cn2 sur Cn1 et j n1 ,n2 :
n
,n
¡
¢ 1 2 ¡ x 1 , . . . , x n2 −→ ¢x 1 , . . . , x n1 la projection de
n1
x 1 , . . . , x n1 −→ x 1 , . . . , x n1 , 0, . . . , 0 l’injection naturelle de C dans Cn2 . On a :Πn1 ,n2 ◦
j n1 ,n2 = I d Cn1 .
On peut supposer que m ≥ n. En effet si m < n, il suffit de remplacer (x 1 , . . . , x m ) par
j m,n (x 1 , . . . , x m ) .
N
Si m > n, on pose ũ = u ◦ Πm,n : `m
∞ −→ `p . On a :u = ũ ◦ j n,m et il résulte du principe
de l’idéal que π2 (u) = π2 (ũ). Donc on peut supposer que m = n.
Si N < n, posons ũ = j N ,n ◦ u :−→ `np . On a :ΠN ,n ◦ ũ = u et il résulte du principe de
l’idéal que π2 (u) = π2 (ũ).
N
Si N > n, posons ũ = u ◦ Πn,N : `∞
−→ `N
p . On a : ũ ◦ j n,N = u et il résulte du principe
de l’idéal que π2 (u) = π2 (ũ). Donc on peut supposer que m = n = N .(dans le cas
où n < N , on se ramène au cas où n = N et on peut de nouveau modifier m de façon
m = n = N ). Puisqu’on veut établir la formule (1.3), on peut supposer
° ànobtenir
°
°(x k ) ° faible = 1 par linéarité.
¡ k=1¢ `2
¡ ¢ P
Soit e j 1≤ j ≤n une base de `n∞ et (u i j )1≤i , j ≤n la matrice de u. On a : u e j = ni=1 u i j e i .
Pour 1 < p < +∞, on définit q le conjugué de p par la formule p1 + q1 = 1. Donc
³ ´∗
¡ ¢
¡ ¢
¡
¢
`np ∼
= `nq . Soit y = y i i ≤n ∈ B `nq et s = (s i )i ≤n . Si t = t j j ≤n ∈ B `n∞ et y s = y 1 s 1 , . . . , y n s n ∈
B `nq , alors on a :
¯
¯
¯X
¯
¯
®¯
¯
¯
¯ u i j y i s i t j ¯ = ¯ y s , u (t ) ¯`q ×`p
¯i,j
¯
° °
≤ ku(t )k`p ° y s °`n
q
° °
≤ kuk`n∞ →`np kt k`n∞ ° y s °`n
q
≤
kuk`n∞ →`np .
¡
¢
Appliquons l’inégalité de Grothendieck sur la matrice u i j y i . Pour w i , z j ∈ B `n2 , on
a:
¯
¯
¯
)
(¯
¯X
¯X
¯

®¯¯
¯
¯
¯
(1.4)
¯ u i j y i w i , z j ¯ ≤ KG sup ¯ u i j y i s i t j ¯ , ksk`n∞ ≤ 1, kt k`n∞ ≤ 1
¯i,j
¯
¯i,j
¯
KG kuk .
≤
(1.5)
¡
¢n
On va choisir judicieusement les vecteurs de w i et z j . Soit z j = x k j k=1 , où x k =
Pn
x e ; z j est formé des jème coordonnées des vecteurs x k , k = 1, . . . , n. Obserk=1 k j j
vons que z j ∈ B `n2 car
Ã
n ¯
X
¯
¯x k j ¯2
k=1
Soit w i ∈ B `n2
(1.4)
!1
2
Ã
n ¯
X
®¯
¯ x k , e j ¯2
=
!1
k=1
2
°
°
≤ °(x k )nk=1 °`faible = 1.
2
°
Pn
® °
°Pn
°
tel que
u
y
z
,
w
=
u
y
z
°
° . Par suite, on a d’après
i
j
i
j
i
i
j
i
j
i =1
j =1
`2
°
°
°
n °X
n
X
°
°
° ui j y i z j °
°
°
i =1 j =1
`2
≤ KG kuk ,
28
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
c’est à dire
¯2 ! 12
¯
Ã
¯
n ¯X
n
n
X
X
¯
¯
≤ KG kuk
¯ ui j y i xk j ¯
¯
¯
i =1 k=1 j =1
ou encore
¯2 ! 12
¯
Ã
¯
n ¯ ¯ X
n ¯X
n
X
¯
¯
¯yi ¯
≤ KG kuk
¯ ui j xk j ¯
¯
¯
i =1
k=1 j =1
pour t out y ∈ B `nq .
En prenant le sup sur y ∈ B `nq , on obtient
°
°
°
°Ã
¯
¯2 ! 12
°
° X
¯
n ¯X
n
°
°
¯
¯
°
°
¯ ui j xk j ¯
°
° k=1 ¯ j =1
¯
°
i =1,...,n °
≤ KG kuk ,
`np
ou encore
1
¯
¯2 ! p2 p
Ã
¯
n
n ¯X
n
X
X


¯
¯
¯ ui j xk j ¯
 ≤ KG kuk .

¯
¯
i =1 k=1 j =1

Pour x 1 , . . . , x n ∈ `n∞ , on a finalement
Ã
n
X
k=1
!1
kux k k2`n
p
¯p ! 2  21
Ã ¯
¯ p
n
n ¯X
n
X
X
¯
¯


¯ ui j xk j ¯
¯
¯
k=1 i =1 j =1

2
=
=
1

°Ã ¯
°
¯p !
°
°
¯
n ¯X
n
X
°
°
¯
¯
°
°
°
¯ u x ¯
°
° i =1 ¯ j =1 i j k j ¯
°
k=1,...,n
p
`n2




p
1

≤
p
°Ã¯
¯p !
X
¯X
¯
n °
n
 °
¯
¯
°
 ° ¯ ui j xk j ¯
¯
i =1 ° ¯ j =1
°
°
°
°
°
°
k=1,...,n
`n2




p

p
2
1
=
¯
¯2 ! p
Ã
¯
n
n ¯ n
X X ¯ X
¯

¯ ui j xk j ¯


¯
¯
i =1 k=1 j =1
≤
KG kuk .
Théorème 1.5.7. Soit 1 ≤ p ≤ 2. Si X est un espace L ∞,λ et Y est un espace L p,λ0 ,
0
alors tout opérateur u : X −→ Y est 2-sommant et π2 (u) ≤ KG · λ · λ kuk .
Démonstration. Soit (x 1 , . . . , x m ) ⊂ X . Si X est L ∞,λ , alors il existe un sous-espace
vectoriel E de dimension finie qui contient {x 1 , . . . , x m } et un isomorphisme v : E →
1.5. APPLICATION AUX ESPACES L P
29
°
°
`n∞ , avec dim(E ) = n et tel que kvk °v −1 ° < λ. Si Y est L p,λ0 , alors u (E ) est contenu
dans un sous-espace vectoriel F de dimension
° finie
° tel qu’il existe un isomorphisme
°w −1 ° < λ0 . Soit u 0 : E → F la restriction
kwk
w : F → `N
,
avec
dim(F
)
=
N
et
tel
que
p
−1
de u à E et définissons l’opérateur ρ : `n∞ −→ `N
p par la formule ρ = w ◦ u 0 ◦ v .
`n∞
ρ
m
X
!1
Ã
2
ku (x k )k2Y
=
k=1
m
X
/E
u0
o
`N
p
Ã
v −1
F
w
!1
2
ku 0 (x k )k2Y
k=1
≤
Ã
!1
2
m °
° −1 ° X
°
°w °
°ρ (v (x k ))°2 N
`
≤
° −1 °
° °°
°
°w ° KG °ρ ° °(v(x k ))m °
p
k=1
`faible
(`n∞ )
2
1
Ã
=
° −1 °
° °
°w ° KG °ρ °
sup
kφ∗ k`n1 ≤1
=
sup
kφ∗ k`n1 ≤1
m ¯
X
®¯
¯ φ∗ ◦ v, x k ¯2
≤
sup
kψ∗ kX ∗ ≤kvk
m ¯
X
®¯
¯ ψ∗ , x k ¯2
≤
≤
≤
!1
!1
2
m ¯
X
®¯
¯ ψ∗ , x k ¯2
sup
kψ∗ kX ∗ ≤1 k=1
° −1 °
°
°
°
°
°w ° kwk KG kvk °v −1 ° kuk °(x k )m ° faible
1 `2
°
°
°
λλ0 KG kuk °(x k )m
1 `faible .
2
2
k=1
Ã
° °°
°
KG °ρ ° °w −1 ° kvk
2
k=1
Ã
° °°
°
KG °ρ ° °w −1 °
!1
k=1
Ã
° °°
°
KG °ρ ° °w −1 °
m ¯
X
®¯
¯ φ∗ , v(x k ) ¯2
!1
2
30
CHAPITRE 1. LES OPÉRATEURS P-SOMMANTS
Chapitre 2
Les Opérateurs de
Hilbert-Schmidt
L’objectif de ce chapitre est de donner d’une part une caractérisation des opérateurs de Hilbert-Schmidt et d’autre part une factorisation de ces opérateurs en
utilisant l’inégalité de Grothendieck.
2.1 Les Opérateurs Compacts
On introduit maintenant la classe de Schatten von Neumann S p (H1 , H2 ) pour
1 ≤ p ≤ +∞.
Définition 2.1.1. Un opérateur u appartient à S p (H1 , H2 ) si et seulement si on a :
P
P∞
p
ux = ∞
n=1 τn ⟨x, e n ⟩ f n où
n=1 |τn | < +∞, avec e n un système orthonormal de H1
et f n un système orthonormal de H2 . L’espace S p (H1 , H2 ) est muni de la norme
σp (u) =
µ
∞
X
|τn |
p
¶ p1
µ
=
∞
X
a n (u)
p
¶ p1
,
n=1
n=1
où a n (u) = inf {ku − vk , v ∈ L (H1 , H2 ) et d i m(v) < n}
On rappelle qu’un opérateur linéaire u : X −→ Y est compact si u (B X ) est un
sous-ensemble relativement compact de Y . On a le résultat classique suivant([8],th
4.6p81).

®
Théorème 2.1.2. (a) Un opérateur u : H1 → H2 est compact si et seulement si ue n , f n →
0 quand n¡ →¢ +∞ pour toute suite orthonormale (e n ) de H1 , et pour toute suite orthonormale f n de H2 .
(b) Soit 1 ≤¯p < +∞.®¯ Un opérateur u : H1 → H2 appartient à S p (H1 , H2 ) si et seuleP
p
ment si n ¯ ue n , f n¡ ¯ ¢< +∞ pour toute suite orthonormale (e n ) de H1 , et pour toute
suite orthonormale f n de H2 .
31
32
CHAPITRE 2. LES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
Démonstration. On peut supposer que u 6= 0.
(a) Soit (e n )n≥1 une suite orthonormale dans H1 . Si ku (e n )k ne tend pas vers 0 quand
n tend vers +∞,° on¡ peut¢°trouver une fonction φ : N∗ −→ N∗ strictement croissante
∗
et ² > 0 tels que °u e φ(n) ° > ²∀n. Comme u est
° ³compact,´on peut
° trouver ψ : N −→
°
°
N∗ strictement croissante et a ∈ H2 tels que °u e (ψ◦φ)(n) − a ° → 0 quand n → +∞
et kak > ².
D
E
²2 ≤ ⟨a, a⟩ = limn→+∞ e (ψ◦φ)(n) , a , ce qui contredit le fait que e n → 0 faiblement

®
quand n → +∞. Donc ku(e n )k → 0 quand n → +∞ et limn→+∞ u(e n ), f n = 0 d’après
Cauchy-Schwarz.

®
Réciproquement, on suppose que ue n , f n → 0 quand n → +∞ pour toute suite
orthonormale (e n ) dans H1 et pour toute suite orthonormale ( f n ) dans H2 . Soit ² tel
que 0 < ² < kuk. On veut montrer qu’il existe un opérateur de rang fini v :¯H
1→H
®¯2 tel
¯ ux, y ¯ > ²
que ku − vk ≤ ². Il existe ¯deux
vecteurs
unitaires
x
∈
H
et
y
∈
H
tels
que
1
2

®¯
car kuk = supx∈B H ,y∈B H ¯ u (x) , y ¯ .
Φ est
A de H1 × H2 tels que :
¯ la famille
¢
®¯ des ¡sous-ensemble
(1) ¯ u(x), y ¯ ≥ ²∀ x, y ∈ A.
orthonormale de H1 et Π2 (A) est une famille orthonormale
(2) Π1 (A) est une
¡ famille
¢
de H2 où Π2 : x, y → y sont les projections canoniques
.
¡ de¢ H1 × H2 sur H1 et HS2©¡
¢ª
Supposons que pour tout ensemble fini A ∈ Φ, il existe
x,
y
∈
H
×H
tel
que
A
x, y ∈
1
2
¡
¢
Φ. On pourrait construire par récurrence une suite x n , y n n≥1 d’éléments de H1 ×H2
tels
n )n≥1 et (y n )n≥1 sont des familles orthonormales de H1 et H2 vérifiant
¯ que (x®¯
¯ u(x n ), y n ¯ > ², ce qui est absurde. Donc il existe un ensemble fini A ∈ Φ qui est
©¡
¢ª
maximal dans Φ pour l’inclusion. On a :A = e i , f i 1≤i ≤N . On définit des projec®
PN
P 
tions orthogonales p = i =1 ⟨•, e i ⟩ e i ∈ L (H1 ) et q = iN=1 •, f i f i ∈ L (H2 ). Alors
v = up + qu − qup est un opérateur de rang fini tel que ku − vk ≤ ².
En effet, supposons
que ku®¯− vk > ². Donc il existe des vecteurs unitaires x ∈ H1 et
¯
¯ (u − v) x, y ¯ > ². On pose e 0 = x − px et f 0 = y − q y, donc ⟨e 0 , e i ⟩ =
y∈H
tel
que
2

®
0 = f 0 , f i pour 1 ≤ i ≤ N . D’autre part, on a : ke 0 k ≤ 1 car p est une projection orthogonale
° de H1 . °Donc I d H1 − p est aussi une projection orthogonale de H1 . Ce qui
donne :° I d°H1 °− p ° ≤ 1.
° °
De même
° f 0 ≤ 1°car q est une projection orthogonale de H2 et donc I d H2 − q l’est
°
aussi et I d H2 − q ° ≤ 1. Par suite, on a :
¯
®¯
¯ ue 0 , f 0 ¯
=
¯ ¡
¢ ¡
¢ ®¯
¯ u I d H − p x, I d H − q y ¯
1
2
¯¡
¢ ¡
¢
®¯
¯ I d H − q u I d H − p x, y ¯
2
2
¯
®¯
¯ (u − v) x, y ¯
>
²
≥
° °
² ke 0 k ° f 0 ° .
=
=
Donc e 0 et f 0 sont des vecteurs non nuls et
³D
ue 0
ke 0 k ,
f0
k f0 k
E´
> ² ce qui contredit le fait
que la famille ∆ est maximale.
(b) On suppose que 1 ≤ p < +∞. Soit u : H1 → H2 un opérateur tel que
¡ ¢pour toute
suite orthonormale
dans
H
et
pour
toute
suite
orthonormale
f n dans H2 ,
(e
)
1
®¯p n
P ¯
on a : n ¯ ue n , f n ¯ < +∞. D’après (a), u est donc compact et il admet une re-
2.1. LES OPÉRATEURS COMPACTS
33

