RESUME CHAPITRE 22 MATRICES Le K

R E S U M E C H A P I T R E 2 2 M A T R I C E S
OPERATIONS TRANSPOSITION
Le K-e.v. Mnp(K)
D 22.1
On appelle matrice de type (n,p) à coefficients dans K un tableau à n lignes et à p colonnes d'éléments de K
Mn,p(K) est l'ensemble des matrices de type (n,p) à coefficients dans K.
D 22.2 Soit A = [aij] ∈ Mn,p(K) , B = [bii] ∈ Mn,p(K) et λ ∈ K.
A + B = [aij + bii] et λ.A = [ λ .aij ]
Th 22.1 : (Mn,p(K),+,.) est un K-e.v. de dimension n.p. (base canonique : (Ers)...)
Exemple :
a b
c d
!
"
#$
%
&=a.
1 0
0 0
!
"
#$
%
&+b.
0 1
0 0
!
"
#$
%
&+c.
0 0
1 0
!
"
#$
%
&+d.
0 0
0 1
!
"
#$
%
&
a b
c d
a E b E c E d E
!
"
#$
%
&= + + +. . . .
11 12 21 22
Produit de matrices
D 22.3 Définition(produit) : Soit A = [ais] ∈ Mn,p(K) et B = [bri] ∈ Mp,q(K).
Alors la matrice C = A×B est la matrice C = [cij] avec :
c a b
ij ik kj
k
p
=!
=
.
1
(cij est la somme des produits terme à terme des éléments de la iième ligne de A par la jièmecolonne de B)
Th 22.2 Avec des dimensions pour lesquelles les opérations sont possibles :
A×(B×C) = (A×B) ×C A×(B+C) = A×B + A×C (B+C)×A = B×A + C×A
λ.(A×B) = (λ.A) ×B = A× (λ.B)
Transposition
D 22.3 Soit A = [aij] ∈ Mn,p(K). Alors tA = [a'ji ] ∈ Mp,n(K) avec a'ji = aij.
Th 22.3 Propriétés de la transposition :
 t(λ .A+B) = λ .tA+tB  t(B×A) = tA×tB  t(A-1) = (tA)-1
MATRICES CARREES
Structure de Mn(K)
Th 22.4 (Mn(K),+,., ×) est une K-algèbre , c'est à dire :
 (Mn(K) ,+,.) est un K.e.v.
(Mn(K),+, ×) est un anneau.
 ∀ A ∈ Mn(K) , ∀ B ∈ Mn(K) , ∀λ ∈ K , λ.(A×B) = (λ.Α)×Β = Α×(λ.B)
D 22.5 Soit M ∈ Mn(K) .On dit que M est inversible s'il existe M' ∈ Mn(K) telle que :
M×M' = M'×M = In . M' se note M–1 .
Th22.5 (GLn(K), ×) est un groupe.(ens. des matrices inversibles).
En particulier, si A et B sont inversibles , alors A.B est inversible et (A.B)–1 = B–1.A–1.

ATTENTION : ∃ (A,B) ∈ Mn(K)2 t.q. : A×B ≠ B×A (anneau non commutatif)
∃ (A,B) ∈ Mn(K)2 t.q. : A×B = O et A ≠ O et B ≠ O
Formule du binôme : Si A et B sont deux matrices de Mn(K) qui commutent (càd A×B = B×A )
(A + B )n =
k
n
( )
AkBn!k=
k=0
n
"k
n
( )
An!kBk
k=0
n
"
Matrices carrées particulières
Matrice diagonale : diag(λ1,λ2,...,λn) =
!10 0
0!20
0 0 !3
0
0!n
!
"
#
#
#
#
#
#
#
#
$
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&
&
&
&
&
&
&
&
diag(λ1,λ2,...,λn). diag(µ1,µ2,...,µn) = diag(λ1µ1,λ 2µ2,...,λ nµn) et diag(λ1,λ2,...,λn)p = diag(λ1
p,λ2 p,...,λn p)
Matrice scalaire : λ.In
Matrice triangulaire supérieure :
a a a
a a
a
ann
11 12 13
22 23
33
0
0 0
0
!
"
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
b b b
b b
b
bnn
11 12 13
22 23
33
0
0 0
0
!
"
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
=
a b a b a b
a b
a b
a b
nn nn
11 11 11 12 12 22
22 22
33 33
0
0 0
0
. . .
.
.
.
+
!
"
#
#
#
#
#
#
$
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&
&
&
&
&
&
Matrice symétrique : tA = A Matrice antisymétrique : tA = –A
Mn(K) = Sn(K) ⊕ An(K).(dim Sn(K) = n(n+1)/2 , dim(An(K) = n(n –1)/2.)
MATRICES ET ESPACES VECTORIELS
Matrice d'une application linéaire
Rappel: Soit f ∈ L(Ep,En) , B =
( , ,..., )
! ! !
e e ep1 2
, B1 =
( , ,..., )
! ! !
h h hn1 2
M
1
,BB
(f) =
[ ] 1
,BB
f
=
n
npnjn
pj
pj
pj
h
h
h
aaa
aaa
aaa
efefef
!
!
!
!!!
2
1
1
2221
1111
1)()()(
!
!
!
!
!
!
"
#
$
$
$
$
$
$
%
&
Th 22.6 Soit f ∈ L(Ep,En), g ∈ L(Ep,En) , B base de Ep , B1 base de En
Alors: [ λ .f+g] B,B1 = λ.[f ] B,B1+ [g] B,B1 ou M B,B1( λ f + g ) = λ . M B,B1(f )+ M B,B1(g)
Th 22.7 Soit f ∈ L(Ep , En) , g ∈ L(En ,Eq ) , B base de Ep , B1 base de En , B2 base de Eq.
E E E
p
f
n
g
q
! "! ! "!
(B) (B1) (B2)
Alors: [g  f ] B,B2 = [g ] B1,B2 [f ] B,B1 ou M B,B2( g  f ) = M B1,B2(g) ×M B,B1(f )

