FICHE DE REVISION DENOMBREMENT ET BARYCENTRE

FICHE DE REVISION DENOMBREMENT ET BARYCENTRE
Exercice n°1
Au service du personnel, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire un
sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service.
1) Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?
2) Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?
3) Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?
Exercice n°2
On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions.
Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte.
Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard.
On appelle X la variable aléatoire désignant le nombre de réponses exactes données par ce
candidat à l’issue du questionnaire.
1) Quelle est la loi de probabilité de X ?
2) Calculer la probabilité pour qu’il fournisse au moins 8 bonnes réponses, et soit ainsi
sélectionné.
Exercice n°3
Une urne contient 3 pièces équilibrées. Deux d'entre elles sont normales : elles possèdent un
côté « Pile » et un côté « Face ». La troisième est truquée et possède deux côtés « Face ».
On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers
successifs de cette pièce. On considère les évènements suivants:
B : la pièce prise est normale.
: la pièce prise est truquée.
P : on obtient « Pile » au premier lancer. Fn: on obtient « Face » pour les n premiers lancers.
1) a) Quelle est la probabilité de l'évènement B ?
b) Quelle est la probabilité de l'évènement P sachant que B est réalisé ?
2) Calculer la probabilité de l'événement P
En déduire la probabilité de l'évènement P.
B, puis de l'évènement P
.
3) Calculer la probabilité de l’évènement Fn
B puis de l'évènement Fn
.
En déduire la probabilité de l'évènement Fn .
Exercice n°4
Dans le plan (P), on considère un triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH], telle que
AH=BC=4, l’unité choisie étant le centimètre.
1) Construire, en justifiant, le point G barycentre du système de points pondérés
{(A;2);(B;1);(C;1)}
2) M est un point quelconque de (P). Montrer que le vecteur
vecteur de norme 8
est un
3) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que
4) On considère le système de points pondérés {(A;2);(B;n);(C;1)} où n est un entier naturel
fixé.
a) Montrer que le barycentre Gn de ce système, existe quelle que soit la valeur de n
b) Montrer que pour tout entier naturel n , Gn appartient à [AH]
c) Soit
n
l’ensemble des points M du plan tels que
Montrer que
n
.
est un cercle contenant le point A, dont on précisera le centre et le rayon
d) Déterminer la distance AGn en fonction de n
5) Quel est le comportement de Gn lorsque n tend vers l’infini ?
1) Montrer que
2) a) Construire le barycentre K du système de points pondérés {(A;1),(B;1),(C;-1)}
b) Montrer que K est aussi le barycentre du système de points pondérés [(G;3),(C;-2)}
3) a) Déduire de la relation (1) que A est le barycentre des points pondérés {(D;1),(G;3),(C;2)}
b) Montrer que A est le milieu du segment [DK]
4) Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M du plan tels que :
5) a) Pour quelle(s) valeur(s) du réel m le barycentre Im du système {(D;m),(G;3),(C;-2)}
existe-t-il ?
b) Lorsque Im existe, montrer que :
c) Étudier les variations de la fonction
et dresser son tableau de variations (on
précisera ses limites aux bornes de son domaine de définition sans justification).
d) En déduire le lieu géométrique du point Im lorsque le réel décrit l’ensemble
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