®
P
présentation orthonormale u = n τn ⟨•, x n ⟩ y n . On a (τn )n≥1 = ( u(x n ), y n )n≥1 ∈
`p et par conséquent u ∈ S p (H1 , H2 ). Réciproquement, si u ∈ S p (H1 , H2 ), soit u =
P
m τm ⟨•, x m ⟩ y m une représentation orthonormale avec τm ≥ 0 ∀ m ; alors si (e n )
est une suite orthonormale de H1 , on a :
X
τm |⟨e n , x m ⟩|2
X
=
m
2
2
τm |⟨e n , x m ⟩| p |⟨e n , x m ⟩| q
m
µ
X
≤
m
µ
X
≤
m
p
τm |⟨e n , x m ⟩|2
p
τm |⟨e n , x m ⟩|2
¶1 µ
p X
|⟨e n , x m ⟩|
2
¶1
q
m
¶1
p
d’après l’inégalité de Bessel.
D’une manière analogue, on montre que si ( f n ) est une suite orthonormale de H2 ,
¯
®¯2 ³P p ¯
®¯2 ´ p1
P
on a m τm ¯ y m , f n ¯ ≤ m τm ¯ y m , f n ¯
. Pour n ∈ N,
¯
®¯
¯ ue n , f n ¯
≤
X
m
≤
1
1 ¯
®¯
2
2 ¯
|⟨e n , x m ⟩| τm
τm
ym , fn ¯
µ
X
τm |⟨e n , x m ⟩|2
¶1 µ
2 X
¯
®¯2
τm ¯ y n , f n ¯
¶1
2
.
m
m
Par suite, on a :
X ¯
®¯
¯ ue n , f n ¯p
≤
µ
X X
n
n
m
p
τm |⟨e n , x m ⟩|2
≤
m
®¯2
p ¯
τm ¯ y m , f n ¯
!1 Ã
Ã
X
≤
¶1 µ
2 X
p
τm |⟨e n , x m ⟩|2
2
!1
2
X
m,n
p
τm .
m
¶1
m,n
®¯2
p ¯
τm ¯ y m , f n ¯
2
X
Théorème 2.1.3. Soit u°∈ L°(H1 , H2 ) et g i une base orthonormale de H1 .
P
p
(a) . Si 1 ≤ p ≤ 2 et i ∈I °ug i ° < +∞, alors u ∈ S p (H1 , H2 ) et
!1
Ã
X°
°
°ug i °p
σp (u) ≤
p
.
i ∈I
(b) . Si 2 ≤ p < +∞ et u ∈ S p (H1 , H2 ), alors
P
i ∈I
°
°
°ug i °p < +∞ et
!1
Ã
X°
°
°ug i °p
p
≤ σp (u) .
i ∈I
Démonstration. Montrons (a) .
On va montrer d’abord que u est compact. i.e ∀ ² > 0, il existe v ∈ L (H1 , H2 ) de rang
fini tel que ku − vk ≤ ².
34
CHAPITRE 2. LES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
°
° ¢1
¡
°ug i °p p ≤ ².
Soit J un ensemble fini,
J
⊂
I
tel
que
Σ
i
∈I
\J
®
P 
L’opérateur v = i ∈J •, g i ug i est de rang fini et il satisfait ku − vk ≤ ².
En effet, on a :
°
°
°
° X 
®
°
°
k(u − v) xk = °
x, g i ug i °
°
°i ∈I \J
!1 Ã
Ã
2
X ¯
®¯
¯ x, g i ¯2
≤
i ∈I \J
2
i ∈I \J
!1
Ã
X °
°
°ug i °p
kxk
≤
!1
X °
°
°ug i °2
p
d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
i ∈I \J
² kxk .
≤
Donc k(u − v) xk ≤ kxk ². L’opérateur u est donc compact et il admet une représenP
tation orthonormale de la forme u = τn ⟨., e n ⟩ f n , la série étant convergente dans
L (H1 , H2 ) muni de sa norme usuelle, voir [8],page 80.
P
P
P p
Pour x ∈ H1 , on a : ux = n τn ⟨x, e n ⟩ f n et kuxk2 = n τ2n |⟨x, e n ⟩|2 . Donc n τn =
¯
®¯2
®¯2
P p P ¯¯
P
¯ car i ∈I ¯ g i , e n ¯ = ke n k2 = 1 d’après l’identité de Parseval.
n τn i ∈I g i , e n
X
n
p
τn
X
=
n
p
τn
X ¯
®¯
¯ g i , e n ¯2
i ∈I
µ
X X
=
i ∈I
n
®¯p ¯
®¯2−p
p ¯
τn ¯ g i , e n ¯ ¯ g i , e n ¯
Appliquons l’inégalité de Hölder sur les indices α =
X
n
car
p
τn
≤
µ
X X
i ∈I
n
τ2n ¯
¯
®¯2
gi , en ¯
2
p
et β =
¶
.
2
2−p .
¶p µ
µ
¶p
¶ 2−p
X X 2 ¯
2 X ¯
®¯2 2
®¯ 2
¯
¯ g i , e n ¯2
¯
τn g i , e n
≤
n
i ∈I
n
®¯2 ° °2
P ¯¯
¯ ≤ °g i ° = 1 d’après l’identité de Bessel. Par suite, on a :
n gi , en
X
n
p
τn
!p
¶p Ã
µ
X°
X°
X p 2
°p
°p 2
°ug i °
.
≤ °ug i ° . D’où
τn ≤
n
i ∈I
i.e
i ∈I
!1
Ã
X°
°
°ug i °p
σp (u) ≤
p
d onc u ∈ S p (H1 , H2 ) .
i ∈I
Montrons (b).
P
Soit u ∈ S p (H1 , H2 ) et¡ 2 ≤
¢ p < +∞ ; donc u = n τn ⟨•, e n ⟩ f n avec (e n ) une suite orthonormale de H1 et f n une suite orthonormale de H2 . On a
X ¯
°
°
®¯ 4 ¯
®¯ 2(p−2)
°ug i °2 = τ2 ¯ g i , e n ¯ p ¯ g i , e n ¯ p .
n
n
2.2. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
Appliquons l’inégalité de Hölder sur les indices α =
p
2
et β =
35
p
p−2 .
¶ p−2 µ
µ
¶2
¶2 µ
X p ¯
X p ¯
°
°
®¯2 p
®¯2 p
®¯2 p X ¯
°ug i °2 ≤
¯
¯
¯
¯
¯
¯
gi , en
≤
τn g i , e n
τn g i , e n
n
n
n
®¯2 ° °2
P ¯
car n ¯ g i , e n ¯ ≤ °g i ° = 1 d’après l’inégalité de Bessel. Donc, on a :
X ¯
°
°
®¯
°ug i °p ≤ τp ¯ g i , e n ¯2 .
n
n
D’où :
X°
X X ¯
X
°
®¯
°ug i °p ≤ τp ¯ g i , e n ¯2 = τp
n
n
n
i ∈I
car
P
n
i ∈I
¯
®¯2
¯
¯ = ke n k2 = 1 d’après l’identité de Parseval. Par suite, on a :
i ∈I g i , e n
!1
Ã
X°
°
°ug i °p
p
≤
µ
X
n
i ∈I
p
τn
¶1
p
= σp (u)
g i étant une base orthonormale de H1 .
2.2 Caractérisation des Opérateurs de Hilbert-Schmidt
Définition 2.2.1. Un opérateur u appartient à S 2 (H1 , H2 ) si et seulement si pour tout
P
P∞
2
x ∈ H1 , on a : ux = ∞
n=1 τn ⟨x, e n ⟩ f n où
n=1 |τn | < +∞, avec e n un système orthonormal de H1 et f n un système orthonormal de H2 . Les opérateurs appartenant à
S 2 (H1 , H2 ) sont appelés opérateurs de Hilbert-Schmidt. La norme de ces opérateurs
sera notée par σ2 (u) et est donnée par la formule
σ2 (u) =
µ
∞
X
|τn |
2
¶ 21
µ
=
∞
X
2
a n (u)
¶ 21
.
n=1
n=1
On déduit immédiatement du théorème 2.1.3 le résultat suivant.
Corollaire 2.2.2. Soit (g i ) une base orthonormale de H1 et soit u ∈ L (H1 , H2 ). Alors
°2
P °
u ∈ S 2 (H1 , H2 ) si et seulement si : ni=1 °ug i ° < +∞ et dans ce cas, on a σ2 (u) =
³P °
°2 ´ 12
°
°
.
i ∈I ug i
Théorème 2.2.3. Un opérateur u : H1 → H2 est de Hilbert-Schmidt si et seulement si
u est 2-sommant et dans ce cas σ2 (u) = π2 (u) .
Démonstration. On suppose que u est 2-sommant. Soit (e i )i ∈I une base orthonormale de H1 . Alors pour J fini, J ⊂ I , on a :
Ã
!1
!1
Ã
2
X
X ¯ ∗ ®¯2 2
2
¯ x , ei ¯
kue i k
≤ π2 (u) sup
kx ∗ k≤1 i ∈J
i ∈J
≤
°
°
π2 (u) °(e i )i ∈J °`faible
=
π2 (u) .
2
36
CHAPITRE 2. LES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
Donc u est de Hilbert-Schmidt et σ2 (u) ≤ π2 (u) .
faible
Réciproquement, on suppose que u est de Hilbert-Schmidt.
(H1 ).
¡P
¢ P Soit (x n ) ∈ `2
On définit un opérateur v : `2 → H1 tel que v n αn e n = n αn x n pour (αn )n≥1 ∈ `2
c’est à dire que ve n = x n pour n ≥ 1. Alors,
¯¿
À¯
¯ ∗ X
¯
¯
kvk =
sup
sup ¯ x , αn x n ¯¯
k(αn )k`2 ≤1 kx ∗ kH1 ≤1
n
¯¿
À¯
X
¯
¯
sup
sup ¯¯ x ∗ , αn x n ¯¯
kx ∗ kH1 ≤1 k(αn )k`2 ≤1
n
¯
¯
X
¯
 ∗
®¯
¯
sup
sup ¯ αn x , x n ¯¯
=
=
kx ∗ kH1 ≤1 k(αn )k`2 ≤1 n
sup
=
kx ∗ kH1 ≤1
µ
¶1
X ¯ ∗
®¯ 2
¯ x , x n ¯2
n
=
k(x n )n≥1 k`faible .
µ
X
ku ◦ v (e n )k2
2
On déduit que
µ
X
kux n k2
¶1
2
=
n
¶1
2
=
µ
X
n
k(u ◦ v) e n k2
¶1
2
n
=
σ2 (uv) ≤ σ2 (u) kvk
=
σ2 (u) k(x n )n≥1 k`faible .
d’après la propriété d’idéal
2
Donc u est 2-sommant.
Remarque 2.2.4. Soit M (K ) ' (C (K ))∗ l’ensemble des mesures de Radon sur K et
soient µ1¯, . . .¯, µn ∈ M (K ).
On note ¯µi ¯ la variation totale associée à µi .
¯ ¯
¯ ¯
Alors µ1 , . . . , µn sont absolument
continues par rapport à la mesure µ = ¯µ1 ¯+· · ·+¯µn ¯,
¡
¢
donc il existe f i ∈ L 1 K , µ telles que d µi = f i d µ pour i ≤ n. Donc pour toute famille
(α1 , . . . , αn ) de scalaires, on a :
°
°
°
°
°α1 µ1 + · · · + αn µn °
°
°
M (K ) = α1 f 1 + · · · + αn f n L 1 (K ,µ) .
Comme L 1 (K , µ) est un espace L 1 isométriquement contenu dans M (K ) ceci montre
que M (K ) est un espace L 1 .
Théorème 2.2.5. On considère un opérateur u : H1 −→ H2 . Les assertions suivantes
sont équivalentes.
(i ) u est de Hilbert-Schmidt.
(i i ) u est factorisable à travers un espace L ∞ .
(i i i ) u est factorisable à travers un espace L 1 .
Démonstration. (i ) ⇔ (i i )
Si u est de Hilbert-Schmidt, alors u est 2-sommant. Donc u est factorisable à travers
2.2. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
37
un espace C (K ), (K compact) d’après le théorème de factorisation de Pietsch et à
travers L ∞ d’après la proposition 1.5.4. D’autre part, si u est factorisable à travers un
espace L ∞ , alors u est 2-sommant d’après le théorème de Grothendieck (t h1.5.7)
et le principe d’idéal. Par conséquent u est de Hilbert-Schmidt.
(i ) ⇔ (i i i )
C’est le dual de la première équivalence. On sait que le dual de l’espace C (K ) est un
espace L 1 . Si u : H1 → H2 est de Hilbert-Schmidt, alors u ∗ admet une factorisation
de la forme : u ∗ : H2 → C (K ) → H1 et u ∗∗ = u admet une factorisation u ∗∗ : H1 →
L 1 → H2 . Réciproquement, si u : H1 → H2 est factorisable à travers l’espace L 1 ,
alors le théorème de Grothendieck nous permet de dire que u est 2-sommant, donc
Hilbert-Schmidt.
Nous utiliserons le résultat suivant,[8],th 19.20, page 413.
Théorème 2.2.6. Soit Z un espace de Banach de dimension infinie et soit u : H1 −→
H2 un opérateur compact. Il existe un sous- espace de Banach Z0 de Z possédant une
base Z0 et deux opérateurs compacts v : Z0 −→ H2 et w : H1 −→ Z0 tels que u = v ◦ w.
Théorème 2.2.7. Un opérateur u : H1 −→ H2 est de Hilbert-Schmidt si et seulement
si pour tout espace de Banach de dimension infinie Z , il existe des opérateurs v ∈
L (Z , H2 ) et w ∈ L (H1 , Z ) tels que u = v ◦ w.
Par ailleurs, nous pouvons choisir w compact et v compact et 2-sommant.
Démonstration. Si l’opérateur u : H1 −→ H2 est de Hilbert-Schmidt, alors on a :u =
P
h avec (g n ) une base orthonormale de H1 , (h n ) une base orthonormale
n τn g n ⊗
P n
de H2 et n |τn |2 < +∞.
On va construire des suites (αn ) et (βn ) appartenant à c 0 et (σn ) ∈ `2 telles que
αn σn βn = τn ∀ n ∈ N. 1
En effet, on peut trouver une suite strictement croissante (N p )p≥1 d’entiers avec
P
N0 = 1 telle que n≥Np |τn |2 < 2−3p pour p ≥ 1. On pose αn = βn = 2−p , σn = αnτnβn
pour N p ≤ n ≤ N p+1 , p ≥ 0. On a αn σn βn = τn par construction. On a (αn ) ∈ c o ,
P
(βn ) ∈ c 0 et Np ≤n≤Np+1 |σn |2 < 2−p pour p ≥ 1. Donc (σn ) ∈ `2 . On a u = a ◦ D σ ◦ b
P
P
où a = n αn e n ⊗ h n :`2 −→ H2 et b = n βn g n ⊗ e n :H1 −→ `2 . Les opérateurs a et b
sont des opérateurs compacts entre espaces de Hilbert et D σ :`2 −→ `2 est un opérateur de Hilbert-Schmidt. D’après le théorème précédent, b se factorise à travers
un sous-espace de Banach Z0 de Z c’est à dire : b = b 1 ◦ b 2
H1
b2
/ `2 .
>
b
b1
Z0
Soient D : `∞ −→ `2 l’opérateur diagonal associé à σ et i : `2 −→ `∞ l’opérateur
identité. Donc D σ = D ◦ i . Puisque `∞ est injectif, alors i ◦ b 1 admet une extension
¡ ¢
1. L’existence des suites (σn ) , (αn ) et βn se déduit du théorème de factorisation de Cohen
[10],théorème 2.9.24 appliqué à `2 considéré comme c 0 -modules puisque l’algèbre c 0 possède une unité
approchée bornée.
38
CHAPITRE 2. LES OPÉRATEURS DE HILBERT-SCHMIDT
b˜1 :Z −→ `∞ . Donc l’opérateur v = a ◦ D ◦ b˜1 est compact et 2-sommant. Puisque
b 2 ∈ L (H1 , Z0 ) et Z0 ⊂ Z , alors on l’opérateur w = j ◦ b est un opérateur compact de
H1 dans Z où j : Z0 −→ Z désigne l’injection canonique. Donc on a : u = v ◦ w.
Réciproquement supposons que u se factorise à travers l’espace `1 . Il résulte du
théorème 2.2.5 que u est de Hilbert-Schmidt.
Chapitre 3
Les opérateurs γ-sommants
3.1 Suites Gaussiennes
Dans tout ce chapitre E désigne un espace de Banach réel ou complexe, et les
variables aléatoires considérées sont à valeurs dans E .
Proposition 3.1.1. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, et si Y est
symétrique, alors on a, pour p ∈ [1, +∞[,
E kX kp ≤ E kX + Y kp .
Démonstration. Le fait que Y est symétrique signifie que Y et −Y sont distribués
identiquement. On obtient
¡
¢1
E kX kp p
=
≤
=
¢1
1¡
E k(X + Y ) + (X − Y )kp p
2
¢1 1 ¡
¢1
1¡
E kX + Y kp p + E kX − Y kp p
2
2
¡
¢1
E kX + Y kp p .
Théorème 3.1.2. (Principe de contraction de Kahane)
Soit (X k )k≥1 une suite des variables aléatoires symt́riques et indṕendantes à valeurs
dans E .
1) Si E est réel, on a pour (αk )k=1,...,N ∈ RN tels que |αk | ≤ 1 et pour 1 ≤ p < +∞ :
°
°p
°
°p
°X
°
°X
°
N
N
°
°
°
°
E°
αk X k ° ≤ E °
Xk ° .
°k=1
°
°k=1 °
2) Si E est complexe, on a pour (αk )k=1,...,N ∈ CN tels que |αk | ≤ 1 et pour 1 ≤ p < +∞ :
°
°p
°
°p
°X
°
°X
°
N
N
°
°
°
p °
E°
αk X k ° ≤ 2 E °
Xk ° .
°k=1
°
°k=1 °
39
CHAPITRE 3. LES OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
40
Démonstration. Si αk = ±1, c’est évident, puisque X k et X −k sont distribués identiquement. Si αk ∈ {0, 1}, alors on peut écrire αk = 21 (2αk − 1 + 1)
°p !1/p
Ã °
°
°X
N
°
°
E°
αk X k °
°
°k=1
=
≤
≤
Si αk ∈ [0, 1] alors αk =
P∞
°p !1/p
Ã °
°X
°
N 1
°
°
E°
(2αk − 1 + 1) X k °
°k=1 2
°
°
°
!
Ã
°p 1/p 1 ¡
N
¢1/p
1 °
°
°X
+ E kX k kp
E°
(2αk − 1) X k °
°
2 °k=1
2
°p !1/p
Ã °
°
°X
N
°
°
.
E°
Xk °
°k=1 °
j =1 b j k 2
−j
; avec b j k ∈ {0, 1} . On a
°p ! 1
Ã °
°X X
° p
°
−j °
E°
b j k Xk 2 °
°k j
°
≤
j
≤
Si αk ∈ [−1, 1] alors on a :
°
°p
°X
°
°
°
E ° αk X k °
°k
°
X
2
−j
°p ! 1
Ã °
°X
° p
°
°
E ° b j k Xk °
°k
°
° !1
Ã °
°X °p p
°
°
.
E ° Xk °
°k
°
°
°p
°X
°
°
°
E ° si g n (αk ) |αk | X k °
°k
°
°
°p
°X
°
°
°
E ° |αk | X °
°k
°
°
°p
°X °
°
°
E ° Xk ° .
°k
°
=
≤
≤
Si αk ∈ C et |αk | ≤ 1 alors αk = λk + i µk ; donc
°p ! 1
Ã °
°X
° p
X
°
°
E ° λk X k + i µk X k °
°k
°
k
≤
°p ! 1 Ã °
°p ! 1
Ã °
°X
° p
°X
° p
°
°
°
°
E ° λk X k °
+ E ° µk X k °
°k
°
°k
°
≤
° !1 Ã °
° !1
Ã °
°X °p p
°X °p p
°
°
°
°
E ° Xk °
+ E ° Xk °
°k
°
°k
°
=
° !1
Ã °
°X °p p
°
°
2 E ° Xk °
.
°k
°
Propriété 3.1.3. (Inégalités de Kahane-Kintchine)
¡ ¢
Soit (r n )n≥1 une suite de Rademacher, soit γn n≥1 une suite gaussienne, et soient
γ
r
p, q ∈ [1, +∞[. Il existe deux constantes C p,q
et C p,q ne dépendant que de p et q telles
que pour toute famille finie x 1 , . . . , x N d’éléments de E , on ait
3.1. SUITES GAUSSIENNES
(1)
(2)
41
°p ! 1
°q ! 1
Ã °
Ã °
°X
° p
°X
° q
N
N
°
°
°
°
r
E°
r n xn °
≤ C p,q E °
r n xn °
.
°n=1
°
°n=1
°
°p ! 1
°q ! 1
Ã °
Ã °
°X
° p
°X
° q
N
N
°
°
°
°
γ
E°
.
γn x n °
≤ C p,q E °
γn x n °
°n=1
°
°n=1
°
On va maintenant introduire les notions classiques de type et de cotype pour les
espaces de Banach.
Définition 3.1.4. Soit E un espace de Banach et soit (r n )n≥1 une suite de Rademacher.
(1) Soit p ∈ [1, 2]. On dit que E est de type p s’il existe une constante C p ≥ 0 telle
que pour toute famille finie x 1 , . . . , x N d’éléments de E , on ait
°2 ! 12
Ã °
Ã
!1
°X
°
p
N
N
X
°
°
p
kx n k
E°
≤ Cp
.
r n xn °
°n=1
°
n=1
(2) Soit q ∈ [1, +∞[. On dit que E est de cotype q s’il existe une constante D q ≥ 0
telle que pour toute famille finie x 1 , . . . , x N d’éléments de E , on ait,
Ã
N
X
n=1
!1
q
kx n kq
°2 ! 21
Ã °
°X
°
N
°
°
≤ Dq E°
.
r n xn °
°n=1
°
(2bi s) On dit que E est de cotype ∞ s’il existe une constante D ∞ ≥ 0 telle que pour
toute famille finie x 1 , . . . , x N d’éléments de E , on ait,
°2 ! 12
Ã °
°X
°
N
°
°
max1≤n≤N kx n k ≤ D ∞ E °
.
r n xn °
°n=1
°
Théorème 3.1.5. (a) Tout espace de Banach est de type 1 et de cotype ∞.
(b) Tout espace de Hilbert est de type 2 et de cotype 2.
(c) Soit p ∈ [1, 2]. Si E est de type p, alors son dual E ∗ est de type q avec
1
p
+ q1 = 1.
Démonstration. Montrons (a)
P
P
∗ Montrons que E est de type 1, c’est à dire que k n r n x n kL 2 (Ω,X ) ≤ C n kx n k .
On a, d’après l’inégalité de Kahane-Kintchine,
°
°
°
°
°X
°
°X
°
° r n xn °
° r n xn °
≤
C
E
2,1
°
°
°
°
n
n
L 2 (Ω,X )
≤
=
C 2,1 E |r n | kx n k
n
X
C 2,1 kx n k .
X
n
CHAPITRE 3. LES OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
42
¢1
¡ P
∗ Montrons maintenant
∞, c’est à dire que supk kx k k ≤ E k n r n x n k 2 .
°P que E est
° de cotype
P
°
°
Pour k fix,́ kx k k = E ° kj=k r j x j ° ≤ E k n r n x n k . En effet
°P
°
P
°
°
E ° kj=k r j x j ° = E kr k x k k = E kx k k = kx k k , et Ekr k x k k ≤ E k n r n x n k d’après la proposition 3.1.1.
On conclut avec la première inégalité de Kahane-Kintchine.
Montrons (b). Pour x 1 , . . . , x N ∈ H , on a :
+
*
°
°2
X
X
°X
°
°
E°
= E
r n xn , r j x j
° r n xn °
n
n
j
H
X
®

