BH 2
Mais d’autre part, on a pour tout i,
−−→
GGi=
ni
X
j=1
λij
−1ni
X
j=1
λij −−−→
GAij ,
et en remplaçant, il vient,
−→
0 =
n
X
i=1
ni
X
j=1
λij −−−→
GAij ,
ce qui montre que Gest le barycentre des points (Aij )1≤i≤n , 1≤j≤niaffectés des coefficients λij .
Application : Soit A1,A2,A3trois points du plan. L’isobarycentre Gde ces points, est aussi le
barycentre du milieu M1de [A2, A3]affecté du coefficient 2et de A1affecté du coefficient 1. Il est
donc situé sur la médiane M1A1, aux 2/3de celle-ci à partir de A1. Par permutation circulaire sur les
points A1, A2, A3, on retrouve le fait que Gest le point d’intersection des médianes.
Proposition 2 Soit npoints A1,...,Andistincts appartenant à A. Ils forment nsegments
[A1, A2],. . . [An, A1]. L’isobarycentre des points A1,...,Anet aussi l’isobarycentre des milieux
de ces nsegments.
Posons A0=An, et pour ientre 0et n−1, soit Mile milieu de [Ai, Ai+1 ]. Soit Gl’isobarycentre
des points A1,...,An. Pour icompris entre 0et n−1, on a donc
−−→
GMi=1
2(−−→
GAi+−−−−→
GAi+1).
Alors n
X
i=1
−−→
GAi=1
2
n
X
i=1
(−−→
GAi+−−−−→
GAi+1) =
n
X
i=1
−−→
GAi=−→
0.
Donc Gest bien l’isobarycentre des points Mi.
Proposition 3 Soit n+ 1 points d’un espace affine Ade dimension n, non situés dans un sous-
espace affine strict de A, et deux systèmes de coefficients distincts de somme 1. Alors les barycentres
sont distincts.
Si l’on a pour tout point Ode A,
−−→
OG =
n+1
X
i=1
λi−−→
OAi=
n+1
X
i=1
µi−−→
OAi,
on en déduit n+1
X
i=1
(λi−µi)−−→
OAi=−→
0.