bh - barycentre

BH - BARYCENTRE
Dans ce qui suit on se place dans un espace affine A associé à un espace vectoriel E sur R. Si besoin
est, l’espace sera euclidien, et en dimension finie, sera muni d’un repère orthonormé direct.
Barycentre de n points
Soit n points A1 , . . . , An de A et n réels λ1 , . . . , λn dont la somme n’est pas nulle. Il existe un point
G de A unique tel que
n
X
−−→ −
→
λi GAi = 0 .
i=1
Ce point G est appelé barycentre des points A1 , . . . , An affectés des coefficients λ1 , . . . , λn .
On a alors, pour tout point O de A ,
−−→
OG =
n
X
λi
i=1
!−1
n
X
−−→
λi OAi .
i=1
Le barycentre ne change pas, si tous les coefficients sont multipliés par un même nombre non nul, et
ne dépend pas de l’ordre des couples (Ai , λi ).
Lorsque les coefficients λi sont égaux, le barycentre est alors appelé isobarycentre.
Proposition 1 Propriété d’associativité
Pour i compris entre 1 et n, on considère des couples (Aij , λij )1≤j≤ni de A × R tels que, les sommes
λi =
ni
X
λij
et
n
X
λi
i=1
j=1
ne soient pas nulles.
Soit Gi le barycentre des points (Aij )1≤j≤ni affectés des coefficients λij . Alors le barycentre des
points (Aij )1≤i≤n , 1≤j≤ni affectés des coefficients λij est aussi le barycentre des points (Gi )1≤i≤n
affectés des coefficients λi .
Appelons G le barycentre des points (Gi )1≤i≤n affectés des coefficients λi . On a donc
−
→
0 =
n
X
i=1
−−→
λi GGi =
n
X
i=1