= E r n r j xn , x j
n, j
X ¡
¢
®
E r n r j xn , x j
=
n, j
=
X
=
X
⟨x n , x n ⟩
n
kx n k2 .
n
On peut montrer réciproquement que tout espace de Banach qui est à la fois de type
2 et de cotype 2 est isomorphe à un espace de Hilbert.[8]corollaire 12.20.
1
¡ P
¢1
¡P
p¢
Montrons (c) c’est à dire que si E k n r n x n k2 2 ≤ C p n kx n kE p pour x 1 , . . . , x N ∈
³ °P
°2 ´ 12
¡P ° °q ¢ 1
∗
E , alors n °x n∗ °E ∗ q ≤ C p E ° n r n x n∗ °E ∗ pour x 1∗ , . . . , x N
∈ E ∗.
µ
¶1
p
P
On a, pour
kx n kp ≤ 1,
n
X
n
x n∗ , x n
®
=
E
*
X
n
≤
+
r n x n∗ ,
X
°!
Ã°
° °
°
X
°X
° °
°
°
∗
°
E °
rj xj °
° r n xn ° . °
°
°
n
≤
rj xj
j
j
°2 ! 12
°2 ¶ 12 Ã °
µ °
°X
°
°
°X
°
°
∗°
E° rj xj °
d’après Cauchy-Schwarz
E°
° r n xn °
°
°
n
j
Ã
X ° °p
°x j °
!1 µ °
°2 ¶ 12
p
°X
°
∗°
°
E ° r n xn °
c ar E est d e t y pe p.
≤
Cp
≤
°2 ¶ 12
µ °
°X
°
∗°
°
C p E ° r n xn °
.
n
j
n
Soit B := {λ = (λ1 , . . . , λN )
µ
P
n
|λ j |p
¶1
p
µ
¶1
X ° ∗ °q q
X
°x ° ∗ = sup λn kx ∗ kE ∗ =
n
n E
n
λ∈B n
p
} la boule unité de `N . On a
sup
X
λ∈B,kx 1 kE ≤1,...,kx N kE ≤1 n
λn < x n∗ , x n >
3.2. OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
43
X
sup
=
µ
P
n
kx n kp
¶1
p
n
< x n∗ , x n >,
≤1
et finalement
°2 ¶ 12
µ
µ °
¶1
X ° ∗ °q q
°X
°
°x ° ∗ ≤ C p E ° r n x ∗ °
.
n E
n°
°
n
n
3.2 Opérateurs γ-sommants
Définition 3.2.1. Un opérateur S : H → E est γ-sommant si pour tout p ∈ [1, +∞[, on
a:
°p ! 1
Ã °
°X
° p
N
°
°
kSkγ∞
=
sup
E
< +∞,
γ
Sh
°
°
n
n
,E
(H
)
p
°
°
h
n=1
le supremum étant calculé sur l’ensemble des systèmes orthonormaux finis h = {h 1 , h 2 , . . . , h N } .
L’ensemble des opérateurs γ-sommants S : H → E est noté γ∞ (H , E ).
Posons γ∞
(H , E ) < +∞}. Il résulte de la deuxième
p (H , E ) := {S ∈ L (H , E ) | kSkγ∞
p
inégalité de Kahane-Kintchine que cette définition est indépendante de p ∈ [1, +∞[.
Par conséquent γ∞ (H , E ) = γ∞
p (H , E ) pour tout p ∈ [1, +∞[, et la norme k.kγ∞
p (H ,E )
∞
est équivalente à la norme k.kγ∞ (H ,E ) := k.kγ∞
sur
γ
(H
,
E
).
,E
(H
)
2
Pour montrer que S ◦ T ∈ γ∞ (H 0 , E ) pour S ∈ γ∞ (H , E ), T ∈ L (H 0 , H ), on va utiliser le théorème suivant, (Voir [47], théorème 3.9).
Théorème
de covariance )
¡ ¢3.2.2. ¡(Domination
¢
Soient γm m≤1 et γ0n n≤1 des suites gaussiennes dans des espaces probalisés respectifs
Ω et Ω0 . Soit x 1 , x 2 , . . . , x M et y 1 , y 2 , . . . , y N des éléments de E vérifiant, pour tout x ∗ ∈
E ∗,
M 
X
xm , x ∗
m=1
®2
≤
N 
X
yn , x ∗
®2
.
n=1
Alors on a, pour tout p ∈ [1, +∞[,
°
°p
°
°p
°X
°
°X
°
M
N
°
°
°
0°
0
E°
γm x m ° ≤ E °
γn y n ° .
°m=1
°
°n=1
°
©
ª
Démonstration. On note F = vect x 1 , x 2 , . . . , x M , y 1 , y 2 , . . . , y N ⊂ E et on définit Q ∈
L (F ∗ , F ) par :
Qz ∗ =
N 
X
n=1
M 
X
®
®
xm , z ∗ xm , z ∗ ∈ F ∗ .
yn , z ∗ yn −
m=1
CHAPITRE 3. LES OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
44
Les
théorème
imposent que ⟨Qz ∗ , z ∗ ⟩ ≥ 0 ∀ z ∗ ∈ F ∗ . Il est clair que
 conditions
®  du
®
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
Qz 1 , z 2 = Qz 2 , z 1 ∀ z 1 , z 2 ∈ F ∗ . Comme F est de dimension finie, alors on peut
MP
+k 
®
¡ ¢
x j , z∗ x j
trouver une suite x j M +1≤ j ≤M +k d’éléments de F telle que Qz ∗ =
j =M +1
∀z ∗ ∈ F ∗ . On obtient
M 
X
m=1
xm , z ∗
®2
+
MX
+k

xm , z ∗
®2
=
m=M +1
N 
X
yn , z ∗
®2
n=1
On considère maintenant les transformées de Fourier des variables aléatoires X =
N
MP
+k
P
γ0n y n .
γm x m et Y =
n=1
m=1
¡ 
®¢
E exp −i X , x ∗
=
=
=
¡

®¢
M +k
Πm=1
E exp −i γm x m , x ∗ car les variables sont indépendantes.
¶
µ
®2
1
M +k
Πm=1
exp − x m , x ∗
2
Ã
!
M
+k
X

®
1
∗ 2
exp −
xm , x
.
2 m=1
³ P

®2 ´
N
De la même manière, on a : E0 exp (−i ⟨Y , x ∗ ⟩) = exp − 12 n=1
yn , x ∗
. D’après l’injectivité de la transformée de Fourier, ceci qui prouve que X et Y sont identiquement
MP
+k
°PM +k
°p
°PN
°p
distribués. Donc E ° m=1
γm x m ° = E ° n=1
γ0n y n ° . Comme
γm x m est symétrique, il résulte de la proposition 3.1.1 que l’on a
m=M +1
°
°p
°
°p
°
°p
°X
°
°MX
°
°X
°
M
+k
N
°
°
°
°
°
0°
0
E°
γm x m ° ≤ E °
γm x m ° = E °
γn y n ° .
°m=1
°
° m=1
°
°n=1
°
Proposition 3.2.3. Soient E , E 0 deux espaces de Banach, soient H , H 0 deux espaces de
Hilbert, et soit S ∈ γ∞ (H , E ).
¡
¢
¡
¢
¡
¢
Alors R ◦ S ◦ T ∈ γ∞ H 0 , E 0 ∀R ∈ L E , E 0 , ∀T ∈ L H 0 , H et on a, pour 1 ≤ p <
+∞
0 0 ≤ kRk kSkγ∞ (H ,E ) kT k .
kR ◦ S ◦ T kγ∞
p
p (H ,E )
¡
¢
0
Démonstration. On va d’abord montrer que S◦T ∈ γ∞ H 0 , E et que kS ◦ T kγ∞
≤
p (H ,E )
∞
kSkγp (H ,E ) kT k .
©
ª
©
ª
Soit h 10 , h 20 , . . . ,©h k0 un système orthonormal
fini de
H 0 . On pose H̃ 0 = vec t h 10 , h 20 , .ª. . , h k0 ⊂
ª
©
H 0 et H̃ = vect T h 10 , T h 20 , . . . , T h k0 ⊂ H , Ẽ = vec t (S ◦ T )h 10 , (S ◦ T )h 20 , . . . , (S ◦ T )h k0 ⊂
E , et on note S̃ : H̃ → Ẽ et T̃ : H̃ 0 → H̃ les restrictions de S et T à H̃ et H̃ 0 . Soit
3.2. OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
45
{h 1 , h 2 , . . . , h N } une base orthonormale de H̃ . On a, pour x ∗ ∈ E ∗ ,
E¯2
k ¯D
X
¯
¯
¯ (S̃ ◦ T̃ )h 0j , x ∗ ¯
E¯
k ¯D
X
¯ 0 ˜∗ ˜∗ ∗ ¯2
¯ h j , (T ◦ S )x ¯
=
j =1
j =1
≤
°
°
°(T˜∗ ◦ S˜∗ )x ∗ °2 d’après le théorème de Parseval
H
° °2 °
°
°T˜∗ ° °S˜∗ x ∗ °2
H
=
N ¯
° °2 X
®¯
°T̃ °
¯ S̃h n , x ∗ ¯2 .
=
n=1
On déduit alors du théorème 3.2.2 que l’on a
°p
°
°p
°
°
°X
°
°X
N
k
°
°
p °
0°
≤ kT k E °
γn Sh n °
E ° γ j (S ◦ T )h j °
°
°n=1
°
° j =1
≤
p
kT kp kSkγ∞ (H ,E ) ,
p
0
kT k .
ce qui montre que S ◦ T ∈ γ H , E et que kS ◦ T kγ∞
≤ kSkγ∞
p (H ,E )
p (H ,E )
D’autre part si R ∈ L (E , E 0 ), il est clair que l’on a, pour p ∈ [1, +∞[
∞
0
¡
¢
0
0 ≤ kRkkS ◦ T kγ∞ (E ,H 0 ) ,
kR ◦ S ◦ T kγ∞
p (E ,H )
p
ce qui achève la démonstration.
Proposition 3.2.4. (Lemme de γ-Fatou)
∞
Soit (S n )∞
n=1 une suite bornée dans γ (H , E ). Si S ∈ L (H , E ) est un opérateur tel que

® 
®
lim S n h, x ∗ = Sh, x ∗ , ∀h ∈ H , ∀x ∗ ∈ E ∗ ,
n→+∞
alors S ∈ γ (H , E ), et kSkγ∞
≤ limn→+∞ inf kS n kγ∞
pour 1 ≤ p < +∞.
p (H ,E )
p (H ,E )
¡ ¢∞
Démonstration. Soit h = {h 1 , h 2 , . . . , h k } un système orthonormal dans H . Soit x n∗ n=1
une suite de vecteurs unitaires dans E ∗ qui est normalisante pour l’espace Hk engendré par {Sh 1 , . . . , Sh k }, c’est à dire que l’on a, pour x ∈ Hk ,
∞
°
°
°
¯
∗
kxk = sup °< x, x n∗ >° = l i m n→+∞ sup 1≤m≤n °< x, x m
>¯ .
n≥1
D’après le lemme de Fatou, on a, pour M ≥ 1,
¯*
¯*
+¯p !
Ã
+¯p !
Ã
¯
¯ X
¯
¯ X
k
k
¯
¯
∗ ¯
∗ ¯
E sup ¯
γ j Sh j , x m ¯
≤ lim inf E sup ¯
γ j S n h j , xm ¯
n→∞
¯
¯
1≤m≤M ¯ j =1
1≤m≤M ¯ j =1
≤
p
lim inf kS n kγ∞ (H ,E ) .
n→∞
p
On a alors, d’après le théorème de convergence monotone
°
°p
¯*
Ã
+¯p !
°X
°
¯ X
¯
k
k
°
°
¯
∗ ¯
E ° γ j Sh j ° = l i m M →+∞ E sup ¯
γ j Sh j , x m ¯
° j =1
°
¯
1≤m≤M ¯ j =1
p
≤ lim inf kS n kγ∞ (H ,E ) .
n→∞
p
Donc S ∈ γ∞ (H , E ), et kSkγ∞
≤ limn→+∞ inf kS n kγ∞
pour 1 ≤ p < +∞.
p (H ,E )
p (H ,E )
CHAPITRE 3. LES OPÉRATEURS γ-SOMMANTS
46
Proposition 3.2.5. Soit H un espace de Hilbert séparable, soit (h n )n≥1 une base orthonormale de H , et soit S ∈ L (H , E ) . Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
(i) S ∈ γ∞ (H , E ),
°PN
°p
γn Sh n ° < +∞,
(ii) il existe p ∈ [1, +∞[ tel que supN ≥1 E ° n=1
°P
°p
(iii) pour tout p ∈ [1, +∞[, on a sup
E ° N γn Sh n ° < +∞.
N ≥1
n=1
Dans ce cas, on a, pour 1 ≤ p < +∞,
p
kSkγ∞ (H ,E )
p
°
°p
°X
°
N
°
°
= sup E °
γn Sh n ° .
°
N ≥1 °n=1
Démonstration. Il résulte de la 2ème inégalité de Kahane-Kintchine que (ii) et (iii)
sont
et il est clair que (i ) ⇒ (i i i ). Supposons que (i i i ) est vérifié. Soit
© 0 équivalents,
ª
h 1 , h 20 , . . . , h k0 un système orthonormé dans H . Pour K ≥ 1, on désigne P K la projection orthogonale de H sur l’espace engendré par {h 1 , h 2 , . . . , h K }. Pour tout x ∗ ∈ E ∗
et pour tout K ≥ 1, on a :
E
E
k D
k D
K ¯
X
X
°
°2 X
®¯
¯ h n , P K S ∗ x ∗ ¯2
| SP K h 0j , x ∗ |2 =
| h 0j , P K S ∗ x ∗ |2 ≤ °P K S ∗ x ∗ ° =
j =1
n=1
j =1
=
K ¯
K ¯
X
X
®¯
®¯
¯ h n , S ∗ x ∗ ¯2 =
¯ Sh n , x ∗ ¯2 .
n=1
n=1
°PN
°p
On déduit alors du lemme 3.2.2 que Ek j =1 γ j SP K h 0 j kp ≤ supN ≥1 E ° n=1
γn Sh n °
pour tout p ∈ [1, +∞[. En particulier la suite (SP K )K ≥1 est une suite bornée d’éléments de γ∞ (H , E ). On a , pour x ∈ H , x ∗ ∈ E ∗ ,
Pk

