On a
R(x, y) = x3y−x4
(x2+y4)px2+y2.
Si x= 0, on voit que R(x, y)=0; dans le cas contraire,
|x3y−x4|=|x3(y−x)|=|x|3|y−x|=|x|x2|y−x| ≤ |x|(x2+y4)|y−x|
et
|R(x, y)| ≤ |x||y−x|
px2+y2
≤px2+y2|y−x|
px2+y2
et donc, dans tous les cas :
|R(x, y)| ≤ |y−x| ≤ |x|+|y| ≤ 2px2+y2,
lequel tend vers 0lorsque (x, y)tend vers (0,0).
fest donc bien différentiable en (0,0), avec df(0,0) = 0.
Exercice II
1. Un extremum local de gdoit satisfaire aux conditions ∂g
∂x = 0 et ∂g
∂y = 0, soit
(2xe−(x2+y2)−2x3e−(x2+y2)= 0
−2x2ye−(x2+y2)−2y= 0 ,
ou
2x(1 −x2)e−(x2+y2)= 0
−2x2ye−(x2+y2)−2y= 0 .
La première équation nous donne x∈ {−1,0,1}. Lorsque x= 0, la seconde s’écrit alors −2y= 0,
soit y= 0 ; lorsque x∈ {−1,1}, elle s’écrit −2y(1 + e−y2−1)=0, soit aussi y= 0. Les éventuels
extrema locaux de gsont donc à rechercher parmi les points (1,0),(−1,0) et (0,0).
Afin d’éclaircir la question, calculons la matrice hessienne de gen chacun de ces points. On a
∂2g
∂x2= (2 −10x2+ 4x4)e−(x2+y2),
∂2g
∂x∂y =∂2g
∂y∂x = (4x3y−4xy)e−(x2+y2),
et
∂2g
∂y2= (−2x2+ 4x2y2)e−(x2+y2)−2.
Il en résulte que Hess(g)(1,0) =
−4
e0
0−2
e−2
,
2