a supprimer

May 22, 2016
f(x) = 1
x
1
a+h−1 a
h(le taux d’accroissement, on remplace x par a+h et par a )
=
a
a(a+h)−a+h a(a+h)
h(on met au mˆeme d´enominateur)
=
a−(a+h)
a(a+h)
h(on regroupe les fractions sous le mˆeme d´enominateur)
=
a−a−h
a(a+h)
h(on enl`eve la parenth`ese)
=
−h
a(a+h)
h(oui, on a le droit de faire a-a=0, ¸ca t’´etonne ? :hap: )
=−h
ha(a+h)(*)
EXPLICATION de la derni`ere manipulation:
Ici on a une franction de la forme
a
b
c, et on apprend en classe de 4eme que
diviser par une fraction revient `a multiplier par son inverse. C’est-`a-dire qu’ici,
on a la fraction a
b, et on divise toute cette fraction par c. Or, c= c 1, et l’inverse
de c c’est 1
c. Donc quand on divise a b, en r´ealit´e, c’est strictement la mˆeme
chose que faire a
b×1 c=a bc . Si tu prends a=-h , b=a(a+h), c=h (oui on a le droit
de faire ¸ca, car ce sont tous des nombres, et encore une fois, je le r´ep`ete, quand
on a un truc vrai avec des nombres, on peut les remplacer par ce qu’on veut,
peu importe que ce soit des chiffres, des lettres, des polynˆomes, des matrices,
des espaces vectoriels, des espaces hilbertiens, des s´eries convergentes ou mˆeme
des ´el´ements vectoriels complexes. Quand une chose est vraie, elle est tout le
temps vraie, donc oui on a le droit de faire ¸ca), on obtient bien l’´egalit´e que j’ai
appel´e (*), il suffit de remplacer
=−1
a(a+h)(on a simplifi´e par h)
Alors maintenant, on fait tendre h vers 0. Quand h tend vers, tu devrais
ˆetre d’accord que a+h tend vers a+0=a, non ? J’esp`ere que oui. :hap: . Si oui,
1

alors maintenant on a que notre truc l`a tend vers −1
a×(a+0) =−1 a×a=−1 a2.
Maintenant, nous on voulait f0(2), ce qui nous donne, quand on remplace a
par 2: f0(2) = −1
22=−1 4
Et voil`a ! Et il est clair que −1
4<0 (on est d’accord hein, c’est n´egatif, ¸ca se
voit ? :hap: ) La fonction f(x) = 1
xest d´ecroissante en x=2. C’est uniquement
pour x=2, on ne l’a pas d´emontr´e pour les autres x ! Juste pour x=2 !
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