Th 22.8 Soit f ∈ L(Ep,Fn). B base de Ep , B1 base de Fn.
Si f est bijective, alors p = n et [f –1] B1,B = [f ]
1
1,
!
BB
ou M B1,B(f –1) = [M B,B1 (f)]
–1.
Rappel : Matrice d'une famille de vecteurs
(u ,u ,...,u )
1 2 n
! ! !
:
[ ] =
B
n
uuu !!! ,...,, 21
MB
( , ,..., )
! ! !
u u up1 2
=
! ! !
!
!
!
u u u
a a a
a a a
a a a
e
e
e
j p
j p
j p
n nj np n
1
11 1 1
21 2 2
1
1
2
!
"
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
Image d'un vecteur par une application linéaire.
Th 22.9 (matrice de f (
!
u
))
Soit f ∈ L(Ep,En),
u
!
∈ Ep , B une base de Ep , B1 une base de En. A = M B,B1(f ) ; X = MB( )
Alors : M B1(f(
u
!
)) = AX = M B,B1(f ). MB( ) ou [f (
u
!
)]B1 = [f] B,B1.[
u
!
]B
Détermination de Ker(f ) et de Im(f )
u
!
∈ Ker(f ) ssi f (
u
!
) =
o
!
ssi A.X = O
Im(f ) : opérations élémentaires sur les colonnes de A (les vecteurs colonnes "restent" dans Im(f))
RANG D'UNE MATRICE
D 22.6 Rang d'une matrice : Soit A ∈ Mn,p(K). rg(A) est le rang de la famille des vecteurs colonnes de A
Si A = MB
( , ,..., )
! ! !
u u up1 2
, alors rg(A) = rg
( , ,..., )
! ! !
u u up1 2
= dim(Vect
( , ,..., )
! ! !
u u up1 2
)
Si A = M B,B1(f ) , alors rg(A) = rg(f) = dim(Imf) = rg(
( ( ), ( ),..., ( ))f e f e f ep
! ! !
1 2
)
Rappel : méthode de détermination du rang
Les opérations suivantes effectuées à partir d'une matrice A :
[ Ci ↔ Cj ] [λ.Ci → Ci avec λi ≠ 0 ] [λ.Ci +µ.Cj → Ci avec λi ≠ 0 ]
permettent d'obtenir une matrice réduite de même rang que A
( on obtient aussi une base de Im(f ) si A = Mat(f,B ))
Th 22.10 rg(tA) = rg(A)
Conséquence : on peut effectuer des opérations sur les lignes pour obtenir une matrice de même rang.
Th 22.11 (caractérisation des matrices inversibles) A ∈ Mn(K) est inversible ssi :
i) A = M B(f ) avec f bijectif ii) les vecteurs colonnes de A forment une famille libre
iii) ∃ C ∈ Mn(K) t.q.: A×C = In iv) ∃ D ∈ Mn(K) t.q.: D×A = In
v) rg(A) = n.

CHANGEMENTS DE BASES
Matrice de passage
D 22.7 Soit B et B ' deux bases d'un K-e.v. En.
La matrice de passage de la base B à la base B ' est , par définition , la matrice de la famille B ' dans la base B
: P = MB(B ') = [B']B .(notation : P(B , B '))
Si B =
( , ,..., )
! ! !
e e en1 2
et B' =
( ', ',..., ')
! ! !
e e en1 2
P = MatB(B ')=
1
11 1 1
21 2 2
1
1
2
' ' '
! ! !
!
!
!
e e e
p p p
p p p
p p p
e
e
e
jn
j n
j n
n nj nn n
!
"
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
Remarque : Si P = MB(B ') , alors : P = Mat B ',B (Id)
Th 22.12 : Soit B , B ', B " trois bases d'un K-e.v.En .
Alors : P(B , B ') .P(B ' , B ") = P(B , B ")
Th 22.13 Soit B et B ' deux bases de En et P la matrice de passage de B à B ' : P = MB(B')
Alors P est inversible et P–1 est la matrice de passage de B ' à B
En résumé : [P(B , B ')] –1 = P(B ' , B)
Vecteurs et changements de base
Th22.14 Soit En un K-e.v.,
u
!
∈ En , B une base de En et B ' une "nouvelle" base de En
Soit X = MB(
u
!
); P= MB(B ') ; X' = MB ' (
u
!
) Alors : X = P.X ' ou [
u
!
]B = P.[
u
!
]B '
Conséquence : Si X = P.X' , alors : X' = P–1.X La résolution du système X = P.X' permet de déterminer P-1
Application linéaire et changement de base
Th 22.15 Soit f ∈ L(Ep,En); B une base de Ep et B ' une "nouvelle" base de Ep. Ep
f
!
En
B1 une base de En et B '1 une "nouvelle" base de En. B B1
Soit A = MB,B1(f ) ; P= MB(B') ; Q = MB1(B1') ; A' = M B',B1'(f) B' B1'
Alors : A' = Q–1.A.P
Endomorphisme et changement de base (matrices semblables)
Th 22.16 Soit f∈L(En);B une base de En et B' une "nouvelle" base de En.
Soit A = MB(f ); P= MB(B'); A' = MB ' (f ) En
f
!
En
Alors : A' = P-1.A.P B B
B' B'
Remarque : Si A' = P-1.A.P , alors : A' n = P-1.An.P