Barycentre.

BARYCENTRES. DROITES ET PLANS DES L'ESPACE.
1°) Barycentre de n points pondérés.
a) Existence et unité.
Th et Déf 1 : Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n ≥ 2) .
Si la somme a1 + a2 + … + an est non nulle, alors il existe un unique point G de l'espace tel que
→
→
→
→
a1 GA1 + a2 GA2 + … + an GAn = 0 .
G est appelé le barycentre de ces n points pondérés.
remarque : si tous les coefficients a1, a2, … ,an sont égaux et non nuls,, G est appelé isobarycentre des points A1, A2, … ,
An.
Exemple : l'isobarycentre de (A, 1) et (B, 1) est le milieu de [AB].
l'isobarycentre de (A, 1) et (B, 1), (C, 1) est le centre de gravité du triangle ABC.
exemple : G est le barycentre de (A, a) et (B, b), (avec a + b ≠ 0)
⇔
→
→

→
a GA + b GB = 0

→
→
→
→
a GA + b→
( GA +→
AB) →= 0
(a + b ) GA + b AB = 0
→
b →
GA = –
AB
a+b
→
b →
AG =
AB, G est sur (AB)
a+b
Prop 1: Le barycentre est indépendant de l'ordre choisi pour les points pondérés.
Prop 2 : Homogénéité.
Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n ≥ 2) avec a1 + a2 + … + an ≠ 0. Alors, pour tout réel k non
nul, le barycentre G de ces points pondérés est aussi le barycentre de (A1, ka1), (A2, ka2), …. , (An, kan).
Dans la recherche d'un barycentre, on peut multiplier les coefficients par le même réel non nul.
b) Réduction d'une somme vectorielle.
Th 1 : Soit (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n ≥ 2) .
Si a1 + a2 →+ … + an ≠ 0,
et si G est le barycentre de→ ces points pondérés, alors pour tout point M de l'espace,
→
→
a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn = (a1 + a2 + … + an ) MG .
→
→
→
Si a1 + a2 + … + an = 0, alors le vecteur a1 MA1 + a2 MA2 + … + an MAn est indépendant du point M.
c) Coordonnées et affixes.
→ →
Th 2 : (O, i , j ) est un repère du plan. Soit (A1, a1), (A 2, a2), …. , (An, an) n points pondérés ( n ≥ 2) avec
a1 + a2 + … + an ≠ 0. Soit (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn) leurs coordonnées respectives, et (xG, yG) les coordonnées de
leur barycentre G. Alors
a x + a x + … + an xn
a y + a y + … + an yn
xG = 1 1 2 2
et yG = 1 1 2 2
a1 + a2 + … an
a1 + a2 + … an

→

→

→
rem : dans un repère (O, i , j , k ) on a une formule analogue pour zk.
Th 3 : Soit z1, z2, …, zn les affixes de A1, A2, …., An dans le plan complexe.
a z + a z + … + an zn
Alors zG = 1 1 2 2
.
a1 + a2 + … an
d) Associativité du barycentre et barycentre partiel.
Th 4 : Soit G le barycentre de n points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) tels que a1 + a2 + … + an ≠ 0, avec
n ≥ 3 et H le barycentre de p points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (Ap, ap) tels que a1 + a2 + … + ap ≠ 0 avec
2 ≤ p ≤ n – 1.
Le point G est le barycentre de (H, a1 + a2 + … + ap), (Ap+1, ap+1), …, (An, an).
On peut remplacer plusieurs points par leur barycentre affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
e) Conservation du barycentre.
Prop 3 : Dans le plan, soit f une translation, une rotation, une symétrie axiale ou une homothétie, l'image f(G) du
barycentre G des points pondérés (A1, a1), (A2, a2), …. , (An, an) est le barycentre de (f(A1), a1), (f(A2), a2), …. ,
(f(An), an).
On dit que f conserve le barycentre.
2°) Caractérisations barycentriques.
a) Caractérisation de la droite (AB).
Th 5 : Soit A et B deux points distincts de l'espace. L'ensemble des barycentres des points A et B est la droite (AB).
→
→
exemple : soit A et B distincts, G le point de→(AB) tel que AG = k AB , k réel.

→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
AG = k AB ⇔ AG = k ( AG + GB) ⇔ 0 = (k - 1) AG+ k GB ⇔(1 – k) GA + k GB = 0
donc G est le barycentre de (A, 1 – k), (B, k)
→
Lorsque G est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors AG =
b →
AB, G est sur (AB)
a+b
b) Caractérisation du segment [AB].
Th 6 : Soit A et B deux points distincts de l'espace. L'ensemble des barycentres des points A et B avec des
coefficients de même signe est le segment [AB].
c) Caractérisation d'un plan et d'un triangle.
Th 7 : Soit A et B trois points non alignés de l'espace.
L'ensemble des barycentres des points A, B, C est le plan (ABC).
L'ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe et non nuls est
l'intérieur du triangle (ABC).
L'ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe et de somme non nulle
est la réunion de l'intérieur du triangle ABC et de ses côtés.
3°) Représentation paramétrique.
→
→
→
Prop 4 : Dans un repère (O, i , j , k) de l'espace, Soit A(xA,yA, zA) et u (α
α, β , γ)non nul.
→
Un point M(x, y, z) de l'espace appartient à la droite D passant par A et de vecteur directeur u si et seulement si il
 x = xA + α t
existe un réel t tel que  y = yA + β t . Nous avons un système d'équations paramétriques de la droite.
 z = zA + γ t
rem : une droite a une infinité de représentation paramétriques, il suffit de changer le point A ou de changer le vecteur
directeur.

→
Pour déterminer la représentation paramétrique d'une droite, il faut Déterminer un point A et un vecteur directeur u .
→
exemple:
A(3 ; 4 ; 5) et B (1 ; -2 ; 3).
→
→

→
AB a pour coordonnées (-2 ;-6 ; -2) , on prendra pour vecteur directeur u = AB.
→
M(x, y, z) ∈ (AB) ⇔ AM et u sont colinéaires
→

→
il existe un réel t tel que AM = t u
→
→
→
→

→
OM = OA + AM = OA + t u
 x = 3 – 2 t
 y = 4 – 6 t on a ainsi une représentation paramétrique de la droite (AB).
 z = 5 – 2 t

→
exemple:
 x = 4 +2 t
Soit la droite D de représentation paramétrique  y = 3 – 5 t
 z = 4 – 3 t
Il faut trouver deux points de D :
par exemple, pour t = 0 : A(4 ; 3 ; 4)

→
et pour t = 1, B(6 ; – 2 ; 1) et on retrouve u ( 2 ; – 5 ; – 3).
Pour trouver l'intersection de cette droite avec le plan d'équation z = 0,
4
20
11
j'écris que pour ce point t vérifie z = 4 – 3 t = 0, donc t = donc x =
, et y = – Ce point a donc pour coordonnées
3
3
3
20
11
(
; – ; 0).
3
3