RESUME CHAPITRE 22 MATRICES Le K

RESU ME
C HA PI TRE 22 M A T RICES
OPERATIONS TRANSPOSITION
Le K-e.v. M np(K)
D 22.1
On appelle matrice de type (n,p) à coefficients dans K un tableau à n lignes et à p colonnes d'éléments de K
Mn,p(K) est l'ensemble des matrices de type (n,p) à coefficients dans K.
D 22.2 Soit A = [aij] ∈ Mn,p(K) , B = [bii] ∈ Mn,p(K) et λ ∈ K.
A + B = [aij + bii] et λ.A = [λ.aij ]
Th 22.1 :
(Mn,p(K),+,.) est un K-e.v. de dimension n.p. (base canonique : (Ers)...)
!a
Exemple : #
"c
b$
!1 0 $
!0 1 $
!0 0 $
!0 0 $
= a. #
+ b. #
+ c. #
+ d. #
&
&
&
&
&
d%
"0 0 %
"0 0 %
"1 0 %
"0 1 %
!a b $
# c d & = a. E11 + b. E12 + c. E 21 + d . E 22
"
%
Produit de matrices
D 22.3 Définition(produit) : Soit A = [ais] ∈ Mn,p(K) et B = [bri] ∈ Mp,q(K).
Alors la matrice C = A×B est la matrice C = [cij] avec :
p
cij = ! aik .bkj
k =1
(cij est la somme des produits terme à terme des éléments de la iième ligne de A par la jièmecolonne de B)
Th 22.2 Avec des dimensions pour lesquelles les opérations sont possibles :
A×(B×C) = (A×B) ×C
A×(B+C) = A×B + A×C
(B+C)×A = B×A + C×A
λ.(A×B) = (λ.A) ×B = A× (λ.B)
Transposition
D 22.3 Soit A = [aij] ∈ Mn,p(K). Alors
t
A = [a'ji ] ∈ Mp,n(K) avec a'ji = aij.
Th 22.3 Propriétés de la transposition :
 t(λ .A+B) = λ .tA+tB
 t(B×A) = tA×tB
 t(A-1) = (tA)-1
MATRICES CARREES
Structure de M n(K)
Th 22.4 (Mn(K),+,., ×) est une K-algèbre , c'est à dire :
 (Mn(K) ,+,.) est un K.e.v.
(Mn(K),+, ×) est un anneau.
 ∀ A ∈ Mn(K) , ∀ B ∈ Mn(K) , ∀λ ∈ K , λ.(A×B) = (λ.Α)×Β = Α×(λ.B)
D 22.5 Soit M ∈ Mn(K) .On dit que M est inversible s'il existe M' ∈ Mn(K) telle que :
M×M' = M'×M = In .
M' se note M–1 .
Th22.5 (GLn(K), ×) est un groupe.(ens. des matrices inversibles).
En particulier, si A et B sont inversibles , alors A.B est inversible et (A.B)–1 = B–1.A–1.
∃ (A,B) ∈ Mn(K)2 t.q. : A×B ≠ B×A (anneau non commutatif)
∃ (A,B) ∈ Mn(K)2 t.q. : A×B = O et A ≠ O et B ≠ O
Formule du binôme :
Si A et B sont deux matrices de Mn(K) qui commutent (càd A×B = B×A )
ATTENTION :
n
n
(A + B ) =
"( ) A B
n
k
k =0
k
n
n!k
=" ( nk ) A n!k B k
k =0
Matrices carrées particulières
!!1 0 0
$
#
&
# 0 !2 0
&
#
&
&
Matrice diagonale : diag(λ1,λ2,...,λn) = ## 0 0 !3
&
#
&
0
#
&
#
&
0
!
n%
"
diag(λ1,λ2,...,λn). diag(µ1,µ2,...,µn) = diag(λ1µ1,λ 2µ2,...,λ nµn) et diag(λ1,λ2,...,λn)p = diag(λ1p,λ2p,...,λnp)
Matrice scalaire : λ.In
Matrice triangulaire supérieure :
!a11 a12 a13
$ !b11 b12 b13
$ !a11.b11 a11.b12 + a12 .b22
$
#0 a
&
#
& # 0
&
a
0
b
b
a
.
b
22
23
22
23
22 22
#
&#
& #
&
#0
&#0
& = # 0
&
0 a33
0 b33
0
a33 .b33
#
&#
& #
&
#
&#
& #
&
#"
0 ann &% #"
0 bnn &% #"
0 ann .bnn &%
Matrice symétrique : tA = A
Matrice antisymétrique : tA = –A
Mn(K) = Sn(K) ⊕ An(K).(dim Sn(K) = n(n+1)/2 , dim(An(K) = n(n –1)/2.)
MATRICES ET ESPACES VECTORIELS
Matrice d'une application linéaire
! !
!
! !
!
Rappel: Soit f ∈ L(Ep,En) , B = (e1 , e2 ,..., e p ) , B1 = (h1 , h2 ,..., hn )
!
f (e1 )
!
f (e j )
& a11
$a
21
M B ,B1 (f) = [f ]B ,B1 = $
$
$
$
$a n1
%
!
f (e p )
!
a1 p # h1
!
a 2 p !! h2
!
!
!!
a np !" hn
a1 j
a2 j
a nj
Th 22.6 Soit f ∈ L(Ep,En), g ∈ L(Ep,En) , B base de Ep , B1 base de En
Alors: [λ.f+g] B,B1 = λ.[f ] B,B1+ [g] B,B1 ou M B,B1(λ f + g ) = λ. M B,B1(f )+ M B,B1(g)
Th 22.7 Soit f ∈ L(Ep , En) , g ∈ L(En ,Eq ) , B base de Ep , B1 base de En , B2 base de Eq.
f
g
E p !!" E n !!" E q
(B)
(B1)
Alors: [g f ] B,B2 = [g ] B1,B2 [f ] B,B1

(B2)
ou M B,B2( g  f ) = M B1,B2(g) ×M B,B1(f )
Th 22.8 Soit f ∈ L(Ep,Fn). B base de Ep , B1 base de Fn.
