Variables Aléatoires Réelles Discrètes. 1

ÉCS2 Variables Aléatoires Réelles Discrètes. Florilège.
1 - Autour de quelques lois.
Exercice 1. Répartition de la loi de Poisson.
Soit λ∈] 0 ; +∞[. Soit Xune variable suivant la loi de Poisson P(λ). On note FXsa
fonction de répartition.
Montrer que : ∀n∈N,FX(n) = 1
n!Z+∞
λ
e−xxndx.
Exercice 2. Transfert.
Soit λ∈] 0 ; +∞[. Soit Xune variable suivant la loi de Poisson P(λ). Justifier l’existence
et calculer l’espérance de 1
X+1.
Exercice 3. Pair ou impair.
1. Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ(ou λ > 0,
comme d’habitude).
Montrer que : P(”X est impaire”) <P(”X est paire”).
2. Étudier la propriété analogue lorsque Xsuit la loi géométrique de paramètre p(ou
p∈] 0 ; 1 [, comme d’habitude).
Exercice 4. Trois méthodes pour la loi de Pascal.
Dans une processus de Bernoulli (répétitions indépendantes d’expériences au cours des-
quelles un événement A - succès - de probabilité ppeut se réaliser ), on note Xle rang de
la première réalisation de A et Ycelui de la seconde réalisation de A.
1. Déterminer la loi conditionnelle de Ysachant (X = k)et en déduire l’espérance puis
la loi de Y.
2. On note Zla v.a.r. égale au nombre d’expériences nécessaires après la première
réalisation de A à la seconde réalisation de A, de sorte que : Y = X + Z. Après avoir
justifié l’indépendance de Xet de Z, déterminer la loi de Ypar convolution, puis
retrouver son espérance.
3. Déterminer directement la loi de Y par dénombrement.
4. Calculer la variance de Y.
5. Calculer la covariance de X et de Y, et expliquer son signe.
6. Généralisation (loi de Pascal). On note Xkle rang de la k-ème réalisation de l’évé-
nement A. Déterminer la loi de Xk, son espérance et sa variance.
Exercice 5. Étude d’une séquence.
On lance indéfiniment une pièce de monnaie juste (P(«Pile») = P(«Face»)=1/2). On
note Pi(respectivemnt Fi) l’événement « On obtient «Pile» (resp. «Face») au i-ème lan-
cer. ». Par commodité, on notera P1P2F3P4l’événement P1∩P2∩F3∩P4, par exemple.
On note Xla v.a.r. égale au rang d’apparition de la première séquence consécutive
« Pile-Face », de sorte que l’événement P1P2F3P4conduit à X=3, par exemple.
1. Que vaut X(Ω) ?
2. Loi de X, première méthode. En décomposant l’événement (X = n)en n−1événe-
ments plus élémentaires, montrer que P(X = n) = (n−1) 1
2n.
3. Loi de X, seconde méthode. On pose, pour n>2,un= P(X = n).
a) A l’aide du système complet (P1,F1), montrer que un=1
2n+1 2un−1.
b) En étudiant la suite (vn)n>2définie par vn= 2nun, exprimer unen fonction de n.
c) En déduire la loi de X.
4. Calculer E(X).
Exercice 6. Fin de partie... (sans Beckett)
Ludovic et Nicolas jouent à pile ou face. Ils choisissent un entier naturel non nul ket
lancent une pièce juste (P(Pile) = P(Face) = 1/2) jusqu’à ce que le même coté (« pile »
ou « face ») soit apparue kfois. Si c’est « pile » qui est apparue kfois, Ludovic gagne,
tandis que si c’est « face », Nicolas gagne.
1. On note Fla variable égale au rang du premier lancer où « face » est apparue kème
fois.
Montrer que la loi de Fest définie par : ∀j>k, P(F = j) = j−1
k−11 2j.
