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1ère S
Barycentre dans le plan
I- Connaissances mises en jeu : rappel et compléments :
1.1 Calcul vectoriel :
AB  k CD  AB et CD sont colinéaire s
AI  IB  I est le milieu de AB Dans ce cas on a pour tout M point du plan MA  MB  2MI
AB  AC  2 AA' avec A' milieu de BC 
AB  AB,
AB  CD  AB  CD (inégalité triangula ire)
 
 
Dans un repère O, i , j , M ( x; y )  OM  xi  yj


 
 
u ( a, b) v ( a ' , b' ) : u  v  a  a ' , b  b'
u et v sont colinéaire s  ab'-a'b  0
 
u et v sont orthogonau x  aa'bb'  0

En repère orthonorma l : u  x 2  y 2
1.2 Statistiques :
La moyenne d’une série à caractère quantitatif prenant les valeurs x1 , x 2 ,...., x p avec les effectifs
n1 , n2 ,...., n p est donnée par x 
n1 x1  n2 x 2  ....  n p x p
n1  n2  ....  n p
II- Barycentre de deux points :
2.1 Point pondéré :
Soit A un point du plan et a un réel.
On appelle point pondéré le point A, affecté du coefficient a, noté (A, a).
2.2 Définition et premières propriétés :
Théorème et définition :
Soient (A,a) et (B,b) deux points pondérés tels que a  b  0 .

Il existe un unique point G tel que aGA  bGB  0 .
G est le barycentre du système de points pondérés
affecté du coefficient a + b.
Rqe : lorsque a = b on parle d’isobarycentre.
Démonstration :
1. Unicité : si ce point existe, montrons qu’il est unique :
1
 A, a; B, b. G est alors
2. Existence : montrons que le point déterminé au-dessus vérifie la condition voulue :
Propriété : Si G est le barycentre du système de points pondérés  A, a ; B, bet k un réel non
nul, alors G est aussi le barycentre du système de points pondérés
exercice !
A, ka; B, kb. Dém, à faire en
Conséquence : en particulier « simplification » de systèmes pondérés, par exemple si G est le
barycentre de  A,15; B,25, alors G est aussi le barycentre de  A,3; B,5.
Exercice : Construire le barycentre de chacun des systèmes suivants :
(a) G le barycentre de  A,3; B,5.
(b) K est le barycentre de
A,4; B,4 .
(c) H est le barycentre de
 A,2; B,3.
Propriété FONDAMENTALE :
 A, a; B, b.
Alors pour tout point M du plan on a a MA  bMB  a  bMG
Soit G le barycentre du système de points pondérés
Démonstration :
2.3 Position du barycentre : Dém, personnelle !
Soit G le barycentre du système de points pondérés  A, a ; B, b.
 G est situé sur (AB).
 G est situé sur le segment [AB] si et seulement si a et b sont de même signe.
 G est « plus proche » du point dont le coefficient est le plus grand en valeur absolue ;
 Si a = b, G est le milieu de [AB].
2.4 Coordonnées du barycentre :
Propriété :
 
Soit G le barycentre du système de points pondérés  A, a ; B, bet O, i , j 
un repère orthonormal dans lequel Ax A ; y A  et Bx B ; y B  . Alors les
ax  bx B
ay  by B
coordonnées de G sont xG  A
et yG  A
ab
ab
2
Démonstration.
III- Barycentre de trois points et plus :
3.1 Extensions des définitions et propriétés :
 A, a; B, b; C, ctels que a  b  c  0

Soient trois points pondérés



Alors pour tout point M du plan on a a MA  bMB  cMC  a  b  cMG
Le barycentre reste inchangé si on multiplie les coefficients par un même réel non nul.
Si a = b = c, alors G est l’isobarycentre des points A, B, C. Lorsque A, B, C ne sont pas alignés,
il s’agit du centre de gravité du triangle ABC.

Il existe un unique point G tel que aGA  bGB  cGC  0 .
G est le barycentre du système de points pondérés  A, a; B, b; C, c. G est alors affecté du
coefficient a + b+ c.
Exemple : Construire le barycentre de
 A,2; B,1; C,1 où A, B, C ne sont pas alignés.
3.2 Associativité du barycentre :
Propriété :
Le barycentre d’un système de points pondérés reste inchangé si l’on remplace
certains groupes de points par leur barycentre (dit partiel) affecté de la somme (non
nulle) de leurs coefficients.
Exemple : Si H est le barycentre de  A,2; B,3 et J celui de C,4; D,1 alors le barycentre G de
A,2; B,3; C,4; D,1est également barycentre de H ,5; J ,3
Rqe : cette propriété est particulièrement utile dans le cas où deux points dans le système ont le même
poids (on les remplace par leur milieu, affecté de la somme de leurs coefficients) ou pour prouver un
alignement de points (par ex ici, G est situé sur (HJ)).
3.3 Coordonnées du barycentre :
Propriété :
 
Soit G le barycentre du système de points pondérés  A, a; B, b; C, cet O, i , j  un
repère orthonormal dans lequel Ax A ; y A  , Bx B ; y B  et C xC ; yC . Alors les
coordonnées de G sont xG 
ax A  bx B  cxC
ay  by B  cyC
et yG  A
abc
abc
3
IV- Applications :
4.1 Recherche d’un lieu géométrique : A, B, C trois points quelconques du plan :

On veut déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que MA  4MB  2MA  3MB
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
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
On veut déterminer l’ensemble F des points M du plan tels que MA  MB  3MC  9 :
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…………………………………………………………………………………………………………….
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4.2 Alignement de trois points :
Soit ABC un triangle. I le milieu de [BC]. On nomme N le barycentre de (A, 1) et (B, 2) et M celui de
(A, 1) et (C, 2). Soit G le point d’intersection des droites (BM) et (CN). Montrer que les points A, G, I
sont alignés.
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