Forces; Moments Mécanique: chapitre 2 INTRODUCTION Toute action mécanique s'exerçant sur un objet a pour effet soit: ¾ de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement, ¾ de le maintenir en équilibre, ¾ de le déformer. Toute action mécanique exercée sur un objet est décrite par quatre caractéristiques: ¾ le point d'application, ¾ la droite d'action, Caractéristiques d’un VECTEUR ¾ le sens, ¾ la valeur: son intensité. Une FORCE est une grandeur vectorielle Portance Poids Une action sur un solide se décrit en général par PLUSIEURS FORCES. ATTENTION !! Il est souvent insuffisant de ne connaître que la somme vectorielle de toutes les forces pour décrire le mouvement d’un solide. Une somme des forces nulle peut mettre en mouvement un solide (cas d'un couple de forces). F1 F1 + F2 = 0 F2 Il est nécessaire de connaître une grandeur supplémentaire, le MOMENT total des forces (somme vectorielle des moments des forces) s'exerçant sur le solide. Somme vectorielle des forces + Somme vectorielle des moments des forces = TORSEUR FORCE 1. LES FORCES Caractéristiques d’une force ¾ ¾ ¾ ¾ son point d'application, A sa droite d'action, Δ son sens, son intensité, F. r F Δ A Les forces suivent donc les lois de l'algèbre des vecteurs, ez F1 F = F1 + F2 F2 ey F1 F2 ex Pour les composantes ⎡ f1x ⎤ ⎢ ⎥ F1 = ⎢ f1 y ⎥ ⎢f ⎥ ⎣ 1z ⎦ ⎡ f2x ⎤ ⎢ ⎥ F2 = ⎢ f 2 y ⎥ ⎢f ⎥ ⎣ 2z ⎦ ⎡ f1x + ⎢ F = ⎢ f1 y + ⎢f + ⎣ 1z f2x ⎤ ⎥ f2 y ⎥ f 2 z ⎥⎦ Exemple: solide ponctuel suspendu à 2 ressorts F = F1 + F2 F2 F1 P + F1 + F2 = 0 P = −F Les forces peuvent être regroupées en trois familles: ¾ ¾ ¾ les forces de champ: force de gravitation, force électrostatique, force magnétique, les forces de contact: force de frottement, les forces nucléaires assurant la cohésion du noyau atomique. Les forces s'expriment en Newton, noté N Exemple: Le poids appartient à la première famille. Défini par les caractéristiques suivantes: ¾ son point d'application: le centre d'inertie (centre de gravité) du solide ¾ sa droite d'action: la verticale, ¾ son sens: du haut vers le bas, ¾ son intensité: P = m⋅g m, masse en kg du solide g, accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s2 sur la terre). G P = mg Centre de gravité d’un ensemble de points Définition: moyenne pondérée Exemple: 4 points, A1, A2, A3, A4, de masses m1, m2, m3, m4 ⎧ x1 ⎪ A1 ⎨ y1 ⎪z ⎩1 z ⎧ x4 ⎪ A4 ⎨ y4 ⎪z ⎩ 4 A2 m2 A3 m3 G m1 A4 m4 A1 O x ⎧ x3 ⎪ A3 ⎨ y3 ⎪z ⎩ 3 ⎧ x2 ⎪ A2 ⎨ y2 ⎪z ⎩ 2 y Soit M la masse totale des 4 points M = m1 + m2 + m3 + m4 Chaque point intervient proportionnellement à sa masse M OG = m1OA1 + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4 m OA + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4 OG = 1 1 M m1x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 ⎧ = x ⎪ G M ⎪ m y + m2 y2 + m3 y3 + m4 y4 ⎪ OG = ⎨ yG = 1 1 M ⎪ m1z1 + m2 z2 + m3z3 + m4 z4 ⎪ = z ⎪⎩ G M Exemple: 2 sphères reliées par une tige de masse négligeable. Les rayons des sphères sont supposés suffisamment petits pour pouvoir être négligés. Par