2. On note Lle nombre de lancers nécessaires à l’achèvement de la partie.
Montrer que la loi de Lest définie par : ∀j∈[[k; 2k−1]] ,
P(L = j) = j−1
k−11 2j−1.
3.a) Montrer que, pour k6j < 2k−1,jP(L = j) = 2(j+ 1 −k)P(L = j+ 1).
b) En déduire que : E(L) = 2k−(2k−1)2k−2
k−11 22k−2
.
Exercice 7. La loi de Benford.
Partie I. Lois de Benford discrètes.
Soit Nun entier naturel non nul.
1. Déterminer la constante réelle ctelle que :
X(Ω) = [[1 ; N]] et ∀k∈X(Ω),P(X = k) = cln 1 + 1
k
puisse définir la loi d’une v.a.r. X.
On suppose maintenant que Xest une variable aléatoire suivant la loi ainsi définie,
loi appelée loi de Franck Benford discrète de paramètre N, de logo FB(N).
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2. On pose uN=
N
X
k=1
kln 1 + 1
k.
a) Montrer que uN= N ln(N + 1) −ln(N!).
b) À l’aide de la formule de Stirling,
n!∼
n→+∞
√2πn n
en
montrer que uN∼
N→+∞N. et déduire un équivalent de E(X) lorsque Ntend vers +∞.
Partie II. Loi du premier chiffre significatif.
On rappelle que, si a∈] 0 ; +∞[,log(a)désigne le logarithme décimal de a, défini
par log(a) = ln(a)
ln(10).
1. Donner, à l’aide de la fonction log, la loi et l’espérance de Xlorsque Xsuit la loi
FB(9).
2. En Syldavie, le nombre d’habitants Xd’une ville tirée au hasard suit une loi de
Benford de paramètre 999 999.
a) Donner une valeur approchée de la population moyenne des villes de Syldavie.
On appelle premier chiffre significatif d’un nombre non nul le premier chiffre non nul
dans son écriture décimale. Ainsi, le premier chiffre significatif de 2327 est 2.
b) On note Yle premier chiffre significatif de X.
Justifier que [Y = 1] = S5
k=0 10k6X62×10k−1et en déduire P(Y = 1).
c) Montrer que Ysuit la loi de Benford FB(9).
Exercice 8. Des échecs indépendants des succés ...
Soit Nune variable aléatoire prenant ses valeurs dans N. On suppose que, pour tout nde
N,P(N = n)6= 0.
Lorsque Nvaut n, on réalise une succession de népreuves de Bernoulli indépendantes de
probabilité de succés p(p∈] 0 ; 1 [). Soit Sle nombre de succés et Ele nombre d’échec(s).
Partie I. Lorsque Nsuit une loi de Poisson ...
Dans cette partie, on suppose que Nsuit une loi de Poisson de paramètre λoù
λ∈] 0 ; +∞[.
1. Soit n∈N. Que vaut l’espérance conditionnelle E(S|N = n)?
2. En déduire l’espérance E(S) de S.
3. Déterminer de même E(E).
4. Soit net jdeux entiers de N. Que vaut P(N=n)(S = j)? (On distinguera bien les
deux cas possibles)
5. En déduire la loi de S.
6. Déterminer de même la loi de E.
7. Montrer enfin que Set Esont indépendantes.
Partie II. Lorsque Set Esont indépendantes ...
On suppose dans cette partie que Set Esont indépendantes.
1. Soient u, v et wtrois suites réels telles que : ∀(j, k)∈N2,(j+k)!wj+k=ujvk.
Montrer que uet vsont géométriques de même raison.
2. En calculant de deux façons P(N=j+k)((S = j)∩(E = k)), montrer qu’il existe deux
suites réelles uet vtelles que : ∀(j, k)∈N2,(j+k)!P(N = j+k) = ujvk.
3. Justifier que les suites uet vsont géométriques, de même raison strictement positive
que l’on notera λ.
