Chapitre 16 Espaces vectoriels de dimension finie

Chapitre 16 Espaces vectoriels de dimension nie
Dans tout ce chapitre, E désigne un K-espace vectoriel, où K désigne R ou C.
I - Dimension
I.1 - Dimension nie
Définition 1 (Dimension finie).
E est de dimension nie s'il admet une famille génératrice F = (u1 , . . . , up ) contenant un
nombre ni d'éléments. Sinon, on dit que E est de dimension innie .
Exercice 1. Donnez des exemples d'espaces vectoriels de dimension nie.
Définition 2 (Dimension).
Si E est de dimension nie, non réduit à {0E }, alors toutes les bases de E ont le même nombre
d'éléments. Par dénition, cet entier, noté dim(E), est la dimension de l'espace vectoriel E .
Par convention, on pose dim({0E }) = 0.
Exercice 2. Déterminer la dimension. . .
1. . . . des espaces vectoriels de dimension nie classiques.
2. . . . de l'ensemble Sn (K) des matrices symétriques.
I.2 - Existence & Construction de bases
Lemme 1 (Augmentation des familles libres).
Soient F = (u1 , . . . , up ) une famille libre d'éléments de E et x ∈ E . Si x 6∈ Vect F , alors
(u1 , . . . , up , x) est une famille libre.
Lemme 2 (Diminution des familles génératrices).
Soit F = (u1 , . . . , up+1 ) une famille de E . Si up+1 ∈ Vect{u1 , . . . , up }, alors
Vect F = Vect{u1 , . . . , up }.
Théorème 1 (Théorème de la base incomplète).
Soient E un espace vectoriel de dimension nie, L = (u1 , . . . , up ) une famille libre de E et G
une famille génératrice nie de E . Alors, il existe une famille de vecteurs (up+1 , . . . , un ) ∈ G n−p
telle que (u1 , . . . , un ) soit une base de E .
Exercice 3. Compléter la famille ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2)) en une base de R4 .
Théorème 2 (Extraction d’une base).
Soient E un espace vectoriel diérent de {0E } de dimension nie et G une famille génératrice
nie de E . Alors, il existe une sous-famille B de G telle que B soit une base de E .
Exercice 4. Extraire une base de R2 [X] de la famille génératrice (X 2 , X 2 + X + 2, X + 2, 4).
Corollaire 3 (Existence d’une base).
Tout espace vectoriel de dimension nie, non réduit à {0E }, admet une base.
I.3 - Dimension et Familles
Lemme 3 (Lemme de Steinitz).
Soit F une famille génératrice de E à n vecteurs.
∗ Si L est une famille libre de E , alors elle contient au plus n vecteurs.
∗ Si G est une famille de n + 1 vecteurs de E , alors G est liée.
De plus, si E est de dimension n, alors toute famille génératrice de E contient au moins n
vecteurs.
Stanislas
A. Camanes
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Exercice 5. Soit A ∈ Mn (R). Montrer qu'il existe un polynôme P non nul de degré au plus n2
tel que P (A) = 0n . En déduire qu'une matrice inversible à droite est inversible à gauche.
Théorème 4 (Caractérisation des bases).
Soit B une famille d'éléments d'un espace vectoriel E de dimension n. Les propriétés suivantes
sont équivalentes.
(i). B est une base de E .
(ii). B est une famille libre et B contient exactement n vecteurs.
(iii). B est une famille génératrice et B contient exactement n vecteurs.
Exercice 6. Montrer que toute famille de n + 1 polynômes de Rn [X] à degrés étagés est une base
de Rn [X].
I.4 - Dimension et opérations élémentaires
Dans cette partie, E et F désignent deux K-espaces vectoriels de dimension nie.
Propriété 1 (Dimension & Sous-espaces vectoriels).
Soit G un sous-espace vectoriel de E . Alors, G est de dimension nie et dim(G) 6 dim(E). De
plus, G = E si et seulement si dim(G) = dim(E).
