MECA0003-1 - M´ECANIQUE RATIONNELLE Durée de l`épreuve

LG
LG
Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-1 - M ´ ECANIQUE RATIONNELLE
Aoˆut 2013
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h.
R´ epondez aux diff´ erentes questions sur des feuilles s´ epar´ ees.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, pr´ enom et num´ ero d’ordre.
Rendez le carton avec votre num´ ero d’ordre en mˆ eme temps que vos copies.
Question I
Un point mat´eriel P de masse m, soumis `a la pesanteur, glisse sans frottement sur la surface int´erieure
d’un cˆone circulaire droit fixe d’axe vertical et d’´equation cart´esienne z=kpx2+y2o`u k>0 est une
constante.
`
A l’instant initial, le point mat´eriel est situ´e `a une hauteur z0au-dessus de la pointe du cˆone et est
lanc´e avec une vitesse horizontale u0.
y
z
x
u0
P
i. ´ Ecrivez l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement du point P.
ii. D´eterminez deux int´egrales premi`eres scalaires et pr´ecisez leur interpr´etation physique.
iii. ´ Etudiez le mouvement du point P sur un diagramme de potentiel.
En particulier, d´eterminez la condition sur les param`etres pour que le mobile ne descende jamais
plus bas que sa hauteur initiale au cours de son mouvement.
iv. Montrez que le point mat´eriel ne peut d´ecoller de la surface int´erieure du cˆone au cours de son
mouvement.
Tournez la page.

Question II
On consid`ere le mouvement d’une cabine de t´el´eph´erique suspendue `a son cable. La cabine oscille
librement autour de son point de suspension A. Elle est entrain´ee par le mouvement du cable qui se
d´eplace parall`element `a lui-mˆeme `a une vitesse v(t)impos´ee par la machinerie des installations. Le
cable pr´esente une inclinaison αconstante par rapport `a l’horizontale.
On ´etudie le mouvement sous l’hypoth`ese du mouvement plan (dans le plan vertical d´efini par le
cable et g). On note mla masse totale de la cabine et JCson moment central d’inertie. La distance entre
le point de suspension A et le centre d’inertie C est not´ee h.
A
C
α
v(t)
i. Relevez les forces agissant sur la cabine en pr´ecisant leurs caract´eristiques (point d’application,
direction, force appliqu´ee/r´eaction, force conservative).
ii. D´eterminez le nombre de degr´es de libert´e de la cabine et introduisez la (les) coordonn´ee(s)
g´en´eralis´ee(s) appropri´ee(s) pour en ´etudier le mouvement.
iii. ´ Ecrivez la (les) ´equation(s) diff´erentielle(s) scalaire(s) d´ecrivant le mouvement de la cabine dans
le cas o`u le cable est immobile, i.e. v(t) = 0.
iv. D´eterminez la p´eriode des petites oscillations pendulaires de la cabine lorsque le cable est
immobile. Que devient cette p´eriode si le cable avance `a la vitesse constante V,i.e. v(t) = V?
v. ´ Ecrivez la(les) ´equation(s) diff´erentielle(s) scalaire(s) d´ecrivant le mouvement de la cabine lorsque
les installations sont mises en route et que le cable pr´esente une acc´el´eration constante a,i.e.
˙v(t) = a.
vi. Dans le cas d’une acc´el´eration constante consid´er´e ci-dessus, montrez qu’il existe une
configuration d’´equilibre telle que la cabine pr´esente une inclinaison θ∗par rapport `a la verticale
donn´ee par
tg θ∗=−acos α
asin α+g
D´eterminez la p´eriode des petites oscillations autour de cette configuration en fonction de θ∗.
2

SOLUTION
Question I
eθ
ey
ez
ex
u0
mg
R
θ
P
z
rer
i. L’´equation de Newton pour le point P s’´ecrit
m¨ s=mg+R(1)
o`u Rest la force de liaison exerc´ee par le cˆone sur le point P. Le mouvement ayant lieu sans
frottement, Rest perpendiculaire au cˆone.
ii. Multipliant scalairement l’´equation (1) par la vitesse du point P, on obtient
m¨ s·˙ s=mg·˙ s
puisque la vitesse, tangente au cˆone, et la force de liaison, normale `a la surface, sont
perpendiculaires. On en tire l’int´egrale premi`ere
1
2mk˙
sk2−mg·s=E
exprimant la conservation de l’´energie du point P (o`u Eest une constante d´esignant l’´energie
totale du syst`eme). La constante Epeut ˆetre d´etermin´ee en utilisant les conditions initiales. On a
E=1
2mu2
0+mgz0
En coordonn´ees cylindriques, apr`es simplification par m, l’int´egrale premi`ere de conservation de
l’´energie s’exprime sous la forme
1
2(˙r2+r2˙
θ2+˙z2) + gz =u2
0
2+gz0(2)
Afin d’obtenir une seconde int´egrale premi`ere, on remarque que la r´eaction Rne poss`ede pas de
composante dans la direction azimutale, i.e. selon eθ. D`es lors, les projections de (1) sur les axes
de coordonn´ees cylindriques s’´ecrivent
m(r¨ θ−r˙ θ2) = Rr(3)
m
r
d
dt (r2˙
θ) = 0 (4)
m¨z=−mg +Rz(5)
3

