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,
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barycentre. Le calcul dans le repère d'origine 0 et d'unité 1 est compliqué; je me place dans le repère
d'origine 1244 et d'unité 1/10 , et il me reste à faire la moyenne des nombres –3, 2, 11, 3.
Homogénéité: Pour tout λ≠0, Baryc (Ai,αi) = Baryc (Ai,λαi).
Associativité: Partageons l'ensemble d'indices {1,…,n} en deux parties J et K. Notons GJ (resp GK) le
barycentre des (Ai,αi)i∈J (resp (Ai,αi)i∈K). Alors le barycentre de tous les Ai est aussi le barycentre
de GJ muni du coefficient ∑
i∈J
αi et de Gk muni du coefficient ∑
i∈K
αi (tout ceci n'étant bien entendu
valable que si ces deux sommes sont non nulles).
Conséquence: On sait tracer le barycentre de n points, car on sait tracer le barycentre de deux points.
Les barycentres de trois points A, B et C non alignés sont dans le plan ABC.
Image du barycentre par une application affine: Soit f une application affine de E dans E ou dans un
autre espace affine E', alors le barycentre des (f(Ai),αi) est l'image par f du barycentre des (Ai,αi).
Cette propriété caractérise les applications affines.
III Compléments: Convexité: a) Un sous-ensemble X du plan est dit convexe si pour tout couple
(A,B) de points de X, le segment AB est dans X. Il est équivalent de dire que pour toute famille de
points (Ai) de X, les barycentres à coefficients positifs des Ai sont dans X.
b) L'image d'un convexe par une application affine, est un convexe.
c) Toute intersection de convexes est convexe.
Coordonnées barycentriques planes: Soit ABC un triangle (non aplati) du plan P. Pour tout point M
de P, il existe un unique triplet de coefficients α, β et γ tels que α+β+γ = 1, et que M soit le
barycentre de (A,α), (B,β) et (C,γ). Ces coefficients sont appelés les coordonnées barycentriques de M
(par rapport au triangle).
Le point M est à l'intérieur du triangle si et seulement si les trois coefficients sont positifs. On
peut ici discuter le signe des trois coefficients en fonction des 7 régions déterminées par les droites
AB, BC et CA.
Exercice: Calculer les coordonnées barycentriques du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit,
du centre du cercle inscrit, de l'orthocentre…
IV Exercices possibles: Soit un triangle dont la masse est concentrée en A, B et C. Si on le suspend
par un point quelconque M, sa position d'équilibre est telle que MG est verticale (où on a noté G le
barycentre de (A,mA), (B,mB) et (C,mC)).
Le théorème de Ménélaüs: Soient trois points M, N et P sur les cotés BC, CA et AB du
triangle ABC. On les suppose distincts des sommets. Si MB
MC
NC
NA
PA
PB
= 1, alors les points M, N et
P sont alignés.
Le théorème de Céva: Soient trois points M, N et P sur les cotés BC, CA et AB du triangle
ABC. On les suppose distincts des sommets. Si MB
MC
NC
NA
PA
PB
= –1, alors les droites AM, BN et
CP sont concourrantes où parallèles.
Dans un tétraèdre les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées, sont concourrantes.
Démonstrations qui peuvent être réservées : Celles de l'associativité, du lien avec les applications
affines et du a) de la convexité. Et celles des exercices si l'on en propose un ou deux.