Etudier la courbe paramétrée par x(t) = −3t 5 + 6t4 + 5t3 − 12t , y(t)=1

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Etudier la courbe paramétrée par
x(t) = −3t5+ 6t4+ 5t3−12t2, y(t) = 1 −t4.
Domaine de définition
Les fonctions xet ysont définies sur R.
Dérivées
On obtient
x′(t) = 3t(1 −t2)(5t−8) et y′(t) = −4t3.
La dérivée x′s’annule en −1,1et 8/5, et les deux dérivées s’annulent en 0.
En particulier
x(8/5) = −7424
3125 ≈ −2,37 et y(8/5) = −3471 625 ≈ −5,55 .
En t= 0, on a un point singulier. On a immédiatement
−→
U2=−12−→ ı , −→ U3= 5−→ ı , −→ U4= 6−→ ı−−→  .
Les vecteurs −→ U2et −→ U3sont colinéaires, alors que −→ U2et −→ U4ne le sont pas. On obtient un point de
rebroussement de deuxième espèce à tangente horizontale.
Intersection avec Ox
Les points d’intersection avec Ox sont obtenus lorsque t=±1et donnent des points à tangentes
verticales.
Intersection avec Oy
En dehors de 0, l’abscisse xs’annule pour la racine réelle du polynôme −3t3+ 6t2+ 5t−12 qui
ne se calcule pas simplement. Une valeur approchée est 0,92 et donne y(t)≈ −2,48.
Branches paraboliques
On a y(t)
x(t)=1−t4 −3t5+ 6t4+ 5t3−12t2∼1 3t.

064 - 2
Lorsque ttend vers −∞, la fonction xtend vers +∞, la fonction ytend vers −∞ et le rapport
y/x vers 0. La courbe admet une branche parabolique dans la direction des xpositifs.
Lorsque ttend vers +∞, les fonctions xet ytendent vers −∞ et le rapport y/x vers 0. La courbe
admet une branche parabolique dans la direction des xnégatifs.
Tableau de variation
t
x′
x
y
y′
y′/x′
−∞ −1 0 1 8/5 +∞
~
>
~
>
~
1
1z
z
z
−+−+−0 00 0
+∞
−8
0
−4
−7424
3125
−∞
−∞
0
1
0
−3471
625
−∞
+ + − − −0
∞0∞ ∞

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Tracé de la courbe
-
6
−4

064 - 4
Point double
L’égalité
y(t1) = y(t2)
avec t1distinct de t2ne peut avoir lieu que si t1=−t2. On a alors
x(t1)−x(t2) = (−3t5
1+6t4 1+5t3 1−12t2 1)−(−3t5 2+6t4 2+5t3 2−12t2 2) = −6t5 1+10t3 1= 2t3 1(−3t2 1+5) .
Cette différence est nulle lorsque t2
1= 5/3. Alors
x(t1) = 6t2
1(t2 1−2) + t3 1(−3t2 1+ 5) = 6t2 1(t2 1−2) = −10
3,
et
y(t1) = 1 −t4
1=−16
9.