Chapitre 8 : Racines carrées 1

Chapitre 8 : Racines carrées 1
1. Premier problème
Existe-t-il un nombre dont le carré est 2? Si oui ce nombre est-il décimal? Rationnel?
2. Résolution
2.1 Existence
On se place dans le cadre géométrique.
Hypothèses :
•ABC est un triangle rectangle en A.
•AB = AC = 1
ABC étant rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 +AC2
BC2 = 2
Conclusion : La mesure de la longueur BC est un nombre positif dont le carré est 2.
On admettra qu'il existe un unique nombre positif dont le carré est 2.
Notation : On notera
√
2
le nombre positif dont le carré est 2.

2.2 Démontrons que
√
2
n'est pas un nombre décimal
Soit d un nombre décimal.
Le dernier chire non nul de l'écriture décimale de d est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9.
d2 est aussi un nombre décimal (c'est le produit de deux nombres décimaux).
On a alors le tableau suivant :
Dernier chire de l' écriture décimale de d1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dernier chire de l' écriture décimale de d21 4 9 6 5 6 9 4 1
Le dernier chire de l'écriture décimale de d2 n'est donc ni 2 ni 0, qui sont les seules possibilités pour
l'écriture décimale de 2.
Donc d ne peut pas être égal à
√
2
.
Conclusion :
√
2
n'est pas un nombre décimal.
Remarque:
Avec la calculatrice, on obtient :
√
2≈1,414
par arrondi au millième.
Mais 1,414 n’est qu’une valeur approchée décimale de
√
2
.

3. Second problème
1. L'armation suivante est-elle vraie?
Armation : Pour tout nombre a, l'équation x2 = a possède deux solutions.
2. Peut-on dénir la racine carrée de n'importe quel nombre?
a= 4
Léquation x2 = 4 possède deux solutions 2 et -2.
a = 0
L'équation x2 = 0 admet une unique solution 0.
a = -4
Le carré d'un nombre réel est positif donc l'équation x2 = -4 n'a pas de solution réelle.
L'armation est donc fausse.

4. Racine carrée d’un nombre positif
4.1 Préliminaire
Soit a un nombre, alors : a² = a×a est le produit de deux nombres de même signe, c’est donc un nombre
positif.
On vient de démontrer la propriété suivante :
Propriété : Le carré d’un nombre réel est positif.
On admet la propriété suivante :
Propriété :
Pour tout nombre strictement positif a, il existe deux nombres opposés l’un de l’autre dont le carré est a.
Exemple : 16 = 4² = (-4)² ;
16
25 =
(
4
5
)
2
=
(
−4
5
)
2
Remarque : Le seul nombre dont le carré soit égal à 0 est 0.
4.2 Dénition
Dénition :
Soit a un nombre positif, on appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a.
On le note :
√
a
.
Autrement dit : a est l’unique nombre tel que :
√
a⩾0et
(
√
a
)
2=a
Exemples :
√
36 =6;
√
0,09 =0,3 ;
√
0=0;
√
16
25 =4 5
Vocabulaire :
√
est appelé le radical.

5. Equations du type « x²=a »
5.1 Etude de l’équation « x² = a »
Soit a un nombre, on désire résoudre l’équation x² = a.
Premier cas : a est strictement négatif.
Le carré d’un nombre réel étant toujours positif, on en déduit que l’équation x² = a n’a pas de solution.
Deuxième cas : a est strictement positif.
D’après une propriété du paragraphe 4, l’équation x² = a a deux solutions
√
a
et –
√
a
.
Troisième cas : a = 0.
Le seul nombre dont le carré soit 0 est 0.
5.2 Enoncé du théorème
On vient de démontrer partiellement le théorème suivant :
Théorème :
Soit a un nombre.
Si a > 0, l’équation x² = a deux solutions :
√
a
et –
√
a
.
Si a = 0, l’équation x² = 0 a une unique solution : 0.
Si a < 0, l’équation x² = a n’a pas de solution.