(∑ αi) xG

Leçon sur le barycentre
1994-95
n
Titre de la leçon (46 en 1994) : Etude de l'application M →
→
αi MAi . Définition et propriétés
∑
i=1
du barycentre de n points pondérés. Associativité de la barycentration. Application à la détermination
de barycentres attachés à des configurations usuelles du plan et/ou de l'espace.
Dans ce qui suit E désigne soit un plan, soit l'espace, soit, plus généralement, un espace affine;
→
nous noterons E l'espace des vecteurs de E.
I Définition: On considère n points Ai affectés de coefficients αi. A tout point M du plan on associe
→
le vecteur f (M) =
n
→
→
αi MAi . On obtient ainsi une application de E dans E . Cette fonction est
∑
i=1
quelquefois appelée fonction vectorielle de Leibniz.
→
→
Pour tout couple (M,M') on a f (M) – f (M') = (
n
→
αi) MM' (calcul facile). Il en résulte
∑
i=1
n
a) Si
→
αi = 0, alors la fonction f est constante.
∑
i=1
n
b) Si
→
αi ≠ 0, la fonction f est bijective. Il existe donc un unique point G tel que
∑
i=1
→
f (G) = 0. Ce point G est appelé le barycentre des points Ai munis des coefficients αi. Remarquons
→
→
que la relation f (M) – f (M') = (
n
∑
i=1
aura (
→ →
αi) MG = f (M) =
n
→
αi) MM' , nous dit alors que pour tout point M du plan on
∑
i=1
n
→
αi MAi . L'origine du mot barycentre est mécanique, c'est l'étude
∑
i=1
des centres de gravité (qui sont des barycentres à coefficients positifs).
II Propriétés du barycentre:
Barycentres sur la droite: Construction du barycentre de deux points A et B; il est sur la droite AB.
Réciproquement tout point M de la droite AB est barycentre de A et B avec des coefficients bien
 et -MA
 ).
choisis ( MB
n
Coordonnées du barycentre: Plaçons nous dans un repère. La formule (
∑
i=1
→
αi) MG =
n
→
αi MAi
∑
i=1
nous dit que si xi est l'abscisse de Ai, alors xG est donnée par la formule
n
∑
i=1
(
n
α i xi .
∑
i=1
αi) xG =
Les coordonnées de G sont les moyennes pondérées (par les αi) de celles des Ai.
Applications: Si je fais la moyenne de n températures, je trouve un nombre différent suivant que je
mesure en degrés Fahrenheit ou en degrés Celsius, mais ces deux nombres représentent la même
températures. Car dans les deux cas on détermine le barycentre de n points sur la droite des
températures, mais dans des repères différents.
Faire la moyenne des nombres 1243,7 ; 1244,2 ; 1245,1 et 1244,3 c'est déterminer un
barycentre. Le calcul dans le repère d'origine 0 et d'unité 1 est compliqué; je me place dans le repère
d'origine 1244 et d'unité 1/10 , et il me reste à faire la moyenne des nombres –3, 2, 11, 3.
Homogénéité: Pour tout λ≠0, Baryc (Ai,αi) = Baryc (Ai,λαi).
Associativité: Partageons l'ensemble d'indices {1,…,n} en deux parties J et K. Notons GJ (resp GK) le
barycentre des (Ai,αi)i∈J (resp (Ai,αi)i∈K). Alors le barycentre de tous les Ai est aussi le barycentre
de GJ muni du coefficient
αi et de Gk muni du coefficient ∑ αi (tout ceci n'étant bien entendu
∑
i∈J
i∈K
valable que si ces deux sommes sont non nulles).
Conséquence: On sait tracer le barycentre de n points, car on sait tracer le barycentre de deux points.
Les barycentres de trois points A, B et C non alignés sont dans le plan ABC.
Image du barycentre par une application affine: Soit f une application affine de E dans E ou dans un
autre espace affine E', alors le barycentre des (f(Ai),αi) est l'image par f du barycentre des (Ai,αi).
