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1. Rappels sur les barycentres : Tous les résultats énoncés dans ce paragraphe (sauf mention spéciale) seront valables que l’on soit dans le plan ou dans l’espace. 1.1. Barycentre de n points de l’espace : _______ n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. PROPRIETE Soient A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn n points pondérés tels que m1 m2 ...... mn 0 . Alors il existe un point G unique vérifiant : m1 GA1 m2 GA2 ..... mn GAn 0 . DEFINITION Ce point G est appelé barycentre des points pondérés A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn Démonstration : D’après la relation de Chasles m1 GA1 m2 GA2 ..... mn GAn m1 GA1 m2 GA1 A1 A2 ...... mn GA1 A1 An m1 m2 .... mn GA1 u où u m1 A1 A2 ... mn A1 An . Comme m1 m2 ...... mn 0 , on en déduit alors que : 1 m1 GA1 m2 GA2 ..... mn GAn 0 A1G u . m1 m2 ....mn Cette dernière égalité permet d’affirmer qu’il existe un et un seul point G répondant au problème posé et qu’il s’agit de l’image de A1 par la translation de vecteur 1 m1 m 2 ....m n u . Cas particuliers : Lorsque m1 m2 ...... mn , on dit que G est l’isobarycentre des points A1 , A2 ,......., An . L’isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB] L’isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. Remarque : La relation A1G 1 m1 m2 ....mn u est utile pour la construction du point G : Exemple : A, B et C sont trois points non alignés du plan. Construire le barycentre de (A ; 2), (B ; -1) et (C ; 3) : 1.2. Propriétés du barycentre : ____ PROPRIETE (HOMOGENEITE) Soit k un réel non nul. Si G est barycentre des points pondérés A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn , alors G est aussi barycentre des points pondérés A1 ;km1 , A2 ;km2 ,….., An ; k mn Cette propriété est utilisée pour simplifier les coefficients barycentriques. PROPRIETE (ASSOCIATIVIE) On ne change pas le barycentre de plusieurs points si l’on remplace certains d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle de leurs coefficients barycentriques Cette propriété est utilisée pour la construction du barycentre, mais c’est aussi un outil efficace pour démontrer des alignements de points : Exemple 1 : ABCD est un tétraèdre régulier. Construire l’isobarycentre G des points A, B, C et D. Exemple 2 : ABCD est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD]. E et F sont les 1 1 points définis par AE AD et BF BC . H est le milieu de [EF]. 4 4 Démontrer que les points I, J et H sont alignés : PROPRIETE DE REDUCTION Soient A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn n points pondérés et soit M un point quelconque. Si m1 m2 ...... mn 0 , alors le barycentre G des points pondérés A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn existe et m1 MA1 m2 MA2 ..... mn MAn (m1 m2 ... mn ) MG . Si m1 m2 ...... mn 0 , alors la somme m1 MA1 m2 MA2 ..... mn MAn est indépendante du point M. Démonstration : D’après la relation de Chasles : m1 MA1 m2 MA2 ..... mn MAn m1 MG GA1 m2 MG GA2 ..... mn MG GAn m1 m2 ...... mn MG m1 GA1 m2 GA2 .... mn GAn Alors : Lorsque m1 m2 ...... mn 0 , le barycentre G des points A1 ;m1 , A2 ;m2 ,….., An ; mn vérifie m1 GA1 m2 GA2 ..... mn GAn 0 et dans ce cas on aura bien m1 MA1 m2 MA2 ..... mn MAn (m1 m2 ... mn ) MG . Par contre lorsque m1 m2 ...... mn 0 , on obtient : m1 MA1 m2 MA2 ..... mn MAn m1 GA1 m2 GA2 .... mn GAn , qui est bien indépendant du point M . Conséquence : Dans un repère d’origine O du plan ou de l’espace, on pourra alors écrire que m1 OA1 m2 OA2 ..... mn OAn (m1 m2 ... mn ) OG et par conséquent : i n mi OAi . i 1 m1 m2 ..... mn D’où les coordonnées du point G : i n i n mi mi xG x Ai , yG y Ai et éventuellement i 1 m1 m2 ..... mn i 1 m1 m2 ..... mn i n mi zG z Ai i 1 m1 m2 ..... mn OG Exemple : Soient A, B et C trois points distincts de l’espace. Déterminer l’ensemble des points M tels que : 1) MA MB MC 3 BC 2) 3) MA MB MC MA MB MC BC MC 2 MA .