ni
X
−−→

λij  GGi .
j=1
BH 2
Mais d’autre part, on a pour tout i,

−1
ni
ni
X
−−→ X
−−−→
GGi =
λij 
λij GAij ,
j=1
et en remplaçant, il vient,
n
j=1
n
i
−
→ X X −−−→
λij GAij ,
0 =
i=1 j=1
ce qui montre que G est le barycentre des points (Aij )1≤i≤n , 1≤j≤ni affectés des coefficients λij .
Application : Soit A1 , A2 , A3 trois points du plan. L’isobarycentre G de ces points, est aussi le
barycentre du milieu M1 de [ A2 , A3 ] affecté du coefficient 2 et de A1 affecté du coefficient 1. Il est
donc situé sur la médiane M1 A1 , aux 2/3 de celle-ci à partir de A1 . Par permutation circulaire sur les
points A1 , A2 , A3 , on retrouve le fait que G est le point d’intersection des médianes.
Proposition 2 Soit n points A1 , . . . , An distincts appartenant à A . Ils forment n segments
[ A1 , A2 ] ,. . . [ An , A1 ] . L’isobarycentre des points A1 , . . . , An et aussi l’isobarycentre des milieux
de ces n segments.
Posons A0 = An , et pour i entre 0 et n − 1, soit Mi le milieu de [ Ai , Ai+1 ] . Soit G l’isobarycentre
des points A1 , . . . , An . Pour i compris entre 0 et n − 1, on a donc
−−→ 1 −−→ −−−−→
GMi = (GAi + GAi+1 ) .
2
Alors
n
n
n
X
X
−−→ −
−−→ 1 X −−→ −−−−→
→
(GAi + GAi+1 ) =
GAi = 0 .
GAi =
2
i=1
i=1
i=1
Donc G est bien l’isobarycentre des points Mi .
Proposition 3 Soit n + 1 points d’un espace affine A de dimension n, non situés dans un sousespace affine strict de A , et deux systèmes de coefficients distincts de somme 1. Alors les barycentres
sont distincts.
Si l’on a pour tout point O de A ,
on en déduit
n+1
n+1
i=1
i=1
−−→ X −−→ X −−→
µi OAi ,
λi OAi =
OG =
n+1
X
i=1
−−→ −
→
(λi − µi )OAi = 0 .
BH 3
En particulier, en prenant O = A1 , on a
n+1
X
i=2
−−−→ −
→
(λi − µi )A1 Ai = 0 .
Mais puisque les Ai sont n + 1 points non situés dans un sous-espace affine strict de A , les n vecteurs
−−−→
A1 Ai , obtenus pour i variant de 2 à n + 1, sont linéairement indépendants, ce qui implique que λi − µi
est nul pour tout i compris entre 2 et n + 1. Alors, pour tout point O, on a
n+1
X
i=1
−−→
−−→ −
→
(λi − µi )OAi = (λ1 − µ1 )OA1 = 0 ,
et en prenant O distinct de A1 , le nombre λ1 − µ1 est nul également.
Proposition 4 Soit G le barycentre des points A1 , . . . , An affectés des coefficients λ1 , . . . , λn , et
G′ le barycentre des points A′1 , . . . , A′n affectés des mêmes coefficients. Alors
n
−
−−
→
−−→′ X
λi Ai A′i .
GG =
i=1
Pour tout point O, on a
n
n
−−→
−−→ X
−−→ X −−→
λi OA′i .
λi OAi et OG′ =
OG =
i=1
i=1
Alors par soustraction
n
−−−→
−−→′ X
λi Ai A′i .
GG =
i=1
Proposition 5 Soit G le barycentre des points A1 , . . . , An affectés des coefficients λ1 , . . . , λn , et
soit ϕ une transformation affine de A . Alors ϕ(G) est le barycentre des points ϕ(A1 ), . . . , ϕ(An )
affectés des coefficients λ1 , . . . , λn .
Soit L l’application linéaire associée à ϕ. On a
n
X
−−→ −
→
λi GAi = 0 ,
i=1
donc
L
n
X
i=1
−−→
λi GAi
!
=
n
X
i=1
n
X −−−−−−−→ −
−−→
→
λi ϕ(G)ϕ(Ai ) = 0 .
λi L (GAi ) =
i=1
BH 4
Proposition 6
On suppose le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct
−
→ −
→
−
→−
→
−
→
−
→
−
→
(0, e1 , e2 , e3 ). On note det( U , V ), le déterminant de deux vecteurs U , V de E dans la base
→
→
→
(−
e1 , −
e2 , −
e3 ).
Soit G le barycentre des points A1 , A2 , A3 affectés des coefficients λ1 , λ2 , λ3 . Alors, dans R3 , les
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
vecteurs (λ1 , λ2 , λ3 ) et (det(GA2 , GA3 ), det(GA3 , GA1 ), det(GA1 , GA2 )) sont colinéaires.
En effet, en partant de la relation
−−→
−−→
−−→ −
→
λ1 GA1 + λ2 GA2 + λ3 GA3 = 0
on obtient
−−→ −−→
−−→
−−→
−
→
0 = det(λ1 GA1 + λ2 GA2 + λ3 GA3 , GA3 )
−−→ −−→
−−→ −−→
= λ1 det(GA1 , GA3 ) + λ2 det(GA2 , GA3 )
−−→ −−→
−−→ −−→
= −λ1 det(GA3 , GA1 ) + λ2 det(GA2 , GA3 )
−−→ −−→ λ1 det(GA2 , GA3 )
= −
−−→ −−→ .
λ2 det(GA3 , GA1 )
Par permutation circulaire, on obtient aussi
−−→ −−→ −−→ −−→ λ2 det(GA3 , GA1 ) λ3 det(GA1 , GA2 )
−−→ −−→ = −−→ −−→ = 0 .
λ3 det(GA1 , GA2 ) λ1 det(GA2 , GA3 )
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
Les vecteurs (λ1 , λ2 , λ3 ) et (det(GA2 , GA3 ), det(GA3 , GA1 ), det(GA1 , GA2 )) sont donc colinéaires.
Corollaire Soit G le barycentre des points A1 , A2 , A3 affectés des coefficients positifs λ1 , λ2 , λ3 .
Alors, dans R3 , les vecteurs (λ1 , λ2 , λ3 ) et (Aire(GA2 A3 ), Aire(GA3 A1 ), Aire(GA1 A2 )) sont colinéaires.
−→ −−→
L’aire Aire(GAB) d’un triangle GAB est la moitié de la valeur absolue du déterminant det(GA, GB).
Lorsque les coefficients λi sont positifs, les trois déterminants de la proposition précédente ont le même
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
signe, et dans ce cas, le vecteur (det(GA2 , GA3 ), det(GA3 , GA1 ), det(GA1 , GA2 )) est colinéaire au vecteur (Aire(GA2 A3 ), Aire(GA3 A1 ), Aire(GA1 A2 )).
BH 5
Généralisation
On généralise la notion de barycentre au cas d’un sous-ensemble A portant une mesure de probabilité µ.
Il existe un point G unique, appelé barycentre de A pour la mesure µ, tel que
Z
−−→
−
→
GM dµ(M ) = 0 .
A
Ce point vérifie, pour tout point O de A , la relation
Z
−−→
−−→
OG = OM dµ(M ) .
A
En particulier, si A1 , . . . , An sont des points de A , et si λ1 . . . , λn sont des réels dont la somme vaut
1, on retrouve le barycentre des n points Ai , . . . , An affectés des coefficients λ1 . . . , λn en prenant la
mesure
n
X
λi δAi ,
µ=
i=1
où δM est la mesure de Dirac au point M .
→
→
Proposition 7 On suppose que A est de dimension p, et que (O, −
e1 , . . . , −
ep ) est un repère de
A . Notons (x1 (M ), . . . , xp (M )) les coordonnées de M dans ce repère. Alors les coordonnées du
barycentre de A pour la mesure µ sont données par
Z
xi (G) = xi (M )dµ(M ) .
A
On a en effet
−−→
OG =
Z
A
−−→
OM dµ(M ) =
Z
A
p
X
i=1
!
→
xi (M )−
ei dµ(M ) =
p
X
i=1


