Feuille 21 : Géométrie : Barycentre. 1) Soit ABC un triangle. . . c

-
BCP ST 1B
Feuille 21 : Géométrie : Barycentre.
1) Soit
a)
b)
c)
ABC un triangle.
Construire G le barycentre de {(A, 1), (B, 2), (C, 3)}.
Construire G0 le barycentre de {(A, 1), (B, 3), (C, −3)}.
Démontrer que (AG0 ) est parallèle à (BC)
2) On considère dans l'espace muni d'un repère (O,~ı, ~, ~k) les points :
A(1, 0, 2), B(−2, −1, 3), C(0, 0, 1) et D(−1, 2, 0)
Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre de ABCD.
Faire une gure.
3) L'espace est rapporté à un repère (O,~ı, ~).
On considère les points A(1, 2), B(−3, 4) et C(−2, 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, 2) et (C, −4).
La droite (BG) passe-t-elle par l'origine ?
4) Soit ABC un triangle quelconque. On considère le barycentre A0 de {(B, 2), (C, −3)}, le barycentre
B 0 de {(A, 5), (C, −3)} et le barycentre C 0 de {(A, 5), (B, 2)}.
En considérant le barycentre G de {(A, 5), (B, 2), (C, −3)}, démontrer que les droites (AA0 ), (BB 0 )
et (CC 0 ) sont concourantes.
5) Soit ABC un triangle,
Déterminer Γ l'ensemble des points M du plan vériant :
−−→ −−→
−−→
−−→ −−→
M A + M B + 2M C = M B + 3M C 6) Soit ABCD un tétraèdre et G le barycentre de {(A, 4), (B, 1), (C, 1), (D, 1)}.
On note H l'isobarycentre de B , C et D.
a) Montrer que G est sur la droite (AH).
b) Faire une gure et placer le point G sur la droite (AH).
7) Soient A1 , A2 et A3 trois points du plan, (λ, µ) ∈ R2 tel que λ + µ 6= 0, G1 = bar{(A2 , λ), (A3 , µ)},
G2 = bar{(A3 , λ), (A1 , µ)} et G3 = bar{(A1 , λ), (A2 , µ)}.
Montrer que A1 A2 A3 et G1 G2 G3 ont le même isobarycentre.
8) Soit ABC un triangle et G le barycentre du système de points pondérés : {(A, 2), (B, −1), (C, 1)}
−−→
−−→
−−→
a) Quel est l'ensemble E des points M du plan tels que 2 M A − M B + M C = AB ?
b) Représenter cet ensemble E .
9) Soit ABC est un triangle et k un réel. On dénit les points I , J et K par :
−→
−−→
BI = k BC
−→
−→
CJ = k CA
−−→
−−→
AK = k AB
1
3
a) Faire une gure dans le cas : k = .
b) On revient au cas général avec k quelconque ; démontrer que G est l'isobarycentre de I , J , K .
10) Soit ABCD un parallélogramme et K le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, −1), (C, 2) et
(D, 1).
On note I le barycentre des points pondérés (A, 2) et (B, −1) et J celui de (C, 2) et (D, 1)
a) Placer les points I et J . (En le justiant évidemment)
−−→ −−→
−−→ −−→
b) Réduire l'écriture des vecteurs suivants : 2 KA − KB et 2 KC + KD .
En déduire que K est le barycentre de (I, 1) et (J, 3).
c) Placer le point K .
11) Soit [AB] un segment.
Déterminer et représenter l'ensemble des points M du plan vériant : M A = 2M B
Indications :
- une première méthode consiste à se placer dans un
repère bien choisi.
−−→
−−→
−−→
−−→
- On peut aussi remarquer que M A = 2M B ⇐⇒ M A − 2M B . M A + 2M B = 0
Introduire des barycentres.
Utiliser une caractérisation des cercles connaissant le diamètre.
12) (*) Soit ABC un triangle. on note a = BC , b = AC et c = AB .
Montrer que I le centre du cercle inscrit est le barycentre de {(A, a), (B, b), (C, c)}.
On rappelle que le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrices intérieures du triangle.
13) On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;~ı, ~)
(On prendra pour unité graphique 3 cm ou 3 grands carreaux)
On considère les points A(1, 2), B(3, 0) et M0 (0, 0)
On dénit par récurrence sur n les points Mn par :
Pour tout entier naturel n, le point Mn+1 est l'isobarycentre des points A,B , Mn
a) Faire une gure et placer les points A, B, M0 , M1 , M2 .
b) Montrer, par récurrence, que tous les points Mn sont alignés.
c) On note pour tout n ∈ N, (xn , yn ) les coordonnées de Mn ,
exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn .
d) Exprimer xn et yn en fonction de n.
e) Montrer que la suite de points (Mn ) converge vers un point C dont on donnera les coordonnées.
14) Soit ABCD un quadrilatère quelconque du plan.
On considère les points suivants :
• G le barycentre du système de points pondérés {(A, 1), (B, 2), (C, 3), (D, 3)}
• G1 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1), (B, 2)}
• I le milieu de [CD].
a) Faire une gure avec les points A, B, C, D, G1 et I . On justiera la construction du point G1
b) Montrer que G est le barycentre du système de points pondérés {(G1 , 1), (I, 2)}.
c) Placer le point G sur la gure.
−−→ −−→
On se place dans le repère (A, AB , AD ) et on note (a, b) les coordonnées de C .
−−→ −−→
d) Déterminer les coordonnées de G dans le repère (A, AB , AD ).
e) Etablir une condition nécessaire et susante sur a et b pour que les points A, G et C soient
alignés.
f) Faire deux gures, une où A, G et C sont alignés et une où ils ne le sont pas.