Barycentre.

BARYCENTRES. DROITES ET PLANS DES L'ESPACE.
1°) Barycentre de n points pondérés.
a) Existence et unité.
Th et Déf 1 : Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n
≥
≥ 2) .
Si la somme a1 + a2 + … + an est non nulle, alors il existe un unique point G de l'espace tel que
a1
→
→
GA1 + a2
→
→
GA2 + … + an
→
→
GAn =
→
→
0.
G est appelé le barycentre de ces n points pondérés.
remarque : si tous les coefficients a1, a2, … ,an sont égaux et non nuls,, G est appelé isobarycentre des points A1, A2, … ,
An.
Exemple : l'isobarycentre de (A, 1) et (B, 1) est le milieu de [AB].
l'isobarycentre de (A, 1) et (B, 1), (C, 1) est le centre de gravité du triangle ABC.
exemple : G est le barycentre de (A, a) et (B, b), (avec a + b
≠
0)
⇔
a
→
GA + b
→
GB =
→
0
a
→
GA + b (
→
GA +
→
AB) =
→
0
(a + b )
→
GA + b
→
AB =
→
0
→
GA = – b
a + b
→
AB
→
AG = b
a + b
→
AB, G est sur (AB)
Prop 1: Le barycentre est indépendant de l'ordre choisi pour les points pondérés.
Prop 2 : Homogénéité.
Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n
≥
≥ 2) avec a1 + a2 + … + an
≠
≠ 0. Alors, pour tout réel k non
nul, le barycentre G de ces points pondérés est aussi le barycentre de (A1, ka1), (A2, ka2), …. , (An, kan).
Dans la recherche d'un barycentre, on peut multiplier les coefficients par le même réel non nul.
b) Réduction d'une somme vectorielle.
Th 1 : Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n
≥
≥ 2) .
Si a1 + a2 + … + an
≠
≠ 0, et si G est le barycentre de ces points pondérés, alors pour tout point M de l'espace,
a1
→
→
MA1 + a2
→
→
MA2 + … + an
→
→
MAn = (a1 + a2 + … + an )
→
→
MG .
Si a1 + a2 + … + an = 0, alors le vecteur a1
→
→
MA1 + a2
→
→
MA2 + … + an
→
→
MAn est indépendant du point M.
c) Coordonnées et affixes.
Th 2 : (O,
→
→
i,
→
→
j) est un repère du plan. Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n
≥
≥ 2) avec
a1 + a2 + … + an
≠
≠ 0. Soit (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn) leurs coordonnées respectives, et (xG, yG) les coordonnées de
leur barycentre G. Alors
xG = a1 x1 + a2 x2 + … + an xn
a1 + a2 + … anet yG = a1 y1 + a2 y2 + … + an yn a1 + a2 + … an
rem : dans un repère (O,
→
i,
→
j,
→
k) on a une formule analogue pour zk.
Th 3 : Soit z1, z2, …, zn les affixes de A1, A2, …., An dans le plan complexe.
Alors zG = a1 z1 + a2 z2 + … + an zn
a1 + a2 + … an .
d) Associativité du barycentre et barycentre partiel.
Th 4 : Soit G le barycentre de n points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) tels que a1 + a2 + … + an
≠
≠ 0, avec
n
≥
≥ 3 et H le barycentre de p points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (Ap, ap) tels que a1 + a2 + … + ap
≠
≠ 0 avec
2
≤
≤ p
≤
≤ n – 1.
Le point G est le barycentre de (H, a1 + a2 + … + ap), (Ap+1, ap+1), …, (An, an).
On peut remplacer plusieurs points par leur barycentre affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
e) Conservation du barycentre.
Prop 3 : Dans le plan, soit f une translation, une rotation, une symétrie axiale ou une homothétie, l'image f(G) du
barycentre G des points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) est le barycentre de (f(A1), a1), (f(A2), a2), …. ,
(f(An), an).
On dit que f conserve le barycentre.

2°) Caractérisations barycentriques.
a) Caractérisation de la droite (AB).
Th 5 : Soit A et B deux points distincts de l'espace. L'ensemble des barycentres des points A et B est la droite (AB).
exemple : soit A et B distincts, G le point de (AB) tel que
→
AG = k
→
AB , k réel.
→
AG = k
→
AB
⇔
→
AG = k (
→
AG +
→
GB)
⇔
→
0 = (k - 1)
→
AG+ k
→
GB
⇔
(1 – k)
→
GA + k
→
GB =
→
0
donc G est le barycentre de (A, 1 – k), (B, k)
Lorsque G est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors
→
AG = b
a + b
→
AB, G est sur (AB)
b) Caractérisation du segment [AB].
Th 6 : Soit A et B deux points distincts de l'espace. L'ensemble des barycentres des points A et B avec des
coefficients de même signe est le segment [AB].
c) Caractérisation d'un plan et d'un triangle.
Th 7 : Soit A et B trois points non alignés de l'espace.
L'ensemble des barycentres des points A, B, C est le plan (ABC).
L'ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe et non nuls est
l'intérieur du triangle (ABC).
L'ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe et de somme non nulle
est la réunion de l'intérieur du triangle ABC et de ses côtés.
3°) Représentation paramétrique.
Prop 4 : Dans un repère (O,
→
→
i,
→
→
j,
→
→
k) de l'espace, Soit A(xA,yA, zA) et
→
→
u(αα, ββ, γγ)non nul.
Un point M(x, y, z) de l'espace appartient à la droite D passant par A et de vecteur directeur
→
→
u si et seulement si il
existe un réel t tel que 
 x = xA + αα t
y = yA + ββ t
z = zA + γγ t . Nous avons un système d'équations paramétriques de la droite.
rem : une droite a une infinité de représentation paramétriques, il suffit de changer le point A ou de changer le vecteur
directeur.
Pour déterminer la représentation paramétrique d'une droite, il faut Déterminer un point A et un vecteur directeur
→
u.
exemple:
A(3 ; 4 ; 5) et B (1 ; -2 ; 3).
→
AB a pour coordonnées (-2 ;-6 ; -2) , on prendra pour vecteur directeur
→
u =
→
AB.
M(x, y, z)
∈
(AB)
⇔
→
AM et
→
u sont colinéaires
il existe un réel t tel que
→
AM = t
→
u
→
OM =
→
OA +
→
AM =
→
OA + t
→
u
 x = 3 – 2 t
y = 4 – 6 t
z = 5 – 2 t on a ainsi une représentation paramétrique de la droite (AB).
exemple:
Soit la droite D de représentation paramétrique 
 x = 4 +2 t
y = 3 – 5 t
z = 4 – 3 t
Il faut trouver deux points de D :
par exemple, pour t = 0 : A(4 ; 3 ; 4) et pour t = 1, B(6 ; – 2 ; 1) et on retrouve
→
u ( 2 ; – 5 ; – 3).
Pour trouver l'intersection de cette droite avec le plan d'équation z = 0,
j'écris que pour ce point t vérifie z = 4 – 3 t = 0, donc t = 4
3 donc x = 20 3 , et y = – 11 3 Ce point a donc pour coordonnées
( 20
3 ; – 11 3 ; 0).