Z
 xi (M )dµ(M ) ei .
A
Proposition 8 Propriété d’associativité
Soit {A1 , . . . , An } une partition de A en ensembles de mesure non nulle. Soit µi la probabilité
conditionnelle relative à Ai , définie par
µi = (µ(Ai ))−1 µ ,
et soit Gi le barycentre de Ai pour la mesure µi . Alors le barycentre de A pour la mesure µ est
aussi le barycentre des points (Gi )1≤i≤n affectés des coefficients µ(Ai ).
BH 6
Cela vient du fait que
Z
Z
Z
n
n
X
−−→
−−→ dµ(M ) X
−−→
µ(Ai ) GM dµi (M ) .
=
µ(Ai )
GM
GM dµ(M ) =
µ(Ai )
i=1
A
i=1
Ai
Ai
Exemples : dans Rn , on considérera des ensembles A qui sont des courbes, des surfaces ou des volumes.
La mesure µ sera la mesure normalisée associé à la géométrie de A, c’est-à-dire

−1
Z
µ =  ds ds ,
A
où ds est la mesure de longueur dans le premier cas, de surface dans le deuxième et de volume dans le
troisième. On appellera alors G le centre de gravité de A.
Image affine du barycentre
Soit A et A′ deux sous-ensembles d’un espace affine A , munis respectivement des mesures de probabilité
µ et µ′ . On dira qu’une transformation affine ϕ de A vérifie la propriété (P ) pour (A, A′ ) s’il existe
un point O de A , tel que
Z
Z
−−−→
−−−−−→
Oϕ(M ) dµ(M ) = OM ′ dµ′ (M ′ ) .
A
A′
La formule précédente est alors vraie pour tout point O de A , car
Z
Z
Z
−−−−−→
−−−−−→ −−→
−−−−−→
−−→
O1 ϕ(M ) dµ(M ) = (Oϕ(M ) + O1 O) dµ(M ) = Oϕ(M ) dµ(M ) + O1 O ,
et
A
A
A
Z
−−−→′ ′
O1 M dµ (M ′ ) =
A′
Z
−−−→ −−→
(OM ′ + O1 O) dµ′ (M ′ ) =
A′
Z
−−−→′ ′
−−→
OM dµ (M ′ ) + O1 O .
A′
Proposition 9 Si ϕ possède la propriété (P ) pour (A, A′ ) alors, l’image par ϕ du barycentre de
A pour la mesure µ est le barycentre de A′ pour la mesure µ′ .
Soit L l’application linéaire associée à ϕ. On a


