bh - barycentre

BH - BARYCENTRE
Dans ce qui suit on se place dans un espace affine Aassocié à un espace vectoriel Esur R. Si besoin
est, l’espace sera euclidien, et en dimension finie, sera muni d’un repère orthonormé direct.
Barycentre de npoints
Soit npoints A1,...,Ande Aet nréels λ1,...,λndont la somme n’est pas nulle. Il existe un point
Gde Aunique tel que
n
X
i=1
λi−−→ GAi=−→ 0.
Ce point Gest appelé barycentre des points A1,...,Anaffectés des coefficients λ1,...,λn.
On a alors, pour tout point Ode A,
−−→
OG = n
X
i=1
λi!−1n
X
i=1
λi−−→
OAi.
Le barycentre ne change pas, si tous les coefficients sont multipliés par un même nombre non nul, et
ne dépend pas de l’ordre des couples (Ai, λi).
Lorsque les coefficients λisont égaux, le barycentre est alors appelé isobarycentre.
Proposition 1 Propriété d’associativité
Pour icompris entre 1et n, on considère des couples (Aij , λij )1≤j≤nide A×Rtels que, les sommes
λi=
ni
X
j=1
λij et
n
X
i=1
λi
ne soient pas nulles.
Soit Gile barycentre des points (Aij )1≤j≤niaffectés des coefficients λij . Alors le barycentre des
points (Aij )1≤i≤n , 1≤j≤niaffectés des coefficients λij est aussi le barycentre des points (Gi)1≤i≤n
affectés des coefficients λi.
Appelons Gle barycentre des points (Gi)1≤i≤naffectés des coefficients λi. On a donc
−→
0 =
n
X
i=1
λi−−→ GGi=
n
X
i=1 
ni
X
j=1
λij
−−→
GGi.

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Mais d’autre part, on a pour tout i,
−−→
GGi=
ni
X
j=1
λij 
−1ni
X
j=1
λij −−−→ GAij ,
et en remplaçant, il vient,
−→
0 =
n
X
i=1
ni
X
j=1
λij −−−→
GAij ,
ce qui montre que Gest le barycentre des points (Aij )1≤i≤n , 1≤j≤niaffectés des coefficients λij .
Application : Soit A1,A2,A3trois points du plan. L’isobarycentre Gde ces points, est aussi le
barycentre du milieu M1de [A2, A3]affecté du coefficient 2et de A1affecté du coefficient 1. Il est
donc situé sur la médiane M1A1, aux 2/3de celle-ci à partir de A1. Par permutation circulaire sur les
points A1, A2, A3, on retrouve le fait que Gest le point d’intersection des médianes.
Proposition 2 Soit npoints A1,...,Andistincts appartenant à A. Ils forment nsegments
[A1, A2],. . . [An, A1]. L’isobarycentre des points A1,...,Anet aussi l’isobarycentre des milieux
de ces nsegments.
Posons A0=An, et pour ientre 0et n−1, soit Mile milieu de [Ai, Ai+1 ]. Soit Gl’isobarycentre
des points A1,...,An. Pour icompris entre 0et n−1, on a donc
−−→
GMi=1
2(−−→
GAi+−−−−→ GAi+1).
Alors n
X
i=1
−−→
GAi=1
2
n
X
i=1
(−−→ GAi+−−−−→ GAi+1) =
n
X
i=1
−−→
GAi=−→ 0.
Donc Gest bien l’isobarycentre des points Mi.
Proposition 3 Soit n+ 1 points d’un espace affine Ade dimension n, non situés dans un sous-
espace affine strict de A, et deux systèmes de coefficients distincts de somme 1. Alors les barycentres
sont distincts.
Si l’on a pour tout point Ode A,
−−→
OG =
n+1
X
i=1
λi−−→ OAi=
n+1
X
i=1
µi−−→ OAi,
on en déduit n+1
X
i=1
(λi−µi)−−→ OAi=−→ 0.

BH 3
En particulier, en prenant O=A1, on a
n+1
X
i=2
(λi−µi)−−−→ A1Ai=−→ 0.
Mais puisque les Aisont n+ 1 points non situés dans un sous-espace affine strict de A, les nvecteurs
−−−→
A1Ai, obtenus pour ivariant de 2àn+ 1, sont linéairement indépendants, ce qui implique que λi−µi
est nul pour tout icompris entre 2et n+ 1. Alors, pour tout point O, on a
n+1
X
i=1
(λi−µi)−−→ OAi= (λ1−µ1)−−→ OA1=−→ 0,
et en prenant Odistinct de A1, le nombre λ1−µ1est nul également.
Proposition 4 Soit Gle barycentre des points A1,...,Anaffectés des coefficients λ1,...,λn, et
G′le barycentre des points A′
1,...,A′
naffectés des mêmes coefficients. Alors
−−→
GG′=
n
X
i=1
λi−−−→
AiA′
i.
Pour tout point O, on a
−−→
OG =
n
X
i=1
λi−−→ OAiet −−→ OG′=
n
X
i=1
λi−−→
OA′
i.
Alors par soustraction
−−→
GG′=
n
X
i=1
λi−−−→
AiA′
i.
Proposition 5 Soit Gle barycentre des points A1,...,Anaffectés des coefficients λ1,...,λn, et
soit ϕune transformation affine de A. Alors ϕ(G)est le barycentre des points ϕ(A1),...,ϕ(An)
affectés des coefficients λ1,...,λn.
Soit Ll’application linéaire associée à ϕ. On a
n
X
i=1
λi−−→
GAi=−→ 0,
donc
L n
X
i=1
λi−−→
GAi!=
n
X
i=1
λiL(−−→ GAi) =
n
X
i=1
λi−−−−−−−→ ϕ(G)ϕ(Ai) = −→ 0.