4. En déduire les lois de Set de E, puis celle de N.
2 - Conditionnements et espérances conditionnelles.
Exercice 9. Expérience en deux temps.
On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’obtention pour la deuxième fois de «Pile». À chaque
lancer, la probabilité d’obtenir «Pile» est p. On note Xle nombre de «Face» obtenus avant
ce deuxième «Pile».
1. Déterminer la loi de X, vérifier que X
x∈X(Ω)
P(X = x)=1, montrer que Xadmet une
espérance et la calculer.
Dans une urne, on dispose X+1 boules numérotées de 0 à net on en tire une au
hasard. On note Yson numéro.
2.a) Calculer P[X=n](Y = k)pour (k, n)dans N2. En déduire E(Y|[X = n]) puis l’existence
et la valeur de E(Y).
b) Déterminer la loi de Y, puis montrer très rapidement que Yadmet une espérance et
une variance et les calculer.
Exercice 10. Bouclez-la !
Le petit Nicolas regarde passer les voitures à un carrefour pendant une heure.
Le nombre Xde véhicules passant dans l’heure suit une loi de Poisson de paramètre 200.
Pour chaque voiture, la probabilité que le conducteur n’ait pas bouclé sa ceinture est 1/10,
et est indépendante d’un véhicule à l’autre.
Le petit Nicolas note Cet Nle nombre de conducteurs ceinturés et non-ceinturés respec-
tivement.
1. Donner la loi de Nconditionnée par X, c’est-à-dire les probabilités P(X=n)(N = k)
pour (k, n)∈N2.
2. En déduire les espérances conditionnelles E(N|[X = n]), puis montrer que E(N) existe
et la calculer.
3. Montrer que Nsuit une loi de Poisson. Quelle est la loi de C?
4. Montrer que Cet Nsont indépendantes.
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Exercice 11. Un dé et un jeu de cartes.
Je lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1à6. Je tire alors, dans un jeu de
54 cartes, autant de cartes que le numéro obtenu sur le dé. Soit Rle nombre de roi(s)
obtenu(s) lors de ce(s) tirage(s).
Déterminer l’espérance de Ren supposant que les tirages ont lieu avec remise.
Exercice 12. Pascal light.
J’effectue une succession de lancers d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir
« pile » est p. Je note X1et X2les rangs d’apparition du 1er et du 2ème piles respec-
tivement.
1. Quelles sont la loi et l’espérance de X1?
2.a) Soit k∈N∗. Que vaut E(X2−k|[X1=k]) ? En déduire E(X2|[X1=k]).
b) Montrer que X2admet une espérance et la calculer.
3. On continue indéfiniment les lancers et on note, pour ∈N∗,X`le rang d’apparition
du ème pile. Montrer, par récurrence sur , que ∀∈N∗,E(X`) = /p.
Exercice 13. Expériences chronologiques.
Je tire, dans un jeu de 54 cartes, 10 cartes. Je lance lance ensuite un dé équilibré à six
faces numérotées de 1à6autant de fois que de roi(s) obtenu(s) dans ma main de 10 cartes.
Soit Nle nombre de « 6 » obtenu(s) lors de ce(s) lancer(s).
Déterminer l’espérance de Nen supposant que les tirages de cartes ont lieu avec remise.
3 - Couples et corrélations.
Exercice 14. Cas fini.
Messieurs F. et M., probabilistes trigonométreurs de renom lancent trois fois de suite une
pièce équilibrée et appellent Fle nombre de « face(s) » obtenus.
Monsieur F. gagne L = cos π
2Feuro tandis que Monsieur M. gagne N = sin π 2Feuro à
chaque partie.
