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1. Rappels sur les barycentres :
Tous les résultats énoncés dans ce paragraphe (sauf mention spéciale) seront valables que l’on
soit dans le plan ou dans l’espace.
1.1. Barycentre de n points de l’espace : _______
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Soient
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
n points pondérés tels que
0......
21  n
mmm
.
Alors il existe un point G unique vérifiant :
 0.....
2211  nn GAmGAmGAm
.
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
Démonstration :
D’après la relation de Chasles
nnnn AAGAmAAGAmGAmGAmGAmGAm112112112211 ...........
 uGAmmm n 121 ....
où
nn AAmAAmu 1211 ...
.
Comme
0......
21  n
mmm
, on en déduit alors que :
 0.....
2211  nn GAmGAmGAm
 u
mmm
GA
n
....
1
21
1
.
Cette dernière égalité permet d’affirmer qu’il existe un et un seul point G répondant au
problème posé et qu’il s’agit de l’image de
1
A
par la translation de vecteur
u
mmm n ....
1
21 
.
Cas particuliers :
 Lorsque
n
mmm  ......
21
, on dit que G est l’isobarycentre des points
n
AAA ,.......,, 21
.
 L’isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]
 L’isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Remarque :
La relation
 u
mmm
GA
n
....
1
21
1
est utile pour la construction du point G :

Exemple :
A, B et C sont trois points non alignés du plan. Construire le barycentre de (A ; 2),
(B ; -1) et (C ; 3) :
1.2. Propriétés du barycentre : ____
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E ( (H HO OM MO OG GE EN NE EI IT TE E) )
Soit k un réel non nul.
Si G est barycentre des points pondérés
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
, alors G est aussi
barycentre des points pondérés
11 ;kmA
,
22 ;kmA
,…..,
nn mkA ;
Cette propriété est utilisée pour simplifier les coefficients barycentriques.
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E ( (A AS SS SO OC CI IA AT TI IV VI IE E) )
On ne change pas le barycentre de plusieurs points si l’on remplace certains d’entre eux par
leur barycentre affecté de la somme non nulle de leurs coefficients barycentriques
Cette propriété est utilisée pour la construction du barycentre, mais c’est aussi un outil
efficace pour démontrer des alignements de points :
Exemple 1 :
ABCD est un tétraèdre régulier. Construire l’isobarycentre G des points A, B, C et D.
Exemple 2 :
ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD]. E et F sont les
points définis par
 ADAE 4
1
et
 BCBF 4
1
. H est le milieu de [EF].
Démontrer que les points I, J et H sont alignés :
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E D DE E R RE ED DU UC CT TI IO ON N
Soient
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
n points pondérés et soit M un point quelconque.
 Si
0......
21  n
mmm
, alors le barycentre G des points pondérés
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
existe et
 MGmmmMAmMAmMAmnnn )...(..... 212211 
.
 Si
0......
21  n
mmm
, alors la somme
nn MAmMAmMAm ..... 2211
est
indépendante du point M.

Démonstration :
D’après la relation de Chasles :
nnnn GAMGmGAMGmGAMGmMAmMAmMAm.......... 22112211
nnn GAmGAmGAmMGmmm .......... 221121
Alors :
 Lorsque
0......
21  n
mmm
, le barycentre G des points
11 ;mA
,
22 ;mA
,…..,
nn mA ;
vérifie
 0.....
2211  nn GAmGAmGAm
et dans ce cas on aura bien
 MGmmmMAmMAmMAmnnn )...(..... 212211 
.
 Par contre lorsque
0......
21  n
mmm
, on obtient :
nn MAmMAmMAm..... 2211
nn GAmGAmGAm.... 2211
, qui est bien
indépendant du point M .
Conséquence : Dans un repère d’origine O du plan ou de l’espace, on pourra alors écrire que
 OGmmmOAmOAmOAmnnn )...(..... 212211 
et par conséquent :
ni
ii
n
iOA
mmm m
OG 121 .....
.
D’où les coordonnées du point G :
ni
iA
n
i
Gi
x
mmm m
x121 .....
,
ni
iA
n
i
Gi
y
mmm m
y121 .....
et éventuellement
ni
iA
n
i
Gi
z
mmm m
z121 .....
Exemple :
Soient A, B et C trois points distincts de l’espace. Déterminer l’ensemble des points M
tels que :
1)
 BCMCMBMA 3
2)
BCMCMBMA  
3)
 MAMCMCMBMA 2
.