Chapitre 16 Espaces vectoriels de dimension finie

EK K R C
Définition 1 (Dimension finie)
EF= (u1, . . . , up)
E
Exercice 1.
Définition 2 (Dimension)
E{0E}E
dim(E)E
dim({0E}) = 0
Exercice 2.
1.
2. Sn(K)
Lemme 1 (Augmentation des familles libres)
F= (u1, . . . , up)E x ∈E x 6∈ Vect F
(u1, . . . , up, x)
Lemme 2 (Diminution des familles génératrices)
F= (u1, . . . , up+1)E up+1 ∈Vect{u1, . . . , up}
Vect F= Vect{u1, . . . , up}.
Théorème 1 (Théorème de la base incomplète)
EL= (u1, . . . , up)EG
E(up+1, . . . , un)∈Gn−p
(u1, . . . , un)E
Exercice 3. ((1,1,1,1),(1,1,1,2)) R4
Théorème 2 (Extraction d’une base)
E{0E}G
EB G B E
Exercice 4. R2[X] (X2, X2+X+ 2, X + 2,4)
Corollaire 3 (Existence d’une base)
{0E}
Lemme 3 (Lemme de Steinitz)
FE n
∗LE n
∗Gn+ 1 EG
E n E n

Exercice 5. A∈Mn(R)P n2
P(A) = 0n
Théorème 4 (Caractérisation des bases)
BE n
(i)BE
(ii)B B n
(iii)B B n
Exercice 6. n+ 1 Rn[X]
Rn[X]
E F K
Propriété 1 (Dimension & Sous-espaces vectoriels)
G E G dim(G)6dim(E)
G=Edim(G) = dim(E)
Exercice 7. R R2R3
Corollaire 5 (Existence d’un supplémentaire)
Théorème 6 (Isomorphismes entre espaces vectoriels)
n E
(i)EKnE'Kn
(ii)E'F F dim(F) = n
Propriété 2 (Dimension & Produit cartésien)
E×Fdim(E×F) = dim(E) + dim(F)
Exercice 8. E n p
Ep
Théorème 7
L(E, F ) dim L(E, F ) = dim E·dim F
E F, G
E
Propriété 3 (Dimension & Somme directe)
F G F ⊕G
dim(F⊕G) = dim(F) + dim(G).
Exercice 9. An(K)
Théorème 8 (Formule de Grassmann)
dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G).

Exercice 10. 2 3
Corollaire 9 (Caractérisation des sommes directes)
(i)F⊕G=E
(ii)F+G=Edim(F) + dim(G) = dim(E)
(iii)F∩G={0E}dim(F) + dim(G) = dim(E)
Exercice 11. F={(x, y, z)∈R3;x+ 2y+ 3z= 0}G= Vect{(0,1,0)}
F G R3
Théorème 10 (Généralisation)
F1, . . . , FpE F1+. . . +Fp
dim
p
X
k=1
Fk6
p
X
k=1
dim Fk,
E n F
ϕ E F
Définition 3 (Rang)
FRg FVect F
Exercice 12.
1. (1, X)2. (1,2 + X)3. (X2−1, X2+ 1,1)
Propriété 4 (Rang & Combinaisons linéaires)
p(u1, . . . , up)E(λ1, . . . , λp)∈Kp
α∈K?
Rg{u1, . . . , up}= Rg (u1+
p
X
i=2
λiui, u2, . . . , up)
= Rg{αu1, . . . , up}.
Définition 4 (Rang)
ϕRg ϕ ϕ

Exercice 13.
1. ϕ:R2→R3,(x, y)7→ (x+y, x −y, 2x)
2. Rn[X]
Propriété 5
ϕ∈L(E, F ) (e1, . . . , en)E
Rg ϕ= Rg{ϕ(e1), . . . , ϕ(en)}.
Propriété 6
u∈G`(E)v∈G`(F) Rg ϕ= Rg(ϕ◦u) = Rg(v◦ϕ)
Théorème 11 (Théorème du rang)
dim(Ker ϕ) + Rg ϕ= dim(E).
Exercice 14. ∆ : Rn[X]→Rn[X], P 7→ P(X+ 1) −P(X) Im ∆ = Rn−1[X]
Corollaire 12 (Caractérisation des isomorphismes en dimension finie)
E, F dim(E) = dim(F)
ϕ∈L(E, F )
ϕ⇔ϕ⇔ϕ .
Exercice 15.
1. ϕ:R[X]→R[X], P 7→ XP
2. a0, . . . , an∈Rϕ:Rn[X]→Rn+1, P 7→ (P(a0), . . . , P (an))
(b0, . . . , bn)∈Rn+1 P∈Rn[X]i∈J0, nK
P(ai) = bi
Propriété 7
u∈L(E)u
v E u ◦v= IdEv◦u= IdE
(i)u
(ii)u
(iii)u
Propriété 8 (Applications linéaires coordonnées)
(e1, . . . , en)E i ∈J1, nKϕi:E→K,
n
P
k=1
xkek7→ xi
(ϕ1, . . . , ϕn)L(E, K)
(e1, . . . , en)
Exercice 16. n∈N?
1. Rn
2. Rn[X]

Notation.
E n
Définition 5 (Hyperplan)
H E E dim(H) = n−1