Exercice 7. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R, R2 , R3 .
Corollaire 5 (Existence d’un supplémentaire).
Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie admet un supplémentaire.
Théorème 6 (Isomorphismes entre espaces vectoriels).
Soit n la dimension de E .
(i). E est isomorphe à Kn . On note E ' Kn .
(ii). E ' F si et seulement si F est de dimension nie et dim(F ) = n.
Propriété 2 (Dimension & Produit cartésien).
E × F est de dimension nie et dim(E × F ) = dim(E) + dim(F ).
Exercice 8. Soient E un espace vectoriel de dimension n et p un entier naturel non nul. Déterminer
la dimension de E p .
Théorème 7.
L (E, F ) est de dimension nie et dim L (E, F ) = dim E · dim F .
I.5 - Dimension et Sommes
Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension nie et F, G des sous-espaces
vectoriels de E .
Propriété 3 (Dimension & Somme directe).
Si F et G sont en somme directe, F ⊕ G est de dimension nie et
dim(F ⊕ G) = dim(F ) + dim(G).
Exercice 9. Déterminer la dimension de l'espace vectoriel An (K) des matrices antisymétriques.
Théorème 8 (Formule de Grassmann).
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G).
Stanislas
A. Camanes
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Exercice 10. Illustrer ce théorème en dimensions 2 et 3.
Corollaire 9 (Caractérisation des sommes directes).
Les trois propositions suivantes sont équivalentes.
(i). F ⊕ G = E .
(ii). F + G = E et dim(F ) + dim(G) = dim(E).
(iii). F ∩ G = {0E } et dim(F ) + dim(G) = dim(E).
Exercice 11. Soient F = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y + 3z = 0} et G = Vect{(0, 1, 0)}. Montrer que
F et G sont supplémentaires dans R3 .
Théorème 10 (Généralisation).
Soient F1 , . . . , Fp des sous-espaces vectoriels de E . Alors, F1 + . . . + Fp est un espace vectoriel
de dimension nie et
p
p
X
X
dim
Fk 6
dim Fk ,
k=1
k=1
avec égalité si et seulement si la somme est directe.
II - Applications linéaires
Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension n, F un espace vectoriel de
dimension nie et ϕ une application linéare de E dans F .
II.1 - Rang d'une famille de vecteurs
Définition 3 (Rang).
Le rang de F , noté Rg F est la dimension de Vect F .
Exercice 12. Déterminer le rang des familles suivantes.
1. (1, X).
2. (1, 2 + X).
3. (X 2 − 1, X 2 + 1, 1).
Propriété 4 (Rang & Combinaisons linéaires).
Soient p un entier naturel non nul, (u1 , . . . , up ) une famille de vecteurs de E , (λ1 , . . . , λp ) ∈ Kp
et α ∈ K? .
(
)
p
X
Rg{u1 , . . . , up } = Rg u1 +
λi ui , u2 , . . . , up
i=2
= Rg{αu1 , . . . , up }.
II.2 - Rang d'une application linéaire
Définition 4 (Rang).
Le rang de ϕ, noté Rg ϕ, est la dimension de l'image de ϕ.
Stanislas
A. Camanes
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Exercice 13.
1. Déterminer le rang de l'application linéaire ϕ : R2 → R3 , (x, y) 7→ (x + y, x − y, 2x).
2. Déterminer le rang de la restriction de l'application dérivée à Rn [X].
Propriété 5.
Soit ϕ ∈ L (E, F ) et (e1 , . . . , en ) une base de E . Alors,
Rg ϕ = Rg{ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )}.
Propriété 6.
Soient u ∈ G`(E) et v ∈ G`(F ). Alors, Rg ϕ = Rg(ϕ ◦ u) = Rg(v ◦ ϕ).
Théorème 11 (Théorème du rang).
dim(Ker ϕ) + Rg ϕ = dim(E).
