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1ère S
Barycentre dans le plan
I- Connaissances mises en jeu : rappel et compléments :
1.1 Calcul vectoriel :
22
: lorthonorma repèreEn
0''x orthogonausont et
0 scolinéairesont et ',':)','(),(
);(,,, repèreun Dans
ire) triangula(inégalité ,
demilieu ' avec '2
2plan du point pour tout aon cas ce Dans demilieu leest
scolinéairesont et
yxu
bbaavu
ab'-a'bvubbaavubavbau
jyixOMyxMjiO
CDABCDABABAB
BCAAAACAB
MIMBMAMABIIBAI
CDABCDkAB
1.2 Statistiques :
La moyenne d’une série à caractère quantitatif prenant les valeurs
p
xxx ,....,, 21
avec les effectifs
p
nnn ,....,, 21
est donnée par
p
pp
nnn
xnxnxn
x ....
....
21
2211
II- Barycentre de deux points :
2.1 Point pondéré :
Soit A un point du plan et a un réel.
On appelle point pondéré le point A, affecté du coefficient a, noté (A, a).
2.2 Définition et premières propriétés :
Théorème et définition :
Soient (A,a) et (B,b) deux points pondérés tels que
0 ba
.
Il existe un unique point G tel que
0  GBbGAa
.
G est le barycentre du système de points pondérés
bBaA ,;,
. G est alors
affecté du coefficient a + b.
Rqe : lorsque a = b on parle d’isobarycentre.
Démonstration :
1. Unicité : si ce point existe, montrons qu’il est unique :

2
2. Existence : montrons que le point déterminé au-dessus vérifie la condition voulue :
Propriété : Si G est le barycentre du système de points pondérés
bBaA ,;,
et k un réel non
nul, alors G est aussi le barycentre du système de points pondérés
kbBkaA,;,
. Dém, à faire en
exercice !
Conséquence : en particulier « simplification » de systèmes pondérés, par exemple si G est le
barycentre de
25,;15,BA
, alors G est aussi le barycentre de
5,;3, BA
.
Exercice : Construire le barycentre de chacun des systèmes suivants :
(a) G le barycentre de
5,;3, BA
.
(b) K est le barycentre de
4,;4, BA
.
(c) H est le barycentre de
3,;2, BA
.
Propriété FONDAMENTALE :
Soit G le barycentre du système de points pondérés
bBaA ,;,
.
Alors pour tout point M du plan on a
MGbaMBbMAa
Démonstration :
2.3 Position du barycentre : Dém, personnelle !
Soit G le barycentre du système de points pondérés
bBaA ,;,
.
 G est situé sur (AB).
 G est situé sur le segment [AB] si et seulement si a et b sont de même signe.
 G est « plus proche » du point dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue ;
 Si a = b, G est le milieu de [AB].
2.4 Coordonnées du barycentre :
Propriété :
Soit G le barycentre du système de points pondérés
bBaA ,;,
et
jiO ,,
un repère orthonormal dans lequel
AA yxA ;
et
BB yxB ;
. Alors les
coordonnées de G sont
ba bxax
xBA
G
et
ba byay
yBA
G

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Démonstration.
III- Barycentre de trois points et plus :
3.1 Extensions des définitions et propriétés :
 Soient trois points pondérés
cCbBaA ,;,;,
tels que
0 cba
Il existe un unique point G tel que
0  GCcGBbGAa
.
G est le barycentre du système de points pondérés
cCbBaA ,;,;,
. G est alors affecté du
coefficient a + b+ c.
 Alors pour tout point M du plan on a
MGcbaMCcMBbMAa
 Le barycentre reste inchangé si on multiplie les coefficients par un même réel non nul.
 Si a = b = c, alors G est l’isobarycentre des points A, B, C. Lorsque A, B, C ne sont pas alignés,
il s’agit du centre de gravité du triangle ABC.
Exemple : Construire le barycentre de
1,;1,;2, CBA
où A, B, C ne sont pas alignés.
3.2 Associativité du barycentre :
Propriété :
Le barycentre d’un système de points pondérés reste inchangé si l’on remplace
certains groupes de points par leur barycentre (dit partiel) affecté de la somme (non
nulle) de leurs coefficients.
Exemple : Si H est le barycentre de
3,;2, BA
et J celui de
1,;4, DC
alors le barycentre G de
1,;4,;3,;2, DCBA
est également barycentre de
3,;5, JH
Rqe : cette propriété est particulièrement utile dans le cas où deux points dans le système ont le même
poids (on les remplace par leur milieu, affecté de la somme de leurs coefficients) ou pour prouver un
alignement de points (par ex ici, G est situé sur (HJ)).
3.3 Coordonnées du barycentre :
Propriété :
Soit G le barycentre du système de points pondérés
cCbBaA ,;,;,
et
jiO ,,
un
repère orthonormal dans lequel
AA yxA ;
,
BB yxB ;
et
CC yxC ;
. Alors les
coordonnées de G sont
cba cxbxax
xCBA
G
et
cba cybyay
yCBA
G

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IV- Applications :
4.1 Recherche d’un lieu géométrique : A, B, C trois points quelconques du plan :
 On veut déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que
MBMAMBMA 324 
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…………………………………………………………………………………………………………….
 On veut déterminer l’ensemble F des points M du plan tels que
93  MCMBMA
:
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…………………………………………………………………………………………………………….
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4.2 Alignement de trois points :
Soit ABC un triangle. I le milieu de [BC]. On nomme N le barycentre de (A, 1) et (B, 2) et M celui de
(A, 1) et (C, 2). Soit G le point d’intersection des droites (BM) et (CN). Montrer que les points A, G, I
sont alignés.
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