Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin TD 6 - Couples et suites de variables aléatoires Exercice 1. La loi conjointe du couple (X, Y ) est donnée par : HH Y H HH X 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 2 3 1 p 0 p 2 p 0 p 3 0 2p 0 Déterminer p. Déterminer les lois marginales. X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer la covariance du couple (X, Y ). Calculer P (X = Y ) Calculer P (X < Y ) Déterminer la loi de Z = X + Y . Exercice 2. On dispose d'un dé cubique classique équilibré et d'une pièce équilibrée. On lance le dé et on observe son résultat : Si celui-ci est un 6, on lance la pièce deux fois. Dans tous les autres cas, on lance la pièce une seule fois. On note X la variable aléatoire égale au résultat du dé. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de piles apparus au cours de cette expérience. 1. reconnaître la loi de X et donner son espérance et sa variance. 2. Déterminer la loi du couple (X, Y ). (on donnera cette loi sous forme d'un tableau à double entrée et on justiera précisément le calcul d'au moins 3 valeurs de ce tableau ). 3. En déduire la loi marginale de Y . 4. les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 5. Calculer la covariance de X et Y . : loi d'un deuxième temps d'attente On lance un dé indéniment ; X est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier "6". Z est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux "6". 1. Méthode 1 : loi du deuxième temps d'attente obtenue comme loi marginale (a) Déterminer la loi du couple (X, Z). (b) En déduire la loi de Z . 2. Méthode 2 : loi du deuxième temps d'attente comme somme de temps d'attentes On note Y le nombre de lancers nécessaires, après l'obtention du premier "6", pour obtenir le deuxième "6". (a) Justier que X et Y sont indépendantes et donner leurs lois. (b) Exprimer Z en fonction de X et de Y . Retrouver alors la loi de Z et calculer son espérance et sa variance. Exercice 3. 1 Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin Exercice 4. Soit un dé équilibré comprenant 1 face blanche et 5 faces rouges. On lance ce dé indéniment et on s'intéresse aux longueurs des séries de B ou R : par exemple, si les lancers donnent les résultats BBRRRRRRBBBRR... alors la première série (BB ) est de longueur 2 et la deuxième série (RRRRRR) est de longueur 6. Soient X1 et X2 les variables aléatoires égales aux longueurs de la première et deuxième série. 1. Déterminer la loi de X1 . Montrer que X1 admet une espérance et la calculer. 2. Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ). 3. En déduire la loi de X2 . 4. Montrer que X1 et X2 ne sont pas indépendantes. Exercice 5. n boîtes sont numérotées de 1 à n. La boîte no k contient k boules numérotées de 1 à k . On choisit au hasard une boîte, puis une boule dans cette boîte. Soit X et Y les numéros de la boîte et de la boule obtenus. 1) Déterminer la loi de X et la loi conjointe du couple (X, Y ). 2) Calculer P (X = Y ). on laissera le résultat sous forme d'une 3) En déduire la loi de Y et son espérance. Pour le calcul de l'espérance, on utilisera l'égalité suivante : . somme n P n P k=1 i=k ak,i = n P i P ak,i i=1 k=1 Exercice 6. Un individu joue avec une pièce truquée, pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est p ∈]0; 1[, de la façon suivante : -Il lance la pièce jusqu'à obtenir pile pour la première fois. On note N la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. - Si n lancers ont été nécessaires pour obtenir pour la première fois pile, alors il relance n fois sa pièce. On appelle alors X le nombre de piles obtenu au cours de ces n lancers. On admet que +∞ P n=k 1. 2. 3. 