Cette propriété caractérise les applications affines.
III Compléments: Convexité: a) Un sous-ensemble X du plan est dit convexe si pour tout couple
(A,B) de points de X, le segment AB est dans X. Il est équivalent de dire que pour toute famille de
points (Ai) de X, les barycentres à coefficients positifs des Ai sont dans X.
b) L'image d'un convexe par une application affine, est un convexe.
c) Toute intersection de convexes est convexe.
Coordonnées barycentriques planes: Soit ABC un triangle (non aplati) du plan P. Pour tout point M
de P, il existe un unique triplet de coefficients α, β et γ tels que α+β+γ = 1, et que M soit le
barycentre de (A,α), (B,β) et (C,γ). Ces coefficients sont appelés les coordonnées barycentriques de M
(par rapport au triangle).
Le point M est à l'intérieur du triangle si et seulement si les trois coefficients sont positifs. On
peut ici discuter le signe des trois coefficients en fonction des 7 régions déterminées par les droites
AB, BC et CA.
Exercice: Calculer les coordonnées barycentriques du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit,
du centre du cercle inscrit, de l'orthocentre…
IV Exercices possibles: Soit un triangle dont la masse est concentrée en A, B et C. Si on le suspend
par un point quelconque M, sa position d'équilibre est telle que MG est verticale (où on a noté G le
barycentre de (A,mA), (B,mB) et (C,mC)).
Le théorème de Ménélaüs: Soient trois points M, N et P sur les cotés BC, CA et AB du
 PA

 NC
MB
triangle ABC. On les suppose distincts des sommets. Si    = 1, alors les points M, N et
MC NA PB
P sont alignés.
Le théorème de Céva: Soient trois points M, N et P sur les cotés BC, CA et AB du triangle
 PA

 NC
MB
ABC. On les suppose distincts des sommets. Si 
 PB
 = –1, alors les droites AM, BN et
MC NA
CP sont concourrantes où parallèles.
Dans un tétraèdre les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées, sont concourrantes.
Démonstrations qui peuvent être réservées : Celles de l'associativité, du lien avec les applications
affines et du a) de la convexité. Et celles des exercices si l'on en propose un ou deux.
1994-95
Leçon barycentre et produit scalaire.
n
Titre de la leçon (47 en 1994) : Dans le plan, étude de la fonction M →
α i MAi2
∑
i=1
et de ses
lignes de niveau. En particulier, transformation de MA2 +MB 2 et MA2 –MB 2 ; interprétation
géométrique.
Proposition pour un plan: Le titre demande de se placer dans le plan, mais l'essentiel de ce qui suit
est valable dans n'importe quel espace affine muni d'un produit scalaire; nous le noterons E et nous
→
noterons E l'espace des vecteurs de E. On remarquera que les mots "interprétation géométrique" n'ont,
dans ce contexte, aucun sens; on les traduira par "applications" ou "exercices".
I: La fonction scalaire de Leibniz: On considère n points Ai affectés de coefficients αi. A tout
n
point M du plan on associe le nombre f(M) =
αi MAi2. On obtient ainsi une application de E
∑
i=1
dans
. Cette fonction est quelquefois appelée fonction scalaire de Leibniz.
→
Pour étudier cette fonction, on remarque que MAi2 = MAi2. On peut alors écrire,pour tout
point P
→ →
→
→ →
→
→
MAi2 = (MP+PAi)2 = MP2 + 2 MP.PAi + PAi2
D'où, en sommant pour tous les i:
n
∑
i=1
f(M) = (
→
→
αi) MP2 + 2 MP.
n
→
αi PAi + f(P)
∑
i=1
Deux cas sont alors possibles:
→
Si la somme des αi est nulle, il reste f(M) = 2 MP.