Exercice 14. Soit ∆ : Rn [X] → Rn [X], P 7→ P (X + 1) − P (X). Montrer que Im ∆ = Rn−1 [X].
Corollaire 12 (Caractérisation des isomorphismes en dimension finie).
Soient E, F deux espaces vectoriels de dimension nie tels que dim(E) = dim(F ). Alors, pour
tout ϕ ∈ L (E, F ),
ϕ bijective ⇔ ϕ injective ⇔ ϕ surjective.
Exercice 15.
1. Montrer que ϕ : R[X] → R[X], P 7→ XP est injective mais non surjective. Qu'en déduisezvous ?
2. Soient a0 , . . . , an ∈ R distincts et ϕ : Rn [X] → Rn+1 , P 7→ (P (a0 ), . . . , P (an )). Montrer
que pour tout (b0 , . . . , bn ) ∈ Rn+1 , il existe un unique P ∈ Rn [X] tel que pour tout i ∈ J0, nK,
P (ai ) = bi .
Propriété 7.
Soit u ∈ L (E). L'endomorphisme u est inversible à droite (resp. gauche) s'il existe un endomorphisme v de E tel que u ◦ v = IdE (resp. v ◦ u = IdE ). Les propositions suivantes sont
équivalentes.
(i). u est inversible à droite.
(ii). u est inversible à gauche.
(iii). u est bijective.
II.3 - Hyperplans
Propriété 8 (Applications linéaires coordonnées).
Soit (e1 , . . . , en ) une base de E . Pour tout i ∈ J1, nK, on note ϕi : E → K,
n
P
xk ek 7→ xi .
k=1
Alors, la famille (ϕ1 , . . . , ϕn ) est une base de L (E, K). Ces applications linéaires sont les
applications linéaires coordonnées associées à la base (e1 , . . . , en ).
Exercice 16. Soit n ∈ N? .
1. Déterminer les applications linéaires coordonnées associée à la base canonique de Rn .
2. Déterminer les applications linéaires coordonnées associée à la base de Rn [X] constituée des
polynômes d'interpolation de Lagrange.
Stanislas
A. Camanes
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Notation.
E désigne un espace vectoriel de dimension non nulle n.
Définition 5 (Hyperplan).
Un sous-espace vectoriel H de E est un
Stanislas
hyperplan de E si dim(H) = n − 1.
A. Camanes
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Théorème 13 (Hyperplan & Formes linéaires).
(i). Si ϕ est une forme linéaire sur E non nulle, alors Ker ϕ est un hyperplan de E .
(ii). Soit H un hyperplan de E . Il existe une forme linéaire ϕ0 telle que H = Ker ϕ0 . Alors,
Vect{ϕ0 } = {ϕ ∈ E ? ; H ⊂ Ker ϕ}.
Exercice 17. Illustrer ce théorème en dimensions 2 et 3.
Corollaire 14 (Hyperplans & Équations).
Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E . H ⊂ E est unhyperplan de E si et seulement s'il existe
n
n
P
P
un n-uplet non nul (a1 , . . . , an ) ∈ Kn tel que H = x =
xi ei ∈ E ;
ai xi = 0 .
i=1
i=1
Exercice 18. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que deux hyperplans d'équan
n
P
P
yk ek = 0 soient égaux.
xk ek = 0 et
tions respectives
k=1
k=1
Théorème 15 (Caractérisation des espaces de dimension n − p).
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
∗ Si (H1 , . . . , Hp ) est une famille d'hyperplans de E , alors
dim
p
\
Hk > n − p.
k=1
∗ Si F un sous-espace vectoriel de E de dimension n − p, il existe (H1 , . . . , Hp ) des
hyperplans tels que
p
\
F =
Hk .
k=1
Exercice 19. Illustrer ce théorème en dimensions 2 puis 3.
III - Introduction aux sous-espaces anes
E désigne un espace vectoriel euclidien. Les éléments de E sont appelés des points . Pour tous
−−→
points A, B de E , on note AB = B − A. On note les points par des lettres majuscules et les
vecteurs par des lettres minuscules surmontées d'une èche.