Z
Z
Z
Z
−−−−−→
−−−−−−−→
−−→
−
−
→
−
→
0 = L  GM dµ(M ) = L (GM ) dµ(M ) = ϕ(G)ϕ(M ) dµ(M ) = ϕ(G)M ′ dµ′ (M ′ ) ,
A
ce qui donne le résultat.
A
A
A′
BH 7
Exemples :
1) Dans Rp , on munit A et A′ de la mesure de Lebesgue normalisée. Alors toute transformation affine
bijective ϕ possède la propriété (P ) pour (A, A′ ).
Posons
M = (x1 , . . . , xp ) et ϕ(M ) = (x′1 , . . . , x′p ) .
Alors, en utilisant le changement de variable
(x1 , . . . , xp ) = ϕ−1 (x′1 , . . . , x′p ) ,
dont le jacobien J est constant, on obtient,
Z
Z
ϕ(x1 , . . . , xp ) dx1 · · · dxp = J (x′1 , . . . , x′p ) dx′1 · · · dx′p ,
A
et aussi
A′
Z
A
dx1 · · · dxp =
Z
J dx′1 · · · ds′p .
A′
Comme J est constant, on obtient en divisant
Z
Z
ϕ(x1 , . . . , xp ) dµ(x1 , . . . , xp ) = (x′1 , . . . , x′p ) dµ′ (x′1 , . . . , x′p ) .
A
A′
2) Soit A une surface dans un plan de R3 . La projection orthogonale de ce plan sur un autre plan
non perpendiculaire au précédent s’interprète comme une affinité dans R2 , donc comme une affinité
bijective de R2 . Si on munit A et sa projection A′ de la mesure de Lebesgue normalisée, l’application
ϕ vérifie la propriété (P ) pour (A, A′ ).
3) La propriété P est vraie pour une mesure de surface ou de longueur lorsque ϕ est une isométrie,
une homothétie ou une similitude.
Remarque : on peut donner facilement des exemples montrant que la propriété (P ) n’est pas vraie
dans le cas d’une transformation affine qulconque.
Quelques applications géométriques
1) Cas du triangle
Proposition 10 Le barycentre des trois sommets d’un triangle A1 A2 A3 affectés des longueurs
des côtés opposés, ou des sinus des angles, est le centre du cercle inscrit, c’est-à-dire le point d’intersection des bissectrices.
BH 8
Si G est le centre du cercle inscrit, et r le rayon de ce cercle, l’aire du triangle GAi Ai+1 vaut rAi Ai+1 /2.
Les aires des trois triangles GA2 A3 , GA3 A1 et GA1 A2 sont donc proportionnelles aux longueurs A2 A3 ,
A3 A1 et A1 A2 . D’après le corollaire de la proposition (6), il en résulte que G est bien le barycentre des
points A1 , A2 , A3 affectés des coefficients A2 A3 , A3 A1 et A1 A2 .
D’après la relation
A3 A1
A1 A2
A2 A3
=
=
,
c1
c2
c3
sin A
sin A
sin A
c1 , sin A
c2 , sin A
c3 .
le point G est aussi le barycentre des points A1 , A2 , A3 affectés des coefficients sin A
Proposition 11 L’isobarycentre des trois sommets d’un triangle et aussi le centre de gravité de
la surface limitée par ce triangle. Ce n’est le centre de gravité de la ligne polygonale que lorsque le
triangle est équilatéral.
Si le triangle est équilatéral, le centre de gravité de la ligne polygonale est l’isobarycentre des milieux
des côtés, donc c’est aussi l’isobarycentre des sommets.
Dans le cas contraire, le centre de gravité de la ligne polygonale est le centre de gravité des milieux
des côtés affectés de coefficients qui sont la longueur des côtés respectifs. D’après la proposition (3),
il est donc distinct de l’isobarycentre. On peut même préciser d’après la proposition (10) que c’est le
centre du cercle inscrit dans le triangle dont les sommets sont les milieux des côtés.
Pour obtenir l’autre partie du résultat, considérons le triangle de sommets (0, a), (0, −b), (c, 0), avec
a, b et c positifs.
6
a
c
−b
-
BH 9
L’aire du triangle vaut
c(a + b)
,
2
et, en utilisant le théorème de Fubini, les coordonnées du centre de gravité de la surface sont obtenues
par les formules