1. Donner la loi de F, puis celles de Let de N.
2. Préférez-vous le sort de Monsieur F. ou celui de Monsieur M. ?
3. Dresser la loi conjointe de Let N.
4. Let Nsont-elles indépendantes ?
5. Donner la loi de X = LM.
6. En déduire ρ(L,N).
Exercice 15. Indépendance et non-corrélation
1.a) Soit Uet Vdeux variables suivant des lois de Bernoulli de paramètre respectif pet
q, où (p, q)∈(] 0 ; 1 [)2.
Montrer que Uet Vsont indépendantes si, et seulement si, Cov(U,V) = 0.
b) Soit Xet Ydeux variables aléatoires réelles discrètes finies définies sur un même
espace probabilisé, ne pouvant prendre que deux valeurs distinctes (card(X(Ω)) =
card(Y(Ω)) = 2).
Montrer que Xet Ysont indépendantes si, et seulement si, Cov(X,Y) = 0.
Indication : On pourra effectuer des transformations affines sur Xet Ypour se
ramener à des lois de Bernoulli.
2. On suppose que Xsuit la loi uniforme sur {−1,0,1}et que Y=X2.
a) Calculer Cov(X,Y).
b) Xet Ysont-elles indépendantes ?
3. Conclusion ?
Exercice 16. Plus équitable.
Ludovic et Nicolas lancent une pièce juste, jusqu’à ce que face apparaisse et au maximum
cinq fois (même si face n’est pas apparue).
Ils décident que :
+Ludovic donne n/2euro(s) à Nicolas s’il y a nlancers ;
+Nicolas donne à Ludovic autant d’euro(s) que de pile(s) apparues au cours des lancers.
On note Xla somme que Ludovic donne à Nicolas et Ycelle que Nicolas donne à Ludovic.
1. Déterminer les lois de Xet de Y.
2. Calculer E(X) et E(Y). Que peut-on en déduire ?
3. Déterminer la loi de Z = XY et en déduire Cov(X,Y). Commenter son signe.
4. Déterminer la loi de X−Y, puis calculer P(X = Y),P(X >Y) et P(X <Y).
Exercice 17. Plus dure sera la chute.
Lorsque Monsieur M. descend une piste de ski alpin, il a une chance sur deux de chuter.
Monsieur M. descend trois fois de suite une piste (vert pâle). On note Xla variable valant
1 (resp. 2, 3) s’il chute pour la première fois lors de la 1ère descente (resp. 2ème,3ème), et
0 s’il ne chute pas.
1. Donner la loi de X.
2. On note Yla variable égale au rang de la 2ème chute de Monsieur. M, et valant 0 s’il
ne chute pas 2 fois. Donner la loi de Yconditionnée par X.
3. Donner la loi du couple (X,Y). En déduire E(XY) puis ρ(X,Y).
Exercice 18. Séries.
On effectue une succession indéfinie de lancers indépendants avec une pièce donnant
Pile avec la probabilité p∈] 0 ; 1 [ et Face avec la probabilité q= 1 −p.
On dit que la première série est de longueur L1=n>1si les npremiers lancers ont
amené le même côté de la pièce et le (n+ 1)ème l’autre.
On définit de manière analogue la longueur L2de la 2ème série.
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1. Dans cette question, on suppose p=q= 1/2.
a) Déterminer la loi de L1et son espérance.
b) Donner la loi du couple (L1,L2).
c) En déduire la loi de L2et son espérance.
d) L1et L2sont-elles indépendantes ?
2. On suppose maintenant p6= 1/2(et donc q6= 1/2).
Reprendre les questions précédentes.
Exercice 19. Pile ET face.
On réalise une succession indépendante de lancers d’une pièce équilibrée et on s’arrête dès
que l’on a obtenu (au moins) un « pile » et (au moins) un « face ». On note Tle nombre
de lancers nécessaires et S(resp. F) le nombre de « pile(s) » (resp. « face(s) ») obtenu.
1. Déterminer la loi de Tet son espérance.
2. Quelle est la loi usuelle suivie par X=T−1?
Retrouver alors E(T) et calculer V(T).