symétrie: xG = 0 et yG = 0 m1 ⎧0 ⎪ A2 ⎨a ⎪0 ⎩ ⎧0 ⎪ A1 ⎨− a ⎪0 ⎩ z A1 O G A2 m2 y x a a M = m1 + m2 yG = ( −a )m1 + am2 M m m yG = − 1 a + 2 a M M Application numérique: a = 50 cm, m1 = 100 g, m2 = 300 g Remarque: OA1 = OG + GA1 ( yG = − 100 300 50 + 50 = 25 cm 400 400 OA2 = OG + GA2 ) M OG = m1 OG + GA1 + m2 (OG + GA2 ) M OG = ( m1 + m2 )OG + m1GA1 + m2 GA2 M OG = M OG + m1GA1 + m2 GA2 0 = m1GA1 + m2 GA2 m1GA1 + m2 GA2 = 0 Application au cas de 2 masses ⎧ xG = 0 ⎪ m − m1 ⎪ OG = ⎨ yG = 2 a M ⎪ ⎪⎩ zG = 0 ⎧ x1 = 0 ⎪ OA1 = ⎨ y1 = − a ⎪z = 0 ⎩1 m1 z A1 O G A2 m2 y x a a ⎧ x2 = 0 ⎪ OA2 = ⎨ y2 = a ⎪z = 0 ⎩ 2 − 2m2 m + m2 + m2 − m1 m − m1 a a= a=− 1 y1 − yG = −a − 2 M M M m − m1 m + m2 − m2 + m1 2m y2 − yG = a − 2 a= 1 a= 1a M M M m1( y1 − yG ) + m2 ( y2 − yG ) = − 2m1m2 2m m a+ 1 2 a=0 M M m1GA1 + m2 GA2 = 0 Cas général d’un ensemble de N points Exemple: N points, A1, A2,……. AN, de masses m1, m2, ……, mN Masse totale M= ∑ A2 m2 z N mi A3 m3 i =1 Centre de gravité OG = 1 M N ∑ mi OAi i =1 G m1 A4 m4 A1 O Coordonnées ⎧ 1 ⎪ xG = M ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1 ⎨ yG = M ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ zG = M ⎪⎩ y N ∑ mi xi i =1 N ∑ mi yi i =1 N ∑ mi zi i =1 x N ∑ mi GAi = 0 i =1 AN mN Cas d'un solide quelconque: distribution continue de points. PRINCIPE DU CALCUL On divise le volume en un un très grand nombre (infinité) de petits volumes élémentaires (cubiques), entourant chacun un point Ai. Chaque volume élémentaire vaut dv = dxdydz Chaque volume contient une masse élémentaire égale à dm = ρ dv ρ = masse volumique = masse de l’unité de volume On est ramené au cas de n points matériels; les points matériels sont les volumes infiniment petits OG = 1 M ∑OA ⋅ dm z Tous les volumes élémentaires A2 M est la masse totale du solide ∑ dm M= Tous les volumes élémentaires Puisque la taille des volumes élémentaires est infiniment petite, l’expression précédente devient une intégrale OG = ∫ 1 M OA ⋅ dm = Volume M= ∫ dm = Volume ∫ 1 M ∫ A1 dz OA ⋅ ρdv dy A4 O Volume ρdv Volume dx x y A3 z H α Masse du disque élémentaire r dz dm = ρ ⋅ π R2 z2 H R A = ρ⋅π dz R2 H 2 dm = Az 2dz Masse totale du cône H M= y z Coordonnée du centre de gravité: 2 dm = ρ ⋅ πr 2dz ∫ Az dz 2 0 zG = 1 M 0 AH 4 3 3 zG = = H 4 AH 3 4 ⎡ z3 ⎤ AH 3 2 M = A z dz = A⎢ ⎥ = 3 ⎣⎢ 3 ⎦⎥0 ∫ 0 H H ∫ H H z ⋅ Az 2dz H A ⎡ z4 ⎤ A H4 1 3 zG = A z dz = ⎢ ⎥ = M ⎣⎢ 4 ⎦⎥ M 4 M 0 ∫ 0 zG = 3 H 4 ANNEXE dv = πr 2dz ANNEXE Volume du disque élémentaire x ANNEXE r z = R H ANNEXE Relation de proportionnalité: ANNEXE O ρ = masse volumique (masse de l’unité de volume) ANNEXE Exemple: centre de gravité d’un cône 2. ROTATION AUTOUR D’UN AXE: MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE On se limite au cas d’une force perpendiculaire à l’axe Soit d la distance entre l’axe Δ et la droite d’action de la force (d = AB) Le moment vectoriel de la force par rapport à l’axe Δ est un vecteur: ¾ perpendiculaire au plan déterminé par AB et la droite d’action de F donc porté par l’axe Δ ¾ dont le