Chapitre 8 : Racines carrées 1

Chapitre 8 : Racines carrées 1
1. Premier problème
Existe-t-il un nombre dont le carré est 2? Si oui ce nombre est-il décimal? Rationnel?
2.
Résolution
2.1 Existence
On se place dans le cadre géométrique.
Hypothèses :
•
ABC est un triangle rectangle en A.
•
AB = AC = 1
ABC étant rectangle en A, on a d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 +AC2
BC2 = 2
Conclusion : La mesure de la longueur BC est un nombre positif dont le carré est 2.
On admettra qu'il existe un unique nombre positif dont le carré est 2.
Notation : On notera
√ 2 le nombre positif dont le carré est 2.
2.2 Démontrons que
√ 2 n'est pas un nombre décimal
Soit d un nombre décimal.
Le dernier chiffre non nul de l'écriture décimale de d est 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9.
d2 est aussi un nombre décimal (c'est le produit de deux nombres décimaux).
On a alors le tableau suivant :
Dernier chiffre de l' écriture décimale de d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dernier chiffre de l' écriture décimale de d2 1 4 9 6 5 6 9 4 1
Le dernier chiffre de l'écriture décimale de d2 n'est donc ni 2 ni 0, qui sont les seules possibilités pour
l'écriture décimale de 2.
Donc d ne peut pas être égal à
Conclusion :
√2 .
√ 2 n'est pas un nombre décimal.
Remarque:
Avec la calculatrice, on obtient :
√ 2≈1,414 par arrondi au millième.
Mais 1,414 n’est qu’une valeur approchée décimale de
√2 .
3. Second problème
1. L'affirmation suivante est-elle vraie?
Affirmation : Pour tout nombre a, l'équation x2 = a possède deux solutions.
2. Peut-on définir la racine carrée de n'importe quel nombre?
a= 4
Léquation x2 = 4 possède deux solutions 2 et -2.
a=0
L'équation x2 = 0 admet une unique solution 0.
a = -4
Le carré d'un nombre réel est positif donc l'équation x2 = -4 n'a pas de solution réelle.
L'affirmation est donc fausse.
4. Racine carrée d’un nombre positif
4.1 Préliminaire
Soit a un nombre, alors : a² = a×a est le produit de deux nombres de même signe, c’est donc un nombre
positif.
On vient de démontrer la propriété suivante :
Propriété : Le carré d’un nombre réel est positif.
On admet la propriété suivante :
Propriété :
Pour tout nombre strictement positif a, il existe deux nombres opposés l’un de l’autre dont le carré est a.
Exemple : 16 = 4² = (-4)² ;
() ( )
16 4 2
4
=
=−
25 5
5
2
Remarque : Le seul nombre dont le carré soit égal à 0 est 0.
4.2 Définition
Définition :
Soit a un nombre positif, on appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a.
√
On le note : a .
Autrement dit : a est l’unique nombre tel que :
Exemples :
√ 36 = 6 ; √ 0,09 = 0,3 ; √ 0 = 0 ;
Vocabulaire :
√ est appelé le radical.
√
2
√ a⩾0 et ( √ a ) =a
16 4
=
25 5
5. Equations du type « x²=a »
5.1 Etude de l’équation « x² = a »
Soit a un nombre, on désire résoudre l’équation x² = a.
Premier cas : a est strictement négatif.
Le carré d’un nombre réel étant toujours positif, on en déduit que l’équation x² = a n’a pas de solution.
Deuxième cas : a est strictement positif.
D’après une propriété du paragraphe 4, l’équation x² = a a deux solutions
Troisième cas : a = 0.
Le seul nombre dont le carré soit 0 est 0.
5.2 Enoncé du théorème
On vient de démontrer partiellement le théorème suivant :
Théorème :
Soit a un nombre.
Si a > 0, l’équation x² = a deux solutions :
√ a et – √ a .
Si a = 0, l’équation x² = 0 a une unique solution : 0.
Si a < 0, l’équation x² = a n’a pas de solution.
√a
et – √ a .
6. Etude de
√a
2
6.1 Problème
L' affirmation suivante est-elle vraies?
Affirmation : Pour tout nombre a,
√a
2
existe et est égal à a.
6.2 Expérimentation
√
√
•
Pour a = 12, on a : a 2= 122 =12
•
Pour a - -12, on a :
√ a =√ (−12) =12
2
2
6.3 Conjecture
Il semble que :
√a
•
Pour tout nombre a,
•
Pour tout nombre positif a, on ait :
•
2
existe.
√ a =a .
Pour tout nombre négatif a, on ait : √ a =−a .
2
2
6.4 Démonstration
•
Pour tout nombre a, a2 est un nombre positif.
Donc
•
2
existe.
Si a est positif, alors a est le nombre positif dont le carré est a², d’après la définition, on a :
√a
•
√a
2
= a.
Si a est négatif, alors – a (l’opposé de a) est le nombre positif dont la carré est a², d’après la
définition , on a :
√a
2
=-a
6.5 Enoncé de la propriété
On vient de démontrer la propriété suivante :
Propriété:
•
Pour tout nombre positif a, on a :
•
Pour tout nombre négatif a, on a :
Autrement dit : Pour tout nombre a,
√a
√a
√a
= a.
2
2
2
= - a.
est égal à la valeur absolue de a.