Variables Aléatoires Réelles Discrètes. 1

ÉCS2
Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
Florilège.
1 - Autour de quelques lois.
On note X la v.a.r. égale au rang d’apparition de la première séquence consécutive
« Pile-Face », de sorte que l’événement P1 P2 F3 P4 conduit à X = 3, par exemple.
Exercice 1. Répartition de la loi de Poisson.
1. Que vaut X(Ω) ?
Soit λ ∈ ] 0 ; +∞ [. Soit X une variable suivant la loi de Poisson P(λ). On note FX sa 2. Loi de X, première méthode. En décomposant l’événement (X = n) en n − 1 événe1
fonction de répartition.
ments plus élémentaires, montrer que P(X = n) = (n − 1) n .
Z
2
1 +∞ −x n
e x dx.
Montrer que : ∀n ∈ N, FX (n) =
3. Loi de X, seconde méthode. On pose, pour n > 2, un = P(X = n).
n! λ
1
1
a) A l’aide du système complet (P1 , F1 ), montrer que un = n + un−1 .
2
2
Exercice 2. Transfert.
n
b)
En
étudiant
la
suite
(v
)
définie
par
v
=
2
u
,
exprimer
u
Soit λ ∈ ] 0 ; +∞ [. Soit X une variable suivant la loi de Poisson P(λ). Justifier l’existence
n n>2
n
n
n en fonction de n.
1
c) En déduire la loi de X.
et calculer l’espérance de
.
X+1
4. Calculer E(X).
Exercice 3. Pair ou impair.
1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ (ou λ > 0,
comme d’habitude).
Montrer que : P(”X est impaire”) < P(”X est paire”).
2. Étudier la propriété analogue lorsque X suit la loi géométrique de paramètre p (ou
p ∈ ] 0 ; 1 [, comme d’habitude).
Exercice 6. Fin de partie... (sans Beckett)
Ludovic et Nicolas jouent à pile ou face. Ils choisissent un entier naturel non nul k et
lancent une pièce juste (P(Pile) = P(Face) = 1/2) jusqu’à ce que le même coté (« pile »
ou « face ») soit apparue k fois. Si c’est « pile » qui est apparue k fois, Ludovic gagne,
tandis que si c’est « face », Nicolas gagne.
1. On note F la variable égale au rang du premier lancer où « face » est apparue k ème
fois.
Exercice 4. Trois méthodes pour la loi de Pascal.
j−1 1
Montrer
que
la
loi
de
F
est
définie
par
:
∀j
>
k,
P(F
=
j)
=
.
Dans une processus de Bernoulli (répétitions indépendantes d’expériences au cours desk − 1 2j
quelles un événement A - succès - de probabilité p peut se réaliser ), on note X le rang de 2. On note L le nombre de lancers nécessaires à l’achèvement de la partie.
la première réalisation de A et Y celui de la seconde réalisation de A.
Montrer quela loi de L est définie par : ∀j ∈ [[k ; 2k − 1]] ,
1. Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant (X = k) et en déduire l’espérance puis
j−1
1
P(L = j) =
.
la loi de Y.
k − 1 2j−1
2. On note Z la v.a.r. égale au nombre d’expériences nécessaires après la première 3.a) Montrer que, pour k 6 j < 2k − 1, jP(L = j) = 2(j + 1 − k)P(L = j + 1).
réalisation de A à la seconde réalisation de A, de sorte que : Y = X + Z. Après avoir
2k−2
2k − 2
1
justifié l’indépendance de X et de Z, déterminer la loi de Y par convolution, puis
b) En déduire que : E(L) = 2k − (2k − 1)
.
k
−
1
2
retrouver son espérance.
3. Déterminer directement la loi de Y par dénombrement.
Exercice 7. La loi de Benford.
4. Calculer la variance de Y.
Partie I. Lois de Benford discrètes.
5. Calculer la covariance de X et de Y, et expliquer son signe.
Soit N un entier naturel non nul.
6. Généralisation (loi de Pascal). On note Xk le rang de la k-ème réalisation de l’évé1. Déterminer la constante réelle c telle que :
nement A. Déterminer la loi de Xk , son espérance et sa variance.
1
X(Ω) = [[1 ; N]]
et ∀k ∈ X(Ω), P(X = k) = c ln 1 +
Exercice 5. Étude d’une séquence.
k
puisse définir la loi d’une v.a.r. X.
On lance indéfiniment une pièce de monnaie juste (P(«Pile») = P(«Face») = 1/2). On
note Pi (respectivemnt Fi ) l’événement « On obtient «Pile» (resp. «Face») au i-ème lanOn suppose maintenant que X est une variable aléatoire suivant la loi ainsi définie,
cer. ». Par commodité, on notera P1 P2 F3 P4 l’événement P1 ∩ P2 ∩ F3 ∩ P4 , par exemple.
loi appelée loi de Franck Benford discrète de paramètre N, de logo FB(N).
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2.
On pose uN =
N
X
k=1
1
.
k ln 1 +
k
1.
a) Montrer que uN = N ln(N + 1) − ln(N!).
b) À l’aide de la formule de Stirling,
n!
montrer que uN
∼
N→+∞
∼
√
2πn
2.
n n
n→+∞
e
3.
N. et déduire un équivalent de E(X) lorsque N tend vers +∞.
Partie II. Loi du premier chiffre significatif.
On rappelle que, si a ∈ ] 0 ; +∞ [, log(a) désigne le logarithme décimal de a, défini
ln(a)
par log(a) =
.
ln(10)
1. Donner, à l’aide de la fonction log, la loi et l’espérance de X lorsque X suit la loi
FB(9).
2. En Syldavie, le nombre d’habitants X d’une ville tirée au hasard suit une loi de
Benford de paramètre 999 999.
a) Donner une valeur approchée de la population moyenne des villes de Syldavie.
