DOSSIER Alg 5 Thème : Les nombres au collège L`exercice Les

Master MEEF Maths
UE 2
2013-2014
Capes Externe
ORAL 2
DOSSIER Alg 5
Thème : Les nombres au collège
L’exercice
Partie A : √𝟐 n’est pas un décimal.
On suppose que √2 est un nombre décimal. Alors le dernier chiffre non nul de son écriture décimale
est 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9.
1. Quelle peut être alors la dernière décimale du carré de ce nombre ?
2. Expliquer pourquoi cela est impossible.
En conclusion, la supposition initiale est fausse, donc √2 n’est pas un décimal
Partie B : √𝟐 est un nombre irrationnel.
On suppose que √2 est un nombre rationnel, c’est-à-dire que l’on peut écrire √2 =
𝑎
𝑏
avec 𝑎 et 𝑏
nombres entiers premiers entre eux.
𝑎
1. Démontrer que si √2 = alors 𝑎2 = 2𝑏².
𝑏
2. Démontrer que le carré d’un nombre impair est aussi un nombre impair.
3. En déduire que 𝑎 est un nombre pair.
4. Démontrer que 𝑏 est aussi un nombre pair. Expliquer pourquoi cela est impossible
En conclusion, la supposition initiale est fausse, donc √2 est un nombre irrationnel.
Les réponses proposées par deux élèves de troisième à la question 1 de la partie A.
Elève 1 .
2
Je sais que √ 2 = 2 mais 2 n'a pas de décimale alors ça ne marche pas , je ne comprends pas.
Elève 2
Pour moi, √2 = 1.414213562 (c’est ce qu’affiche ma calculatrice).
Le dernier chiffre de l’écriture décimale de √2 est donc 2. Quand j’élève au carré, avec la
calculatrice, ça fait 2. Donc le carré de √2 se termine par 2 .
Le travail à exposer devant le jury.
1. Analysez les productions de ces deux élèves.
2. Proposez une correction de la partie B de l’exercice telle que vous la présenteriez devant une
classe de troisième.
3. Proposez deux ou trois exercices sur le thème « nombres au collège ».