Etudier la courbe paramétrée par x(t) = −3t 5 + 6t4 + 5t3 − 12t , y(t)=1
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064 - 1 Etudier la courbe paramétrée par x(t) = −3t5 + 6t4 + 5t3 − 12t2 , y(t) = 1 − t4 . Domaine de définition Les fonctions x et y sont définies sur R. Dérivées On obtient x′ (t) = 3t(1 − t2 )(5t − 8) et y ′ (t) = −4t3 . La dérivée x′ s’annule en −1, 1 et 8/5, et les deux dérivées s’annulent en 0. En particulier 7424 3471 ≈ −2, 37 et y(8/5) = − ≈ −5, 55 . 3125 625 En t = 0, on a un point singulier. On a immédiatement − → − → − → → → → → U2 = −12− ı , U3 = 5− ı , U4 = 6− ı −− . − → − → − → − → Les vecteurs U2 et U3 sont colinéaires, alors que U2 et U4 ne le sont pas. On obtient un point de rebroussement de deuxième espèce à tangente horizontale. x(8/5) = − Intersection avec Ox Les points d’intersection avec Ox sont obtenus lorsque t = ±1 et donnent des points à tangentes verticales. Intersection avec Oy En dehors de 0, l’abscisse x s’annule pour la racine réelle du polynôme −3t3 + 6t2 + 5t − 12 qui ne se calcule pas simplement. Une valeur approchée est 0, 92 et donne y(t) ≈ −2, 48. Branches paraboliques On a 1 − t4 1 y(t) = ∼ . 5 4 3 2 x(t) −3t + 6t + 5t − 12t 3t 064 - 2 Lorsque t tend vers −∞, la fonction x tend vers +∞, la fonction y tend vers −∞ et le rapport y/x vers 0. La courbe admet une branche parabolique dans la direction des x positifs. Lorsque t tend vers +∞, les fonctions x et y tendent vers −∞ et le rapport y/x vers 0. La courbe admet une branche parabolique dans la direction des x négatifs. Tableau de variation t −∞ x′ 0 −1 0 − + +∞ 0 > 1 0 − 8/5 + 0 0 > +∞ − 7424 − 3125 x ~ ~ −8 1 y 1 ~ −∞ −4 1 z 0 0 z − 3471 625 z −∞ y′ y ′ /x′ −∞ + + ∞ 0 0 − − ∞ − ∞ 064 - 3 Tracé de la courbe 6 - −4 064 - 4 Point double L’égalité y(t1 ) = y(t2 ) avec t1 distinct de t2 ne peut avoir lieu que si t1 = −t2 . On a alors x(t1 )− x(t2 ) = (−3t51 + 6t41 + 5t31 − 12t21 )− (−3t52 + 6t42 + 5t32 − 12t22 ) = −6t51 + 10t31 = 2t31 (−3t21 + 5) . Cette différence est nulle lorsque t21 = 5/3. Alors x(t1 ) = 6t21 (t21 − 2) + t31 (−3t21 + 5) = 6t21 (t21 − 2) = − et y(t1 ) = 1 − t41 = − 16 . 9 10 , 3