On appelle premier chiffre significatif d’un nombre non nul le premier chiffre non nul
dans son écriture décimale. Ainsi, le premier chiffre significatif de 2327 est 2.
b) On note Y le premier chiffre significatif de X.
S5 Justifier que [Y = 1] = k=0 10k 6 X 6 2 × 10k − 1 et en déduire P(Y = 1).
c) Montrer que Y suit la loi de Benford FB(9).
4.
Florilège.
Partie II. Lorsque S et E sont indépendantes ...
On suppose dans cette partie que S et E sont indépendantes.
Soient u, v et w trois suites réels telles que : ∀(j, k) ∈ N2 , (j + k)!wj+k = uj vk .
Montrer que u et v sont géométriques de même raison.
En calculant de deux façons P(N=j+k) ((S = j) ∩ (E = k)), montrer qu’il existe deux
suites réelles u et v telles que : ∀(j, k) ∈ N2 , (j + k)!P(N = j + k) = uj vk .
Justifier que les suites u et v sont géométriques, de même raison strictement positive
que l’on notera λ.
En déduire les lois de S et de E, puis celle de N.
2 - Conditionnements et espérances conditionnelles.
Exercice 9. Expérience en deux temps.
On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’obtention pour la deuxième fois de «Pile». À chaque
lancer, la probabilité d’obtenir «Pile» est p. On note X le nombre de «Face» obtenus avant
ce deuxième «Pile».
X
1. Déterminer la loi de X, vérifier que
P(X = x) = 1, montrer que X admet une
x∈X(Ω)
espérance et la calculer.
Dans une urne, on dispose X + 1 boules numérotées de 0 à n et on en tire une au
hasard. On note Y son numéro.
2.a) Calculer P[X=n] (Y = k) pour (k, n) dans N2 . En déduire E(Y|[X = n]) puis l’existence
et la valeur de E(Y).
Exercice 8. Des échecs indépendants des succés ...
b) Déterminer la loi de Y, puis montrer très rapidement que Y admet une espérance et
Soit N une variable aléatoire prenant ses valeurs dans N. On suppose que, pour tout n de
une variance et les calculer.
N, P(N = n) 6= 0.
Lorsque N vaut n, on réalise une succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes de Exercice 10. Bouclez-la !
probabilité de succés p (p ∈ ] 0 ; 1 [). Soit S le nombre de succés et E le nombre d’échec(s). Le petit Nicolas regarde passer les voitures à un carrefour pendant une heure.
Le nombre X de véhicules passant dans l’heure suit une loi de Poisson de paramètre 200.
Partie I. Lorsque N suit une loi de Poisson ...
Pour
chaque voiture, la probabilité que le conducteur n’ait pas bouclé sa ceinture est 1/10,
Dans cette partie, on suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ où
et
est
indépendante d’un véhicule à l’autre.
λ ∈ ] 0 ; +∞ [.
Le petit Nicolas note C et N le nombre de conducteurs ceinturés et non-ceinturés respec1. Soit n ∈ N. Que vaut l’espérance conditionnelle E(S|N = n) ?
tivement.
2. En déduire l’espérance E(S) de S.
1. Donner la loi de N conditionnée par X, c’est-à-dire les probabilités P(X=n) (N = k)
3. Déterminer de même E(E).
pour (k, n) ∈ N2 .
4. Soit n et j deux entiers de N. Que vaut P(N=n) (S = j) ? (On distinguera bien les
2. En déduire les espérances conditionnelles E(N|[X = n]), puis montrer que E(N) existe
deux cas possibles)
et la calculer.
5. En déduire la loi de S.
3. Montrer que N suit une loi de Poisson. Quelle est la loi de C ?
6. Déterminer de même la loi de E.
7. Montrer enfin que S et E sont indépendantes.
4. Montrer que C et N sont indépendantes.
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Exercice 11. Un dé et un jeu de cartes.
Je lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Je tire alors, dans un jeu de
54 cartes, autant de cartes que le numéro obtenu sur le dé. Soit R le nombre de roi(s)
obtenu(s) lors de ce(s) tirage(s).
Déterminer l’espérance de R en supposant que les tirages ont lieu avec remise.
Florilège.
b) Soit X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes finies définies sur un même
espace probabilisé, ne pouvant prendre que deux valeurs distinctes (card(X(Ω)) =
card(Y(Ω)) = 2).
Montrer que X et Y sont indépendantes si, et seulement si, Cov(X, Y) = 0.
Indication : On pourra effectuer des transformations affines sur X et Y pour se
ramener à des lois de Bernoulli.
2. On suppose que X suit la loi uniforme sur {−1, 0, 1} et que Y = X2 .
Exercice 12. Pascal light.
J’effectue une succession de lancers d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir
a) Calculer Cov(X, Y).
« pile » est p. Je note X1 et X2 les rangs d’apparition du 1er et du 2ème piles respecb) X et Y sont-elles indépendantes ?
tivement.
3.
Conclusion ?
1. Quelles sont la loi et l’espérance de X1 ?
2.a) Soit k ∈ N∗ . Que vaut E(X2 − k|[X1 = k]) ? En déduire E(X2 |[X1 = k]).
b) Montrer que X2 admet une espérance et la calculer.
3. On continue indéfiniment les lancers et on note, pour ` ∈ N∗ , X` le rang d’apparition
du `ème pile. Montrer, par récurrence sur `, que ∀` ∈ N∗ , E(X` ) = `/p.
Exercice 16. Plus équitable.
Ludovic et Nicolas lancent une pièce juste, jusqu’à ce que face apparaisse et au maximum
cinq fois (même si face n’est pas apparue).
Ils décident que :
+ Ludovic donne n/2 euro(s) à Nicolas s’il y a n lancers ;
Exercice 13. Expériences chronologiques.
+ Nicolas donne à Ludovic autant d’euro(s) que de pile(s) apparues au cours des lancers.