−a(x−c)/c
Zc
Z
Zc
1
1 c2 (a + b)
c
a+b
1


dy  dx = −
x
x(x − c) dx =
= ,
xG =
S
S
c
S
6
3
S=
0
0
b(x−c)/c
et
1
yG =
S
Zc
0



−a(x−c)/c
Z
b(x−c)/c

1 a2 − b2

y dy  dx =
,
S 2c2
Zc
0
(x − c)2 dx =
a−b
1 (a2 − b2 )c
=
.
S
6
3
On retrouve bien les coordonnées de l’isobarycentre de A, B, C.
Remarque : dans un quadrilatère, aucun des trois centres de gravité ne coïncide en général avec un
des deux autres. Prenons par exemple les points (0, 1), (h, 0), (0, −1/2) et (−h, 0). Le domaine est
formé de deux triangle isocèles de même base. Les différents centre de gravité se trouvent sur l’axe Oy.
Il suffit de déterminer les ordonnées et de voir qu’elles sont distinctes.
y
61
M1
-
−h
h
−1/2
x
M2
1) Centre de gravité G1 de la surface.
Le triangle supérieure a pour aire h, et l’ordonnée du centre de gravité du triangle vaut 1/3. le triangle
inférieure a pour aire h/2, et l’ordonnée du centre de gravité du triangle vaut −1/6. Le centre de
gravité de la surface est la barycentre des points (0, 1/3), (0, −1/6) affectés des coefficients 1/3, 1/6.
C’est le point de l’axe Oy d’abscisse 1/6.
2) Isobarycentre G2 des sommets.
C’est aussi l’isobarycentre des milieux des côtés. Par symétrie, l’ordonnée de ce point est celle du milieu
des point M1 = (h/2, 1/2) et M2 = (h/2, −1/4) et vaut 1/8.
BH 10
3) Centre de gravité G3 de la ligne polygonale.
L’ordonnée est √
celle du barycentre
p des points M1 , M2 affectés des longueurs des côtés respectifs, c’està-dire de λ1 = h2 + 1 et λ2 = h2 + 1/4. L’ordonnée vaut donc
1
2
√
√
h2 + 1 −
h2 + 1 +
p
h2 + 1/4
1
4
p
h2 + 1/4
.
On constate bien que G1 et G2 sont√toujours différents, ainsi que G2 et G3 (car λ1 6= 2λ2 ). Enfin G1
et G3 sont différents sauf pour h = 39/6.
2) Volume du cylindre tronqué
On considère un cylindre dont la base A est située dans un plan P , et dont la ligne génératrice
est orthogonale à P . Soit P ′ un plan faisant un angle θ avec P . Soit A′ la projection de A sur P ′
parallèlement à la génératrice. Soit G et G′ les centres de gravité respectifs de A et A′ . Si h désigne la
distance de G à G′ et SA l’aire de A, le volume du cylindre tronqué vaut
V = hSA .
P′
A′
G′
h
z 6
x
A
P
y
G
θ
BH 11
En prenant pour P le plan xOy, le calcul donne
V =
ZZ
A
 y tan θ 
ZZ
Z

y dxdy .
dz  dxdy = tan θ
0
A
Ceci s’exprime en fonction de l’ordonnée yG du centre de gravité de A. On a
V = tan θ SA yG .
Mais yG tan θ n’est autre que la cote du centre de gravité de A′ . Donc
V = zG′ SA = hSA ,
car les centres de gravités sont situés sur une parallèle à la génératrice du cylindre.
Si l’on pose
z(x, y) = y tan θ ,
on a donc aussi
V = tan θ
ZZ
y dxdy =
A
et donc

V
=
h=
SA
ZZ
A
ZZ
z(x, y) dxdy
A
−1
dxdy 
ZZ
z(x, y) dxdy .
A
Ceci s’exprime en disant que h est la hauteur moyenne du cylindre tronqué.
Cas particuliers :
A est un triangle
Le centre de gravité d’une surface triangulaire est l’isobarycentre des sommets. Notons A′1 , A′2 , A′3 les
points dans P ′ et A1 , A2 , A3 leur projection sur P . On a alors, d’après la proposition (4)
−−→′ 1 −−−→′ −−−→′ −−−→′
GG = (A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 ) .
3
−−−
→′
−−→
Mais les vecteurs Ai Ai sont colinéaires aux vecteurs GG′ et de même sens. Si hi désigne la longueur
Ai A′i on a donc également
1
h = (h1 + h2 + h3 ) ,
3
et cette valeur est la hauteur moyenne du cylindre de base triangulaire. On a donc
V =
h1 + h2 + h3
SA .
3
BH 12
h1
h3
h
h2
A est un cercle de rayon R
Dans ce cas A′ est une ellipse dont le centre G′ , qui est aussi son centre de gravité, se projette sur
le centre G du cercle. Si A′1 et A′2 sont les extrémités du diamètre de l’ellipse orthogonal à la droite
intersection des deux plans P et P ′ , et si A1 et A2 sont les projections sur le plan P , notons h1 et h2
les longueurs de A1 A′1 et A2 A′2 .
A′1
G′
h1
A′2
h
h2
R
A1
G
On a alors
h=
d’où
V =
h1 + h2
2
h + h′
πR2 .
2
A2
BH 13
A est une demi-ellipse limitée par un diamètre
Soit la demi-ellipse A d’équation
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
située dans le demi-plan des y positifs. Cherchons pour commencer l’ordonnée de son centre de gravité.
On a
2
yG =
πab
Za
−a
 √
b



