éléments d`analyse : rappels sur les fonctions

ÉLÉMENTS D'ANALYSE : RAPPELS SUR LES FONCTIONS
Séance 1
NOTION DE FONCTION
Le terme de fonction a beaucoup évolué selon les époques et recouvre aujourd'hui plusieurs domaines
mathématiques. Pour ce qui nous intéresse, on prendra la définition formalisée par Cauchy (1789-1857), on
considérera que :
Une fonction f d'un ensemble X dans un ensemble Y est une loi, qui, à chaque élément de X, associe un et un seul
élément de Y. On note :
f:X→Y:x→y
[Attention, ceci bien qu'étant une signification courante, ne recouvre pas le champ de toutes les fonctions. Bien
entendu, des fonctions peuvent avoir plus de variables permettant de travailler sur plus de dimensions, mais elles
peuvent être aussi d'une autre nature cf. par exemple les hystérésis (exemple de l'eau qui bout)].
Une fonction nécessite souvent de définir des domaines sur lesquels elle peut s'appliquer. (Exemples x2, √x et 1/x).
L'ensemble des points du plan (x,y) dont les coordonnées satisfont y = f(x) forme le graphe de la fonction f. (ex. x2).
Quelques relations simples entre une fonction et son graphe (illustration à partir de la fonction x2 manipulée avec
l'outil numérique permettant les tracés de graphes).
Translation verticale :
g(x) = f(x) + c
Translation horizontale :
g(x) = f(x + c)
Dilatation ou contraction verticale :
g(x) = c f(x)
Dilatation ou contraction horizontale : g(x) = f(c x)
Une fonction sera dite paire si pour tout x, on a :
f(-x) = f(x)
Une fonction sera dite impaire si pour tout x, on a : f(-x) = - f(x)
ex. cos (x)
ex. sin (x)
Une fonction composée de f et g est la fonction f o g. Elle est définie par (f o g)(x) = f(g(x)). On évalue d'abord g puis
ensuite f.
Une fonction réciproque de f (ou fonction inverse de f) est une fonction que l'on note f-1 : Lorsque à chaque élément
y il correspond une et une seule valeur en x. (Ex. de fonction non réciproque x2).
Une fonction affine engendre une droite sur un graphe. Toute droite, toujours dans un plan à deux dimensions, a
une équation du type : y = mx + p. Quand p = 0, la fonction est dite linéaire. m est appelé la pente de la droite.
Exemple des panneaux routiers indiquant l'inclinaison des routes. Une route dont l'inclinaison est de
7,5 % est une route pour laquelle l'altitude varie de 7,5 m lorsque l'on a un déplacement horizontal de
100 m. Les panneaux routiers indiquent les pentes, c'est-à-dire la valeur m. Si on veut l'angle
correspondant, on est obligé de passé par arctan (7,5 / 100). [Passer par le triangle de Pythagore].
DEA Ambiances Architecturales et Urbaines > Plan du cours > [email protected] > Éd. du 21/10/02
1
DÉRIVATION
Le calcul différentiel et intégral est né au XVIIe siècle avec les travaux de Newton (1642-1727) et de Leibniz (16441726). Il a été amené pour résoudre des problèmes actuellement élémentaires :
•
Trouver la droite tangente en un point d'une courbe d'équation donnée
•
Trouver la vitesse instantanée d'un mobile se déplaçant le long d'une droite suivant une loi donnée.
Donc, un mobile (ponctuel) qui se déplace le long d'une droite, si x(t) désigne la distance à l'origine du mobile au
temps t, sa vitesse moyenne durant l'intervalle de temps [t0, t0 + h] est donnée par le quotient (distance / temps) :
(x(t0 + h) - x(t0)) / h. Plus h est petit, plus le quotient est proche de la vitesse instantanée du mobile au temps t0. Le
quotient ne peut pas exister quand h = 0 (division par zéro). Mais on peut chercher la limite de ce quotient quand h
tend vers zéro. En généralisant à tous les instants on obtient : [graphe] - (principe de la cinématique)
vitesse (t) = lim
h →0
x(t 0 + h) − x(t0 )
h
De façon identique, on regarde le problème de la tangente. Si on s'intéresse à la tangente au point 0, on regarde en
h, point voisin, ce qui se passe. La pente de la droite passant par les points (0, f(0)) et (h, f(h)) est donné par le
quotient (f(h) - f(0)) / h. Plus h est petit, plus la pente que l'on obtient est proche de la tangente au point 0. En
généralisant à tous les points, on obtient : [graphe]
f (x + h) − f (x)
pente (x) = lim
h →0
h
Cette limite, c'est le nombre dérivé de f en x. Si f est dérivable en tous les points de son domaine, on dit que f est
dérivable et l'on définit sa fonction dérivée par f'.
f (x 0 + h) − f (x0 )
f(x) − f (x 0)
f ' (x0 ) = lim
= lim
h→0
h→0
h
x −x0
On peut noter la dérivée de f en x0 de plusieurs façons :
f ' (x0 ) (Newton)
et
df
d
(x 0) o u f (x0 ) (Leibniz)
dx
dx
La dérivée d'une fonction est une fonction que l'on peut à nouveau dériver, et l'on obtient la dérivée seconde, etc.