Je tire, dans un jeu de 54 cartes, 10 cartes. Je lance lance ensuite un dé équilibré à six
faces numérotées de 1 à 6 autant de fois que de roi(s) obtenu(s) dans ma main de 10 cartes. On note X la somme que Ludovic donne à Nicolas et Y celle que Nicolas donne à Ludovic.
Soit N le nombre de « 6 » obtenu(s) lors de ce(s) lancer(s).
1. Déterminer les lois de X et de Y.
Déterminer l’espérance de N en supposant que les tirages de cartes ont lieu avec remise. 2. Calculer E(X) et E(Y). Que peut-on en déduire ?
3. Déterminer la loi de Z = XY et en déduire Cov(X, Y). Commenter son signe.
3 - Couples et corrélations.
4. Déterminer la loi de X − Y, puis calculer P(X = Y), P(X > Y) et P(X < Y).
Exercice 14. Cas fini.
Messieurs F. et M., probabilistes trigonométreurs de renom lancent trois fois de suite une
pièce équilibrée et appellent F le
nombre de « face(s) » obtenus.
Monsieur F. gagne L = cos π2 F euro tandis que Monsieur M. gagne N = sin π2 F euro à
chaque partie.
1. Donner la loi de F, puis celles de L et de N.
2. Préférez-vous le sort de Monsieur F. ou celui de Monsieur M. ?
3. Dresser la loi conjointe de L et N.
4. L et N sont-elles indépendantes ?
5. Donner la loi de X = LM.
6. En déduire ρ(L, N).
Exercice 15. Indépendance et non-corrélation
1.a) Soit U et V deux variables suivant des lois de Bernoulli de paramètre respectif p et
q, où (p, q) ∈ (] 0 ; 1 [)2 .
Montrer que U et V sont indépendantes si, et seulement si, Cov(U, V) = 0.
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Exercice 17. Plus dure sera la chute.
Lorsque Monsieur M. descend une piste de ski alpin, il a une chance sur deux de chuter.
Monsieur M. descend trois fois de suite une piste (vert pâle). On note X la variable valant
1 (resp. 2, 3) s’il chute pour la première fois lors de la 1ère descente (resp. 2ème , 3ème ), et
0 s’il ne chute pas.
1. Donner la loi de X.
2. On note Y la variable égale au rang de la 2ème chute de Monsieur. M, et valant 0 s’il
ne chute pas 2 fois. Donner la loi de Y conditionnée par X.
3. Donner la loi du couple (X, Y). En déduire E(XY) puis ρ(X, Y).
Exercice 18. Séries.
On effectue une succession indéfinie de lancers indépendants avec une pièce donnant
Pile avec la probabilité p ∈ ] 0 ; 1 [ et Face avec la probabilité q = 1 − p.
On dit que la première série est de longueur L1 = n > 1 si les n premiers lancers ont
amené le même côté de la pièce et le (n + 1)ème l’autre.
On définit de manière analogue la longueur L2 de la 2ème série.
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1.
Dans cette question, on suppose p = q = 1/2.
Florilège.
4 - Indications de réponses.
Réponses non rédigées. Légende (1) :
... obtenue par application (2)
Égalité...
a) Déterminer la loi de L1 et son espérance.
b) Donner la loi du couple (L1 , L2 ).
déf.
=
c) En déduire la loi de L2 et son espérance.
d’une définition
dén.
=
d) L1 et L2 sont-elles indépendantes ?
2. On suppose maintenant p 6= 1/2 (et donc q 6= 1/2).
Reprendre les questions précédentes.
d’un dénombrement
lin.
=
de la linéarité
transf.
=
du théorème de transfert
FPT
=
de la formule des probabilités totales
Exercice 19. Pile ET face.
FPC
On réalise une succession indépendante de lancers d’une pièce équilibrée et on s’arrête dès
=
de la formule des probabilités composées
que l’on a obtenu (au moins) un « pile » et (au moins) un « face ». On note T le nombre
FET
de la formule des espérances totales
=
de lancers nécessaires et S (resp. F) le nombre de « pile(s) » (resp. « face(s) ») obtenu.
indép.
d’une indépendance
=
1. Déterminer la loi de T et son espérance.
géo.
2. Quelle est la loi usuelle suivie par X = T − 1 ?
=
d’une série géométrique
exp.
Retrouver alors E(T) et calculer V(T).
=
d’une série exponentielle
3. Pour quelle raison S et F suivent-elles la même loi ? Déduire leur espérance de celle
de T.
Exercice 1.
4. Déterminer la loi du couple (S, F).
Par récurrence sur n à l’aide d’intégrations par parties.
5. En déduire la loi de S et retrouver son espérance par le calcul.
6. Déterminer Cov(S, F) et expliquer son signe.
Exercice 2.
+∞
+∞
X
λn e−λ
1
e−λ X λn+1 exp. e−λ (eλ − 1)
1 − e−λ
transf.
Exercice 20. Séries doubles
E
=
=
=
=
X+1
(n + 1)!
λ n=0 (n + 1)!
λ
λ
Soient λ un réel strictement positif et α un réel de ] 0 ; 1 [.
n=0
On considère un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans N × N, (X, Y), dont
Exercice 3.
la loi est donnée par :
 i −λ j
i−j
+∞
+∞
+∞
2k
2k+1
X
X
X
 λ e α (1 − α)
(−λ)n exp.
−λ λ
−λ λ
−λ
si 0 6 j 6 i
2
1.
P(X
paire)
−
P(X
impaire)
=
e
−
e
=
e
=
.
∀(i, j) ∈ N , pi,j = P((X = i) ∩ (Y = j)) =
j!(i − j)!
(2k)!
(2k + 1)!
n!

n=0
k=0
k=0
0
sinon
e−λ e−λ = e−2λ > 0.
+∞
+∞
+∞
1. Vérifier que les nombres pi,j (i,j)∈N×N définissent la loi d’un couple de variables
X
X
X
p 1
géo.