1−x2 /a2
Z
0


2
y dy 
 dx = πab
Za
b2
2
−a
x2
1− 2
a
dx =
4b
.
3π
Dans le plan yOz, la droite passant par les points de coordonnées (0, h1 ) et (b, h2 ) a pour équation
z=
h2 − h1
y + h1 .
b
Donc pour yG , on obtient
h2 − h1 4b
+ h1 =
h=
b
3π
4
1−
3π
h1 +
z6
h1
h
h2
-
0
4b
3π
En particulier, si h1 est nul, on a
V =
B
2
abh2 ,
3
y
4
h2 .
3π
BH 14
et dans le cas particulier d’une base semi-circulaire de rayon R,
V =
2 2
R h2 .
3
Ceci permet d’obtenir le volume de l’intersection de deux cylindres de même rayon R et d’axes orthogonaux.
Cette intersection est formée de 8 objets qui sont des cylindres tronqués de base semi-circulaire avec
h1 = 0 et h2 = R.
BH 15
R
R
On a donc
V =
16r 3
.
3
Coordonnées barycentriques
Dans ce paragraphe, on se place dans un espace vectoriel E sur R, (mais on pourrait aussi bien se
placer dans un espace affine).
Définition 1 Une famille de vecteurs (V1 , . . . , Vn ) est dite convexement liée ou C-liée, si une
des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :
i) il existe des scalaires (λ1 , . . . , λn ) non tous nuls tels que
n
X
n
X
λi Vi = 0 et
λi = 0 ;
i=1
i=1
ii) un des vecteurs Vi est combinaison linéaire convexe (barycentre) des autres ;
iii) il existe i0 tel que la famille (Vi − Vi0 )i6=i0 soit liée.
i) implique ii).
Il existe i0 tel que λi0 ne soit pas nul. Alors la relation
n
X
λi = 0
i=1
implique
λi0 = −
donc
n
X
i=1
λi Vi =
X
i6=i0
X
λi ,
i6=i0
λi Vi −
X
i6=i0
λi Vi0 = 0 .
BH 16
Pour i différent de i0 , posons
µi = −
On a alors
λi
.
λi0
X
Vi0 =
µi Vi ,
i6=i0
avec
X
µi = 1 .
i6=i0
Donc Vi0 est combinaison linéaire convexe des autres vecteurs.
ii) implique iii).
Supposons que
X
Vi0 =
µ i Vi
i6=i0
avec
X
µi = 1 .
i6=i0
Les µi ne sont pas tous nuls et
X
i6=i0
µi (Vi − Vi0 ) =
X
i6=i0
µi Vi − Vi0 = 0 .
La famille (Vi − Vi0 )i6=i0 est donc liée.
iii) implique i).
Supposons que la famille (Vi − Vi0 )i6=i0 soit liée. Il existe des nombres µi non tous nuls tels que
X
µi (Vi − Vi0 ) = 0 .
i6=i0
Posons alors
λi =




