feuille 08 - Irma - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg Année 2016-2017
M1 MF S1 feuille n◦8
Analyse Fonctionnelle
Opérateurs intégraux.
Exercice 1. Avec −∞ <a<b<+∞et un noyau Kvérifiant kKkL∞=M < ∞et
K(x, y) = 0 si x<y.
Si g∈L2([a, b]; C)alors, avec A=Rb
a|g(t)|dt, pour tout xdans [a, b],|Kg(x)| ≤ AM,|K2g(x)| ≤
AM2(x−a), . . ., |Kn+1g(x)| ≤ AMn+1(x−a)n/n!. En déduire que la série PKngconverge
uniformément (et même “normalement”).
Exercice 2. Si Fet Gsont deux noyaux, alors les opérateurs λF et F+Gsont aussi des
opérateurs intégraux (quels sont leur noyaux ?). L’adjoint de Fest encore un opérateur à noyau.
Quel est son noyau ? Le noyau de l’opérateur F G est donné par la formule, pour presque tout
xet presque tout z:
H(x, z) = ZF(x, y)G(y, z)dy.
(Hest bien de carré intégrable). Quel est le noyau de l’opérateur Kn? La résolvante Kλest-elle
un opérateur à noyau si λ < 1/kKkL2(un tel λest toujours une valeur régulière) ?
Exercice 3. (Résolvante des opérateurs à noyau) On propose ici une approche un peu différente
pour démontrer le théorème du cours sur la résolvante des opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Pour un sous-espace vectoriel M⊂L2(I;C)on note CM⊂L2(I×I;C)l’espace engendré par
les fonctions de la forme (x, y)7→ ϕ(x)¯ ψ(y)avec ϕ, ψ ∈M.
(1) CMest un sous-espace vectoriel de L2(I×I;C), quel est sa dimension lorsque Mest de
dimension finie ?
(2) Soit (Mn)n∈Nune suite croissante de sous-espaces de dimension finie de L2(I;C)et
(Cn)n∈Nla suite Cn=CMn. Alors l’espace ∪n∈NMnest dense dans L2(I;C)si et seule-
ment si ∪n∈NCnest dense dans L2(I×I;C). (Ou encore, si (ek)k∈Nest une base hilber-
tienne de L2(I;C)alors la famille (fk,`)k,`∈Ndéfinie par fk,`(x, y) = ek(x)¯e`(y)est une
base hilbertienne de L2(I×I;C)).
(3) Soient M⊂L2(I;C)un sous-espace de dimension finie, C=CMet K∈L2(I×I;C).
Posons S= prC(K)et T=K−S, alors T♥S=S♥T= 0.
(4) Soit K∈L2(I×I;C). En appliquant les questions précédentes trouver, pour tout ε > 0,
une décomposition K=S+Tavec kTk< ε et T♥S=S♥T= 0. Conclure le théorème
en utilisant une méthode similaire à celle présentée dans le cours.
Opérateurs compacts : propriétés.
Exercice 4. Soient Hun espace de Hilbert et A:H→Hun opérateur linéaire continu. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(a) pour tous (xn)n∈Nconvergeant faiblement vers xet (yn)n∈Nconvergeant faiblement vers y,
la suite (hAxn, yni)n∈Nconverge vers hAx, yi;
(b) pour toute suite (xn)n∈Nconvergeant faiblement vers x, la suite (Axn)converge vers x;
(c) l’image par Ade la boule unité fermée est relativement compact.
Exercice 5. Soient Hun espace de Hilbert, A:H→Hun opérateur compact et M⊂Hun
sous-ensemble borné, fermé et convexe.
(a) L’image de Mest fermée dans H;
(b) pour tout ydans H, il existe x0∈Mtel que kAx0−yk= infx∈MkAx −yk.
Exercice 6. Soient Hun espace de Hilbert et A:H→Hcompact. Il existe alors dans H
x6= 0 tel que kAxk=kAkkxk.
1

2
Exercice 7. Soit Aun opérateur continu d’un espace de Banach X. S’il existe c > 0tel que
kAxk ≥ ckxkpour tout xdans X, se peut-il que Asoit compact ?
Exercice 8. L’opérateur identité n’est jamais compact en dimension infinie.
Exercice 9. Un opérateur compact (toujours en dimension infinie) n’est jamais inversible.
Exercice 10. Se peut-il qu’un opérateur compact Asatisfasse à une équation polynomiale
Pn
k=0 ckAk= 0 (A0=I) ?
Opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Exercice 11. Soient Hun espace de Hilbert et {en}n∈Nune base orthonormée de H. Si une
suite (λn)n∈Ntend vers 0, l’opérateur Adonné par la formule, pour x∈H:
Ax =
∞
X
n=0
λnhx, enien
est défini sur Htout entier et est compact.
Exercice 12. Soient Hun espace de Hilbert, (en)n∈Nune base orthonormée, Yun espace de
Banach et A:H→Yune application linéaire continue. Si la série P∞
n=0 kAenk2est convergente,
alors Aest compact.
Exercice 13. Soient (en)n∈Nune base orthonormée d’un espace de Hilbert H. On dit qu’un
opérateur linéaire continu A:H→Hest un opérateur de Hilbert-Schmidt si la quantité
kAk2
2=
∞
X
n=0
kAenk2
est finie.
(a) La quantité kAk2est indépendante du choix de la base orthonormée ;
(b) kAk2=kA∗k2;
(c) la quantité kAk2définie sur la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt est une norme ;
(d) l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt est un sous-espace vectoriel dans l’ensemble
des opérateurs continus ;
(e) l’égalité
hA, Bi2=
∞
X
n=0
hAen, BeniH
munit la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt d’un produit scalaire ;
(f) l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt a une structure d’espace de Banach par rap-
port à k·k2;
(g) tout operateur de Hilbert-Schmidt est compact ;
(h) Un opérateur à noyau Kest un opérateur de Hilbert-Schmidt si K∈ L2;
(i) Si Aest un opérateur de Hilbert-Schmidt et Best un opérateur linéaire continu, alors AB
et BA sont de Hilbert-Schmidt et kABk2≤ kAk2kBk,kBAk2≤ kAk2kBk.
(j) Pour quelles suites (λn)n∈Nl’opérateur `2(N)→`2(N)/(x0, x1, . . . )7→ (λ0x0, λ1x1, . . . )est-il
un opérateur de Hilbert-Schmidt ?
(k) Trouver un opérateur compact qui ne soit pas de Hilbert-Schmidt.