Si f est bijective, alors p = n et [f –1] B1,B = [f ] !B1, B1
ou
M B1,B(f –1) = [M B,B1 (f)] –1.
! !
!
Rappel : Matrice d'une famille de vecteurs (u1,u2 ,...,un ) :
!
!
u1
uj
[u!1 , u!2 ,..., u!n ]B
!a11
#a
! !
!
= MB (u1 , u2 ,..., u p ) = # 21
#
#
#
#an1
"
!
up
!
a1 p $ e1
!
a2 p && e2
&
&
&
!
anp &% en
a1 j
a2 j
anj
Image d'un vecteur par une application linéaire.
!
Th 22.9 (matrice de f ( u ))
!
Soit f ∈ L(Ep,En), u ∈ Ep , B une base de Ep , B1 une base de En. A = M B,B1(f ) ; X = MB(
Alors :
!
M B1(f( u )) = AX = M B,B1(f ). MB(
)
ou
!
)
!
[f ( u )]B1 = [f] B,B1.[ u ]B
Détermination de Ker(f ) et de Im(f )
u )= !
o ssi A.X = O
u ∈ Ker(f ) ssi f ( !
!
Im(f ) : opérations élémentaires sur les colonnes de A (les vecteurs colonnes "restent" dans Im(f))
RANG D'UNE MATRICE
D 22.6 Rang d'une matrice : Soit A ∈ Mn,p(K). rg(A) est le rang de la famille des vecteurs colonnes de A
! !
!
! !
!
! !
!
Si A = MB (u1 , u2 ,..., u p ) , alors rg(A) = rg (u1 , u2 ,..., u p ) = dim(Vect (u1 , u2 ,..., u p ) )
!
!
!
Si A = M B,B1(f ) , alors rg(A) = rg(f) = dim(Imf) = rg( ( f (e1 ), f (e2 ),..., f (e p )) )
Rappel : méthode de détermination du rang
Les opérations suivantes effectuées à partir d'une matrice A :
[ Ci ↔ C j ]
[λ.Ci → Ci avec λi ≠ 0 ]
[λ.Ci +µ.Cj → Ci avec λi ≠ 0 ]
permettent d'obtenir une matrice réduite de même rang que A
( on obtient aussi une base de Im(f ) si A = Mat(f,B ))
Th 22.10 rg(tA) = rg(A)
Conséquence : on peut effectuer des opérations sur les lignes pour obtenir une matrice de même rang.
Th 22.11 (caractérisation des matrices inversibles) A ∈ Mn(K) est inversible ssi :
i) A = M B(f ) avec f bijectif
ii) les vecteurs colonnes de A forment une famille libre
iii) ∃ C ∈ Mn(K) t.q.: A×C = In
iv) ∃ D ∈ Mn(K) t.q.: D×A = In
v) rg(A) = n.
CHANGEMENTS DE BASES
Matrice de passage
D 22.7 Soit B et B ' deux bases d'un K-e.v. En.
La matrice de passage de la base B à la base B ' est , par définition , la matrice de la famille B ' dans la base B
: P = MB(B ') = [B']B .(notation : P(B , B '))
! !
!
Si B = (e1 , e2 ,..., en ) et B' =
!
e 1'
! p11
#p
P = MatB(B ')= # 21
#
#
#
# pn1
"
! !
!
(e1 ', e2 ',..., en ')
!
e 'j
!
e 'n
!
p1n $ e1
!
p2 n && e2
&
&
&
!
pnn &% en
p1 j
p2 j
pnj
Remarque : Si P = MB(B ') , alors : P = Mat B ',B (Id)
Th 22.12 : Soit B , B ', B " trois bases d'un K-e.v.En .
Alors : P(B , B ') .P(B ' , B ") = P(B , B ")
Th 22.13 Soit B et B ' deux bases de En et P la matrice de passage de B à B ' : P = MB(B')
Alors P est inversible et P–1 est la matrice de passage de B ' à B
En résumé : [P(B , B ')] –1 = P(B ' , B)
Vecteurs et changements de base
!
Th22.14 Soit En un K-e.v., u ∈ En , B une base de En et B ' une "nouvelle" base de En
!
!
Soit X = MB( u ); P= MB(B ') ; X' = MB ' ( u )
Conséquence : Si X = P.X' , alors : X' = P–1.X
Alors : X = P.X '
!
!
ou [ u ]B = P.[ u ]B '
La résolution du système X = P.X' permet de déterminer P-1
Application linéaire et changement de base
Th 22.15 Soit f ∈ L(Ep,En);
B une base de Ep et B ' une "nouvelle" base de Ep.
B1 une base de En et B '1 une "nouvelle" base de En.
Soit A = MB,B1(f ) ; P= MB(B') ; Q = MB1(B1') ; A' = M B',B1'(f)
Alors : A' = Q–1.A.P
f
Ep ! En
B
B1
B'
B1'
Endomorphisme et changement de base (matrices semblables)
Th 22.16 Soit f∈L(En);B une base de En et B' une "nouvelle" base de En.
Soit A = MB(f ); P= MB(B'); A' = MB ' (f )
Alors : A' = P-1.A.P
Remarque : Si
A' = P-1.A.P ,
alors : A' n = P-1.An.P
f
En ! En
B
B
B'
B'