→
(voir la première leçon sur le barycentre) que le vecteur V =
n
→
α i PA i +
∑
i=1
f(P), et nous savons
n
→
α i PA i
∑
i=1
est indépendant de P. Il
→
→ →
reste donc f(M) – f(P) = 2 MP. V. Il en résulte (donner le calcul détaillé) que, si V≠0, f est surjective,
et que l'ensemble des solutions de l'équation f(M) = A est - dans le plan - une droite perpendiculaire à
→
→
V. Si V est nul, la fonction f est clairement constante.
Si la somme des α i n'est pas nulle, les points (Ai,α i) ont un barycentre G; en
n
→
αi) MG2 + f(G). Il en résulte que l'image de f
∑
i=1
choisissant ce point pour point P, il reste f(M) = (
est l'intervalle [f(G),+∞[ si la somme des α i est positive, et ]–∞,g(G)] si elle est négative. Et
l'ensemble des solutions de l'équation f(M) = A est soit vide, soit le point G, soit un cercle centré en G
(dans l'espace ce serait une sphère).
II: Quelques cas particuliers: Nous allons étudier trois cas particuliers simples.
Cas particulier n°1: Etude de f(M) = MA2–MB2. On est dans le cas où la somme des α est nulle. Au
lieu de reprendre le calcul général(*), nous pouvons écrire
→ →
→ →
→ → →
f(M) = (MA+MB).(MA–MB) = (MA+MB).BA.
→ →
D'où, en notant I le milieu de BA, f(M) = 2 MI.BA. Il en résulte que l'équation f(M) = K a pour
solutions les points d'une droite perpendiculaire à AB (donner le calcul détaillé).
Cas particulier n°2: Etude de f(M) = MA2+MB 2. On est dans le cas où la somme des α est non
nulle. Au lieu de reprendre le calcul général, nous pouvons écrire
→ →
→ →
→
→
f(M) = (MI+IA)2+(MI+IB)2 = 2MI2 + 2 IB2
(en notant I le milieu de BA). Il en résulte que l'équation f(M) = λ n'a pas de solution si λ < 2 IB2,
qu'elle a pour seule solution le point I si λ = 2 IB2, et qu'elle a un cercle de solutions si λ > 2 IB2.
MA
Cas particulier n°3: Etude de l'ensemble des points M tels que MB = k (k nombre positif donné). La
MA
relation MB = k, s'écrit aussi MA2–k2MB2 = 0. Si k = 1, on est dans le cas où la somme des αi est
nulle, et on sait -inutile d'insister - que l'ensemble cherché est la médiatrice de AB. Si k≠1, on est dans
le cas où la somme des α i est non nulle. En notant G le barycentre de (A,1) et (B,–k2 ), nous
obtenons l'équation équivalente
→
(1–k2) MG2 + (GA2 – k2GB2) = 0.


QA
PA
L'ensemble cherché a deux points sur la droite AB, les points P et Q tels que  = k et  = – k ;
PB
QB
donc il n'est pas vide , et est un cercle (centré en G). Cet ensemble est symétrique par rapport à la
droite AB (car les données sont symétriques par rapport à AB), donc c'est un cercle de diamètre PQ.
III: Quelques applications
Exercice: Soit ABC un triangle non aplati, et trois nombres a, b et c. On note DA, DB et DC les
ensembles de solutions des équations MB2–MC2 = a, MC2–MA2 = b et MA2–MB2 = c. Montrer
que DA , DB et DC ont un point commun si et seulement si a+b+c = 0. En déduire que les trois
hauteurs du triangle ont un point commun.
Exercice: Soit A,B,C un triangle (on note a,b, et c les longueurs des cotés), déterminer (en fonction de
a, b et c) des nombres α,β et γ tels que l'ensemble des points M tels que αMA2 + βMB2 + γMC2 =
1, soit le cercle circonscrit. En déduire une expression des coordonnées barycentriques du centre de ce
cercle.
(*) Est il préférable de refaire ce calcul simple ? Est il préférable d'utiliser au maximum le calcul général fait
précedemment ? Je ne sais pas répondre à de telles questions. Peut être peut on donner ce nouveau calcul, mais en
précisant que ce n'est qu'un cas particulier du précédent.