Corrigé Devoir libre n 1 de Mathématiques MAT112, groupe PHG-S1

Corrigé
Devoir libre n◦1 de Mathématiques
MAT112, groupe PHG-S1
Soit Eun espace vectoriel sur R. Soient Fet Gdeux sous espaces vectoriels de E.
(1) Montrons que F∩Gest un sous espace vectoriel de E.
Tout d’abord, comme 0 ∈Fet 0 ∈G, l’ensemble F∩Gest non vide car
il contient 0. Il reste à montrer que cet ensemble est stable par combinaisons
linéaires.
Soient uet vdes éléments de F∩G. Soient λet µdeux réels. Montrons
que w=λu+µvappartient à F∩G.
Comme Fest un sous espace vectoriel, et que u,v∈F∩G⊂F, alors une
combinaison linéaire de uet de vest dans F, ainsi w∈F. De même, Gest un
sous espace vectoriel, donc w∈G. On a donc w∈Fet w∈G, ainsi w∈F∩G.
L’ensemble F∩Gest bien stable par combinaisons linéaires.
(2)
F={(x,y)∈R2;y=x}.
Montrons que Fest un sous espace vectoriel. 0 = (0,0)∈F, donc Fest non
vide. Soient u= (x,y),v= (x0,y0)∈F. Soient a,b∈R. On a au +bv =
(ax +bx0,ay +by0). Comme x=yet x0=y0, alors ax +bx0=ay +by0donc
au +bv ∈F. Ainsi Fest un sous espace vectoriel de E.
F∪Gn’est pas un sous vectoriel. En effet, (1,1)∈F⊂F∪G,(1,−1)∈
G⊂F∪G, or (2,0)=(1,1)+(1,−1)/∈F∪G, donc F∪Gn’est pas stable
par addition, donc n’est pas un sous espace vectoriel.
(3) Montrons de manière générale que F∪Gest un sous espace vectoriel de Esi
et seulement si F⊂Gou G⊂F.
Supposons que F∪Gest un sous espace vectoriel de E. Supposons par
l’absurde que F6⊂ Get G6⊂ F, il existe alors x∈Favec x/∈Get y∈Gavec
y/∈F. On a x,y∈F∪G. Soit z=x+y, comme F∪Gest un sous espace
vectoriel, on a z∈F∪G. Si z∈F, on a alors y=z−x∈Fcar x,z∈F, mais
ceci contredit le fait que y/∈F. De même, si z∈G, on a alors x=z−y∈G
car y,z∈G, mais ceci contredit le fait que x/∈G. Dans le cas, on aboutit à une
contradiction, donc F⊂Gou G⊂F.
L’implication réciproque est immédiate en remarquant par exemple que si
F⊂Galors F∪G=G.
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