<
2. P(X paire) − P(X impaire) =
q 2k−1 p −
q 2k p = p
(−q)n−1 = −
aléatoires.
q1+q
n=0
k=0
k=0
2. Démontrer que X et Y suivent chacune une loi de Poisson en précisant leur paramètre.
0.
3. Justifier que X et Y ne sont pas indépendantes.
4. Établir que XY admet une espérance et que E(XY) = αλ(λ + 1).
Exercice 4.
5. Calculer ρ(X, Y).
1. ∀j > 2, P
(Y = j) = 0 si j 6 k et q j−k−1 p sinon.
[X=k]
FET
2.
E(Y | [X = k]) = k + 1/p, E(Y) = 2/p.
FPT
P(Y = j) = (j − 1)q j−2 p2 .
X et Z sont indépendantes car ne se réfèrent pas aux mêmes expériences.
(1). Vérifiez les hypothèes ! ! !
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P(Y = j) = P(X + Z = j) =
j−1
X
P(X = i)P(Z = j − i) = (j − 1)q j−2 p2 .
=2
2(j + 1)P(L = j + 1) − 2k
j=k
i=1
3.
2k−2
X
Florilège.
[Y = j] = (S1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ Ej−1 ∩ Sj ) ∪ · · · ∪ (E1 ∩ · · · ∩ Ej−2 ∩ Sj−1 ∩ Sj ) réunion de
j − 1 événements deux à deux incompatibles tous de probabilité q j−2 p2 , d’où
P(Y = j) = (j − 1)q j−2 p2 .
2k−2
X
P(L = j + 1) + (2k − 1)P(L = 2k − 1)
j=k
= 2(E(L) − kP(L = k)) − 2k(1 − P(L = k)) + (2k − 1)P(L = 2k − 1) = 2E(L) − 2k +
(2k − 1)P(L = 2k − 1),
2k − 2
1
.
donc E(L) = 2k − (2k − 1)P(L = 2k − 1) = 2k − (2k − 1)
k − 1 22k−2
indép.
V(Y) = V(X + Z) = V(X) + V(Y) = 2q/p2 .
Cov(X, Y) = Cov(X, X + Z) = Cov(X, X) + Cov(X, Z) = V(X) + 0 = q/p2 > 0, plus
Exercice 7.
X est grande, plus Y l’est ... cohérent puisque
< Y...
X
i − 1 i−k k
i−1
Partie I. Lois de Benford discrètes.
6. Par dénombrement : ∀i > k, P(Xk = i) =
q p ,
étant le nombre
N
N
N
N
X
X
X
X
k−1
k−1
1
k+1
1.
ln
1
+
=
ln
=
ln(k
+
1)
−
ln(k) = ln(N + 1) par téléde façons de placer k − 1 succès parmi les i − 1 premières expériences.
k
k
k=1
k=1
k=1
k=1
Par linéarité : E(Xk ) = k × E(X) = k/p.
1
Par indépendance : V(Xk ) = k × V(X) = kq/p2 .
.
scopage. Donc c =
ln(N + 1)
Exercice 5.
X
N
N
N
N+1
N
X
X
X
X
1
1. X(Ω) = N ⊂ {0; 1}.
2.a) uN =
k ln 1 +
=
k ln(k+1)−
k ln(k) =
(k−1) ln(k)−
k ln(k) =
k
2. [X = n] =
∪ (F1 . . . Fj Pj+1 . . . Pn−1 Fn .
4.
5.
k=1
06j6n−2
N
X
n−1
3.a) PP1 (X = n) = PP1 (P2 . . . Pn−1 Fn ) = 1/2
et PF1 (X = n) = P(X = n − 1). Ainsi
1
FPT 1 1
P(X = n) =
+ P(X = n − 1).
2 2n−1
2
vn
1
n−1
n 1
b) vn = 2 ( n + un−1 ) = 1 + vn−1 , vn = (n − 2) + v2 = n − 1 et un = n =
.
2
2
2
2n
+∞
X
2
1 géo. 1
déf.
4. E(X) =
n(n − 1) n =
= 4.
2
4
(1
−
1/2)3
n=2
Exercice 6.
j−1
1.
est le nombre de façons de choisir la place des k − 1 faces parmi les j − 1
k−1
lancers.
1 j−1
1
FPT
2. P(L = j) = P(Fj )P( Fj )(L = j) + P(Pj )P( Pj )(L = j) =
+
j−1
2 k−1 2
1 j−1
1
j−1
1
=
.
j−1
j−1
2 k−1 2
k−1 2
2k−1
X
déf.
3. E(L) =
jP(L = j)
j=k
=
2k−2
X
2(j + 1 − k)P(L = j + 1) + (2k − 1)P(L = 2k − 1)
j=k
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k=1
k=1
k=2
((k − 1) ln(k) − k ln(k)) + N ln(N + 1) − 0 = −
k=2
k=1
N
X
ln(k) + N ln(N + 1).
k=2
uN = N ln(N + 1) − ln(N!).
(N + 1)N+1
. À l’aide de la formule de Stirling,
(N + 1)!
(N + 1)N+1 eN+1
(N + 1)N+1
eN+1
p
p
∼
∼
. Le quotient tenN→+∞
(N + 1)! N→+∞
2π(N + 1)(N + 1)N+1
2π(N + 1)
!
eN+1
1
dant vers +∞, uN ∼ ln p
∼ (N + 1 − ln(2π(N + 1))) ∼
N→+∞
N→+∞
2
2π(N + 1) N→+∞
1
N car 1 − ln(2π(N + 1)) = o (N). Donc uN ∼ N.
N→+∞
N→+∞
2
b) uN = N ln(N + 1) − ln(N!) = ln
c) Comme E(X) =
1.
N
uN
et ln(N + 1) ∼ ln(N), E(X) ∼
.