(exemples du principe de notation)
Théorème : si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. [L'inverse n'est pas toujours vrai. Exemple, la fonction
f(x) = ıxı est continue en 0, mais n'y est pas dérivable, voir aussi les point anguleux (points admettant deux demitangentes non alignées), les point de rebroussement]
Le nombre dérivé de f en x0, donne le taux instantané de variation de y par rapport à la variation de x. La pente de
la tangente représente donc le taux instantané de variation. Exemples courants :
y
x
taux instantané de variation de y par rapport à x
Espace
Vitesse
Énergie
Angle
Charge électrique
Naissance
Volume
Longueur
Temps
Temps
Temps
Temps
Temps
Temps
Temps
Température
Vitesse
Accélération
Puissance
Vitesse angulaire
Intensité de courant
Taux de natalité
Débit
Coefficients de dilatation
[Exercice : on peut trouver l'équation de la tangente au point x0 connaissant f'(x0)]
Pour dériver des fonctions élémentaires, nous avons besoin de connaître quelques opérations de bases et quelques
fonctions dérivées. Le tout est regroupé dans un formulaire joint. Cf. aussi le site http://www.ifrance.com/mathsexpress/solver/index.htm pour obtenir et calculer automatiquement les dérivées et les intégrales d'une fonction.
(outil Java script). [Exercice de manipulation]
Correspondance entre la valeur de la dérivée en un point et la caractéristique graphique correspondante. Dérivée
nulle, dérivée infinie, dérivée positive, dérivée négative. [Graphes en exemples]
DEA Ambiances Architecturales et Urbaines > Plan du cours > [email protected] > Éd. du 21/10/02
2
Théorème de Rolle (1652-1719) : (théorème de base du calcul infinitésimal)
Soit f une fonction réelle définie et continue sur un intervalle fermé [a,b] de ; si f est dérivable sur
l'intervalle ouvert ]a,b[ et si f(a) = f(b), alors il existe un réel c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
[Graphe] Le théorème de Rolle s'interprète graphiquement par le fait qu'il existe au moins un point c du graphe f ou
la tangente est parallèle à l'axe des x. (Autrement dit un point c ou la fonction possède un extremum).
Il s'en suit le théorème des accroissements finis :
Soit f une fonction réelle définie et continue sur un intervalle fermé [a,b] de ; si f est dérivable sur
l'intervalle ouvert ]a,b[ et si f(a) = f(b), alors il existe un réel c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b-a).
Ni le théorème de Rolle, ni celui des accroissements finis ne donnent d'indications sur la localisation de la valeur c.
Nous savons juste que cette valeur existe.
Exemple avec les courbes de sensibilité spectrale de l'œil humain [commentaires] :
L'œil ne présente pas la même sensibilité dans toutes les longueurs d'onde. Une étude statistique réalisée par la CIE a permis de déterminer la
sensibilité spectrale moyenne de l'œil humain. La courbe obtenue [moyenne !], appelée courbe de visibilité, est intégrée dans certains appareils
de mesure, afin qu'ils analysent les couleurs de la même manière que l'homme les perçoit.
Notion de dérivées partielles :
On utilise les dérivées partielles pour étudier les fonctions numériques de deux variables définies sur 2, c'est-àdire, une fonction f qui a tout point (x,y) de 2 associe un nombre réel noté f(x,y). L'idée est de se ramener au cas
d'une fonction d'une variable en fixant l'une des deux variables x ou y.
Soit ( x0,y0) un point de 2. On appelle dérivée partielle de f par rapport à x au point (x0,y0) et on note
f
f la fonction de
(x 0, y 0) la dérivée au point x0 de la fonction d'une variable x → f(x0,y0). On note
x
x
f
deux variables ainsi définie. On fait de même pour
.
y
INTÉGRATION
L'intégrale d'une fonction entre les bornes a et b donne l'aire sous-tendue par la fonction entre a et b. Cette aire
peut être calculé au moyen d'une primitive de f.
Définition d'une primitive d'une fonction numérique f définie sur un intervalle I de
:
Fonction numérique g définie et dérivable sur I dont la dérivée g' est égale à f. Exemple une primitive de
x → x2 sur est x → x3 / 3.
Deux primitives quelconques d'une même fonction f diffèrent d'une constante.
Toute fonction f définie et continue sur I admet une primitive F définie par :
b
F(x) =
∫ f(t)dt où a est un réel fixé de I et où x ∈ I. (t est une variable muette)
a
Les primitives permettent de calculer de nombreuses intégrales : si F est une primitive de f continue sur
I, on a pour tous réels a et b de I tels que a < b :
b
∫ f (x)dx = F(b) − F(a) se note aussi[ F(t)]
b
a
a
On n'a pas toujours la chance de connaître ou de pouvoir trouver une primitive explicite. Toutes les fonctions ne
sont pas toutes primitivables. [Voir le formulaire pour celles qui le sont].