BH 4
Proposition 6 On suppose le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct
(0,−→ e1,−→ e2,−→ e3). On note det(−→ U , −→ V), le déterminant de deux vecteurs −→ U,−→ Vde Edans la base
(−→ e1,−→ e2,−→ e3).
Soit Gle barycentre des points A1, A2, A3affectés des coefficients λ1, λ2, λ3. Alors, dans R3, les
vecteurs (λ1, λ2, λ3)et (det(−−→ GA2,−−→ GA3),det(−−→ GA3,−−→ GA1),det(−−→ GA1,−−→ GA2)) sont colinéaires.
En effet, en partant de la relation
λ1−−→ GA1+λ2−−→ GA2+λ3−−→ GA3=−→ 0
on obtient
−→
0 = det(λ1−−→
GA1+λ2−−→
GA2+λ3−−→
GA3,−−→
GA3)
=λ1det(−−→ GA1,−−→ GA3) + λ2det(−−→ GA2,−−→ GA3)
=−λ1det(−−→ GA3,−−→ GA1) + λ2det(−−→ GA2,−−→ GA3)
=−
λ1det(−−→ GA2,−−→ GA3)
λ2det(−−→
GA3,−−→
GA1).
Par permutation circulaire, on obtient aussi
λ2det(−−→ GA3,−−→ GA1)
λ3det(−−→ GA1,−−→ GA2)=
λ3det(−−→ GA1,−−→ GA2)
λ1det(−−→ GA2,−−→ GA3)= 0 .
Les vecteurs (λ1, λ2, λ3)et (det(−−→ GA2,−−→ GA3),det(−−→ GA3,−−→ GA1),det(−−→ GA1,−−→ GA2)) sont donc colinéaires.
Corollaire Soit Gle barycentre des points A1, A2, A3affectés des coefficients positifs λ1, λ2, λ3.
Alors, dans R3, les vecteurs (λ1, λ2, λ3)et (Aire(GA2A3),Aire(GA3A1),Aire(GA1A2)) sont coli-
néaires.
L’aire Aire(GAB)d’un triangle GAB est la moitié de la valeur absolue du déterminant det(−→ GA, −−→ GB).
Lorsque les coefficients λisont positifs, les trois déterminants de la proposition précédente ont le même
signe, et dans ce cas, le vecteur (det(−−→ GA2,−−→ GA3),det(−−→ GA3,−−→ GA1),det(−−→ GA1,−−→ GA2)) est colinéaire au vec-
teur (Aire(GA2A3),Aire(GA3A1),Aire(GA1A2)).

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Généralisation
On généralise la notion de barycentre au cas d’un sous-ensemble Aportant une mesure de probabilité µ.
Il existe un point Gunique, appelé barycentre de Apour la mesure µ, tel que
Z
A
−−→
GM dµ(M) = −→ 0.
Ce point vérifie, pour tout point Ode A, la relation
−−→
OG =Z
A
−−→
OM dµ(M).
En particulier, si A1,...,Ansont des points de A, et si λ1...,λnsont des réels dont la somme vaut
1, on retrouve le barycentre des npoints Ai,...,Anaffectés des coefficients λ1...,λnen prenant la
mesure
µ=
n
X
i=1
λiδAi,
où δMest la mesure de Dirac au point M.
Proposition 7 On suppose que Aest de dimension p, et que (O, −→ e1,...,−→ ep)est un repère de
A. Notons (x1(M),...,xp(M)) les coordonnées de Mdans ce repère. Alors les coordonnées du
barycentre de Apour la mesure µsont données par
xi(G) = Z
A
xi(M)dµ(M).
On a en effet
−−→
OG =Z
A
−−→
OMdµ(M) = Z
A p
X
i=1
xi(M)−→ ei!dµ(M) =
p
X
i=1 
Z
A
xi(M)dµ(M)
ei.
Proposition 8 Propriété d’associativité
Soit {A1,...,An}une partition de Aen ensembles de mesure non nulle. Soit µila probabilité
conditionnelle relative à Ai, définie par
µi= (µ(Ai))−1µ ,
et soit Gile barycentre de Aipour la mesure µi. Alors le barycentre de Apour la mesure µest
aussi le barycentre des points (Gi)1≤i≤naffectés des coefficients µ(Ai).