feuille 08 - Irma - Université de Strasbourg

Université de Strasbourg
M1 MF S1
Année 2016-2017
feuille n◦ 8
Analyse Fonctionnelle
Opérateurs intégraux.
Exercice 1. Avec −∞ < a < b < +∞ et un noyau K vérifiant kKkL∞ = M < ∞ et
K(x, y) = 0 si x < y.
Rb
Si g ∈ L2 ([a, b]; C) alors, avec A = a |g(t)|dt, pour tout x dans [a, b], |Kg(x)| ≤ AM , |K 2 g(x)| ≤
P n
AM 2 (x − a), . . ., |K n+1 g(x)| ≤ AM n+1 (x − a)n /n!. En déduire que la série
K g converge
uniformément (et même “normalement”).
Exercice 2. Si F et G sont deux noyaux, alors les opérateurs λF et F + G sont aussi des
opérateurs intégraux (quels sont leur noyaux ?). L’adjoint de F est encore un opérateur à noyau.
Quel est son noyau ? Le noyau de l’opérateur F G est donné par la formule, pour presque tout
x et presque tout z :
Z
H(x, z) = F (x, y)G(y, z)dy.
(H est bien de carré intégrable). Quel est le noyau de l’opérateur K n ? La résolvante Kλ est-elle
un opérateur à noyau si λ < 1/kKkL2 (un tel λ est toujours une valeur régulière) ?
Exercice 3. (Résolvante des opérateurs à noyau) On propose ici une approche un peu différente
pour démontrer le théorème du cours sur la résolvante des opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Pour un sous-espace vectoriel M ⊂ L2 (I; C) on note CM ⊂ L2 (I × I; C) l’espace engendré par
les fonctions de la forme (x, y) 7→ ϕ(x)ψ̄(y) avec ϕ, ψ ∈ M .
(1) CM est un sous-espace vectoriel de L2 (I × I; C), quel est sa dimension lorsque M est de
dimension finie ?
(2) Soit (Mn )n∈N une suite croissante de sous-espaces de dimension finie de L2 (I; C) et
(Cn )n∈N la suite Cn = CMn . Alors l’espace ∪n∈N Mn est dense dans L2 (I; C) si et seulement si ∪n∈N Cn est dense dans L2 (I × I; C). (Ou encore, si (ek )k∈N est une base hilbertienne de L2 (I; C) alors la famille (fk,` )k,`∈N définie par fk,` (x, y) = ek (x)ē` (y) est une
base hilbertienne de L2 (I × I; C)).
(3) Soient M ⊂ L2 (I; C) un sous-espace de dimension finie, C = CM et K ∈ L2 (I × I; C).
Posons S = prC (K) et T = K − S, alors T ♥S = S♥T = 0.
(4) Soit K ∈ L2 (I ×I; C). En appliquant les questions précédentes trouver, pour tout ε > 0,
une décomposition K = S + T avec kT k < ε et T ♥S = S♥T = 0. Conclure le théorème
en utilisant une méthode similaire à celle présentée dans le cours.
Opérateurs compacts : propriétés.
Exercice 4. Soient H un espace de Hilbert et A : H → H un opérateur linéaire continu. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(a) pour tous (xn )n∈N convergeant faiblement vers x et (yn )n∈N convergeant faiblement vers y,
la suite (hAxn , yn i)n∈N converge vers hAx, yi ;
(b) pour toute suite (xn )n∈N convergeant faiblement vers x, la suite (Axn ) converge vers x ;
(c) l’image par A de la boule unité fermée est relativement compact.
Exercice 5. Soient H un espace de Hilbert, A : H → H un opérateur compact et M ⊂ H un
sous-ensemble borné, fermé et convexe.
(a) L’image de M est fermée dans H ;
(b) pour tout y dans H, il existe x0 ∈ M tel que kAx0 − yk = inf x∈M kAx − yk.
Exercice 6. Soient H un espace de Hilbert et A : H → H compact. Il existe alors dans H
x 6= 0 tel que kAxk = kAkkxk.
1
2
Exercice 7. Soit A un opérateur continu d’un espace de Banach X. S’il existe c > 0 tel que
kAxk ≥ ckxk pour tout x dans X, se peut-il que A soit compact ?
Exercice 8. L’opérateur identité n’est jamais compact en dimension infinie.
Exercice 9. Un opérateur compact (toujours en dimension infinie) n’est jamais inversible.
Exercice
10. Se peut-il qu’un opérateur compact A satisfasse à une équation polynomiale
Pn
k
c
A
= 0 (A0 = I) ?
k=0 k
Opérateurs de Hilbert-Schmidt.
Exercice 11. Soient H un espace de Hilbert et {en }n∈N une base orthonormée de H. Si une
suite (λn )n∈N tend vers 0, l’opérateur A donné par la formule, pour x ∈ H :
∞
X
Ax =
λn hx, en ien
n=0
est défini sur H tout entier et est compact.
Exercice 12. Soient H un espace de Hilbert, (en )n∈N une base orthonormée,
Y un espace de
P
2
Banach et A : H → Y une application linéaire continue. Si la série ∞
kAe
k
est
convergente,
n
n=0
alors A est compact.
Exercice 13. Soient (en )n∈N une base orthonormée d’un espace de Hilbert H. On dit qu’un
opérateur linéaire continu A : H → H est un opérateur de Hilbert-Schmidt si la quantité
∞
X
kAen k2
kAk22 =
n=0
est finie.
(a) La quantité kAk2 est indépendante du choix de la base orthonormée ;
(b) kAk2 = kA∗ k2 ;
(c) la quantité kAk2 définie sur la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt est une norme ;
(d) l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt est un sous-espace vectoriel dans l’ensemble
des opérateurs continus ;
(e) l’égalité
∞
X
hA, Bi2 =
hAen , Ben iH
n=0
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
munit la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt d’un produit scalaire ;
l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt a une structure d’espace de Banach par rapport à k · k2 ;
tout operateur de Hilbert-Schmidt est compact ;
Un opérateur à noyau K est un opérateur de Hilbert-Schmidt si K ∈ L2 ;
Si A est un opérateur de Hilbert-Schmidt et B est un opérateur linéaire continu, alors AB
et BA sont de Hilbert-Schmidt et kABk2 ≤ kAk2 kBk, kBAk2 ≤ kAk2 kBk.
Pour quelles suites (λn )n∈N l’opérateur `2 (N) → `2 (N)/(x0 , x1 , . . . ) 7→ (λ0 x0 , λ1 x1 , . . . ) est-il
un opérateur de Hilbert-Schmidt ?
Trouver un opérateur compact qui ne soit pas de Hilbert-Schmidt.