III.1 - Translations
Définition 6 (Translation).
−
−
→
→
Soit →
u ∈ E . La translation de vecteur →
u , notée t−
u , est l'application t−
u : E → E, M 7→
→
−
M + u.
Propriété 9 (Propriétés des translations).
−
−
Soient →
u, →
v deux vecteurs de E .
→ = IdE .
(i). t−
0
→
→
→
→
→
→
(ii). t−
u +−
v = t−
u ◦ t−
v = t−
v ◦ t−
u.
→
→
(iii). L'application t−
u est bijective et sa bijection réciproque est t−−
u.
−
→
−
→ ne possède pas de points invariants.
(iv). Si →
u 6= 0 , l'application t−
E
Stanislas
u
A. Camanes
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III.2 - Sous-espaces anes
Définition 7 (Sous-espace affine, Direction).
Soient F un sous-espace vectoriel de E et A un point de E .
(i). Le sous-espace ane de E , passant par A et de
−
−
{A + →
u, →
u ∈ F }.
direction F , est l'ensemble A + F =
(ii). Si dim F = p, le sous-espace ane A + F est de dimension p. Si p = 1, c'est une droite
ane, si p = 2 un plan ane, si p = dim E − 1 un hyperplan ane.
(iii). Si (u1 , . . . , up ) est une base de F , les vecteurs (u1 , . . . , up ) sont des
de A + F .
vecteurs directeurs
Exercice 20. Déterminer les sous-espaces anes de R2 et de R3 .
Propriété 10 (Choix d’une origine).
Soient F un sous-espace vectoriel de E , A un point de E et F le sous-espace ane de E
passant par A et dirigé par F . Alors, pour tout point A0 de F ,
−−→
F = A0 + F et F = {A0 M , M ∈ F }.
Définition 8 (Repère cartésien, Coordonnées).
Un repère cartésien de F est un couple (O, B), où O est un point de F et B une base de F .
Si dim F = p > 0 et B = (e1 , . . . , ep ) est une base de F , pour tout point M de F , il existe
p
P
un unique p-uplet (u1 , . . . , up ) ∈ Kp tel que M = O +
xi ei . Le p-uplet (x1 , . . . , xp ) est les
i=1
coordonnées cartésiennes de M dans le repère R = (O, B).
Propriété 11 (Intersection de sous-espaces affines).
Soit F1 (resp. F2 ) un sous-espace ane de direction F1 (resp. F2 ). Alors, F1 ∩ F2 est, soit
vide, soit un sous-espace ane de direction F1 ∩ F2 .
Propriété 12 (Intersections & Sommes).
Soit F1 (resp. F2 ) un sous-espace ane de E de direction F1 (resp. F2 ).
(i). Si E = F1 + F2 , alors F1 ∩ F2 6= ∅.
(ii). Si E = F1 ⊕ F2 , alors F1 ∩ F2 est réduit à un singleton.
III.3 - Équations anes
Définition 9 (Équation linéaire avec second membre).
Soient u ∈ L (E, F ) et b ∈ F . Une équation linéaire est une équation de la forme u(x) = b, où
x ∈ E est l'inconnue.
Théorème 16 (Solutions des équations linéaires).
Soit u(x) = b une équation linéaire. On note S l'ensemble de ses solutions et S0 l'ensemble
des solutions de l'équation homogène u(x) = 0.
(i). S0 = Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E .
(ii). S = ∅ si et seulement si b 6∈ Im(u).
(iii). Si S 6= ∅ et a ∈ S , alors S = a + S0 = a + Ker(u) = {a + x ; x ∈ Ker(u)}. L'ensemble
S est un espace ane .
Exercice 21.
1. Déterminer les exemples d'équations linéaires rencontrées dans les chapitres précédents.
2. Montrer que toute suite arithmético-géométrique est solution d'une équation linéaire.
Stanislas
A. Camanes