N→+∞
N→+∞ ln(N)
ln(N + 1)
Partie II. Loi du premier chiffre significatif.
1
9 ln(10) − ln(9!)
et E(X) =
= 9 − log(9!).
∀k ∈ [[1 ; 9]] , P(X = k) = log 1 +
k
ln(10)
2.a) Comme X ,→ FB(999999), E(X) '
5/10
999999
' 72382, ....
ln(999999)
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Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
ÉCS2
5.
Une valeur approchée de la population moyenne des villes de Syldavie est 72400.
b) Puisque X(Ω) = [[1 ; 999999]], [Y = 1] peut se décomposer ainsi : [Y = 1] =
[X = 1] ∪ [10 6 X 6 19] ∪ · · · ∪ [100 000 6 X 6 199 999], ce qui s’écrit aussi
S5 [Y = 1] = k=0 10k 6 X 6 2 × 10k − 1 .
2
Notons que, ∀(a, b) ∈ [[1 ; 999 999]] , P(a 6 X 6 b) =
b
X
5
X
b+1
. Alors P(Y = 1) =
P 10k 6 X 6 2 × 10k − 1 (par incoma
k=0
5
5
X
X
2 × 10k
1
6 ln(2)
1
patibilité). P(Y = 1) =
ln
ln(2) =
.
=
6
k
ln(10 )
10
6 ln(10)
6 ln(10)
1
ln
ln(N + 1)
k=0
n=0
6.
7.
k=0
P(Y = 1) = log(2) = log(1 + 1/1).
1.
c) Soit d ∈ [[1 ; 9]]. Comme précédemment,
5
X
P(Y = d) =
P d × 10k 6 X 6 (d + 1) × 10k − 1 (par incompatibilité).
k=0
P(Y = d) =
5
X
k=0
1
ln
ln(106 )
(d + 1) × 10k
d × 10k
6 ln(1 + 1/d)
.
6 ln(10)
Pour d ∈ [[1 ; 9]], P(Y = d) = log(1 + 1/d).
5
=
X
1
ln(1 + 1/d) =
6 ln(10)
k=0
2.
Y suit la loi de Benford FB(9).
Exercice 8.
1.
2.
3.
4.
Partie I. Lorsque N suit une loi de Poisson ...
Soit n ∈ N. Sachant (N = n), S suit une loi binomiale B(n, p) donc
E(S|N = n) = np.
À l’aide du sytème complet d’événements ([N = n])n∈N , le théorème de l’espérance
totale assure l’existence de E(S) et donne
+∞
+∞
+∞
X
X
X
λn
λn−1
E(S) =
E(S|N = n)P(N = n) =
npe−λ
= pe−λ λ
= pλe−λ eλ = 3.
n!
(n
−
1)!
n=0
n=0
n=1
pλ. E(S) existe et vaut pλ.
De même E(E) existe et vaut qλ.
Puisque sachant (N
n), S suit la loi B(n, p),
4.
=  n pj q n−j si 0 6 j 6 n
j
P(N=n) (S = j) =
.

0
si j > n
Lycée Henri Poincaré
À l’aide du sytème complet d’événements ([N = n])n∈N , la formule des probabi+∞
X
lités totales donne, pour j ∈ N, P(S = j) =
P(N=n) (S = j)P(N = n) =
+∞
+∞ X
λj pj X (λq)n−j
λj pj λq
(λp)j
n j n−j −λ λn
= e−λ
= e−λ
e = e−λp
donc
p q
e
n!
j! n=j (n − j)!
j!
j!
j
n=j
c ln(k + 1) − ln(k) =
k=a
Florilège.
6/10
S suit la loi de Poisson de paramètre λp.
De même E suit la loi de Poisson de paramètre λq.
Pour i et j dans N, P([S = i] ∩ [E = j]) = P([S = i] ∩ [N = i + j]) = P(N=i+j) (S =
i + j i j −λ λi+j
(λp)i −λq (λq)j
pq e
i)P(N = i + j) =
= e−λp
e
= P(S = i)P(E =
i
(i + j)!
i!
j!
j). S et E sont indépendantes.
Partie II. Lorsque S et E sont indépendantes ...
La relation vérifiée par u, v et w entraîne que : ∀j ∈ N∗ , uj v0 = j!wj = uj−1 v1 ,
v1
v1
donc ∀j ∈ N∗ , uj =
uj−1 donc u est géométrique de raison
. De même, ∀k ∈
v0
v0
u
1
N∗ , u0 vk = k!wk = u1 vk−1 , donc ∀k ∈ N∗ , vk =
vk−1 donc v est géométrique de
u0
u1
u1
raison
=
. u et v sont géométriques de même raison.
u0
u0
j+k j k
D’une part , P(N=j+k) ([S = j] ∩ [E = k]) = P(N=j+k) (S = j) =
p q .
j
P(S = j)P(E = k)
, donc
D’autre part, P(N=j+k) ([S = j] ∩ [E = k]) =
P(N = j + k)
P(S = j)P(E = k)
j+k j k
=
p q .
P(N = j + k)
j
j!P(S = j)
k!P(E = k)
D’où (j + k)!P(N = j + k) =
.
pj
qk
Il existe deux suites réelles u et v telles que :
∀(j, k) ∈ N2 , (j + k)!P(N = j + k) = uj vk . Il s’agit des suites définies par uj =
j!P(S = j)
k!P(E = k)
et vk =
.
pj
qk
Le premier membre de l’égalité précédente étant strictement positif, les termes de u
et v sont tous non nuls. Par définition, les suites u et v sont à termes positifs.
D’aprés II-1., u et v sont géométriques de même raison strictement positive λ.
+∞
X
j!P(S = j)
(λp)j
j
De ∀j ∈ N, uj =
=
u
λ
on
tire
P(S
=
j)
=
u
.