®

® 
® 
®
l i m K →+∞ SP K x, x ∗ = l i m K →+∞ P K x, S ∗ x ∗ = x, S ∗ x ∗ = Sx, x ∗ .
Il résulte alors du lemme de γ-Fatou que S ∈ γ∞ (H , E ). D’autre part le lemme de γFatou donne aussi
°
°p
°X
°
k
°
0°
E ° γ j Sh j °
° j =1
°
≤
≤
°
°p
°X
°
k
°
0°
lim inf E ° γ j SP K h j °
° j =1
°
K →∞
°
°p
°X
°
N
°
°
sup E °
γn Sh n ° .
°
°
N ≥1
n=1
°PN
°p
p
On en déduit que kSkγ∞ (H ,E ) ≤ supN ≥1 E ° n=1
γn Sh n ° .
p
L’inégalité inverse est évidente.
Chapitre 4
Les opérateurs γ-radonifiants
Dans ce chapitre, H désigne un espace de Hilbert, E un espace
 de® Banach et on
désigne par h ⊗ x ∈ L (H , E ) l’opérateur défini par (h ⊗ x) h 0 = h, h 0 x avec h, h 0 ∈
H et x ∈ E . Pour x ∗ ∈ E ∗ , l’opérateur x ∗ : γ (H , E ) → H est défini par x ∗ (h ⊗ x) =
⟨x, x ∗ ⟩ h.
Définition 4.0.6. L’espace γ (H , E ) est défini comme la fermeture dans γ∞ (H , E ) de
l’ensemble des opérateurs de rang fini. Les éléments de γ (H , E ) sont appelés opérateurs
γ-radonifiants.
On pose kSkγp (H ,E ) := kSkγ∞
pour S ∈ γ(H , E ), de sorte que la norme k.kγp (H ,E )
p (H ,E )
est équivalente à la norme k.kγ(H ,E ) := k.kγ2 (H ,E ) , qui est donc définie par la formule
°2 ! 12
Ã °
°X
°
N
°
°
kSkγ(H ,E ) = sup E °
γn Sh n °
< +∞,
°n=1
°
h
le supremum étant calculé sur l’ensemble des familles orthonormales finies h = {h 1 , h 2 , . . . , h N }
d’éléments de H .
Il est clair que γ(H , E ), muni de la norme k.kγ(H ,E ) (ou d’une des normes équivalentes k.kγp (H ,E ) ) est un espace de Banach.
Soient F et G deux espaces de Banach, et soit B F la boule unité de F. Rappelons
qu’on dit qu’un opérateur T ∈ L (F,G) est compact si T (B F ) est relativement compact dans G. L’ensemble des opérateurs compacts est fermé dans L (F,G) muni de
la norme d’opérateur définie par la formule kRk := supkxk≤1 kR xk.
Tout opérateur γ-radonifiant R : H → E est compact. En effet soit (R n )n≥1 une
suite d’opérateurs de rang fini vérifiant limn→∞ kR n − Rkγ(H ,E ) = 0. On a à fortiori
limn→∞ kR n − Rk = 0, donc R est compact puisque tout opérateur de rang fini est
compact.
4.1 Théorème de Hoffmann-Jorgensen et Kwapien
Nous énonçons maintenant le théorème suivant, qui est une reformulation de
résultats de Hoffmann-Jorgensen et Kwapien sur la convergence presque sûre des
47
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
48
sommes aléatoires dont les sommes partielles sont bornées presque sûrement.
Théorème 4.1.1. (Hoffmann-Jorgensen et Kwapien)[19]
Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie. Pour un espace de Banach E , les
assertions suivantes sont équivalentes :
(1) γ∞ (H , E ) = γ (H , E ) ,
(2) E ne contient pas de sous-espace fermé isomorphe à c 0 .
On va donner plus loin une démonstration du fait que (1) implique (2). On a la
propriété simple suivante.
Proposition 4.1.2. Soit S ∈ γ (H , E ) , soit E 0 un espace de Banach, ¡soit H ¢0 un espace
de Hilbert, soit R ∈ L (E , E 0 ) et soit T ∈ L (H 0 , H ). Alors R ◦ S ◦ T ∈ γ H 0 , E 0 et on a
kR ◦ S ◦ T kγ(H 0 ,E 0 ) ≤ kRk kSkγ(H ,E ) kT k .
¡
¢
Démonstration. Il résulte du théorème 3.2.2 que R ◦ S ◦ T ∈ γ∞ H 0 , E 0 . D’autre part
soit (S n )n≥1 une suite d’opérateurs de rang fini qui converge vers S dans γ(H , E ).
Alors R ◦ S n ◦ T est aussi de rang fini pour n ≥ 1. Il résulte aussi du théorème 3.2.2
que l’on a
l i m n→+∞ kR ◦ S ◦ T − R ◦ S n ◦ T kγ∞ (H ,E )
≤ l i m n→+∞ kRk kS − S n kγ∞ (H ,E ) kT k = 0.
¡
¢
Donc S ◦ R ◦ T ∈ γ H 0 , E 0 , ce qui achève la démonstration puisque la norme
k.kγ(H ,E ) est la restriction à γ(H , E ) de la norme k.kγ∞ (H ,E ) .
Théorème 4.1.3. Soit H un espace de Hilbert séparable et soit S ∈ L (H , E ) . Alors les
assertions suivantes sont équivalentes.
(1) S ∈ γ (H , E ) ,
P
p
(2) la série ∞
n=1 γn Sh n converge dans L (Ω, E ) pour toute base orthonormée (h n )n≥1
de H et pour tout p ∈ [1, +∞[,
(3) il existe une base orthonormée (h n )n≥1 de H et p ∈ [1, +∞[ tels que la série
converge dans L p (Ω, E ) .
n=1 γn Sh n
P∞
Pour toute base orthonormale (h n )n≥1 de H et pour tout p ∈ [1, +∞[, on a alors
p
kSkγ
p
°∞
°p
°X
°
°
°
=
E
γ
Sh
n
n° .
°
(H ,E )
n=1
Démonstration. (1) ⇒ (2) Fixons R ∈ γ (H , E ) et 1 ≤ p < +∞ et soient (h n )n≥1 une
base orthonormée de H et P n la projection orthogonale de H sur l’espace vectoriel
engendré par {h 1 , . . . , h n } .
4.1. THÉORÈME DE HOFFMANN-JORGENSEN ET KWAPIEN
49
Soit U ∈ L (H , E ) un opérateur de rang fini. Il existe x 1 , . . . , x M ∈ E et u 1 , . . . , u M ∈
PM
H tels que U = m=1
u m ⊗x m . On a, pour toute famille orthonormale h 0 = (h 10 , . . . , h k0 )
d’éléments de H ,
° !1
°2 ! 12 Ã °
Ã °
°X
°
°X
D
E °2 2
k X
M
k
°
°
°
°
= E°
γ u m , h 0j − P n h 0j x m °
E ° γ j (U −U P n )h 0j °
° j =1 m=1 j
°
°
° j =1
° !1
¯ !1
Ã °
Ã ¯
°X
¯X
D
E °2 2
D
E¯2 2
k
M
k
X
°
°
¯
¯
E ° γ j u m , h 0j − P n h 0j x m °
kx m k E ¯ γ j u m − P n u m , h 0j ¯
≤
=
°
°
¯
¯
m=1
m=1
j =1
j =1
M
X
=
M
X
Ã
kx m k E
m=1
M
X
m=1
k X
k
X
i =1 j =1
!1
E 2

®D
0
0
γi γ j u m − P n u m , h i u m − P n u m , h j
!1
E¯ 2
M
k ¯D
X
X
¯
0 ¯
kx m k
kx m kku m − P n u m k.
¯ um − P n um , h j ¯ ≤
Ã
m=1
j =1
Donc limn→+∞ kU −U P n kγ(H ,E ) = 0. On a alors, pour tout opérateur de rang fini
U,
lim supn→+∞ kS − SP n kγ(H ,E )
≤ kS −U kγ(H ,E ) + lim supn→+∞ kU −U P n kγ(H ,E ) + kU − Skγ(H ,E ) lim supn→+∞ kP n k
= 2kS −U kγ(H ,E ) .
Donc limn→+∞ kS − SP n kγ(H ,E ) = 0, puisque les opérateurs de rang fini sont denses
dans γ(H , E ).
On a, pour n > m ≥ 1, p ∈ [1, +∞[,
k
n
X
j =m+1
p
γ j Sh j kp ≤ kSP n − SP m kγ∞ (H ,E ) .
p
Comme la norme k.kγ∞
est équivalente à la norme k.kγ(H ,E ) , il résulte alors
p (H ,E ) P
du critère de Cauchy que la série ∞
dans L p (Ω, E ) .
n=1 γn Rh n converge
°p ¶
µ °
m
°P
°
°
Il résulte de la proposition 3.1.1 que la suite E °
γn Sh n °
est croissante.
°
n=1
m≥1
On déduit alors de la proposition 3.2.5 que l’on a
°
°p
°∞
°p
°X
°
N
°X
°
°
°
p
° .
kSkγ (H ,E ) = sup E °
γn Sh n ° = E °
γ
Sh
n
n
°
°
p
°
N ≥1 °n=1
n=1
On a vu que (1) ⇒ (2) , et il est évident que (2) ⇒ (3) .
Supposons maintenant que (3) est vérifié pour un réel p ≥ 1 et une base orthonormale (h n )n≥1 de H . En appliquant les résultats précédents à l’opérateur de rang
fini SP n − SP m , pour n ≥ m ≥ 1, on obtient
°
°p
°
°p
°
°+∞
°
° X
n
°
°P
°
°
p
kSP n − SP m kγ (H ,E ) = E ° SP n h j − SP m h j °
= E°
γ j Sh j ° .
p
° j =1
°
° j =m+1
°
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
50
On en déduit que la suite (SP n )n≥1 est de Cauchy dans γ (H , E ). Soit S̃ sa limite. On
a à fortiori limn→+∞ kSP n − S̃k = 0 et pour u ∈ H
S̃u = l i m n→+∞ SP n u = Su.
Donc S = S̃ ∈ γ(H , E ), et (3) ⇒ (1) .
4.2 Exemple d’un opérateur γ-sommant et non γ-radonifiant
On va maintenant donner un exemple qui montre que si γ(H , E ) = γ∞ (H , E ),
alors E ne contient pas de copie de c 0 (c’est l’implication (1) ⇒ (2) du théorème de
Hoffmann-Jorgensen et Kwapien).
Exemple 4.2.1. L’opérateur de multiplication T : `2 → c 0 défini par :
Ã
¡
¢
∞
T (αn )n=1 = p
!
αn
log (n + 1)
n≥1
est γ-sommant mais n’est pas γ-radonifiant.
En effet soit γ une variable aléatoire gaussienne standard. On a :
G (r )
=
=
=
=
=
=
=
n¯ ¯
o
2
P ¯γ¯ ≤ r
Z pr
1
− 21 x 2
dx
p
p e
2π − r
Z pr
1 2
2
e− 2 x d x
p
2π 0
½Z ∞
¾
Z ∞
1 2
1 2
2
e− 2 x d x − p e− 2 x d x
p
r
2π 0
Z ∞
1 2
2
−2x
1− p
dx
p e
2π r
Z ∞ −y
1
e 2
1− p
p dy
y
2π r
Z ∞ −y
− r2
2e
1
e 2
1− p
+p
p dy
2πr
2π r y y
Donc, on a :
r
2 e− 2
G (r ) ≥ 1 − p
p .
2π r
En intégrant encore par parties, on obtient :
r
r
2 e− 2
2 e− 2
3
G (r ) = 1 − p
p +p
p −p
2π r
2π r r
2π
Z
r
∞
y
e− 2
p dy
y2 y
4.2. EXEMPLE D’UN OPÉRATEUR γ-SOMMANT ET NON γ-RADONIFIANT
51
µ
¶ r
2
1 e− 2
≤ 1− p
1−
p .
r
r
2π
Ceci donne, pour r ≥ 2,
r
1 e− 2
G(r ) ≤ 1 − p
p .
2π r
Soit (u n ) une base unitaire de `2 . On doit montrer que :
°
°2
Ã
¯ ¯2 !
°X
°
N
¯γn ¯
°
°
<∞
sup E °
γn Tu n ° = sup E max
°
1≤ n≤N log (n + 1)
N ≥1 °n=1
N ≥1
c0
On pose : βn =
2
|γn |
log(n+1)
µ
¶
P max βn > t
=
µ
¶
1 − P max βn ≤ t
1≤n≤N
Ã
!
N ©
\
ª
1−P
βn ≤ t
=
N
1 − Πn=1
P
=
1≤n≤N
n=1
©
ª
βn ≤ t
¯ ¯2
|γn |2
≤ t ⇔ ¯γn ¯ ≤ t log (n + 1). D’autre part si ²i ∈ [0, 1] pour 1 ≤ i ≤ n,
βn ≤ t ⇔ log(n+1)
on a (1 − ²1 ) . . . (1 − ²n ) ≥ 1 − (²1 + . . . ²n ). Donc on a


