Corrigé Devoir libre n 1 de Mathématiques MAT112, groupe PHG-S1

Corrigé
Devoir libre 1 de Mathématiques
MAT112, groupe PHG-S1
n◦
Soit E un espace vectoriel sur R. Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E.
(1) Montrons que F ∩ G est un sous espace vectoriel de E.
Tout d’abord, comme 0 ∈ F et 0 ∈ G, l’ensemble F ∩ G est non vide car
il contient 0. Il reste à montrer que cet ensemble est stable par combinaisons
linéaires.
Soient u et v des éléments de F ∩ G. Soient λ et µ deux réels. Montrons
que w = λ u + µv appartient à F ∩ G.
Comme F est un sous espace vectoriel, et que u, v ∈ F ∩ G ⊂ F, alors une
combinaison linéaire de u et de v est dans F, ainsi w ∈ F. De même, G est un
sous espace vectoriel, donc w ∈ G. On a donc w ∈ F et w ∈ G, ainsi w ∈ F ∩ G.
L’ensemble F ∩ G est bien stable par combinaisons linéaires.
(2)
F = {(x, y) ∈ R2 ; y = x}.
Montrons que F est un sous espace vectoriel. 0 = (0, 0) ∈ F, donc F est non
vide. Soient u = (x, y), v = (x0 , y0 ) ∈ F. Soient a, b ∈ R. On a au + bv =
(ax + bx0 , ay + by0 ). Comme x = y et x0 = y0 , alors ax + bx0 = ay + by0 donc
au + bv ∈ F. Ainsi F est un sous espace vectoriel de E.
F ∪ G n’est pas un sous vectoriel. En effet, (1, 1) ∈ F ⊂ F ∪ G, (1, −1) ∈
G ⊂ F ∪ G, or (2, 0) = (1, 1) + (1, −1) ∈
/ F ∪ G, donc F ∪ G n’est pas stable
par addition, donc n’est pas un sous espace vectoriel.
(3) Montrons de manière générale que F ∪ G est un sous espace vectoriel de E si
et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F.
Supposons que F ∪ G est un sous espace vectoriel de E. Supposons par
l’absurde que F 6⊂ G et G 6⊂ F, il existe alors x ∈ F avec x ∈
/ G et y ∈ G avec
y∈
/ F. On a x, y ∈ F ∪ G. Soit z = x + y, comme F ∪ G est un sous espace
vectoriel, on a z ∈ F ∪ G. Si z ∈ F, on a alors y = z − x ∈ F car x, z ∈ F, mais
ceci contredit le fait que y ∈
/ F. De même, si z ∈ G, on a alors x = z − y ∈ G
car y, z ∈ G, mais ceci contredit le fait que x ∈
/ G. Dans le cas, on aboutit à une
contradiction, donc F ⊂ G ou G ⊂ F.
L’implication réciproque est immédiate en remarquant par exemple que si
F ⊂ G alors F ∪ G = G.
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