DEA Ambiances Architecturales et Urbaines > Plan du cours > [email protected] > Éd. du 21/10/02
3
Lorsque l'on ne connaît pas la primitive explicite, on peut quand même obtenir les valeurs numériques à partir de
x
l'intégrale. Soit a un point de I, l'unique primitive de f s'annulant au point a est la fonction x a f (t)dt . Cet
∫
a
énoncé permet d'étudier les propriétés des primitives d'une fonction lorsque l'on ne sait pas la calculer
explicitement, en utilisant les ressources du calcul intégral, notamment la croissance, l'intégration par partie, les
changements de variables. [Partie non traitée].
Interprétation géométrique :
Aire algébrique définie par le graphe entre a et b :
b
∫f
[cf. Graphe]
a
Découpage par intervalles : Somme inférieure
[cf. Graphe]
Découpage par intervalles : Somme supérieure
[cf. Graphe]
Aire géométrique définie par le graphe entre a et b :
b
∫
[cf. Graphe]
f
a
Quelques règles de calcul :
Relation de Chasles (1793-1880) : ∀ a,b,c ∈ I :
b
∫ f (t)dt =
a
b
Relation de linéarité : [ f (t) + g(t)]dt =
∫
a
b
∫
a
c
∫
a
c
b
b
f(t)dt + ∫ g(t)dt
b
f(t)dt + ∫ f (t)dt
et
a
∫ [ f (t)]dt =
a
b
∫ f (t)dt
a
FONCTIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES
Fonction logarithmique
C'est à John Néper que l'on doit l'invention du logarithme. (ou Napier - 1550-1617).
Amorce : un nombre x élevé à une puissance n donne un résultat y : y = xn. La puissance n représente le
logarithme de y en base x.
Exemples :
Définition :
103 = 1000
Le logarithme de 1000 en base 10 est 3
24 = 16
Le logarithme de 16 en base 2 est 4
la fonction logarithme de base a est la fonction qui a x associe son logarithme en base a.
Logaax = x
Le logarithme est dit décimal si a = 10 [on écrit log (x) pour log10 (x)]
On remarque que : log 1 = 0
log 10 = 1
log 10n = n
Le logarithme est dit népérien si a = e [on écrit Log (x) ou ln (x) pour loge (x)]
e = 2,718 281… nombre de Néper on l'obtient par ln (e) = 1
On appelle fonction logarithmique népérien la primitive définie sur ]0,∞[ de la fonction x → 1/x et qui s'annule pour
x = 1. On a donc (ln x)' = 1/x et ln 1 = 0. [cf. Graphe]
Opération de calcul :
loga 1 = 0
loga (xy) = loga (x) + loga (y)
loga (xy) = y loga (x)
loga (x/y) = loga (x) - loga (y)
DEA Ambiances Architecturales et Urbaines > Plan du cours > [email protected] > Éd. du 21/10/02
4
Les logarithmes sont utilisés :
−
Dans les calculs, où ils permettent de remplacer les multiplication et les divisions par des additions et des
soustractions.
−
Dans certaines représentations graphiques de lois mathématiques ou physiques (abaques).
Par exemple, l'emploi d'une échelle logarithmique permet de remplacer certaines courbes par des
droites. Si on prend le cas de la courbe y = x2 (parabole), on peut la représenter par l'expression
log y = 2 log x. Maintenant, si on utilise un graphique gradué logarithmiquement (c'est-à-dire Y = log y et
x = log x), la courbe représentative est alors une droite d'équation Y = 2 X. [cf. Graphe]
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie comme la réciproque de la fonction logarithme.
y = ex ⇔ ln y = x
y = 10x ⇔ log y = x
Plus généralement, quel que soit a>0, quel que soit x réel on a :
ax = ex ln a
c'est la fonction exponentielle de base a
Opération de calcul :
e
x+y
=e e
x y
−1
e = 1/ e
x
(e ) = e
x n
nx
a v e c n ∈Z
[Exemple de l'échiquier et des grains de riz]
APPLICATION À L'ACOUSTIQUE
En acoustique, on mesure l'intensité d'un son en bels ou en décibels (1dB = 10-1 bel). L'intensité d'un son en décibel
est donnée par la relation suivante :
I = 1 0 l o g10 (
J
)dB
J0
J est la puissance acoustique du son (en W.m-2) et J0 est la plus faible puissance audible par un humain à une
fréquence de 1 kHz (J0 = 10-12 W.m-2). Cette définition est telle que la plus faible puissance audible par un être
humain est égale à 0 dB. La gamme d'intensité perceptible à l'oreille humaine va de 0 dB à 120 dB, ce qui
correspond alors à un seuil de douleur.
On a l'habitude de parler de niveau sonore en lien avec une pression exprimée en Pascal.
Niveau sonore L p = log10 (
P2
) bel
P02
−5
a v e cP0 = 2.10 Pa
⇒
L p = 1 0 l o g10 (
P2
) décibel
P02
[Exercice sur la puissance sonore]
[Exercice sur les niveaux de pression acoustique]
DEA Ambiances Architecturales et Urbaines > Plan du cours > [email protected] > Éd. du 21/10/02
5