µ
¶
2

N 
P max βn > t
≤ 1 − Πn=1
1 − q

1≤n≤N
2π (n + 1)t t log (n + 1)
≤
N
2 X
1
1
p
p
p
t
2π n=1 (n + 1)
t log (n + 1)
∀ t ≥ 4, (n + 1)t = (n + 1)t −4 (n + 1)4 ≥ 2t −4 (n + 1)4
µ
¶
1
1
2
N
P max βn > t
≤ p Πn=1
p
p
4
1≤n≤N
t
−4
2π
t log (n + 1)
(n + 1) 2
≤
N
2 X
1
1
1
p
p
p
2
t
−4
+
1)
(n
2π n=1
2 t log (n + 1)
≤
N
2 X
1
1
1
p
p
p
2π n=1 (n + 1)2 2t −4 t
log 2
≤
≤
N
X
1
1
p
t
−4
2π log 2 2 t n=1 (n + 1)2
³ 2
´
2 π6 − 1
1
.
p
p
2π log 2 2t −4 t
2
p
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
52
|γ |2
n
. Pour p ∈ [1, +∞[, on a
Posons ζ = max 1≤n≤N l og (n+1)
Z ∞
Eζp =
pλp−1 P {ζ > λ} d λ.
0
En particulier
¯ ¯2
¯γn ¯
Ã
E
sup
1≤n≤N
D’autre part
R∞
0
P {ζ > t } d t =
R4
0
!
log (n + 1)
Z
=
P {ζ > t } d t +
∞
0
P {ζ > t } d t .
R∞
P {ζ > t } d t .
´
Z 4 2 π2 − 1
1
6
dt
p
p
0
2π log 2 2t −4 t
´
³ 2
2 π6 − 1 Z 4
1
dt
p
p
2π log 2 0
2t −4 t
Z 4
1
p dt
t
0
4.
4
³
Z
0
4
P {ζ > t } d t
≤
=
≤
=
On obtient finalement
³ 2
´
2 π6 − 1 Z ∞
1
E sup
≤ 4+ p
d t < ∞,
p
2π log 2 4
1≤n≤N log (n + 1)
2t −4 t
¯ ¯2
¯γn ¯
Ã
!
et l’opérateur T est donc γ-sommant.
Montrons maintenant que T n’est pas γ-radonifiant. Raisonnons par l’absurde.
P
Si T était γ-radonifiant, alors X = n≥1 γn Tu n , qui converge dans CN , convergerait dans L 2 (Ω, c 0 ) , et la probabilité pour nque la somme de cette série appartienne
o
¯ ¯
¡ ¢
T
à c 0 serait égale à 1. Posons E N = j ≥N x j j ≥1 t el s que ¯x j ¯ ≤ 1 ∀ j ≥ N . On a
S
c 0 = N ≥1 E N , donc
P (X ∈ c 0 )
≤
X
P (X ∈ E N ) =
N ≥1
X
n¯ ¯
o
2
Πn≥N P ¯γn ¯ ≤ log (n + 1) .
N ≥1
Pour n ≥ 7, on a : log (n + 1) ≥ 2, ce qui donne, puisque
P
n≥1
1
(n+1) log(n+1)
p
= +∞,
pour N ≥ 7.
n¯ ¯
o
2
Πn≥N P ¯γn ¯ ≤ log (n + 1)
Ã
≤
Πn≥N
1
1
1− p
p
2π (n + 1) log (n + 1)
!
= 0.
n¯ ¯
o
2
Donc en fait Πn≥N P ¯γn ¯ ≤ log (n + 1) = 0 pour tout N ≥ 1, on a P (X ∈ c 0 ) = 0
et cette contradiction montre que T n’est pas γ-radonifiant.
4.3. OPÉRATEURS DANS LES ESPACES L P
53
4.3 Opérateurs dans les espaces L p
4.3.1 Les opérateurs dans les espaces de Hilbert
Rappelons que si E est un espace de Hilbert, L 2 (H , E ) désigne l’espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt de H dans E , qui est l’ensemble des opérateurs bornés
R : H → E vérifiant
kRk2L2 (H ,E ) = sup
X
kRh n k2 < +∞,
n
h
le supremum étant calculé sur l’ensemble des familles orthonormales finies h =
(h 1 , . . . , h N ) d’éléments de H .
Théorème 4.3.1. Si E est un espace de Hilbert, alors γ (H , E ) = L 2 (H , E ), et kRkL2 (H ,E ) =
kRkγ(H ,E ) pour tout R ∈ γ(H , E ).
Démonstration. Soit h = (h 1 , . . . , h N ) une famille orthonormale finie d’éléments de
H . On a
°
°2
°X
°
N
°
°
E°
γn Rh n °
°n=1
°
*
=
E
N
X
γn Rh n ,
n=1
=
E
N
X
+
γm Rh m
m=1
N X
N
X
γn γm ⟨Rh n , Rh m ⟩
m=1 n=1
=
N X
N
X
E(γn γm ) ⟨Rh n , Rh m ⟩
m=1 n=1
=
X
kRh n k2 .
n=1
Donc γ(H , E ) = γ (H , E ) = L 2 (H , E ), et kRkγ(H ,E ) = kRkγ∞ (H ,E ) = kRkL2 (H ,E ) pour
tout R ∈ γ(H , E ).
∞
On étudie maintenant le cas où E est un espace L p .
¡
¢
Théorème 4.3.2. Soit A, A , µ un espace mesuré σ-fini, soit H un espace de Hilbert
et soit p ∈ [1, +∞[. Pour un opérateur R ∈ L (H , L p (A)), les assertions suivantes sont
équivalentes.
(1) R ∈ γ (H , L p (A)) .
(2) Pour toute base orthonormée (h n )n≥1 de H, la fonction
tient à L p (A) .
¡P∞
n=1 |Rh n |
(3) Il existe une base orthonormée (h n )n≥1 de H telle que la fonction
appartienne à L p (A) .
Dans ce cas, on a, pour toute base orthonormée (h n )n≥1 de H ,
2
¢1
¡P∞
2
appar-
n=1 |Rh n |
2
¢1
2
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
54
°µ
¶ 12 °
°
° X
∞
°
2 °
∼
kRkγ(H ,L p (A)) = °
|Rh n |
° .
°
° n=1
p
¯2
¯
Démonstration. Utilisons l’identité n=M
n=M c n γn avec c n = f n (ζ), ζ ∈
A. En appliquant l’inégalité de Kahane-Kintchine sur les scalaires, puis dans L p (A),
ainsi que le théorème de Fubini, on obtient, pour M ≤ N et f M , . . . , f N ∈ L p (A),
°
°
°Ã
°Ã ¯
¯2 ! 12 °
!1 °
°
° N
°
° ¯X
¯
N
° X ¯ ¯2 2 °
°
° ¯
¯
°
°
¯ fn ¯
=
E
γ
f
°
°
¯
¯
n
n
°
°
°
° ¯n=M
¯
°
° n=M
°
°
p
p
°Ã ¯
¯p ! 1 °
° ¯ N
°
¯ p°
° ¯X
¯
∼
°
E
γ
f
¯
¯
= °
n
n
° ¯
°
¯
° n=M
°
PN
¯P
|c n |2 = E ¯ N
p
=
°p
Ã °
°X
°
N
°
°
E°
γn f n °
°n=M
° p
∼
=
°2 ! 21
Ã °
°X
°
N
°
°
E°
.
γn f n °
°n=M
°
!1
p
L (A)
p
Les équivalences (1) ⇐⇒ (2), (1) ⇐⇒ (3) et l’estimation finale s’en déduisent en prenant f n = Rh n où (h n )n≥1 est une base orthonormée de H .
Nous donnons maintenant un exemple simple d’opérateur γ-radonifiant. Ce résultat fonctionne aussi pour des fonctions φ : [a, b] → γ(H , E ), avec des hypothèses
analogues. L’opérateur Tφ appartient alors à γ(L 2 ([a, b]; H ), E ), où L 2 ([a, b], H ) déRb
signe l’espace des fonctions mesurable f : [a, b] → H vérifiant a k f (t )k2 d t < +∞.
[47], page 56.
Proposition 4.3.3. Soit [a, b] un intervalle et ϕ : ]a, b[ → E continûment différentiable avec
Z b
°
°
1 ° 0
°
(t − a) 2 °ϕ (t )° d t < ∞
E
a
Rb
2
¡
¢
Si on définit Tϕ : L ([a, b]) → E par Tϕ f = a ϕ (t ) f (t ) d t , alors Tϕ ∈ γ L 2 ([a, b])) , E
et on a
Z b
°
°
°
° °
1 ° 0
1 °
°
°Tϕ ° 2
2 °ϕ(b)° +
2 °ϕ (t )° d t .
(t
−
a)
≤
−
a)
(b
E
γ(L ([a,b]),E )
E
a
Démonstration. Notons que φ s’étend par continuité sur ]a, b]. On considère une
base orthonormale (h n )n≥1 de L 2 ([a, b]). On a, pour t ∈]a, b],
φ (t ) = φ (b) −
Z
b
a
h n (t ) φ (t ) d t =
Z
Z
b
a
χ[t ,b] (s) φ0 (s) d s,
b
a
Z
h n (t )φ(b)d t −
bZ b
a
a
χ[t ,b] (s) h n (t ) φ0 (s) d sd t .
4.3. OPÉRATEURS DANS LES ESPACES L P
55
On obtient
µ °∞
Z
°X
°
γn
E°
n=1
µ °∞
µZ
°X
≤ E°
γ
n
°
b
a
°2 ¶ 1
° 2
h n (t ) φ (t ) d t °
°
¶°2 ¶ 1 µ ° ∞
Z
b
° 2
°X
°
h n (t ) φ (b) d t °
+
E
γ
n
°
°
n=1
a
Puisque
+∞
P R
n=1
n=1
b
2
a |h n (t )| d t
µ °∞
µZ
°X
°
E°
γn
n=1
bZ b
a
a
°2 ¶ 1
° 2
χ[t ,b] (s) h n (t ) φ0 (s) d sd t °
.
°
= 1, on a alors, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
Ã ¯
°2 ¶ 1
Z
X
° 2 °
° ¯ +∞
°
°
°
≤ φ (b) E ¯¯
h n (t ) d t φ (b)°
γn
b
¶
a
n=1
µ µ +∞ +∞
Z
X X
°
°
= °φ (b)° E
γm γn
m=1 n=1
Ã
¯
X ¯Z
°
° +∞
¯
= °φ (b)°
¯
n=1
b
a
b
a
a
¯2 ! 12
¯
h n (t )d t ¯¯
¶¶ 12
b
Z
h m (t )d t
b
h n (t )d t
a
¯2 ! 21
°
°p
¯
|h n (t )| d t ¯¯
= °φ (b)° b − a.
On a d’autre part
µ °∞
Z
°X
E°
γ
n
°
n=1
bZ b
a
a
Ã °
Z
X
° +∞
= E°
γ
n
°
Ã µZ
≤ E
°Z
°
=°
°
Z
=
a
° ∞
b °µ X
µ Z
γn
b
°
°
n=1
∞
b ¯µ X
a
¯
¯
¯
¯
¯
γn
γn
Z
n=1
a
b
a
a
n=1
b
a
a
b
Z
n=1
°
Z
b ° +∞
X
°
γ
n
°
Z
≤
a
¯ ∞
b ¯µ X
a
b ·Z b
n=1
a
Ã µZ
= E
°2 ¶ 1
° 2
χ[t ,b] (s) h n (t ) φ0 (s) d sd t °
°
°2 ! 21
¸
°
0
χ[t ,b] (s)h n (t ) φ (s)d s °
°
χ[t ,b] (s)h n (t )d t
¶¶
° ¶2 ! 12
°
φ (s)°
°ds
0
¶¯
¶2 ! 12
¯ 0
χ[t ,b] (s)h n (t )d t ¯¯ kφ (s)kd s
°
¶¯
¯ 0
°
¯
χ[t ,b] (s)h n (t )d t ¯ kφ (s)kd s °
°
L 2 (Ω)
°
b
°
χ[t ,b] (s)h n (t )d t °
°
a
kφ0 (s)kd s
L 2 (Ω)
Ã ¯
Z
X
¯ +∞
kφ (s)k E ¯¯
γn
0
n=1
b
a
¯2 ! 12
¯
χ[t ,b] (s)h n (t )d t ¯¯
d s.
Comme la famille (γn )n≥1 est une famille orthonormale de L 2 (Ω), on obtient, en
utilisant de nouveau l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
56
µ ¯ +∞ Z
¯X
E ¯¯
γn
n=1
=
¯
+∞
X ¯Z s
n=1
¯
¯
a
b
a
¶¯2 +∞ ¯Z
X¯
¯
¯
χ[t ,b] (s)h n (t )d t ¯¯ =
¯
n=1
¯2 +∞ ¯Z
X¯
¯
¯
h n (t )d t ¯¯ =
¯
n=1
b
a
b
a
¯2
¯
χ[t ,b] (s)h n (t )d t ¯¯
¯2
¯
°
°2
χ[a,s] (t )h n (t )d t ¯¯ = °χ[a,s] °L 2 ([a,b]) = s − a.
On obtient finalement
µ °∞
Z
°X
E°
γ
n
°
n=1
b
a
°2 ¶ 1
Z
p
° 2
≤
|φ(b)|
b
−
a
+
h n (t ) φ (t ) d t °
°
bp
a
s − akφ0 (s)kd s.
Donc Tφ ∈ γ(L 2 ([a, b]), E ), et on a
° °
1 ° °
°Tϕ ° 2
≤ (b − a) 2 °ϕ°E +
γ(L ([a,b]),E )
Z
b
a
°
°
1 ° 0
°
(t − a) 2 °ϕ (t )° d t .
E
Exemple 4.3.4. Posons, pour f ∈ L 2 ([0, 1]),
µZ
T (f ) =
1
f (t )
0
e −nt
dt
n
¶
.
n≥1
Alors T ∈ γ(L 2 ([0, 1]), `1 ).
Ici E = `1 , a = 0, b = 1, ϕ (t ) =
³
´
e −nt
n n≥1 . On a
° 0 °
0
°
°
ϕ (t ) = (−e −nt )n≥1 , °ϕ (t )°
`1
Donc on a
Z
0
1p
t kφ0 (t )k`1 d t =
Z
0
1
=
∞
X
n=1
e −nt =
e −t
.
1 − e −t
p
t e −t
d t < ∞,
1 − e −t
−n
et Tφ appartient bien à γ(L 2 ([0, 1]), `1 ). Notons que φ(1) = ( e n )n≥1 ∈ `1 , mais que
ϕ (0) = n1 ∉ `1 .
4.3.2 Etude de convergence en moyenne de Cesàro
P
PN
Soit la suite X n = nk=1 γk T h k et S N = N1 n=1
X n . On se propose d’étudier la
convergence en moyenne de Cesàro de la suite (X N ) lorsque elle est bornée dans
4.3. OPÉRATEURS DANS LES ESPACES L P
57
L 2 (Ω, E ) .
SN
=
N
1 X
Xn
N n=1
=
N X
n
1 X
γk T h k
N n=1 k=1
N X
N
1 X
γk T h k
N k=1 n=k
µ
¶
N
X
k −1
γk 1 −
T hk
N
k=1
=
=
On se place dans le cas où E = c 0 , et on considère l’opérateur T : `2 → c 0 défini par
la formule
Ã
T ((αn )n≥1 ) = p
αn
l og (n + 1)
!
.
n≥1
Cet opérateur est γ-sommant mais n’est pas γ-radonifiant, donc la suite (X n )n≥1
est bornée, mais non convergente dans L 2 (Ω, c 0 ).
On a donc supn≥1 E kX n k2E < +∞. Posons e k := (δk,n )n≥1 , où δ désigne le symbole
de Kronecker. Pour M < N , on a :
SN − SM =
M
X
γk
k=1
µ
µ
¶
¶
N
X
k −1
k −1 k −1
γk 1 −
Te k +
Te k
−
M
N
N
k=M +1
µ
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
1
M −1
M
1
= 0, γ2
, . . . , γM
, γM +1 1 −
,
−
−
p
p
p
M N
M N
N
log 3
log (M + 1)
log (M + 1)
µ
¶
¶
¶
µ
N −2
1
N −1
1
. . . , γN −1 1 −
, γN 1 −
, 0, 0, . . . ,
p
p
N
N
log N
l og (N + 1)
¯
¯
¯ µ
¯
¶
¯
¯
1
1
j −1
¯
¯
max max ¯γ j
−
¯ ,
q ¡
¢
¯
1≤ j ≤M ¯
M
N
¯
log 1 + j ¯
¯
¯


¯ µ
¯ ¶
¶
¯
¯
j
1
¯
¯
max ¯γ j 1 −
q ¡
¢ ¯¯
M +1≤ j ≤N ¯
N
¯
log 1 + j ¯


µ
¶
1
j −1
¯ ¯ 1

max ¯γ j ¯
−
q ¡
¢.
1≤ j ≤M
M N
log 1 + j
µ
kS M − S N kE
=
≥
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
58
On considère maintenant le cas où N = 2M , avec M pair. On a
kS M − S N k
≥


¯
¯
j
−
1
1


max ¯γ j ¯
q ¡
¢
M
2M
≤
j
≤M
2
log 1 + j

¯
¯
1
1
1


max ¯γ j ¯ q ¡
−
¢,
4 2M M2 ≤ j ≤M
log 1 + j

µ
≥
E kS M − S 2M k
¶
!
¶ Ã
¯ ¯
1
1
1
E max ¯γ j ¯ p
−
M
4 2M
log (M + 1)
2 ≤ j ≤M
Ã
!
µ
¶
¯ ¯
1
1
1
−
E max ¯γ j ¯
p
4 2M
log (1 + M ) M2 ≤ j ≤M
µ
¶p
l og M − l og 2
1
1
−
p
4 2M
l og (M + 1)
µ
≥
≥
≥
¯ ¯¢
¡
d’après l’inégalité suivante : E max1≤n≤N ¯γn ¯ ≥ 12 l og (N ) ,[46],exemple 3.8.
Donc lim infL→+∞ EkS 2L − S 4L k ≥ 41 , et la suite (X n )n≥1 ne converge pas au sens
de Cesàro.
¡
¢
PN
Etudions aussi la convergence de la suite Z N = k=1
γk 1 − k1 T h k .
PN
On considère la suite (Yn ) définie par Y N = k=1 γk k1 T h k . On a
kY M − Y N k
=
≤
≤
°
°
° X
°
M
1
°
°
γk T h k °
°
°k=N +1 k
°
°
°
°
M
1 °
° X
°
γk T h k °
°
°
°
N + 1 k=N +1
C
→0
N +1
quand n → ∞
La suite (Y N ) converge dans L 2 (Ω, E ). Ainsi, si Z N convergeait, alors Y N +Z N =
convergeait aussi, ce qui n’est pas le cas.
Proposition 4.3.5. Soit un opérateur T : `2 → `p défini par la formule
¡
¢
T (αn )n≥1 = (a n αn )n≥1 .
Alors T ∈ γ(`2 , `p ) si et seulement si (a n )n≥1 ∈ `p .
Démonstration. On a, pour N ≥ 1,
°
°p
°
°p
°X
°
°X
°
N
N
°
°p
°
°
°
°
E°
γn Te n ° = E °
γn a n e n ° = E °(γ1 a 1 , γ2 a 2 , . . . , γN a N )°p
°n=1
°
°n=1
°
p
p
PN
γ T hk
k=1 k
4.3. OPÉRATEURS DANS LES ESPACES L P
=E
59
N ¯
N
N
X
X
¯
¯
¯p X
¯ ¯p
¯γn a n ¯p =
E ¯γn a n ¯ =
E ¯γn ¯ |a n |p
n=1
n=1
n=1
Ã
p
mp
N
X
!p
,
|a n |
n=1
où
Z +∞
¯ ¯p
x2
1
|x|p e − 2 d x = E ¯γn ¯
(4.1)
=p
2π −∞
2 p
est le moment d’ordre p. Il résulte alors de la proposition 3.2.5 que T ∈ γ∞
p (` , ` ) =
∞ 2 p
2 p
p
γ (` , ` ) = γ(` , ` ) si et seulement si (a n )n≥1 ∈ ` .
p
mp
On note γ(E ) l’ensemble des suites (x n )n≥1 d’éléments de E telles que
+∞
P
n=1
γn x n
converge dans L 2 (Ω, E ). Nous concluons ce chapitre par le résultat suivant.
Théorème 4.3.6. Soit T ∈ L (H , E ). Alors T ∈ γ(H , E ) si et seulement si (T (x n ))n≥1 ∈
faible
γ(E ) pour toute suite (x n )n≥1 ∈ `2
(H ).
P
Démonstration. Notons que si (h n )n≥1 est une base orthonormale, alors | ⟨x, h n ⟩ | =
faible
kxk < +∞ pour tout x ∈ H , donc (h n )n≥1 ∈ `2
(H ). Donc si (T (x n ))n≥1 ∈ γ(E ) pour
+∞
P
toute suite (x n )n≥1 ∈ `faible
(H ), alors la série
γn h n converge dans L 2 (Ω, E ) pour
2
n=1
toute base orthomormée (h n )n≥1 de H , et T ∈ γ(H , E ).
(H ), et soit (h n )
Réciproquement supposons que T ∈ γ(H , E ), soit (x n )n≥1 ∈ `faible
2
une base orthonormale de H . On pose
µ p
¶
p
X
X
λn h n =
u
λn x n .
n=1
On a, si x =
Pp
n=1 λn h n ,
n=1
y ∈ H,

®
u(x), y
=
¿ µ p
¶ À
X
u
λn h n , y
n=1
¿
=
p
X
n=1
p
X
¿
=
=
λn u(h n ), y
λn x n , y
À
À
n=1
p
X

®
λn x n , y
n=1
≤
µp
X
¶ 21 µ
¶1
X ¯
®¯ 2
¯ x n , y ¯2
|λn |
2
n
=1
≤
° °
kxk k(x n )k`faible (H ) ° y °
2
Donc ku(x)k ≤ kxk k(x n )k`faible (H ) , et u s’étend par continuité à H . Comme u(h n ) =
2
x n , et comme T ◦ u ∈ γ(H , E ), on voit que (T (x n ))n≥1 ∈ γ(E ).
60
CHAPITRE 4. LES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
Chapitre 5
Les opérateurs p-nucléaires et
faiblement ∗p-nucléaires
On va introduire dans ce chapitre les notions d’opérateurs p-nucléaires et faiblement∗pnucléaires et on va montrer que la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt coincide avec la classe des opérateurs faiblement ∗1-nucléaires.
Dans toute la suite, p ∈ [1, +∞[, et q désigne le conjugué de p défini par la formule
1
1
p + q = 1.
5.1 Opérateurs p-nucléaires
Définition 5.1.1. Soient E et F deux espaces normés. Une application linéaire conti∗
∗
nue T : E → F est dite nucléaire
° ° s’il° existe des suites (x n ) ⊂ E et (y n ) ⊂ F tel que :
P∞ ∗
P °
∗° ° °
°
T = n=1 x n ⊗ y n avec n x n y n < ∞.
L’espace vectoriel formé par ces opérateurs est°noté
° °N1 °(E , F ) .
P
Pour T ∈ N1 (E , F ), on pose : kT k1 = inf n °x n∗ ° ° y n °, l’inf étant pris sur toutes les
P
∗
représentations de T de la forme : T = ∞
n=1 x n ⊗ y n .
Proposition 5.1.2. Un opérateur T ∈ L (E , F ) est nucléaire si et seulement si il admet
une factorisation
E
u
/ `∞
M
λ
/ `1
v
/F
avec u et v linéaires continus, M λ désignent la multiplication par une suite (λn )n ∈ `1 .
Démonstration.¡Notons
®¢ que toute∗ application linéaire continue u : E −→∗`∞ est de
la forme u(x) = x n∗¡, x n≥1
¢ où (x n ) est une suite bornée d’éléments de E .
D’autre part
si
e
=
δ
n ¢ n,m m≥1 toute application linéaire continue v : `1 −→ F est de
¡
P
la forme v (βn )n≥1 = ∞
n=1 βn y n où (y n ) = (v(e n )) est une suite bornée d’éléments
de F.
° °
° °
P
Dire que T est nucléaire signifie que T = n λn x ∗ ⊗y n avec sup °x ∗ ° < +∞, sup ° y n ° <
n
61
n
62CHAPITRE 5. LES OPÉRATEURS P -NUCLÉAIRES ET FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
+∞, et
P
n |λn | < +∞. Ceci signifie donc T admet une factorisation :
u/
x
¡
x n∗ , x
®¢
n
M
λ
/ λn x ∗ , x
n
¡