De
1
=
P(S =
0
0
pj
j!
j=0
j) = u0 e−λp , on tire u0 = e−lambdap , donc : ∀j ∈ N, P(S = j) = e−λp
(λp)j
. Donc S
j!
lo
Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
ÉCS2
Florilège.
suit la loi de Poisson de paramètre pλ. De même, E suit la loi de Poisson de paramètre Exercice 11.
qλ.
D =résultat du dé. D ,→ U ([[1 ; 6]]). Sachant [D = k], R suit B (k; 2/27) : E(N|[R = k]) =
N étant la somme des deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson de 2k/27.
10
paramètres λp et λq, par stabilité, N suit une loi de Poisson de paramètre λp+λq = λ.
X
2k
2
7
FET
E(N) =
P(D = k) =
E(D) =
.
27
27
27
Exercice 9.
k=0
1. X(Ω) = N, P(X = 0) = P(S1 ∩ S2 ) = p2 ,
Exercice 12.
P(X = 1) = P((E1 ∩ S2 ∩ S3 ) ∪ (S1 ∩ E2 ∩ S3 )) = 2qp2
k 2
1.
X1 ,→ G (p), E(X1 ) = 1/p.
et on peut généraliser en P(X = k) = (k + 1)q p .
+∞
+∞
2
2.a)
Sachant [X1 = k], X2 − k ,→ G (p), E(X2 − k|X1 = k) = 1/p,
X
X
2q
j=k−1
géo. 2p q
lin.
E(X) =
k(k + 1)q k p2 = p2 q
(j − 1)jq j−2 =
=
.
E(X2 |[X1 − k]) = k + 1/p.
p3
p
j=0
k=0
+∞ X
1 lin. 2
1
FET
transf.
1
b)
E(X
)
=
P(X
=
k)
=
E
X
+
= .
k
+
2
1
1
2.a) P[X=n] (Y = k) =
si 0 6 k 6 n, et 0 sinon.
p
p
p
n+1
k=1
n
La loi conditionnelle de Y sachant [X = n] est U([[1 ; n + 1]]) : E(Y | [X = n]) = .
c) Récurrence sur ` ...
2
+∞
X
n
E(X)
q
FET
Exercice 13.
E(Y) =
P(X = n) =
= .
2
2
p
R =nbre de rois dans la main de 10 cartes. R ,→ B (10; 2/27). Sachant [R = k], N suit
n=0
FPT
b) P(Y = k) =
+∞
X
(n + 1)q n p2
n=k
1
n+1
j=n−k
=
q k p2
+∞
X
q j = q k p. Cette loi est presque
j=0
géométrique, et on peut remarquer que Y + 1 suit la loi géométrique G(p) puisque
1
q
P(Y + 1 = k) = P(Y = k − 1) = q k−1 p, d’où E(Y + 1) =
et V(Y + 1) = 2 , et
p
p
1
q
q
finalement E(Y) = − 1 = et V(Y) = 2
p
p
p
Exercice 10.
1. Sachant [X = n], N suit la loi binomiale B(n, 1/10).
+∞
X
n
n
E(X)
FET
2. E(N|[X = n]) =
, E(N) =
P(X = n)
=
= 20 puisque X ,→ P(200).
10
10
10
n=0
3.
FPT
P(N = k) =
0+
+∞
X
n=k
4.
e−200
+∞
X
P(X = n)P[X=n] (N = k) =
n=0
n
200
n!
n
k
1
10
k 9
10
n−k
j=n−k
=
+∞
e−200 200k X 180j
e−20 20k
=
k
k!(10 ) j=0 j!
k!
donc N ,→ P(20). De façons analogue (en remplaçant 1/10 par 9/10), C ,→ P(180).
P([N = i] ∩ [C = j]) = P([X = i + j] ∩ [N = i]) = P(X = i + j)P[X=i+j] (N = i) =
i j
e−200 200i+j
i+j
1
9
e−20−180 20i 180j
×
= P(N = i)P(C = j)
=
(i + j)!
i
10
10
i!j!
Lycée Henri Poincaré
B (k; 1/6) : E(N|[R = k]) = k/6.
10
X
k
1
10
FET
E(N) =
P(R = k) = E(R) =
.
6
6
81
k=0
Exercice 14.
1. F ,→ B(3, 1/2),
L(Ω) = {−1, 0, 1}, P(L = −1) = P(F = 2) = 3/8,
P(L = 0) = P([F = 1] ∪ [F = 3]) = 3/8 + 1/8 = 1/2,
P(L = 1) = P(F = 0) = 1/8,
N(Ω) = {−1, 0, 1}, P(N = −1) = P(F = 3) = 1/8,
P(N = 0) = P([F = 0] ∪ [F = 2]) = 1/8 + 3/8 = 1/2,
P(N = 1) = P(F = 1) = 3/8.
2. Aspect espérance : E(L) = −1/4 < 0 < E(N) = 1/4, le sort de Monsieur M. est plus
favorable.
Aspect probabilités : P(L > 0) = 1/8, P(N > 0) = 3/8...
3. La loi conjointe se déduit de celle de F :
P(F = 0) = P((L, N) = (1, 0)) = 1/8
P(F = 1) = P((L, N) = (0, 1)) = 3/8
P(F = 2) = P((L, N) = (−1, 0)) = 3/8
P(F = 3) = P((L, N) = (0, −1)) = 1/8
et tout autre couple est impossible.
4. En s’appuyant sur les seuls couples possibles, X = L × N = 0, P(X = 0) = 1.
7/10
lo
Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
ÉCS2
5.
Cov(L, N) = E(LN) − E(L)E(N) = 0 − (−1/4)(1/4) = 1/16,
L2 et N2 suivent B(1/2) donc σ(L) = σ(M) = 1/2, d’où ρ(L, N) = 1/4.
Exercice 15.
Rappelons que X et Y indépendantes entraîne Cov(X, Y) = 0.
4.
Florilège.