si i 6= i0
µi


 −
X
µi
si i = i0
.
i6=i0
Les nombres λi ne sont pas tous nuls, mais leur somme est nulle et
n
X
λi Vi = 0 .
i=1
Définition 2 Une famille de vecteurs de E sera dite C-libre, si elle n’est pas C-liée.
BH 17
Conséquence : si E est de dimension finie p, une famille C-libre contient au plus p + 1 vecteurs, car
la famille (Vi − Vn )1≤i≤n−1 est libre.
Définition 3 Une famille (V1 , . . . , Vn ) de vecteurs de E sera dite C-génératrice, si elle satisfait
une des conditions équivalentes suivantes :
i) tout vecteur V de E est barycentre des éléments de la famille ;
ii) pour tout indice i0 , la famille (Vi − Vi0 )i6=i0 est une famille génératrice de E ;
iii) il existe i0 tel que la famille (Vi − Vi0 )i6=i0 soit une famille génératrice de E .
i) implique ii).
Soit V un vecteur de E . Alors V + Vi0 s’écrit comme barycentre des Vi . Donc il existe (µ1 , . . . , µn ) tel
que
n
X
µ i Vi ,
V + Vi0 =
i=1
avec
n
X
µi = 1 ,
i=1
d’où
V =
n
X
i=1
µi (Vi − Vi0 ) =
X
i6=i0
µi (Vi − Vi0 ) .
Il en résulte que V est combinaison linéaire des vecteurs Vi − Vi0 qui forment donc une famille génératrice.
ii) implique iii) est évident.
iii) implique i).
Si la famille (Vi − Vi0 )i6=i0 est génératrice, et si V est dans E , on a donc
V − Vi0 =
d’où
V =
X
i6=i0
X
i6=i0
µi (Vi − Vi0 ) ,
X µ i Vi + 1 −
µi Vi0 .
i6=i0
Donc V est barycentre des Vi .
Conséquence : si E est de dimension p, une famille génératrice comporte au moins p + 1 vecteurs.
BH 18
Remarquons aussi qu’une famille C-liée est liée.
Définition 4
C-génératrice.
Une famille de vecteurs de E sera dite une C-base, si elle est à la fois C-libre et
Il résulte des propriétés ci-dessus, en considérant la famille (Vi −Vi0 )i6=i0 qu’une C-base d’un espace vectoriel de dimension p contient exactement p + 1 vecteurs, et que toute famille C-libre ou C-génératrice
de p + 1 vecteurs est alors une C-base.
Définition 12
sous la forme
Si (e1 , . . . , ep+1 ) est une C-base, tout vecteur V de E s’écrit de manière unique,
V =
p+1
X
λi ei
i=1
avec
p+1
X
λi = 1 .
i=1
Les nombres (λ1 , . . . , λp+1 ) sont les coordonnées barycentriques de V relativement à la C-base
(e1 , . . . , ep+1 ).
Dans la suite, nous noterons χ, la forme linéaire sur Rp+1 qui à un vecteur associe la somme de ses
coordonnées dans la base canonique.
Proposition 13 L’application Φ de E dans Rp+1 qui à V associe ses coordonnées barycentrique
dans une C-base (e1 , . . . , en+1 ), est une bijection convexe de E sur l’hyperplan
H = χ−1 (1) .
Il est clair que Φ est bijective, l’application réciproque Φ−1 étant définie sur H par
Φ−1 (λ1 , . . . , λp+1 ) =
p+1
X
λi ei .
i=1
De plus, si l’on a
V =
p+1
X
i=1
λi ei
et W =
p+1
X
i=1
µi ei
BH 19
avec
p+1
X
λi =
µi = 1 ,
i=1
i=1
alors, pour tout γ réel,
p+1
X
p+1
X
(γλi + (1 − γ)µi )ei .
γV + (1 − γ)W =
i=1
Or
p+1
p+1
p+1
X
X
X
µi = γ + (1 − γ) = 1 .
λi + (1 − γ)
(γλi + (1 − γ)µi ) = γ
i=1
i=1
i=1
On en déduit que
Φ(γV + (1 − γ)W ) = γΦ(V ) + (1 − γ)Φ(W ) .
L’application Φ est donc convexe.
Remarque : l’application n’est pas linéaire. Cependant, grâce à la convexité, on aura
Φ(λV + µW ) = Φ(λV + µW + (1 − λ − µ)0) = λΦ(V ) + µΦ(W ) + (1 − λ − µ)Φ(0) .
Proposition 14 Dans H une famille est libre si et seulement si elle est C-libre.
Soit (X1 , · · · , Xn ) une famille liée de H . Un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. Par
exemple
X
Xi0 =
λi Xi .
i6=i0
En appliquant χ, on obtient
1=
X
λi .
i6=i0
Donc Xi0 est combinaison linéaire convexe des autres vecteurs et la famille est C-liée. Comme la réciproque est toujours vraie, on a donc équivalence.
Proposition 15
Une famille de vecteurs (V1 , . . . , Vn ) de E est C-libre si et seulement si
(Φ(V1 ), . . . , Φ(Vn )) est libre.
Si Vi0 est barycentre des autres vecteurs Vi , en raison de la convexité de Φ, cela équivaut au fait