v
®¢
n

®
/ P∞ λn x ∗ , x y n .
n
n=1
Définition 5.1.3. Soit X et Y deux espaces de Banach. Un opérateur u : X −→ Y est
p-nucléaire (1 ≤ p < +∞) s’il existe des opérateurs a ∈ L (`p , Y ), b ∈ L (X , `∞ ) et une
suite λ = (λn )n ∈ `p tels que u = a◦M λ ◦b où M λ désigne l’opérateur de multiplication
par λ.
On note N p (X , Y ) l’ensemble des opérateurs nucléaires de X dans Y et on pose
νp (u) = inf kak kλk`p kbk ,
l’inf étant pris sur toutes les factorisations du type ci-dessus.
On voit donc que la classe des opérateurs 1-nucléaires coincide avec la classe
des opérateurs nucléaires.
Proposition 5.1.4. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit u : X −→ Y une application linéaire continue. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(i ) u est p- nucléaire.
b
Mτ
a
(i i ) u admet une factorisation u : X → c 0 → `p → Y où a et b sont des opérateurs
compacts et où M τ est l’opérateur de multiplication associé à τ ∈ `p .
(i i i ) Même condition que (i i ), avec a et b des opérateurs bornés.
¡ ¢
P
faible
∗
(i v) Il existe des suites (λn ) ∈ `p , (x n∗ ) ⊂ B X ∗ et y n ⊂ `q
(Y ) telles que u = ∞
n=1 λn x n ⊗
y n , la série étant convergente dans L (X , Y ) .
P
faible
∗
(v) Il existe des suites (x n∗ ) ⊂ `p (X ∗ ) et (y n ) ⊂ `q
(Y ) telles que u = ∞
n=1 x n ⊗ y n , la
série étant convergente dans L (X , Y ) .
°
° ° °
De plus si u est p-nucléaire, on a : νp (u) = inf kak kλk`p kbk = inf °(x n∗ )°`p ° y n °`faible ,
q
les inf étant calculés sur toutes les décompositions de u donnée par les conditions (i i )
et (v).
Démonstration. De même que plus haut, on vérifie que pour toute suite λ = (λn )n≥1 ∈
`p il existe α = (αn )n≥1 ∈ c 0 et σ = (σn )n≥1 ∈ `p telles que λ = α ◦ σ et on peut vérifier que pour tout ² > 0, on peut choisir α et σ de façon que αn ≥ 0 et kαkc0 kλk`p ≤
(1 + ²) kλk`p aussi ( ceci résulte du théorème de factorisation de Cohen, voir [10], th
2.9.24, page
¶ ).
µ 312
1
Comme αn2
∈ c 0 , cette suite peut être utilisée pour construire deux opérateurs
n≥1
diagonaux b 0 : `∞
−→ c o et a 0 : `p −→ `p . A partir de la décomposition u = a ◦ M λ ◦b
avec a ∈ L (`p , Y ), b = L (X , `∞ ) on obtient la factorisation u = (a ◦a 0 )◦(M λ ◦(b 0 ◦b)
qui est du type (i i ). De plus, on a :νp (u) = inf kak kλk kbk où l’inf est calculé sur
toutes les décompositions données en (i i ).
Le reste de la proposition provient du fait que l’application u −→ (ue n )n≥1 définit un
isomorphisme isométrique de L (`p , Y ) sur `faible
(Y ) pour 1 < p < +∞, tandis que
p
pour p = 1 cette application définit un isomorphisme isométrique de L (c 0 , Y ) sur
`faible
(Y ).
1
5.1. OPÉRATEURS P-NUCLÉAIRES
63
Signalons sans démonstration le résultat suivant, voir[8]th 5.29,page 117.
Théorème 5.1.5. Soient X , Y , Z des espaces de Banach, soit v ∈ L (X , Y ) et u ∈
L (Y , Z ). On suppose que 1 ≤ p, q, r < +∞ et que r1 = p1 + q1 . Si u est p-nucléaire et v
est q- sommant, ou si u est p-sommant et v est q-nucléaire, alors u ◦ v est r-nucléaire.
Théorème 5.1.6. Soient X , Y deux espaces de Banach et soit u ∈ L (X , Y ). Alors les
deux conditions suivantes sont équivalentes.
(1) Il existe un espace de Banach Z et deux opérateurs 2-sommants a : Z −→ Y et
b : X −→ Z tels que u = a ◦ b.
(2) Il existe un espace de Hilbert H , un opérateur borné v : H → Y et un opérateur
nucléaire w : X → H tels que u = v ◦ w.
En particulier la composée de deux opérateurs 2-sommants est nucléaire.
Démonstration. On suppose que (1) est vérifié. D’après un corollaire du théorème
¡ ¢ j
b
de factorisation de Pietsch, u admet une factorisation de la forme u : X → L ∞ µ →
¡ ¢ a
i
v
L 2 µ → L ∞ (λ) → L 2 (λ) → Y .
L’opérateur i ◦ a est un opérateur de Hilbert-schmidt, donc 2-sommant et j ◦ b est
2-sommant. D’après le théorème précédent, i ◦ a ◦ j ◦ b est nucléaire. Donc (2) est
vérifié.
w
v
On suppose que (2) est vérifié. On a une factorisation de la forme u : X → H → Y
b
∆
a
où H est un espace de Hilbert et w nucléaire. On a : w : X → `∞ → `1 → H avec ∆
un opérateur de multiplication associé à un élément de `1 et a, b bornés. Alors ∆
et ∆ ◦ b sont nucléaires, donc 1-sommants et a est 1-sommant d’après le théorème
de Grothendieck. Donc d’après le théorème d’inclusion (t h1.2.3), ∆ ◦ b et v ◦ a sont
2-sommants, ce qui montre que (1) est vérifié avec Z = `1 .
On a le résultat classique suivant, voir par exemple[40].
Propriété 5.1.7. Soit H1 et H2 deux espaces de Hilbert et soit v ∈ L (H1 , H2 ). Alors les
trois conditions suivantes sont équivalentes.
(1) v est nucléaire.
(2) Il existe un espace de Hilbert H3 et deux opérateurs de Hilbert-Schmidt v 1 : H1 −→
H3 et v 2 : H3 −→ H2 tels que v = v 2 ◦ v 1 .
(3) Il existe deux opérateurs de Hilbert-Schmidt v 1 : H1 −→ H1 et v 2 : H1 −→ H2 tels
que v = v 2 ◦ v 1 .
Dans ce cas, il existe une suite orthonormale (e n ) d’éléments de H1 , une suite orthoP
normale ( f n ) d’éléments de H2 et (λn )n≥1 ∈ `1 telles que v = ∞
n=1 λn e n ⊗ f n .
Démonstration. Supposons que (2) est vérifié.
Soient v 1 : H1 −→ H3 et v 2 : H3 −→ H2 deux opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Posons
p
v = v 2 ◦ v 1 . On écrit la décomposition polaire v = qW , avec w = v ∗ v : H1 −→ H2 et
q : W (H1 ) −→ H2 isométrique. Soient (e n )n≥1 une base orthonormale de H1 formée
par des vecteurs propres de W et soit (λn )n≥1 la suite des valeurs propres de W. On
64CHAPITRE 5. LES OPÉRATEURS P -NUCLÉAIRES ET FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
pose : h n = qe n
|λn |
=
λn
=
⟨W e n , e n ⟩

®
qW e n , qe n
=
=
=
≤
⟨(v 2 ◦ v 1 ) e n , h n ⟩
®

v 1 e n , v 2∗ h n
°
°2 ´
1³
kv 1 e n k2 + °v 2∗ h n °
2
P
Comme °
v 1 et v 2 sont des opérateurs de Hilbert-Schmidt, alors : kv 1 e n k2 < +∞ et
P°
P
2
°v ∗ h n ° < +∞ et par conséquent |λn | < +∞. Donc v est nucléaire.
2
Supposons que (1) est vérifié.
Soit v : H1 −→ H2 un opérateur nucléaire. On écrit de
la décomposition
° nouveau
°
P
P
kx n kH1 ° y n °H2 < +∞.
polaire v = qW . On a v = ∞
n=1 x n ⊗ y n avec
P∞
Soit P : H2 −→ v(H1 ) la projection orthogonale.
³
´ On a :v = P v = n=1 x n ⊗ P y n donc
on peut supposer que y n ∈ v(H1 ) = q W (H1 ) . On pose z n = q −1 y n et on a W =
P∞
n=1 x n ⊗ z n , et W est compact et positif.
Soit (e k )k≥1 une base orthonormale de H1 formée de vecteurs propres de W , soit
(λk )k≥1 la suite des valeurs propres de W et soit P N la projection orthogonale de H1
sur le sous-espace vectoriel F N engendré par e 1 , . . . , e N . On peut considérer
P N vP N =
N
X
λk e k ⊗ e k =
N
X
P N xn ⊗ P N zn
n=1
k=1
comme un endomorphisme de F N .
Comme
Tr (P N x n ⊗ P N z n ) = ⟨P N x n , P N z n ⟩
on a :
N
X
λk
=
Tr (P N vP N )
k=1
=
≤
N
X
n=1
∞
X
⟨P N x n , P N z n ⟩
° °
kx n k ° y n ° .
n=1
1
P
P
2
λ < +∞. On pose W1 = ∞
Donc ∞
n=1 λn e n ⊗e n . Alors W1 et qW1 sont des opérak=1 k
teurs de Hilbert-Schmidt et v = qW = (qW1 )W1 . On obtient la décomposition cherchée en posant f n = qe n .
On peut se demander si la composée d’un opérateur γ-radonifiant et d’un opérateur de Hilbert-Schmidt est nécessairement nucléaire.
La remarque suivante pourrait mener à un contre-exemple.
5.2. OPÉRATEURS FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
65
Soient T : `2 −→ `p , e n 7−→ a n e n avec p > 2 et S : `2 −→ `2 , e n 7−→ b n e n . Alors T est
γ-radonifiant si (a n ) ∈ `p et S est de Hilbert-Schmidt si (b n ) ∈ `2 . Donc la composée
u = T ◦S : `2 −→ `p , e n 7−→ a n b n e n est diagonale et l’application ((a n )n≥1 , (b n )n≥1 ) −→
(a n b n )n≥1 est une application de `p × `2 sur ` 2p qui contient strictement `1 .
p+2
Donc u = T ◦ S : `2 −→ `p peut être de la forme e n −→ c n e n avec (c n )n≥1 ∉ `1 .
Nous n’avons pas pu montrer qu’un tel opérateur n’est pas nucléaire.
5.2 Opérateurs faiblement ∗p-nucléaires
Soit X un espace de Banach. Rappelons que :
(X ) quand
(x n )n≥1 ∈ `faible
p
sup
∞ ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯p < +∞
x ∗ ∈B X ∗ n=1
et que
¡
x n∗
¢
n≥1
∈ `faible∗
(X ∗ ) quand sup
p
∞ ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x ¯p < +∞.
n
x∈B X n=1
¡ ¢
¡ ¢
Si x n∗ ∈ `p (X ∗ ), et si y n ∈ `q (Y ), on a pour x ∈ X
µ∞
¶1 µ ∞
¶1
∞ °
X
X ¯ ∗ ®¯p p X
° °q q
® °
°yn °
° x ∗, x yn ° ≤
¯ x ,x ¯
.
n
n
n=1
Donc la formule u =
n=1
n=1
P∞
kuxk
∗
n=1 x n ⊗ y n
≤
définit un opérateur borné et on a
∞ °
X
® °
° x ∗, x yn °
n
n=1
µ
≤
∞ ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x ¯p
¶ p1 µ
n
≤
∞
X
n=1
¶ q1
n=1
n=1
µ
∞ ° °
X
° y n °q
¯¿
À¯ ¶ 1 µ ∞
¶1
° °q q
¯
x ¯¯p p X
°yn °
kxkp ¯¯ x n∗ ,
kxk ¯
n=1
À¯p ¶ p1 µ ∞
¶1
∞ ¯¯¿
X
X ° °q q
¯
¯ x∗, x ¯
°yn °
kxk
¯ n kxk ¯
µ
≤
n=1
∞ ° °
X
° y n °q
kxk
µ
≤
n=1
n=1
¶ q1
° ∗
°
°(x )n≥1 ° faible∗ .
n
`
(H )
p
Ceci suggère la définition suivante.
Définition 5.2.1. Soient X , Y deux espaces de Banach et soit u ∈ L (X , Y ) .
P
faible
(i ) On dit que u est faiblement p-nucléaire si u = n x n∗ ⊗ y n avec (x n∗ ) ∈ `p (X ∗ ) et
(y n ) ∈ `q (Y ).
P
faible∗
(i i ) On dit que u est faiblement ∗p-nucléaire si u = n x n∗ ⊗ y n avec (x n∗ ) ∈ `p
(X ∗ )
et (y n ) ∈ `q (Y ).
66CHAPITRE 5. LES OPÉRATEURS P -NUCLÉAIRES ET FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
On remarquera que tout opérateur faiblement p-nucléaire est également faiblement ∗p nucléaire.
Remarquons que `∞ (X ∗ ) = `faible∗
(X ∗ ) .
∞
On a vu au paragraphe 1.1 du chapitre 1 que `∞ (X ) = `faible
(X ) .
∞
∗
faible∗
Dans le cas d’un espace dual, on a `∞ (X ∗ ) = `faible
=
`
(X
)
(X ∗ ) .
∞
∞
faible
∗
faible∗
∗
En effet `∞ (X ) ⊂ `∞
(X ) . D’autre part, si
¯
®¯
∗)
(x n∗ ) ∈ `faible∗(X
,
sup (sup ¯ x n∗ , x ¯) < +∞.
∞
x∈X t qkxk≤1
n
Donc
¯
®¯
sup kx n k = sup sup ¯ x n∗ , x ¯ < +∞
n
x∈B X
n
et
¡ ¢
¡ ∗¢
¡ ∗¢
`∞ X ∗ = `faible∗
X = `faible
X .
∞
∞
faible
Proposition 5.2.2. Soit H un espace de Hilbert. Alors `1 (H ) ( `1
(H ).
Démonstration. Soit (e n )n≥0 une base orthonormale de H et posons f n =
°
P∞ °
P∞ 1
° °
n=1 f n H = n=1 n = +∞. Donc f n ∉ `1 (H ).
Pour g ∈ H , on a :
∞ ¯
X
®¯
¯ g , fn ¯
=
n=1
=
∞ ¯D
X
e n E¯¯
¯
¯
¯ g,
n
n=1
¯
®¯
∞ ¯ g,e ¯
X
n
n=1
µ
≤
n
∞ ¯
X
®¯
¯ g , e n ¯2
n=1
≤
en
n .
° ° π
°g ° p
6
¶ 12 µ
∞ 1
X
2
n=1 n
¶ 12
Donc f n ∈ `faible
(H ).
1
faible
Exemple 5.2.3. Soit H un espace de Hilbert et soit (x n )n≥1 ∈ `1
(H ). L’opérateur
v : H → `1 , défini par v(h) = (⟨h, x n ⟩)n≥1 est faiblement ∗1-nucléaire.