109 312
783
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y) =
− 2 =
> 0, X et Y ont tendance à
64
32
10224
évoluer dans le même sens.
x
1/2
0
−1/2 −1 −3/2 −5/2
La loi de X − Y est :
P(X − Y = x) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32
P(X = Y) = P(X − Y = 0) = 1/4, P(X > Y) = P(X − Y = 1/2) = 1/2, P(X − Y <
0) = 1/4.
1.a) UV(Ω) = {0, 1} donc UV suit une loi de Bernoulli, de paramètre E(UV) (comme
pour toute loi de Bernoulli ...).
Si Cov(U, V) = 0, alors E(UV) = E(U)E(V) = pq et donc UV ,→ B(pq).
Exercice 17.
Donc P((U = 1) ∩ (V = 1)) = P(UV = 1) = pq = P(U = 1)P(V = 1).
x
0
1
2
3
[U = 1] et [V = 1] sont indépendants, donc (en utilisant les événements contraires !) 1. La loi de X est :
P(X = x) 1/8 1/2 1/4 1/8
[U = 1] et [V = 0] le sont aussi, ainsi que [U = 0] et [V = 1], et [U = 0] et [V = 0].
2. La loi de Y conditionnnée par X est donnée par les probabilités P[X=x](Y=y) :
U et V sont bien indépendantes.
X−a
Y−α
yx 0
1
2
3
b) Écrivons X(Ω) = {a, b} et Y(Ω) = {α, β}. Alors U =
et V =
suivent
b−a
β−α
0
1 1/4 1/2 1
des lois de Bernoulli (de paramètre P(X = b) et P(Y = β), mais c’est inutile).
2
0 1/2
0
0
1
Supposons Cov(X, Y) = 0. Alors Cov(U, V) =
Cov(X, Y) = 0.
3
0 1/4 1/2 0
(b − a)(β − α)
3.
La
loi
du
couple (X, Y) est obtenue par P((X, Y) = (x, y)) = P(X = x)P[X=x](Y=y) :
Donc par 1.a), U et V sont indépendantes, et du coup X = (b − a)U + a et Y =
(β − α)V + α le sont.
yx
0
1
2
3
2.a) E(XY) = E(X3 ) = E(X) car (−1)3 = −1, 03 = 0 et 13 = 1 entraîne X3 = X. Donc
Cov(X, Y) = E(X) − E(X)E(Y) = 0 car E(X) = 0.
0
2
3
b) P([X = 1] ∩ [Y = 0]) = 0 6= P(X = 1)P(Y = 0) = 1/9, donc X et Y ne sont pas
indépendantes.
3. Dès que des variables peuvent prendre plus de deux valeurs, non corrélées (i.e. covariance nulle) n’entraîne pas indépendantes.
Exercice 16.
1. Notons T le nombre de lancer(s) effectués.
ti
1
2
3
La loi de T est :
P(T = ti ) 1/2 1/4 1/8
La loi de X est :
xi
P(X = xi )
1/2
1/2
1
1/4
3/2
1/8
3.
1/8
0
1/8
1/8
0
0
x
P(XY = x)
0
1/2
2
1/4
3
1/8
6
1/8
y
0
2
3
P(Y = y) 1/2 1/4 1/4
E(X) = 11/8, E(Y) = 5/4, E(XY) = 13/8, Cov(X, Y) = −3/32
Et de Y :
4
1/16
5
1/16
2
1/16
5/2
1/16
yi
0
1
2
3
4
5
P(Y = yi ) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32
E(X) = 31/32, E(Y) = 31/32... espérance équitable !
x
0
1
3
6
10
25/2
La loi de XY est :
P(XY = x) 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/32
Lycée Henri Poincaré
1/8
1/4
1/8
On en déduit la loi de XY :
E(X2 ) = 21/8, V(X) = 47/64, E(Y2 ) = 13/4, V(Y) = 27/16, ρ(X, Y) = − √
1
141
Exercice 18.
1.a) L1 (Ω) = N∗ , ∀n ∈ N,
P(L1 = n) = P(P1 P2 . . . Pn Fn+1 ∪ F1 F2 . . . Fn Pn+1 ) =
La loi de Y est :
2.
1/8
0
0
E(L1 ) =
+∞
X
géo.
n(1/2)n =
n=1
1
1
1
+ n+1 = n
2n+1
2
2
1
1
×
=2
2 (1 − 1/2)2
b) ∀(i, j) ∈ (N∗ )2 ,
8/10
lo
Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
ÉCS2
P((L1 , L2 ) = (i, j)) =
P(P1 P2 . . . Pi Fi+1 . . . Fi+j Pi+j+1 ∪ F1 F2 . . . Fi Pi+1 . . . Pi+j Fi+j+1 ) =
1
1
1
+ i+j+1 = i+j
2i+j+1
2
2
c) L2 (Ω) = N∗ , ∀j ∈ N∗ ,
+∞
+∞
X
1 X 1 géo. 1
FPT
= j , L2 suit la même loi que
P(L2 = j) =
P([L1 = i] ∩ [L2 = j]) = j
2 i=1 2j
2
i=1
L1 , donc E(L2 ) = 2.
5.
i+1 j
b) P((L1 , L2 ) = (i, j)) = p q p + q p q = p
c) P(L2 = j) =
+∞
X
i=1
géo.
q +q
P((L1 , L2 ) = (i, j)) = q j p2
i+1
1
+ 0.
2i+1
(
+∞
+∞
X
3 X 1
3 1X 1
3 1
1
3
E(S) =
S = i) = +
i
= +
i
= +
−1 = .
4 i=2 2i+1
4 4 i=2 2i−1
4 4 (1 − 1/2)2
2
i=P
On retient pour la suite que
4.
1
1
+ pj q 2 = q j−1 p2 + pj−1 q 2
q
p
X(Ω) = N et P(X = k) = P(T − 1 = k) = P(T = k + 1) = 1/2 , X ,→ G(1/2).