que Φ(Vi0 ) est barycentre des autres Φ(Vi ). Donc le système (V1 , . . . , Vn ) est C-lié si et seulement si
(Φ(V1 ) . . . , Φ(Vn )) est C-lié, et d’après la proposition précédente, ceci est encore équivalent au fait que
BH 20
le système (Φ(V1 ) . . . , Φ(Vn )) est lié.
Corollaire
Le système (V1 , . . . , Vp+1 ) est une C-base de E
det(Φ(V1 ) . . . , Φ(Vp+1 )) est non nul.
si et seulement si
Par exemple dans R2 , si (e1 , e2 , e3 ) est une C-base et si, pour i compris entre 1 et 3, on a
Vi = αi e1 + βi e2 + γi e3 ,
avec
αi + βi + γi = 1 ,
le système (V1 , V2 , V3 ) est une C-base si et seulement si
α1 β1 γ1 α2 β2 γ2 6= 0 .
α3 β3 γ3 Remarquons, qu’en ajoutant les deux premières colonnes
α1 β1 γ1 α1
α2 β2 γ2 = α2
α3 β3 γ3 α3
Donc, en développant
à la dernière, on trouve
β1 1
β2 1 .
β3 1
α1 β1 γ1 α2 β2 γ2 = α1 α2 + α2 α3 + α3 α1 ,
β1 β2 β2 β3 β3 β1 α3 β3 γ3 et l’on peut permuter les rôles de αi , βi , γi .
Exprimons par exemple le fait que (e1 , V1 , V2 )
α1
α2
1
ce qui donne déjà
n’est pas une C-base. On a alors
β1 γ1 β2 γ2 = 0 ,
0 0
β1 γ1 β2 γ2 = 0 .
En ajoutant les deux premières colonnes à la troisième, on obtient
α1 β1 γ1 α1 β1 1 α β1 + β1 − β2 ,
0 = α2 β2 γ2 = α2 β2 1 = 1
α2 β2 1 0 0 1 0 1
BH 21
et de même en ajoutant à la deuxième colonne les deux autres
α1 β1 γ1 α1 1 γ1 γ1 α1 + γ2 − γ1 .
0 = α2 β2 γ2 = α2 1 γ2 = γ2 α2 1 0 0 1 1 0
On a donc les trois relations
(*)
β1 γ1 = 0 , α1 β1 = β2 − β1 , γ1 α1 = γ1 − γ2 .
β2 γ2 α2 β2 γ2 α2 Une application des coordonnées barycentriques
Plaçons nous dans le plan complexe.
L’aire d’une surface limitée par un polygone de sommets z1 , z2 ,. . . , zn est donnée par la formule
A=
1
| Im(z1 z̄2 + z2 z̄3 + · · · + zn z̄1 )| .
2
′
Cela vient du fait que si z = |z|eiθ et z ′ = |z ′ |eθ , alors
′
zz̄ ′ = |z||z ′ |ei(θ−θ ) .
Alors
Im(zz̄ ′ ) = |z||z ′ | sin(θ − θ ′ ) ,
et cette quantité est le double de l’aire algébrique du triangle de sommets 0, z, z ′ . L’aire algébrique de
A est la somme des aires algébriques des triangles 0zj zj+1 .
Proposition 16 Soit a, b, c trois points non colinéaires du plan complexe. Deux droites issues de
a coupent deux droites issues de b en quatre points z1 , z2 , z3 , z4 sommets d’un quadrilatère convexe.
Si, pour i compris entre 1 et 4 ,
zk = αk a + βk b + γk c
avec
αk + βk + γk = 1 ,
alors, le rapport de l’aire du quadrilatère z1 z2 z3 z4 à celle du triangle abc vaut |γ1 − γ2 + γ3 − γ4 |.
BH 22
a
z4
z1
z3
z2
b
c
L’aire du triangle vaut
A=
1
| Im(ab̄ + bc̄ + cā)| ,
2
et celle du quadrilatère vaut
A′ =
1
| Im(z1 z̄2 + z2 z̄3 + z3 z̄4 + z4 z̄1 )| .
2
On remplace les zk par leur expression, et on effectue la calcul de A′ en utilisant le fait que
Im(uv̄) = − Im(vū) et
Im(uū) = 0 .
On obtient
1
A′ =
2
!
4 4 4 X
X
X
γk γk+1 βk βk+1 αk αk+1 cā ,
bc̄ +
ab̄ +
Im
αk αk+1 γk γk+1
βk βk+1
k=1
k=1
k=1
où les indices sont pris modulo 4.
Il ne reste plus qu’à calculer les 12 déterminants figurant dans l’expression de A′ . En se servant des
formules (*), on obtient
α1 α2 = β2 − β1 , α1 α2 = γ2 − γ1 , β1 β2 = 0 .
β1 β2 γ1 γ2 γ1 γ2 En exprimant que a, z3 , z4 sont alignés, on
α3 α4 β3 β4 = β4 − β3 ,
trouve de même
α3 α4 = γ4 − γ3 , β3 β4 = 0 .
γ3 γ4 γ3 γ4 BH 23
En exprimant que b, z1 , z4 sont alignés, on obtient
α1 α4 β1 β4 α1 α4 β1 β4 = α1 − α4 , γ1 γ4 = γ4 − γ1 , γ1 γ4 = 0 .
En exprimant que b, z2 , z3 sont alignés, on obtient
β2 β3 α2 α3 α2 α3 β2 β3 = α2 − α3 , γ2 γ3 = γ3 − γ2 , γ2 γ3 = 0 .
En remplaçant alors dans A′ , le coefficient de ab̄ vaut
(β2 − β1 ) + (α2 − α3 ) + (β4 − β3 ) + (α4 − α1 ) = (1 − γ2 ) − (1 − γ1 ) − (1 − γ3 ) + (1 − γ4 ) = γ1 − γ2 + γ3 − γ4 .
On trouve le même résultat pour les deux autres coefficients. La valeur absolue de ce nombre est donc
le rapport cherché.