Series numeriques-20..

MP – 2012-2013
Séries à termes réels ou complexes
1. Déterminer la nature des séries suivantes :
5  3n
i.  n
2
n0 4  n
1  n2
iv. 
n!
n0
vii.
n!
n
n0
x.
viii.
n
2n
n2
n0
 Arccotan n
2
xi.
n0
ch / n

n 1
 ln cos / n
xiv.
1
n
xvi.  ln
1
n 1
1  tan
n
xvii.
xiii.
n2
n 2  5n  1
iii.  [ 2
]
n 1 n  4n  1
n!
vi.  n ; a  0
n 0 a
1
1
ii.  ln n ln(1  ) ln(1  2 )
n
n
n 1
2n
v.  Arcsin
4n 2  1
n 1
n 1
n
ix.
n
n1
1
n 1
xii.
1  tan
[ln
n 1
n 1
3
2
3
xv.
1
1
- ln sin
]
n
n
i.

n0
3. Soit
1
xx.

n 1 n
n 1
n
ii.
n 1
x sin x e  nx .
et f n : x
i. Etudier l’existence de
ii. Etudier la série
I
n0
4. Nature de
 (1  
n 1
5. Nature de

In  
n

0
f n ( x)dx et la calculer.
.
ln n n
) .
n
1  1n
e ..

n 1 n
6. i. Etudier la fonction
:x
ii. Existence et calcul de
iii. Nature de la série
xn
n

x e x .

1
 ( x)dx .
1
 ( n ) .
n 1
n2
iii.

n2
1
n
 (- 1)
. Déterminer la nature des séries :
x n ln n
n 2
n3  2 n  3ln n
2.4....2n
nn
 (n sin n )
xviii.
p

n(n  1)
n 1
ln(n  1)
xix. [
- 1] ; p 
ln n
n1
2. x 

n1
 Arccos n
n0

x n1
.
nx n  ln n
n
nn
1
n sin .
n
iv. Nature de la série
 (1)
n
1
n
( ) .
n 1
n
7. Nature de la série
 ( n  1 )n
8. Nature de la série
n2
9. Nature de la série
(ln n) n
.

ln n
n 1 n
2n
10. Nature de la série
1
2
n
(n

2
.
.
n
 1) .
n 1
11. Convergence et somme de la série
1
 n(2n  1)
.
n 1
12. Convergence et somme de la série
1
 (2n  1)2n(2n  1 .
n 1
13. Convergence et somme de la série
n2 (n  1)2
.

n!
n0
1 2
1 n2  6 , déterminer la somme de la série

14. Sachant que
15. i. Montrer que, si la série à termes positifs
ii. Supposons que, pour tout entier n,
16. Convergence et somme de la série
u
n
1
 n (n  1)
n 1
2
n 1
2
.
un
 1 u
converge, il en est de même de la série
u n  1 . Montrer que les séries
n
2
u
n
et
un
 1 u
sont de même nature.
n
1
.
 2in  2
n3  1
).
n2  1
n0
cos(ln n)
18. Nature de la série 
.
n
n 1
17. Nature de la série
 sin(
20. Calculer, pour n non nul, tan[Arctan(n  1)  Arctan(n  1)] .
En déduire la somme de la série
2
 Arctan( n
n 1
2
).
1
1
1

 ... 
 ln(ln n) . Etudier la série
2 ln 2 3ln 3
n ln n
En déduire la limite de la suite ( S n ) n  2 .
21. On pose : S n 
22. Montrer que la série
1
 (2n  1) 3
la somme de la série à 10
2 n 1
3
converge. Démontrer que Rn 
près.
( n 1)
23. Etudier la nature de la série de terme général
 
n
e  x sin x dx .
S
n 3
n
.
n
 Sn 1 .
9
un 1 et calculer
8
24. Montrer que, si deux séries à termes complexes
alors la série
 (u
n
n
et
v
n
sont telles que
2
n
et
(1)n 1
par elle-même fournit une série divergente. .

n
n 1

x2n
avec x réel.
n 0
n 0 (2n)!
2
Montrer que, pour tout réel x, 2[ F ( x)]  f ( x)  1 .
26. Soit F ( x) 
u
 v n ) possède la même propriété.
25. Montrer que le produit de la série

u
1
x
 (2n)!( 2 )
27. Etudier la nature de la série
2n
et

3
f ( x)  
n 3  2n  n 2  1 .
n0

ch( )
n ].
28. Pour  ]  2 , 2 [ , étudier la nature de la série  ln[

n 1
cos( )
n
1
n
0

29. Pour

, étudier la nature de la série de terme général

30. Pour

, étudier la nature de la série de terme général ( n sin
(Arcsint) dt .
1 n
) .
n
v
2
n
convergent,