E(T) = E(X + 1) = E(X) + 1 = 2 + 1 = 3, V(T) = V(X + 1) = V(X) = 2.
La pièce est équilibrée, donc S et F suivent la même loi, et E(S) = E(F).
E(T)
3
Comme S + F = T, E(S) + E(F) = E(T) et E(S) = E(F) =
= .
2
2
• (1, 1) : P((S, F) = (1, 1)) = P(T = 2) = 1/2,
• (i, 1) avec i > 2 : P((S, F) = (i, 1)) = P(P1 P2 . . . Pi Fi+1 ) = 1/2i+1 ,
• (1, j) avec j > 2 : P((S, F) = (1, j)) = P(F1 F2 . . . Fi Pj+1 ) = 1/2j+1 ,
• et pour tout autre couple (i, j), P((S, F) = (i, j)) = 0.
Lycée Henri Poincaré
+∞
X
i
1
3
= .
2i+1
4
ijP((S, F) = (i, j)) =
+∞
X 1
1 X 1
+
i i+1 +
j j+1 + 0 = 2.
3 i=2 2
2
j=2
3 3
−1
Cov(S, F) = 2 − × =
< 0 : lorsque S est grande, F est petite, et réciproque2 2
4
ment... sans surprise puisque S > 2 ⇒ F = 1 et F > 2 ⇒ S = 1...
p
Exercice 20.
1. • En sommant d’abord en j ...
+∞
+∞
i X
X
e−λ λi X i j
e−λ λi (α + 1 − α)i
e−λ λi
pi,j =
pi,j =
α (1 − α)i−j =
=
i! j=0 j
i!
i!
j=0
j=i


+∞
+∞
+∞
X
X
X
λi

pi,j  =
e−λ = e−λ eλ = 1
i!
i=0
j=0
i=0
• En sommant d’abord en i ...
+∞
+∞
+∞
X
X
e−λ αj λj X ((1 − α)λ)i−j
pi,j =
pi,j =
j!
(i − j)!
i=0
i=j
i=j
Exercice 19.
1. T(Ω) = [[2; [[, P(T = k) = P(P1 P2 . . . Pk−1 Fk ∪ F1 F2 . . . Fk−1 Pk ) = 1/2k−1 .
+∞
X
1
géo.
E(T) =
k(1/2)k−1 =
−1=3
(11/2)2
3.
E(SF) =
X
i,j
E(L2 ) = p ×
2.
+∞
1 X 1 géo. 1 1
3
1 X
P((S, F) = (i, j)) = +
+
+ ×2= ,
=
2 j=2
2 j=1 2j+1
2 8
4
+∞
2
k=2
∗
P((S, F) = (i, j)).
• pour i > 2, P(S = i) =
6.
1
1
+ q 2 × 2 = 2, indépendante de p et q...
2
p
q
d) P([L1 = 1] ∩ [L2 = 1]) = P(L1 = 1)P(L2 = 1) ⇔ p2 q + q 2 p = 2pq(p2 + q 2 )
⇔ p + q = 2(p2 + q 2 ) (en simplifiant par pq)
⇔ 1 = 2(p2 + 1 − 2p + p2 ) ⇔ 4p2 − 4p + 1 = 0 ⇔ 4(p − 1/2)2 = 0 ⇔ p = 1/2, ce qui
est exclu. Donc L1 et L2 ne sont pas indépendantes.
géo.
+∞
X
+∞
• P(S = 1) =
i=2
a) P(L1 = i) = pi q + q i p
1
1
p q
géo.
E(L1 ) = pq ×
+ pq ×
= +
(1 − p)2
(1 − q)2
q
p
i j
FPT
S(Ω) = 1 et, ∀i ∈ N∗ , P(S = i) =
j=1
d) ∀(i, j) ∈ (N∗ )2 , P((L1 , L2 ) = (i, j)) = P(L1 = i)P(L2 = j), donc L1 et L2 sont
indépendantes.
2. Les raisonnements sont les mêmes, seuls les calculs changent.
i j
Florilège.
k=i−j
=
e−λ+λ−αλ (αλ)j −α
e
=
j!
e−αλ
j
(αλ)
j!
! +∞
+∞ X
+∞
X
X
(αλ)j
pi,j =
e−αλ
= e−αλ eαλ = 1
j!
j=0
i=0
j=0
k
2.
FPT
+∞
X
FPT
j=0
+∞
X
P(X = i) =
P(Y = j) =
i=0
9/10
pi,j =
e−λ λi
donc X ,→ P(λ).
i!
pi,j =
e−αλ (αλ)j
donc Y ,→ P(αλ).
j!
lo
Variables Aléatoires Réelles Discrètes.
ÉCS2
3.
4.
Florilège.
P(X, Y) = (1, 2)) = 0 6= P(X = 1) × P(Y = 2).
+∞
i
X
X
•
ijpi,j =
ijpi,j existe car est finie,
j=0
+∞
X
ijpi,j =
j=0
j=0
ie
i
λ X i j
ie−λ λi
ie−λ λi
i2 αe−λ λi
α (1 − α)i−j =
j
E(Z) =
× iα =
i! j=0 j
i!
i!
i!
−λ i
où Z ,→ B(i, α)
• Sommons maintenant sur i...
i2 αe−λ λi
= αi2 P(X = i) est le terme général de la série convergente (car V(X)
i!
existe) donnant E(X2 ) = V(X) + E(X)2 = λ + λ2 = λ(λ + 1), donc
+∞ X
+∞
X
ijpi,j = αλ(λ + 1), E(XY) existe et vaut αλ(λ + 1).
i=0 j=0
5.
√
αλ
Cov(X, Y) = αλ(λ + 1) − λαλ = αλ, ρ(X, Y) = √ √
= α.
λ αλ
Lycée Henri Poincaré
10/10
lo