®
faible∗
En effet, posons x n∗ , x = ⟨x, x n ⟩ . Alors (x n∗ )n≥1 ∈ `1
(H ). Soit (e n ) la base ¡natu¢
P∞
P∞ ∗
relle de `1 . On a : v(h) = n=1 e n ⟨h, x n ⟩ = n=1 x n ⊗ e n avec (e n ) ∈ `∞ (`1 ), x n∗ ∈
faible
`1
(H ).
Il est à remarquer que `faible∗
(H ) = `faible
(H ). Donc tout opérateur faiblement ∗
1
1
nucléaire de H dans un espace Y est faiblement nucléaire. Ce résultat est valable si
on remplace H par un espace de Banach reflexif.
5.3 Caractérisation des opérateurs faiblement ∗p-nucléaires
Proposition 5.3.1. Soit T ∈ L (H ). Alors T est faiblement ∗1-nucléaire si et seulement
si T est de Hilbert-Schmidt.
5.3. CARACTÉRISATION DES OPÉRATEURS FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
67
P
∗
Démonstration. Soit T un opérateur de Hilbert-Schmidt. On a T = ∞
n=1 λn e n ⊗ e n ,
P
2
∞
∗
avec (e n ) et (e n ) des bases orthonormales de H et n=1 |λn | < +∞. On pose x n∗ =
λn e n∗ .
∞ ¯
X
®¯
¯ x∗, x ¯
n
=
n=1
=
∞ ¯
X
®¯
¯ λn e ∗ , x ¯
n
n=1
∞
X
¯
®¯
|λn | ¯ e n∗ , x ¯
n=1
µ
≤
∞
X
|λn |
µ
kxk
¶ 12 µ
∞ ¯
X
®¯
¯ e ∗ , x ¯2
¶ 12
n
n=1
n=1
≤
2
∞
X
|λn |2
¶
1
2
n=1
P
∗
∗
faible∗
(H ) i.e T est faiblement∗1Donc T = ∞
n=1 x n ⊗ e n avec (e n ) ∈ `∞ (H ) et (x n ) ∈ `1
nucléaire.
Réciproquement, montrons que si T est un opérateur faiblement ∗1-nucléaire, alors
P
∗
∗
faible∗
T est de Hilbert-Schmidt.
Soit T = ∞
(H ) et y n ∈ `∞ (H ).On
n=1 x n ⊗y n avec x n ∈ `1
P∞  ∗ ®
P∞
⟨h,
⟩
a T h = n=1 x n , h y n = n=1
xn y n .
On considère les opérateurs S : H → `1 , h 7−→ ⟨h, x n ⟩ et U : `1 → H , (αn ) 7−→
P∞
n=1 αn y n . Donc T = U ◦ S. On voit bien que T se factorise à travers l’espace `1 et
d’après le théorème 2.2.5, T est de Hilbert-Schmidt.
68CHAPITRE 5. LES OPÉRATEURS P -NUCLÉAIRES ET FAIBLEMENT ∗P -NUCLÉAIRES
Chapitre 6
Généralisation des opérateurs
γ-radonifiants
6.1 Les opérateurs γ-sommants sur un espace de Banach
On a la proposition suivante, suggérée par le théorème 4.3.6.
Proposition 6.1.1. Soit H un espace de Hilbert, soit E un espace de Banach, et soit
S ∈ γ∞ (H , E ) . Alors, on a pour x 1 , . . . , x N ∈ H
°2 ! 21
Ã °
Ã
!1
°X
°
N ¯
N
X
®¯2 2
°
°
∗
¯
¯
.
E°
≤ kSkγ∞ (H ,E ) sup
γ Sx °
x , xn
°n=1 n n °
kx ∗ k≤1 n=1
Démonstration. Soient x 1 , . . . , x N ∈ H et soit (e 1 , . . . , e N ) une famille orthonormale
PN
⟨x, e n ⟩ x n pour x ∈ H .
d’éléments de H . On pose u(x) = n=1
2
ku (x)k
=
=
≤
¯*
+¯2
¯
¯
N
¯ ∗ X
¯
⟨x, e n ⟩ x n ¯
sup ¯ x ,
¯
kx ∗ k≤1 ¯
n=1
¯
¯2
¯X
¯
N 
®
¯
¯
sup ¯
x ∗ , x n ⟨x, e n ⟩¯
¯
¯
∗
kx k≤1 n=1
Ã
!Ã
!
N ¯
N
X
®¯2 X
2
∗
¯ x , xn ¯
|⟨x, e n ⟩| .
sup
kx ∗ k≤1 n=1
n=1
Donc
Ã
ku(x)k ≤ sup
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
kx ∗ k≤1 n=1
69
!1
2
kxk
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
70
et
Ã
kuk ≤ sup
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
!1
2
.
kx ∗ k≤1 n=1
Donc
°2 ! 12
Ã °
°X
°
N
°
°
E°
γn Sx n °
°n=1
°
=
°2 ! 21
Ã °
°X
°
N
°
°
E°
γn (S ◦ u) e n °
°n=1
°
≤
kS ◦ ukγ∞ (H ,E )
≤
kSkγ∞ (H ,E ) kuk
Ã
≤
kSkγ∞ (H ,E ) sup
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
!1
2
.
kx ∗ k≤1 n=1
On notera que kSkγ∞ (H ,E ) est la plus petite constante c ≥ 0 tel que
°2 ! 12
Ã °
Ã
!1
°X
°
N
N ¯
X
®¯2 2
°
°
∗
¯ x , xn ¯
E°
γ Sx °
≤ c sup
°n=1 n n °
kx ∗ k≤1 n=1
pour toute famille finie (x 1 , . . . , x N ) d’éléments de E , comme on le voit en se restreignant aux familles orthonormales.
Ceci suggère la définition suivante.
Définition 6.1.2. Soit X , Y deux espaces de Banach. On dit qu’un opérateur u : X −→
Y est γ-sommant si et seulement si il existe une constante c ≥ 0 vérifiant, pour toute
famille finie (x 1 , . . . , x N ) d’éléments de X
°2 ! 12
Ã
!1
Ã °
°X
°
N ¯
N
X
®¯2 2
°
°
∗
¯
¯
≤ c sup
.
E°
x , xn
γ ux °
°n=1 n n °
kx ∗ k≤1 n=1
(6.1)
On note γ∞ (X , Y ) l’ensemble des opérateurs γ-sommants de X dans Y et pour
tout u ∈ γ∞ (X , Y ), on note kukγ∞ (X ,Y ) la plus petite constante c vérifiant (6.1)
On a la “ propriété d’idéal” suivante.
Proposition 6.1.3. Soient X , Y , X 1 , Y1 des espaces de Banach. Si v ∈ L (X 1 , X ), w ∈
L (Y , Y1 ) et u ∈ γ∞ (X , Y ) alors w ◦ u ◦ v ∈ γ∞ (X 1 , Y1 ) et
kw ◦ u ◦ vkγ∞ (X ,Y ) ≤ kvk kukγ∞ (X ,Y ) kwk .
Démonstration. On a
°
°2
°X
°
°
E°
γ
◦
u
◦
v)
(x
)
(w
n
n °
°
≤
n
°
°2
°
°X
°
kwk2 E °
γ
u
))
(v(x
n
n °
°
n
≤
≤
≤
2
kwk kuk2γ∞ (X ,Y ) sup
X ¯ ∗
®¯
¯ x , v(x n ) ¯2
kx ∗ k≤1 n
2
kuk2γ∞ (X ,Y )
2
kuk2γ∞ (X ,Y ) kvk2
kwk
kwk
sup
X ¯ ∗ ∗
®¯
¯ v (x ), x n ¯2
kx ∗ k≤1 n
sup
X ¯ ∗
®¯
¯ x , x n ¯2
kx ∗ k≤1 n
6.1. LES OPÉRATEURS γ-SOMMANTS SUR UN ESPACE DE BANACH
71
Donc w ◦ u ◦ v ∈ γ∞ (X , Y ) et kw ◦ u ◦ vkγ∞ (X ,Y ) ≤ kvk kukγ∞ (X ,Y ) kwk .
Proposition 6.1.4. Soient K un compact, µ une mesure régulière borélienne, positive
sur K et 1 ≤ p < ∞. Pour tout ϕ ∈ L p (µ), l’opérateur de multiplication M ϕ : C (K ) −→
° °
°
°
γ
γ ° °
L p (K , µ) : f 7−→ f ϕ est γ-sommant avec °ϕ°L p (K ,µ) ≤ °M ϕ °γ∞ (C (K ),L (K ,µ)) ≤ C 2,p C p,2 °ϕ°L p (K ,µ)
p
Démonstration.
A chaque k ∈ K est associé la mesure de Dirac δk ∈ C (K )∗ qui vérifie