4. n k xn = xk (1−x)k+1 et on pourra noter q = 1 − p. Déterminer la loi de N . Pour tout n ∈ N∗ , déterminer la loi conditionnelle à [N = n] de X . En déduire la loi de X . On considère B et G deux VAR indépendantes suivant respectivement une loi de Bernoulli B(1, p0 ) et une loi géométrique G(p0 ). (a) Déterminer la loi de la VAR BG. (b) Montrer qu'il existe p0 (à déterminer ) tel que X a la même loi que la variable BG. (c) En déduire E(X). Exercice 7. On admet que le nombre N de têtards issus des oeufs pondus en mars et avril d'une année par les grenouilles vertes d'un étang suit une loi de Poisson de paramètre λ. Ces têtards sont soumis à des prédateurs nombreux et voraces (poissons, larves de libellules...), et on admet que chacun d'entre eux a la probabilité p, hélas très faible, de parvenir à son développement complet, et qu'ils se développent (ou sont dévorés) de façon indépendante. On note X le nombre de têtards qui parviennent à leur développement complet et se transforment ainsi à l'automne en une mignonne petite grenouille verte d'environ 2cm de long, et Y le nombre de ceux qui meurent avant. On a ainsi, N = X + Y . 1. Déterminer pour tout couple (i, k) d'entiers naturels, la probabilité conditionnelle P(N =k) (X = i). On distinguera les cas i≤k et i > k. 2. En déduire que X suit une loi de Poisson de paramètre λp. on fera apparaître, au cours du calcul, une série exponentielle de paramètre x = λ(1 − p). 3. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y . 4. Pour tout couple (i, j) d'entiers naturels, calculer la probabilité P ((X = i) ∩ (Y = j)). 5. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? 2 Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin Exercice 8. Un secrétaire envoie un courrier nécessitant une réponse à n contacts (n ≥ 2). On admet que les contacts répondent à tout message de façon indépendante et avec la probabilité p, (p ∈]0, 1[). On note X le nombre de réponses reçues. La secrétaire envoie alors un message de rappel aux n − X contacts qui n'ont pas répondu. On note Y le nombre de réponses à ce deuxième message et Z = X + Y le nombre total de réponses. 1. Donner la loi de X , son espérance et sa variance. 2. Déterminer Z(Ω). Calculer P (Z = 0) et montrer : P (Z = 1) = npq 2n−2 (1 + q), où q = 1 − p. 3. Calculer, ∀i ∈ J0, nK, et ∀j ∈ J0, n − iK, P(X=i) (Y = j). 4. Justier que ∀k ∈ J0, nK, P (Z = k) = 5. Après avoir vérié : p(1 + q). n i n−i k−i = n k k P i=0 k i , P ((X = i) ∩ (Y = k − i)). montrer que Z suit la loi binomiale de paramètres n et : loi du min, loi du max Soit p ∈]0, 1[ et q = 1 − p. On considère deux variables aléatoires X et Y dénies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P ), indépendantes, et suivant toutes les deux la même loi géométrique de paramètre p. 1. Calculer P (X ≤ k) et P (X > k), pour tout k ∈ N. 2. On note Z = sup(X, Y ). (a) Calculer P (Z ≤ k), ∀k ∈ N. (b) Prouver l'égalité pour tout k ∈ N∗ , P (Z = k) = P (Z ≤ k) − P (Z ≤ k − 1). (c) En déduire P (Z = k) , ∀k ∈ N∗ . 3. On note T = inf (X, Y ). (a) Calculer P (T > k), ∀k ∈ N. (b) En déduire P (T = k) , ∀k ∈ N∗ . (c) Reconnaître la loi de T . Exercice 9. Exercice 10. Soit n > 0 ; on considère n personnes qui se répartissent au hasard dans trois hôtels H1 , H2 et H3 . Pour tout i ∈ J1; 3K, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant choisi l'hôtel Hi . 1. Déterminer la loi des trois variables aléatoires X1 , X2 et X3 , leurs espérances et leurs variances. 2. Déterminer la loi de X1 + X2 , son espérance et sa variance. 3. Calculer la covariance de X1 et X2 puis leur coecient de corrélation linéaire. Exercice 11. Soit (Xi )i≥1 une suite de v.a.r. de Bernoulli mutuellement indépendantes, de même paramètre p. Pour tout i ∈ N∗ , on pose Yi = Xi Xi+1 . 1. Déterminer la loi de Yi . Etudier l'indépendance de Yi et Yj , (i 6= j ). 2. Soit Sn = n P Yi . Calculer l'espérance et la variance de Sn . i=1 3