a supprimer

May 22, 2016
f(x) =
1
1
a+h − a
h
=
=
=
=
=
1
x
(le taux d’accroissement, on remplace x par a+h et par a )
a+h
a
− a(a+h)
a(a+h)
h
a−(a+h)
a(a+h)
(on regroupe les fractions sous le même dénominateur)
h
a−a−h
a(a+h)
h
−h
a(a+h)
h
(on met au même dénominateur)
(on enlève la parenthèse)
(oui, on a le droit de faire a-a=0, ça t’étonne ? :hap: )
−h
ha(a+h)
(*)
EXPLICATION de la dernière manipulation:
a
Ici on a une franction de la forme cb , et on apprend en classe de 4eme que
diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. C’est-à-dire qu’ici,
on a la fraction ab , et on divise toute cette fraction par c. Or, c= 1c , et l’inverse
de c c’est 1c . Donc quand on divise ab , en réalité, c’est strictement la même
a
chose que faire ab × 1c = bc
. Si tu prends a=-h , b=a(a+h), c=h (oui on a le droit
de faire ça, car ce sont tous des nombres, et encore une fois, je le répète, quand
on a un truc vrai avec des nombres, on peut les remplacer par ce qu’on veut,
peu importe que ce soit des chiffres, des lettres, des polynômes, des matrices,
des espaces vectoriels, des espaces hilbertiens, des séries convergentes ou même
des éléments vectoriels complexes. Quand une chose est vraie, elle est tout le
temps vraie, donc oui on a le droit de faire ça), on obtient bien l’égalité que j’ai
appelé (*), il suffit de remplacer
=
−1
a(a+h)
(on a simplifié par h)
Alors maintenant, on fait tendre h vers 0. Quand h tend vers, tu devrais
être d’accord que a+h tend vers a+0=a, non ? J’espère que oui. :hap: . Si oui,
1
−1
−1
alors maintenant on a que notre truc là tend vers a×(a+0)
= a×a
= −1
a2 .
0
Maintenant, nous on voulait f (2), ce qui nous donne, quand on remplace a
−1
par 2: f 0 (2) = −1
22 = 4
Et voilà ! Et il est clair que −1
4 < 0 (on est d’accord hein, c’est négatif, ça se
voit ? :hap: ) La fonction f(x) = x1 est décroissante en x=2. C’est uniquement
pour x=2, on ne l’a pas démontré pour les autres x ! Juste pour x=2 !
2