Series numeriques-20..

MP – 2012-2013
Séries à termes réels ou complexes
1. Déterminer la nature des séries suivantes :
i.
2
0
53
4
n
n
nn
ii.
2
1
11
ln ln(1 )ln(1 )
nnnn
iii.
2
2
2
1
51
[]
41
n
n
nn
nn
iv.
2
0
1!
n
n
n
v.
2
1
2
Arcsin 41
n
n
n
vi.
0
!;0
n
n
na
a
vii.
0
!
n
n
n
n
viii.
0
22n
n
n
n
ix.
1n
3
( 1)
2 3ln
nn
n n n
x.
2
0Arccotan nn
xi.
1
1
1
n
nn
xii.
1n
2.4....2
nn
n
xiii.
1
ch /
ln cos /
n
n
n
xiv.
3
3
0
1
Arccos 2
n
n
n
xv.
2
1
1
( sin )n
nnn
xvi.
1
1
1 tan
ln 1
1 tan
n
n
n
xvii.
1
11
[ln - ln sin ]
nnn
xviii.
1
1
n
nnn
xix.
[ln(n1)
lnn - 1]
n1
p;p
xx.
1
1
(- 1) sin
nn
nnn
.
2.
x
. Déterminer la nature des séries :
i.
0
ln
2
n
n
xn
n
ii.
1
n
n
x
n
iii.
1
2ln
n
n
n
x
nx n
.
3. Soit
n
et
: sin e nx
n
f x x x 
.
i. Etudier l’existence de
0()
nn
I f x dx
et la calculer.
ii. Etudier la série
0n nI
.
4. Nature de
1
ln
(1 )n
n
n
n
.
5. Nature de
1
1
1en
nn
..
6. i. Etudier la fonction
:e
x
xx
.
ii. Existence et calcul de
1()x dx
.
iii. Nature de la série
1
1
()
nn
.

iv. Nature de la série
1
1
( 1) ( )
n
nn
.
7. Nature de la série
2
()
1n
n
n
.
8. Nature de la série
22n n
n
.
9. Nature de la série
ln
1
(ln )n
n
n
n
n
.
10. Nature de la série
2
1
1
( 1)
n
n
n
.
11. Convergence et somme de la série
1
1
(2 1)
nnn
.
12. Convergence et somme de la série
1
1
(2 1)2 (2 1
nn n n
.
13. Convergence et somme de la série
22
0
( 1)
!
n
nn
n
.
14. Sachant que
2
2
1
16n
, déterminer la somme de la série
22
1
1
( 1)
nnn
.
15. i. Montrer que, si la série à termes positifs
n
u
converge, il en est de même de la série
1n
n
uu
.
ii. Supposons que, pour tout entier n,
1
n
u
. Montrer que les séries
n
u
et
1n
n
uu
sont de même nature.
16. Convergence et somme de la série
2
1
1
2i 2
nnn
.
17. Nature de la série
3
2
0
1
sin( )
1
n
n
n
.
18. Nature de la série
1
cos(ln )
n
n
n
.
20. Calculer, pour n non nul,
tan[Arctan( 1) Arctan( 1)]nn  
.
En déduire la somme de la série
2
1
2
Arctan( )
nn
.
21. On pose :
1 1 1
... ln(ln )
2ln2 3ln3 ln
n
Sn
nn
. Etudier la série
1
3nn nSS
.
En déduire la limite de la suite
2
()
nn
S
.
22. Montrer que la série
21
1
(2 1)3 n n
converge. Démontrer que
1
9
8
nn
Ru
et calculer
la somme de la série à
3
10
près.
23. Etudier la nature de la série de terme général
( 1) e sin nx
nxdx
.

24. Montrer que, si deux séries à termes complexes
n
u
et
n
v
sont telles que
2
n
u
et
2
n
v
convergent,
alors la série
()
nn
uv
possède la même propriété.
25. Montrer que le produit de la série
1
1
( 1)n
nn
par elle-même fournit une série divergente. .
26. Soit
2
0
1
( ) ( )
(2 )! 2 n
n
x
Fx n
et
2
0
() (2 )!
n
n
x
fx n
avec x réel.
Montrer que, pour tout réel x,
2
2[ ( )] ( ) 1F x f x
.
27. Etudier la nature de la série
332
021 nn n n
.
28. Pour
22
] , [
, étudier la nature de la série
1
ch( )
ln[ ]
cos( )
n
n
n
.
29. Pour , étudier la nature de la série de terme général
1
n
0(Arcsint) dt
.
30. Pour , étudier la nature de la série de terme général
1
( sin )n nn
.