o`u Rret Rzd´esignent les composantes radiale et verticale de R. La normale int´erieure `a la surface
conique S≡z−kr =0 ´etant dirig´ee selon
∇S
k∇Sk=
∂S
∂rer+∂S ∂zez
k∇Sk=−ker+ez k∇Sk=1
√1+k2(−ker+ez)
on a
R=Rrer+Rzez=R
√1+k2(−ker+ez)(6)
De (4), on tire l’int´egrale premi`ere
r2˙
θ=h
o`u hest une constante. Les conditions initiales permettent d’´ecrire
˙
s0=˙r0er+r0˙ θ0eθ+˙z0ez=u0eθ⇒u0=r0˙ θ0
Utilisant ce r´esultat et l’´equation du cˆone en coordonn´ees cylindriques z=kr, il vient
r2˙ θ=h=r0(r0˙ θ0) = z0
ku0(7)
Cette ´equation exprime la conservation de la composante verticale du moment cin´etique (par unit´e
de masse).
iii. L’´equation du cˆone et l’´equation (7) permettent d’´eliminer les variables ret θde l’´equation (2).
On obtient
˙z21+1
k2+z2
0u2 0
z2+2gz =u2
0+2gz0(8)
qui permet d’´etudier le mouvement sur un diagramme de potentiel en d´efinissant
V(z) = z2
0u2 0
z2+2gz
On calcule
lim
z→+∞
V(z) = +∞,lim
z→0
V(z) = +∞
et
V′(z) = 2g−2z2
0u2 0
z3=0 en z⋆=3
sz2
0u2 0
g
avec
V(z⋆) = z⋆z2
0u2 0
z3
⋆
+2g=3gz⋆=33
qz2
0u2
0g2
Le diagramme de potentiel a donc l’allure suivante
z
V(z)
z2 z1z⋆
u2
0+2gz0
•Dans le cas o`u u2
0+2gz0=V(z⋆), ce qui se produit si z0=z⋆et u2 0=gz0, la particule d´ecrit une
trajectoire circulaire `a la hauteur constante z⋆. En vertu de (7), cette trajectoire est d´ecrite `a la
vitesse constante u0.
4

•Dans le cas o`u u2
0+2gz0>V(z⋆), la particule oscille entre les deux plans horizontaux parall`eles
z=z1et z=z2tout en tournant `a vitesse variable `a l’int´erieur du cˆone.
Le point mat´eriel ne descendra jamais sous sa hauteur initiale si z0correspond au point de r´eflexion
z1du puits de potentiel illustr´e plus haut. Ce sera le cas si
V′(z0) = 2g−2z2
0u2 0
z3
0
=2g−2u2
0
z0≤0
soit si
u2
0≥gz0
iv. Utilisant (5), on a
Rz=m¨z+mg
L’expression de ¨zen fonction de zpeut ˆetre obtenue en d´erivant (8), soit
2˙z¨z1+1
k2−2z2
0u2 0
z3+2g˙z=0⇒¨z=k2 k2+1z2
0u2 0
z3−g
Ceci permet d’´ecrire
Rz=mk2
k2+1z2
0u2 0
z3−g+g=mk2 k2+1z2
0u2 0
z3+g1 k2+1>0
et, en vertu de (6),
Rr=−kRz<0
`
A tout instant, la r´eaction est donc dirig´ee vers le haut (Rz>0) et vers l’int´erieur du cˆone (Rr<0),
ce qui assure que le point P ne d´ecolle pas de la surface int´erieure du cˆone.
Question II
Ex
Ey
O
R
A
C
α
θ
er
eθ
mg
v(t)
Ez
i. Les forces agissant sur la cabine sont
•mg: la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant au centre d’inertie C de la
cabine et dirig´ee verticalement vers le bas ;
•R: force de liaison d’intensit´e et de direction inconnue dans le plan du mouvement agissant au
point A de la cabine en contact avec le cable.
ii. La cabine en mouvement plan poss`ede au maximum 3 degr´es de libert´e. Son point A ´etant astreint
`a se d´eplacer avec le cable, son mouvement est enti`erement connu. La cabine ne poss`ede donc
qu’un seul degr´e de libert´e associ´e `a son mouvement de rotation autour de A.
Choisissons comme coordonn´ee g´en´eralis´ee l’angle θmesurant l’inclinaison de la cabine par
rapport `a la verticale.
5