Quelques outils mathématiques utiles au cours de physique

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Quelques outils mathématiques
utiles au cours de physique
Arithmétique élémentaire
Associativité et commutativité des opérations
fondamentales
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des termes (commutativité) ;
- d’effectuer des totaux partiels (associativité).
Exemple :
12 – 15 + 10 + 8 – 5 = 12 + 8 + 10 – 15 – 5 (commutativité)
= 20 + 10 – 20 (associativité)
= 20 – 20 + 10 (commutativité)
= 10 (associativité)
Multiplication et division
Pour multiplier ou diviser plusieurs nombres, il est toujours permis :
- de réarranger l’ordre des facteurs (commutativité) ;
- d’effectuer des produits partiels (associativité).
Exemple :
18 15 40 18 15 40 235 30
895 958
×× ××
==××=
×× ×× .
Priorité de × et : sur + et –
Dans un calcul où n’apparaît aucune parenthèse, il faut en priorité effectuer les multiplication et
les divisions ; on procède ensuite aux additions et soustractions.
Exemple :
15 + 3 × 5 × 2 – 8 : 4 = 43.
Toutes les calculatrices ne respectent pas ces règles de l’arithmétique. Testez votre machine avec
cet exemple.

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Utilisation des parenthèses
Les parenthèses s’utilisent pour modifier l’ordre de priorité, par exemple forcer l’opération
préalable d’une addition ou d’une soustraction avant une multiplication ou une division.
Exemples :
1 + 1 × 2 = ? (3) d’abord × puis +
1 + (1 × 2) = ? (3) parenthèses inutiles
(1 + 1) × 2 = ? (4) d’abord + car parenthèses puis ×
3 × 5 – 2 × 6 = ? (3) d’abord les × puis –
3 × (5 – 2) × 6 = ? (54) d’abord – car parenthèses puis les ×
Toutes les calculatrices ne disposent pas de parenthèses. Il faut dans ce cas pallier ses carences
en effectuant les opérations dans un ordre éventuellement différent afin de respecter les règles
mathématiques pour obtenir le résultat correct.
Calculs avec des fractions
Addition et soustraction
Pour additionner et/ou soustraire plusieurs fractions, il faut préalablement les réduire au même
dénominateur.
Multiplication
Pour multiplier plusieurs fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
Inversion
Pour inverser une fraction, on permute son numérateur et son dénominateur. Si le dénominateur
est nul, la fraction n’a pas de sens.
Division
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par la seconde inversée.
Si nécessaire, on peut toujours transformer un nombre en une fraction en le divisant par 1.
On veillera dans tous les cas à aligner scrupuleusement les signes = avec la barre de fraction
« principale », sans quoi le résultat s’en trouve modifié.
Exemples :
4441 4
77
3
37321
1
==×= mais
4
44312
1
7717 7
33
==×= .
Pour éviter ce genre de confusion, lorsqu’on écrit une fraction on veillera à écrire d’abord la barre
de fraction au même niveau que le signe = et ensuite seulement le numérateur et le
dénominateur.

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Proportionnalité
Grandeurs directement proportionnelles
Deux grandeurs sont directement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est multipliée (ou divisée) par le même
nombre. Deux grandeurs directement proportionnelles sont donc multiples l’une de l’autre.
Si y est directement proportionnel à x (on note y ∝ x), on a :
y = k x
et, par conséquent, leur quotient est un nombre invariable :
y
xk=.
Le nombre k est la constante de proportionnalité entre x et y.
Une relation de proportionnalité directe entre deux grandeurs se manifeste par le fait que le
graphique de l’une en fonction de l’autre se présente sous la forme d’une droite qui passe par
l’origine. La relation qui les lie est un cas particulier d’une relation linéaire.
Exemple : la masse m d’un bloc de fer est directement proportionnelle à son volume V ; la
constante de proportionnalité est la masse volumique ρ du fer :
m = ρ V.
Grandeurs inversement proportionnelles
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles entre elles si, lorsque la valeur de l’une est
multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur de l’autre est divisée (ou multipliée) par le même
nombre. Deux grandeurs inversement proportionnelles sont donc l’une un multiple de l’inverse de
l’autre.
Si y est inversement proportionnel à x, on a :
yk
x
=1
et, par conséquent, leur produit est un nombre invariable :
x y = k .
Une relation de proportionnalité inverse entre deux grandeurs n’est pas immédiatement déce-
lable sur un graphique de l’une en fonction de l’autre.
Exemple : la durée ∆t nécessaire pour parcourir un trajet de longueur l est d’autant plus petite
que la vitesse v du mouvement est grande ; ∆t est inversement proportionnel à v :
∆tl
v
=.

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Règles de trois
Grandeurs directement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs directement proportionnelles, il faut les multiplier ou les
diviser en même temps.
Exemple. Sachant qu’une solution doit être réalisée en dissolvant 25 g de sel dans 3 l d’eau,
combien de sel devra-t-on utiliser pour préparer 5 l de solution ?
3 litres : 25 g
1 litre : 25 g
3 (3 fois moins de solution, donc 3 fois moins de sel)
5 litres : 25 g 5×
3 (5 fois plus de solution, donc 5 fois plus de sel).
Grandeurs inversement proportionnelles
Lorsqu’on a affaire à des grandeurs inversement proportionnelles, il faut diviser l’une si on
multiplie l’autre et vice versa.
Exemple. Une construction est exécutée en 25 heures par 3 ouvriers. Combien de temps
durerait-elle si 5 ouvriers y travaillaient ?
3 ouvriers : 25 h
1 ouvrier : 25 h 3× (3 fois moins d’ouvriers donc 3 fois plus de temps)
5 ouvriers : 25 h 3×
5 (5 fois plus d’ouvriers donc 5 fois moins de temps).
Produits remarquables
()
()
()()
()( )
ab a abb
ab a ab ab b
ab abab
ab abaabb
±=± +
±=± + ±
−=− +
±=± +
22 2
33 2 23
22
33 2 2
2
33
∓

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Aires et volumes
Surfaces
Carré : A = c2
(c = côté)
Rectangle : A = b h (b = base ; h = hauteur)
Parallélogramme : A = b h (b = base ; h = hauteur)
Triangle : Abh
=2 (b = base ; h = hauteur)
Cercle : Ar d
==ππ
22
4 (r = rayon, d = diamètre)
Sphère : Ard==422
ππ (r = rayon, d = diamètre)
Volumes
Cube : V = a3 (a = arête)
Parallélépipède rectangle : V = L l h (L = longueur, l = largeur, h = hauteur)
V = l h p (l = largeur, h = hauteur, p = profondeur)
Sphère : Vr d
==
4
3
1
6
33
ππ
(r = rayon, d = diamètre)
Écriture des nombres
Il n’existe que dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ils servent à écrire les nombres. Les chiffres
sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots.
Exemples :
0,0041 : nombre de 5 chiffres
7 : nombre de 1 chiffre.
Le signe décimal se marque par un point ou une virgule.
Par souci de lisibilité, dans les nombres comportant beaucoup de chiffres, on groupera ceux-ci par
trois à partir du signe décimal, en les séparant d’un espace exclusivement.
Exemples :
incorrect admis préféré
1.234.567 1234567 1 234 567
0,654321 0,654 321
1.234,55 1234.55 1 234,55