sens indique le sens de rotation imposé par la force (règle de la main droite) ¾ de module égal à: r M Δ ( F ) = F .d (Δ) r M Δ (F ) A d B F (Δ) r MΔ ( F ) = 0 Remarque: si la droite d’action de la force passe par l’axe de rotation,le moment de la force par rapport à l’axe est nul (d = 0) F Exemple: serrage d’un boulon z CAS N° 1: F1 suivant - Oz M Ox ( F1 ) = F1d M Ox ( F1 ) M Ox ( F1 ) O y d x F1 dirigé suivant – Ox z CAS N° 2: F2 suivant Oy O M Ox ( F2 ) = 0 F2 y F2 passe par l’axe z x CAS N° 3: F3 suivant Ox M Ox ( F3 ) = 0 O y x F3 F3 n’est pas perpendiculaire à l’axe mais parallèle à l’axe z CAS N° 4: F4 avec: une composante suivant – Oz une composante suivant Oy M Ox ( F4 ) a α O M Ox ( F4 ) = F4a F4 y y = F4d cos α d x M Ox ( F4 ) = F4 z d α F4 z F4 Seule la composante suivant –Oz intervient F4 = F4 y + F4 z M Ox ( F4 ) = M Ox ( F4 y ) + M Ox ( F4 z ) =0 (Cas n°2) Cas n°1 M Ox ( F4 ) = M Ox ( F4 z ) COUPLE DE FORCES z M Ox ( F1 ) = F1 M Ox ( F1 ) dirigé suivant Ox M Ox ( F2 ) = F2 M Ox ( F2 ) L L =F 2 2 F1 = F L L =F 2 2 L 2 dirigé suivant Ox Résultante des forces O B A F1 + F2 = 0 Moment résultant (COUPLE) M Ox ( F1 ) + M Ox ( F2 ) = F ⋅ L y L 2 M Ox ( F2 ) F2 = − F x M Ox ( F1 ) L’application d’un couple à un solide a généralement pour effet de le mettre en rotation A1 OA2 = OG + GA2 OA3 = OG + GA3 O x y OA4 = OG + GA4 m (OG + OA1 ) + m2 (OG + OA2 ) + m3 (OG + OA3 ) + m4 (OG + OA4 ) OG = 1 m1 + m2 + m3 + m4 OG = ( m1 + m2 + m3 + m4 )OG m1GA1 + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4 + m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 m GA ) + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4 OG = OG + 1 1 m1 + m2 + m3 + m4 m GA ) + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4 0= 1 1 m1 + m2 + m3 + m4 m1GA1 + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4 = 0 ANNEXE ANNEXE A4 m4 OA1 = OG + GA1 ANNEXE G m1 m OA + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4 OG = 1 1 m1 + m2 + m3 + m4 ANNEXE A3 m3 ANNEXE A2 m2 ANNEXE z ANNEXE Force F Point d’application: B. Moment vectoriel par rapport à un point A: r r M A ( F ) = AB ∧ F Produit vectoriel ANNEXE r M A (F ) α F ANNEXE 3. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT P r M A (F ) r F et la force perpendiculaire au plan (P) déterminé par le vecteur AB Sa direction est donnée par la règle des trois doigts de la main droite. Elle permet de connaître le sens dans lequel va s’effectuer la rotation du solide Module r r M A ( F ) = AB ⋅ F ⋅ sin α UNITE: Newton.mètre (N.m) ANNEXE A ANNEXE ANNEXE B ANNEXE Le module du moment s’écrit aussi A ANNEXE (Δ) P Le module du moment vectoriel est égal au produit du module de la force par la distance du point A à la droite d’action de la force. Expression analytique du vecteur moment ⎧rx ⎪ AB = ⎨ry ⎪ ⎩rz ⎧ Fx ⎪ F = ⎨ Fy ⎪ ⎩ Fz ⎧ry Fz − rz Fy r ⎪ M A ( F ) = ⎨rz Fx − rx Fz ⎪r F − r F ⎩x y y x ANNEXE B ANNEXE r M A ( F ) = F .d d ANNEXE r r M A ( F ) = F ⋅ AB ⋅ sin α r r M A ( F ) = F ⋅ AH α H ANNEXE r F r M A (F )