®
δk , f = f (k). L’ensemble {δk : k ∈ K } est un
dans
° sous-ensemble
°
¯ normant
¯
¡ ¢ la boule
unité de C (K )∗ , si f est continue sur K et ° f °K = maxk∈K ¯ f (k)¯ . Soit f n 1≤n≤N ⊂
C (K ). D’après le lemme 1.3.2, on a :
°
°
°( f n )° faible
`
(C (K ))
2
sup
=
f ∗ ∈C (K )∗
µ
¶1
X ¯ ∗ ®¯2 2
¯ f , fn ¯
n
µ
¶1
X ¯
®¯ 2
¯ δk , f n ¯2
sup
=
k
n
µ
¶1
X¯
¯2 2
¯
¯
sup
f n (k)
=
k
n
°µ
°
° X ¯ ¯ ¶ 12 °
°
°
2
¯f ¯
°
°
° n n
°
=
C (K )
Par suite, on a d’après la propriété 3.1.3
Ã °
°2
°X
°
°
E ° γn M ϕ f n °
°
n
!1
2
Ã °
°p
°X
°
°
E ° γn M ϕ f n °
°
!1
p
≤
γ
C 2,p
=
Ã °
°p
°X
°
γ
°
C 2,p E ° γn ϕ · f n °
°
=
µ Z
γ
C 2,p E
=
¯
¯p
µ Z
¶1
p
¯
¯p ¯X
¯
γ
C 2,p E ¯ϕ(k)¯ ¯¯ γn f n (k)¯¯ d µ(k)
L p (K ,µ)
n
L p (K ,µ)
n
=
=
K
γ
C 2,p
γ
C 2,p
K
ÃZ
K
p
L p (K ,µ)
¯p
¯
¶1
p
¯X
¯
¯ γn f n (k)ϕ(k)¯ d µ(k)
¯
¯
n
K
µZ
!1
n
¯
¯p
¶1
p
¯
¯ ¯X
¯
¯ϕ(k)¯p E ¯ γn f n (k)¯ d µ(k)
¯
¯
d 0 apr ès F ubi ni
n
¯
¯
¯ϕ(k)¯p
"µ ¯
! p1
¯p ¶ 1 #p
¯X
¯ p
E ¯¯ γn f n (k)¯¯
d µ(k) .
n
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
72
Or
¯p ¶ 1
µ ¯
¯X
¯ p
¯
E ¯ γn f n (k)¯¯
¯2 ¶ 12
µ ¯
¯X
¯
¯
E ¯ γn f n (k)¯¯
≤
γ
C p,2
=
µ
¶1
X ¯ ¯2 ¯
¯2 2
γ
C p,2
E ¯γn ¯ ¯ f n (k)¯
=
µ
¶1
X¯
¯ 2
¯ f n (k)¯2 .
n
n
n
Donc
γ
C p,2
n
"µ ¯
"
¯p ¶ 1 #p ³
¶ 1 #p
´ µX ¯
¯X
¯2 2
¯ p
γ p
¯
¯
¯
¯
E ¯ γn f n (k)¯
≤ C p,2
.
f n (k)
n
n
Finalement, on a :
Ã °
°2
°X
°
°
E°
γ
M
f
n
ϕ
n
°
°
n
!1
2
ÃZ
! p1
µ
¶p
¯
¯ X¯
¯ 2
¯ϕ(k)¯p
¯ f n (k)¯2 d µ(k)
≤
γ
γ
C 2,p C p,2
≤
µ
¶ 1 µZ
¶1
X¯
¯2 2
¯
¯p
p
γ
γ
¯
¯
¯
¯
f n (k)
C 2,p C p,2 sup
ϕ(k) d µ(k)
≤
°
°
γ
γ ° °
C 2,p C p,2 °ϕ°L p (K ,µ) · °( f n )°`faible (C (K ))
L p (K ,µ)
K
k∈K
K
n
2
° °
°
°
D’autre part, on a °ϕ°L p (K ,µ) ≤ °M ϕ °γ∞ (C (K ),L
° °
°
°
°ϕ°
°
°
L p (K ,µ) = M ϕ · 1 L
n
p (K ,µ)
) . Donc M ϕ est γ-sommant et
p (K ,µ)
°
°
≤ °M ϕ °γ∞ (C (K ),L
°
γ
γ °
° °
) ≤ C 2,p C p,2 ϕ L p (K ,µ)
p (K ,µ)
γ
Il est à remarquer que C p,q = 1 si p ≤ q par l’inégalité de Hölder.
Corollaire 6.1.5. Soient K un compact, µ une mesure régulière positive sur K et 1 ≤
p < ∞. L’application canonique j p : C (K ) −→ L p (K , µ) est γ-sommante avec
° °
° jp °
1
γ∞ (C (K ),L p (K ,µ))
≤ µ(K ) p
Démonstration. Il suffit de considérer que ϕ = 1 dans la proposition précédente.
P
Lemme 6.1.6. Soient (Ω, , µ) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞. Pour tout ϕ ∈ L p (K , µ),
l’opérateur de multiplication M ϕ : L ∞ (µ) −→ L p (K , µ) : f 7−→ f ϕ est γ-sommant avec
°
°
°M ϕ °
γ∞ (L ∞ (µ),L p (K ,µ))
γ
γ ° °
≤ C 2,p C p,2 °ϕ°L p (K ,µ)
Démonstration. On a vu que L ∞ (µ) peut être considéré comme un espace de type
C (K ). Donc la démonstration est analogue à celle de la proposition précédente.
6.2. LES OPÉRATEURS DE RADEMACHER-BORNÉS
73
P
Corollaire 6.1.7. Soit (Ω, , µ) un espace mesuré fini et 1 ≤ p < ∞. L’application i p :
° °
1
L ∞ (µ) −→ L p (K , µ) est γ-sommante avec °i p °γ∞ (L (µ),L (K ,µ)) ≤ µ(Ω) p
∞
p
Démonstration. Il suffit de prendre ϕ = 1 dans le théorème précédent.
Lemme 6.1.8. Soit 1 ≤ p < ∞. L’opérateur diagonal D λ : `∞ −→ `p : (a n ) 7−→ (λn a n ),
est γ-sommant avec kD λ kγ∞ (`∞ ,`p ) ≤ kλk`p
Démonstration. Il suffit de remarquer que `∞ = L ∞ (N, µ) avec µ la mesure de comptage. Par suite, il suffit d’utiliser la même démarche que le corollaire précédent tout
en tenant compte que λ est dans `p = L p (µ).
Théorème 6.1.9. Soient X et Y deux espaces de Banach. Alors Π2 (X , Y ) ⊂ γ∞ (X , Y ) .
Démonstration. Ceci résulte du théorème de factorisation de Pietsch(th1.3.12) et du
principe d’idéal.
Remarque 6.1.10. Le théorème de factorisation de Pietsch reste valable pour les opérateurs p-sommants en remplaçant L 2 (µ) par L p (µ). On en déduit que Πp (X , Y ) ⊂
γ∞ (X , Y ) pour 1 ≤ p < +∞.
6.2 Les opérateurs de Rademacher-bornés
On désigne de nouveau par (r n )n≥1 la suite de Rademacher.
Soient X , Y deux espaces de Banach. On déduit immédiatement des inégalités
de Kahane-Khintchine que les deux conditions suivantes sont équivalentes.
(i) Il existe p ≥ 1 et c p > 0 tel que pour toute famille finie {x 1 , . . . , x N } d’éléments
de X , on ait
°p # 1
"Z °
"
#1
p
°
2
N
N
1°X
X
°
°
∗
2
≤ c p sup
r n (t )x n ° d t
| < x , xn > |
°
°
0 °n=1
kx ∗ k≤1 n=1
(ii) Pour tout p ≥ 1 il existe c p > 0 tel que pour toute famille finie {x 1 , . . . , x N }
d’éléments de X , on ait
°p # 1
"Z °
"
#1
p
°
2
N
N
1°X
X
°
°
∗
2
r n (t )x n ° d t
≤ c p sup
| < x , xn > |
°
°
0 °n=1
kx ∗ k≤1 n=1
Ceci suggère la définition suivante.
Définition 6.2.1. Soient X , Y deux espaces de Banach, et soit u : X → Y un opérateur
linéaire. On dit que u est Rademacher-borné s’il existe c ≥ 0 tel que l’on ait, pour toute
famille finie {x 1 , . . . , x N } d’éléments de X ,
°2
Z 1°
°X
°
N
N
X
°
°
r n (t )u(x n )° d t ≤ c 2 sup
| < x ∗ , x n > |2 .
°
°
0 °n=1
kx ∗ k≤1 n=1
74
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
L’ensemble des opérateurs Rademacher-bornés de X dans Y est noté r b(X , Y ),
et pour u ∈ r b(X , Y ) on note kukr b(X ,Y ) le plus petit réel c > 0 vérifiant l’inégalité
ci-dessus pour toute famille finie {x 1 , . . . , x N } d’éléments de X .
Il résulte immédiatement de la définition ci-dessus appliquée aux singletons que
r b(X , Y ) ⊂ L (X , Y ) et que kuk ≤ kukr b(X ,Y ) pour tout u ∈ r b(X , Y ).
On va voir que la classe des opérateurs Rademacher-bornés coincide avec la
classe des opérateurs γ-sommants. Ceci résulte de deux inégalités bien connues,
voir ([19], prop 12.11 et lemme 12.14).
PN
Proposition 6.2.2. Soit n=1
γn x n une somme aléatoire dans un espace de Banach
P
X avec (Ω, , P ) son espace de
Alors
°Pprobabilité.
° °PN
°
N
(i) Pour tout ²1 , . . . , ²N = ±1, ° n=1
²n γn (•)x n ° et ° n=1
γn (•)x n ° ont la même distribution.
°PN
° °PN
¯
¯ °
(ii) ° n=1
γn (•)x n ° et ° n=1
r n (•) ¯γn (•)¯ x n ° ont la même distribution.
En particulier, pour 0 < p < +∞,
°
°p
°p
Z 1 °
°X
°
°X
°
N
N
°
°
°
°
E°
γn x n °
=
E°
r n (t )γn x n ° d t
°n=1
°
°n=1
°
0
°
°p
Z 1 °X
N
¯ ¯ °
°
°
¯
¯
E°
=
r (t ) γn x n ° d t
°n=1 n
°
0
Lemme 6.2.3.
Soit (x 1 , . . . , x N ) une suite finie d’éléments d’un espace de Banach et
q
soit m 1 =
2
π
le moment d’ordre 1 défini par la formule (4.1). Alors on a
°2 ! 12
°2 ! 12
Ã °
ÃZ °
°X
°
°
N
N
1°X
1
°
°
°
°
E°
.
r n (t )x n ° d t ≤
γn x n °
°
°
°
°
°
m
0
1
n=1
n=1
°PN
¯
¯ ° °PN
°
Démonstration. D’après la proposition 6.2.2, ° n=1
r n (•) ¯γn (•)¯ x n ° et ° n=1
γn (•)x n °
ont la même distribution. Donc
°2 ! 12
°2 ! 12
ÃZ °
ÃZ °
°
N
N
1°X
1°X
¡ ¯ ¯ ¢°
1
°
°
°
°
=
r n (t ) E ¯γn ¯ x n ° d t
r n (t )x n ° d t
°
°
°
°
°
°
m
0
0
1
n=1
n=1
=
1
m1
ÃZ ° Ã
!°2 ! 12
°
N
1°
X
¯
¯
°
°
r n (t ) ¯γn ¯ x n ° d t
°E
°
0 °
n=1
≤
1
m1
°!2 ! 12
ÃZ Ã °
°X
N
1
¯ ¯ °
°
°
E°
r (t ) ¯γn ¯ x n ° d t
°n=1 n
°
0
≤
1
m1
=
°2 ! 21
Ã °
°X
°
N
1
°
°
E°
γn x n °
°
m 1 °n=1
ÃZ
0
1
°2 ! 21
°
°X
N
¯ ¯ °
°
°
E°
r (t ) ¯γn ¯ x n ° d t
°
°n=1 n
6.2. LES OPÉRATEURS DE RADEMACHER-BORNÉS
75
Lemme 6.2.4. Soit X un espace de Banach. Soit u : `2N −→ X un opérateur et soit
(e 1 , . . . , e N ) la base canonique de `2N . On a :
°
°2 Z
°2
Z 1°
°X
°
°X
°
N
N
°
°
°
°
E°
γn u(e n )° =
r n (t ) (u ◦ v) (e n )° d t d νn (v)
°
°n=1
°
°
O(n) 0 °n=1
où O(n) désigne le groupe orthogonal d’ordre n et où νn désigne la mesure de Haar
sur O(n).
On a alors le résultat suivant.
Théorème 6.2.5. Soient X et Y deux espaces de Banach. On a r b(X , Y ) = γ∞ (X , Y ),
et , pour u ∈ γ∞ (X , Y ),
m 1 kukr b(X ,Y ) ≤ kukγ∞ (X ,Y ) ≤ kukr b(X ,Y ) .
Démonstration. Il résulte du lemme 6.2.3 que γ∞ (X , Y ) ⊂ r b(X , Y ) et que
pour u ∈ γ∞ (X , Y ).
m 1 kukr b(X ,Y ) ≤ kukγ∞ (X ,Y )
Réciproquement, soit u ∈ r b(X , Y ) et soient (x 1 , . . . , x N ) ∈ X . On définit w : `2N −→ X
par la formule w(e n ) = x n pour 1 ≤ n ≤ N . On a
°
°2
°X
°
N
°
°
E°
γn u(x n )°
°n=1
°
°2
Z 1°
°X
°
N
°
°
r n (t ) (u ◦ w ◦ v) (e n )° d t d νn (v)
°
°
°
O(n) 0
n=1
Z
=
sup ku ◦ w ◦ vk2r b(`N ,Y )
≤
v∈O(n)
kuk2r b(X ,Y )
≤
2
sup kvk2L (`N ) kwk2L (`N ,X )
2
v∈O(n)
2
On a kvkL (`N ) = 1 ∀ v ∈ O(n) et
2
kwkL (`N ,X )
2
=
=
°
°
°X
°
N
°
°
sup °
αn x n °
°
°
(αn )n1 ∈`2N n=1
¯
¯
¯X
N
 ∗
®¯¯
¯
sup°
sup ¯
αn x , x n ¯
°
¯
°(α )N °≤1 kx ∗ k≤1 ¯n=1
n 1
Ã
≤
sup°
N
X
!1
|αn |
°
°(αn )N °≤1 n=1
1
Ã
=
sup
Ã
2
2
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
kx ∗ k≤1 n=1
Donc u ∈ γ∞ (X , Y ) et kukγ∞ (X ,Y ) ≤ kukr b(X ,Y ) .
sup
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
kx ∗ k≤1 n=1
!1
2
!1
2
76
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
6.3 Les opérateurs presque sommants
Comme l’ont remarqué avant nous Blasco,Tarieladze et Vidal dans [1], le théorème 6.2.5 est énoncé de manière erronée au théorème 12.12 de l’ouvrage de Diestel,
Jarchow et Tonge[8] à cause d’une confusion entre la classe des opérateurs presque
sommants et la classe des opérateurs Rademacher-bornés. Pour éclaircir cette question nous aurons notamment besoin du résultat suivant.
Théorème 6.3.1. Soit X un espace de Banach et soit (x n )n≥1 une suite d’éléments de
X . Les trois conditions suivantes sont équivalentes.
∞
P
r n x n converge presque sûrement.
(i) La série
n=1
(ii) Il existe p ≥ 1 tel que la série
(iii) La série
∞
P
n=1
∞
P
n=1
r n x n converge dans L p ([0, 1], X ).
r n x n converge dans L p ([0, 1], X ) pour tout p ≥ 1.
Les suites (x n )n ≥ 1 d’éléments de X vérifiant ces trois conditions sont appelées
suites presque inconditionnellement sommables, et l’espace de ces suites est noté
R(X ).([8], th 12.3, p 232).
On équipe R(X ) de la norme
ÃZ °
°2 ! 21
1 ° +∞
X
°
°
k(x n )n≥1 kR(X ) =
r n (t )x n °
°
° dt .
0
n=1
Si X est un espace de Banach on notera c 00 (X ) l’ensemble des suites d’éléments
de X nulles à partir d’un certain rang.
Proposition 6.3.2. Soit X un espace de Banach. On note R b (X ) l’ensemble des suites
(x n )n≥1 d’éléments de X vérifiant la condition
°2
Z 1°
°X
°
N
°
°
sup
r n (t )x n ° d t < +∞,
°
°
N ≥1 0 °n=1
et on pose, pour (x n )n≥1 ∈ R b (X ),
°2 ! 21
ÃZ °
°
N
1°X
°
°
k(x n )n≥1 kRb (X ) = sup
r n (t )x n ° d t .
°
°
°
0
N ≥1
n=1
Alors (R b (X ), k.kRb (X ) ) est un espace de Banach, R(X ) coincide avec l’adhérence
dans R b (X ) de c 00 (X ), et k(x n )n≥1 kR(X ) = k(x n )n≥1 kRb (X ) pour (x n )n≥1 ∈ R(X ).
Démonstration. Il résulte du principe de contraction de Kahane (théorème 3.1.2)
que l’on a, pour toute suite (x n )n≥1 d’éléments de X , pour toute partie finie A de N∗
et pour toute partie finie B de N∗ contenant A,
°2
°2
Z 1°
Z 1°
°X
°
°X
°
°
°
°
°
r n (t )x n ° d t ≤
r n (t )x n ° d t .
°
°
°
°
0 °n∈A
0 °n∈B
6.3. LES OPÉRATEURS PRESQUE SOMMANTS
77
On obtient, pour (x n )n≥1 ∈ R b (X ),
°2 ! 12
ÃZ °
°
N
1°X
°
°
k(x n )n≥1 kRb (X ) = lim
r n (t )x n ° d t
°
°
N →+∞ 0 °n=1
°2 ! 12
ÃZ °
q
°
1° X
°
°
=
sup
r n (t )x n ° d t ,
°
°
1≤p<q<+∞ 0 °n=p
et k(x n )n≥1 kR(X ) = k(x n )n≥1 kRb (X ) pour (x n )n≥1 ∈ R(X ).
De plus si (x n )n≥1 ∈ R b (X ), on a, pour k ≥ 1,
kx k k ≤ k(x n )n≥1 kRb (X ) .
´
Soit (x (m) )m≥1 = (x n(m) )n≥1
une suite de Cauchy dans (R b (X ), k.kRb (X ) ).
³
m≥1
Alors (x n(m) )m≥1 est une suite de Cauchy d’éléments de X pour n ≥ 1. Posons
x n = limm→∞ x n(m) , et x = (x n )n≥1 .
0
Fixons ² > 0, et soit m 0 ≥ 1 tel que kx (m) − x (m ) kRb (X ) < ² pour m 0 ≥ m ≥ m 0 . On
a, pour N ≥ 1, m ≥ m 0 ,
°2
°2
Z 1°
Z 1°
°X
°
°X
°
N
N
°
°
(m) °
(m 0 )
(m) °
r n (t )x n − r n (t )x n ° d t = lim
r n (t )x n − r n (t )x n ° d t ≤ ²2 .
°
°
°
°
m 0 →∞ 0 °n=1
0 °n=1
Donc x ∈ R b (X ), kx − x m k ≤ ² pour m ≥ m 0 , ce qui prouve que (R b (X ), k.kRb (X ) )
est un espace de Banach.
Montrons maintenant que R(X ) coincide avec l’adhérence de c 00 (X ) dans R b (X ).
Pour x = (x n ) ∈ R(X ), N ≥ 1, posons
½
x n si n ≤ N
P N (x) = (x n(N ) )n≥1
avec (x n(N ) )n≥1
0
si n > N
Alors kP N (x)kRb (X ) ≤ kxkRb (X ) ∀x ∈ R b (X ). Comme R(X ) est l’ensemble des éléments x de R b (X ) tels que la suite (P N (x))N ≥1 converge dans (R b (X ), k.kRb (X ) ), un
argument élémentaire bien connu montre que R(X ) est un sous-espace vectoriel
fermé de R b (X ). D’autre part c 00 (X ) ⊂ R(X ). Comme limN →∞ kx − P N (x)kRb (X ) = 0
pour x ∈ R(X ), on voit que R(X ) coincide avec l’adhérence de c 00 (X ) dans R b (X )
pour la norme k.kRb (X ) .
On introduit les définitions suivantes, où (γn )n≥1 désigne une suite de variables
gaussiennes indépendantes sur un espace Ω.
Définition 6.3.3. Soient X et Y deux espaces de Banach, et soit u : X → Y un opérateur linéaire.
(1) On dit que u est presque sommant si (u(x n ))n≥1 ∈ R(X ) pour toute suite (x n )n≥1 ∈
f ai bl e
`2
(X ).
(2) On dit que u est γ-radonifiant si la série
f ai bl e
pour toute suite (x n )n≥1 ∈ `2
(X ).
∞
P
n=1
γn u(x n ) converge dans L 2 (Ω, X )
78
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
L’ensemble des opérateurs presque sommants de X dans Y est noté Πps (X , Y ),
et l’ensemble des opérateurs γ-radonifiants de X dans Y est noté γ(X , Y ).
Pour u ∈ Πps (X , Y ), on note πps (u) la plus petite constante c ≥ 0 vérifiant, pour
toute famille finie {x 1 , . . . , x N } d’éléments de X ,
°2 ! 12
!1
Ã
ÃZ °
°
2
N
N
1°X
X
°
°
∗
2
| < x , xn > |
.
r n (t )u(x n )° d t ≤ c sup
°
°
0 °n=1
kx ∗ k≤1 n=1
De même on pose kukγ(X ,Y ) = kukγ∞ (X ,Y ) pour u ∈ γ(X , Y ). On a le résultat suivant.
Théorème 6.3.4. Soient X et Y deux espaces de Banach. Alors Πps (X , Y ) est un sousespace fermé de r b(X , Y ) contenant les opérateurs de rang fini, γ (X , Y ) = Πps (X , Y )
et on a, pour u ∈ Πps (X , Y )
m 1 πps (u) ≤ kukγ(X ,Y ) ≤ πps (u).
De plus si Y ne contient pas une copie de c 0 , on a :
r b(X , Y ) = Πps (X , Y ) = γ∞ (X , Y ) = γ(X , Y ).
Démonstration. Pour u ∈ r b(X , Y ) et x = (x n )n≥1 ∈ `faible
(X ), on pose ũ ((x m )m≥1 ) =
2
(u(x m ))m≥1 ∈ R b (Y ). On va vérifier que kukr b(X ,Y ) = kũkL ¡`faible (X ),R (Y )¢ .
b
2
Soit {x 1 , . . . , x N } une famille finie d’éléments de X . On pose kũk = kũkL ¡`faible (X ),R (Y )¢
2
b
et x n = 0 pour n > N . Alors (x n )n≥1 ∈ c 00 (X ) ⊂ R b (X ) et on a d’après le principe de
contraction de Kahane
°2 ! 21
ÃZ °
°
N
1°X
°
°
r n (t )u(x n )° d t
°
°
0 °n=1
=
°2 ! 12
ÃZ °
°
P
1°X
°
°
sup
r n (t )u(x n )° d t
°
°
0 °n=1
P ≥1
=
k(u(x n ))n≥1 kRb (Y )
≤
kũk k(x n )n≥1 k`faible (X )
2
Ã
=
kũk sup
N
X
kx ∗ k≤1 n=1
!1
¯ ∗
®¯
¯ x , x n ¯2
2
.
Donc kukr b(X ,Y ) ≤ kũk .
Réciproquement, soit ² > 0 et soit (x n )n≥1 ∈ `faible
(X ) tel que k(x n )n≥1 k`faible (X ) = 1 et
2
k(u(x n ))n≥1 kRb (Y ) ≥ kũk − 2² . Donc
°2 ! 21
ÃZ °
°
N
1°X
²
°
°
sup
r n (t )u(x n )° d t ≥ kũk −
°
°
°
2
N ≥1 0
n=1
et il existe N ≥ 1 tel que
°2 ! 12
ÃZ °
°
N
1°X
°
°
r n (t )u(x n )° d t ≥ kũk − ²
°
°
0 °n=1
2
6.3. LES OPÉRATEURS PRESQUE SOMMANTS
avec
Ã
sup
N ¯
X
®¯
¯ x ∗ , x n ¯2
kx ∗ k≤1 n=1
Donc
79
!1
2
≤ k(x n )n≥1 k`faible (X ) = 1.
2
°2 ! 21
Ã
!1
ÃZ °
°
N ¯
N
1°X
X
®¯2 2
°
°
∗
¯
¯
x , xn
r n (t )u(x n )° d t ≥ (kũk − ²) sup
°
°
0 °n=1
kx ∗ k≤1 n=1
et kukr b(X ,Y ) ≥ kũk−². On a bien kukr b(X ,Y ) ≥ kũk . Comme R(Y ) est un sous-espace
fermé de R b (Y ), l’ensemble
´
o
´ ³
n
³
(X ) ⊂ R(Y )
(X ), R b (Y ) : v `faible
W = v ∈ L `faible
2
2
¡
¢
est un fermé de L `faible
(X ), Y . Comme l’application u 7→ ũ est isométrique, ceci
2
montre que Πps (X , Y ) est un fermé de r b (X , Y ) .
(X ). On a (x ∗ (x n ))n≥1 ∈ `2 . Comme (r n )n≥1 est
Soit x ∗ ∈ X ∗ et soit (x n )n≥1 ∈ `faible
2
P
2
∗
une famille orthonormale de L [0, 1], la série ∞
L 2 [0, 1].
n=1 γn x (x n ) converge dans
PM
∗
Soit u : X −→ Y un opérateur de rang fini.
¡PMDonc∗ on peut¢ écrire u = m=1 αm ⊗
faible
β
(X ), on a ũ(x n ) =
les séries
m . Si (x n )n≥1 ∈¢ `2
m=1 αm (x n )βm n≥1 . Comme
¡P
P∞
∞
∗
2
γ
α
(x
)
convergent
dans
L
[0,
1]
pour
m
=
1,
·
·
·
M
,
la
série
n
n
m
n=1
n=1 γn ũ(x n )
n≥1
converge dans L 2 [0, 1]. Ainsi r b(X , Y ) contient les opérateurs de rang fini.
Par le lemme 6.2.4, γ(X , Y ) = Πps (X , Y ).
Si Y ne contient pas une copie de c 0 , le fait que R(Y ) = R b (Y ) résulte d’un théorème
de Kwapien ([8]p255) on a alors Πps (X , Y ) = R b (Y ) et le théorème 12.12 de [8] est
vrai dans ce contexte(mais faux en général).
Le corollaire suivant donne une démonstration complète de la proposition 12.5
de [8]. La démonstration donnée dans[8] est entachée d’une confusion entre opérateurs Rademacher-bornés et opérateurs presque sommants.
Corollaire 6.3.5. Soient X et Y deux espaces de Banach et p ≥ 1. Alors tout opérateur
p-sommant u : X −→ Y est presque sommant.
Démonstration. Comme Π1 (X , Y ) ⊂ Πp (X , Y ) pour tout p ≥ 1, on peut supposer
que p > 1. D’après le théorème de factorisation de Pietsch pour les opérateurs psommants (voir[8],corollaire 2.14), on a : u = v ◦ j p ◦ w avec K compact et w : X −→
C (K ) et v : L p (K , µ) −→ Y linéaire continu, où j p désigne l’injection canonique de
C (K¡) dans L p (K , µ)
¢ pour¡ une mesure de
¢ Radon positive µ sur K . On sait que j p ∈
γ∞ C (K ), L p (K , µ) = r b C (K ), L p (K , µ) . Comme L p (K
de¡Banach
¡ , µ) est un espace
¢
¢
reflexif, il ne contient pas une copie de c 0 . Donc j p ∈ γ C (K ), L p (K , µ) = Πps C (K ), L p (K , µ)
et il résulte du principe d’idéal que u est presque sommant.
On voit donc que l’on dispose de plusieurs généralisations naturelles de la notion d’opérateur de Hilbert-Schmidt aux espaces de Banach.
– Les classes Πp (X , Y ) des opérateurs p-sommants de X dans Y (1 ≤ p < +∞)
– La classe Πps (X , Y ) des opérateurs presque sommants de X dans Y , qui coincide avec la classe γ(X , Y ) des opérateurs γ-radonifiants de X dans Y .
80
CHAPITRE 6. GÉNÉRALISATION DES OPÉRATEURS γ-RADONIFIANTS
– La classe des opérateurs faible ∗ 1-nucléaires de X dans Y .
On sait que Πp (X , Y ) ⊂ Πq (X , Y ) si 1 ≤ p ≤ q, et on a ∪p≥1 Πp (X , Y ) ⊂ Πps (X , Y )
(en d’autres termes, tout opérateur sommant est presque sommant). Toutes ces classes
coincident avec la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt si X et Y sont des espaces de Hilbert ; ainsi que les classes des opérateurs u : X −→ Y telles que u ∗ :
Y ∗ −→ X ∗ appartiennent à une des classes ci-dessus par rapport à Y ∗ et X ∗ .
Questions ouvertes
1. Il serait intéressant d’étudier des conditions garantissant que le produit v ◦ u
est nucléaire quand v et u appartiennent à des classes ci-dessus. Par exemple,
il est classique v ◦ u est nucléaire si v et u sont 2-sommants (voir th 5.16).
2. On sait que tout opérateur p-sommant est faiblement compact et complètement continu, c’est à dire transforme une suite convergeant faiblement vers
0 en une suite convergeant en norme vers 0. On en déduit que si u est psommant et si v est q-sommant, alors v ◦ u est compact. Si H est un Hilbert séparable, tout opérateur presque sommant est limite en norme d’opérateurs de rang fini, donc tout opérateur presque sommant est compact. Il serait
très intéressant d’étudier pour quelles classes d’espaces X et Y les opérateurs
presque sommants de X dans Y sont compacts.
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Résumé
Cette thèse est consacrée à l’extension au cadre Banachique de la notion d’opérateur de Hilbert-Schmidt.
Dans un premier temps, on étudie d’une part les opérateurs p-sommants dans un
espace de Banach X vers un autre espace de Banach Y et d’autre part, les opérateurs
γ-radonifiants dans un espace de Hilbert vers un autre espace de Banach.
Dans un second temps, on s’interesse aux opérateurs γ-sommants dans des espaces
de Banach, qui coincident avec les opérateurs de Rademacher-bornés, ce qui nous
amène aux opérateurs presque sommants.
Enfin, on en déduit plusieurs généralisations naturelles de la notion d’opérateur de
Hilbert-Schmidt aux espaces de Banach.
- Les classes des opérateurs p-sommants de X dans Y .
- La classe des opérateurs presque sommants de X dans Y qui coincide avec la classe
des opérateurs γ-radonifiants de X dans Y .
- La classe des opérateurs faible ∗ 1-nucléaires de X dans Y .
Mots clés : Espaces de Banach, opérateurs de Hilbert-Schmidt, opérateurs presque
sommants.
Abstract
This thesis is devoted to extending the notion of Banach Hilbert-Schmidt operator to the framework of Banach spaces.
In a first step, we study p-summing operators from a Banach space X into a Banach
space Y and γ-radoniyfing operators from a Hilbert space into a Banach space.
In a second step, we discuss γ-summing operators between Banach spaces, which
coincide with Rademacher-bounded operators, which leads to the notion of almost
summing operators.
Finally, we present serval natural generalizations of the notion of Hilbert-Schmidt
operator to Banach spaces.
- Classes of p-summing operators from X into Y .
- The class of almost summing operators from X into Y , which coincides with the
class of γ-radoniyfing operators from X into Y .
- The class of weak∗ 1-nuclear operators from X into Y .
Keywords : Banach spaces, Hilbert-Schmidt operators, almost summing operators

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