3. Pour quelle raison Set Fsuivent-elles la même loi ? Déduire leur espérance de celle
de T.
4. Déterminer la loi du couple (S,F).
5. En déduire la loi de Set retrouver son espérance par le calcul.
6. Déterminer Cov(S,F) et expliquer son signe.
Exercice 20. Séries doubles
Soient λun réel strictement positif et αun réel de ] 0 ; 1 [.
On considère un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans N×N,(X,Y), dont
la loi est donnée par :
∀(i, j)∈N2, pi,j =P((X = i)∩(Y = j)) = 
λie−λαj(1 −α)i−j
j!(i−j)! si 06j6i
0sinon
.
1. Vérifier que les nombres pi,j (i,j)∈N×Ndéfinissent la loi d’un couple de variables
aléatoires.
2. Démontrer que Xet Ysuivent chacune une loi de Poisson en précisant leur paramètre.
3. Justifier que Xet Yne sont pas indépendantes.
4. Établir que XY admet une espérance et que E(XY) = αλ(λ+ 1).
5. Calculer ρ(X,Y).
4 - Indications de réponses.
Réponses non rédigées. Légende (1) :
Égalité... ... obtenue par application (2)
déf.
=d’une définition
dén.
=d’un dénombrement
lin.
=de la linéarité
transf.
=du théorème de transfert
FPT
=de la formule des probabilités totales
FPC
=de la formule des probabilités composées
FET
=de la formule des espérances totales
indép.
=d’une indépendance
géo.
=d’une série géométrique
exp.
=d’une série exponentielle
Exercice 1.
Par récurrence sur nà l’aide d’intégrations par parties.
Exercice 2.
E1
X+1transf.
=
+∞
X
n=0
λne−λ
(n+ 1)! =e−λ λ
+∞
X
n=0
λn+1
(n+ 1)!
exp.
=e−λ(eλ−1)
λ=1−e−λ λ
Exercice 3.
1. P(X paire)−P(X impaire) =
+∞
X
k=0
e−λλ2k
(2k)! −
+∞
X
k=0
e−λλ2k+1
(2k+ 1)! =e−λ
+∞
X
n=0
(−λ)n
n!
exp.
=
e−λe−λ=e−2λ>0.
2. P(X paire)−P(X impaire) =
+∞
X
k=0
q2k−1p−
+∞
X
k=0
q2kp=p
+∞
X
n=0
(−q)n−1géo. =−p
q
1
1 + q<
0.
Exercice 4.
1. ∀j>2,P[X=k](Y = j)=0si j6ket qj−k−1psinon.
E(Y |[X = k]) = k+ 1/p,E(Y) FET = 2/p.
P(Y = j)FPT = (j−1)qj−2p2.
2. Xet Zsont indépendantes car ne se réfèrent pas aux mêmes expériences.
(1). Vérifiez les hypothèes ! ! !
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P(Y = j) = P(X + Z = j) =
j−1
X
i=1
P(X = i)P(Z = j−i) = (j−1)qj−2p2.
3. [Y = j] = (S1∩E2∩···∩ Ej−1∩Sj)∪···∪(E1∩ ···∩Ej−2∩Sj−1∩Sj)réunion de
j−1événements deux à deux incompatibles tous de probabilité qj−2p2, d’où
P(Y = j) = (j−1)qj−2p2.
4. V(Y) = V(X + Z) indép. =V(X) + V(Y) = 2q/p2.
5. Cov(X,Y) = Cov(X,X + Z) = Cov(X,X) + Cov(X,Z) = V(X) + 0 = q/p2>0, plus
Xest grande, plus Yl’est ... cohérent puisque X<Y...
6. Par dénombrement : ∀i>k, P(Xk=i) = i−1
k−1qi−kpk,i−1 k−1étant le nombre
de façons de placer k−1succès parmi les i−1premières expériences.
Par linéarité : E(Xk) = k×E(X) = k/p.
Par indépendance : V(Xk) = k×V(X) = kq/p2.
Exercice 5.
1. X(Ω) = N⊂ {0; 1}.
2. [X = n] = ∪
06j6n−2(F1. . . FjPj+1 . . . Pn−1Fn.
3.a) PP1(X = n) = PP1(P2. . . Pn−1Fn)=1/2n−1et PF1(X = n) = P(X = n−1). Ainsi
P(X = n)FPT =1
2
1
2n−1+1 2P(X = n−1).
b) vn= 2n(1
2n+1 2un−1) = 1 + vn−1,vn= (n−2) + v2=n−1et un=vn 2n=n−1 2n.
4. E(X) déf. =
+∞
X
n=2
n(n−1) 1
2n
géo.
=1
4
2
(1 −1/2)3= 4.
Exercice 6.
1. j−1
k−1est le nombre de façons de choisir la place des k−1faces parmi les j−1
lancers.
2. P(L = j)FPT =P(Fj)P(Fj)(L = j) + P(Pj)P(Pj)(L = j) = 1
2j−1 k−11 2j−1+
1
2j−1 k−11 2j−1=j−1 k−11 2j−1.
3. E(L) déf. =
2k−1
X
j=k
jP(L = j)
=
2k−2
X
j=k
2(j+ 1 −k)P(L = j+ 1) + (2k−1)P(L = 2k−1)
= 2
2k−2
X
j=k
2(j+ 1)P(L = j+ 1) −2k
2k−2
X
j=k
P(L = j+ 1) + (2k−1)P(L = 2k−1)
= 2(E(L) −kP(L = k)) −2k(1 −P(L = k)) + (2k−1)P(L = 2k−1) = 2E(L) −2k+
(2k−1)P(L = 2k−1),
donc E(L) = 2k−(2k−1)P(L = 2k−1) = 2k−(2k−1)2k−2
k−11 22k−2.
Exercice 7.
Partie I. Lois de Benford discrètes.
1.
N
X
k=1
ln 1 + 1
k=
N
X
k=1
ln k+ 1
k=
N
X
k=1
ln(k+ 1) −
N
X
k=1
ln(k) = ln(N + 1) par télé-
scopage. Donc c=1
ln(N + 1).
2.a) uN=
N
X
k=1
kln 1 + 1
k=
N
X
k=1
kln(k+1)−
N
X
k=1
kln(k) =
N+1
X
k=2
(k−1) ln(k)−
N
X
k=1
kln(k) =
N
X
k=2
((k−1) ln(k)−kln(k)) + N ln(N + 1) −0 = −
N
X
k=2
ln(k) + N ln(N + 1).
uN= N ln(N + 1) −ln(N!).
b) uN= N ln(N + 1) −ln(N!) = ln (N + 1)N+1
(N + 1)! . À l’aide de la formule de Stirling,
(N + 1)N+1
(N + 1)! ∼
N→+∞
(N + 1)N+1eN+1
p2π(N + 1)(N + 1)N+1 ∼
N→+∞
eN+1
p2π(N + 1). Le quotient ten-
dant vers +∞,uN∼
N→+∞ln eN+1
p2π(N + 1)!∼
N→+∞(N + 1 −1
2ln(2π(N + 1))) ∼
N→+∞
Ncar 1−1
2ln(2π(N + 1)) = o
N→+∞(N). Donc uN∼ N→+∞N.
c) Comme E(X) = uN
ln(N + 1) et ln(N + 1) ∼
N→+∞ln(N),E(X) ∼ N→+∞
N
ln(N).
Partie II. Loi du premier chiffre significatif.
1. ∀k∈[[1 ; 9]] ,P(X = k) = log 1 + 1
ket E(X) = 9 ln(10) −ln(9!) ln(10) = 9 −log(9!).
2.a) Comme X→FB(999999),E(X) '999999
ln(999999) '72382, ....
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