Variables aléatoires à densité

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13Variables aléatoires à densité
I Variables aléatoires à densité
A) Dénition
Dénition :
Soit f : R → R. On dit que f est une
densité de probabilité
si et seulement si :
G f est positive ou nulle.
G f est continue sauf éventuellement en un nombre ni de points.
Z +∞
Z +∞
G
f (t) dt converge et
f (t) dt = 1
−∞
−∞
Remarque: Rappel
On note x1 < x2 < · · · < Zxn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞
On dit que l'intégrale
Z
xi+1
xi
+∞
−∞
f (t) dt converge si et seulement si toutes les intégrales
f (t) dt avec 0 ≤ i ≤ n convergent.
Et on dénit :
Z
+∞
−∞
Exemple :
f (t) dt =
n Z
X
xi+1
xi
i=0
f (t) dt
1
−|t|
© Soit f dénie sur R par f (t) = 2 e .
Montrer que f est une densité de probabilité.
Dénition :
Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et F sa fonction de
répartition.
On dit que X est une variable
aléatoire à densité
s'il existe une densité de probabilité f telle que :
Z
x
∀x ∈ R, F (x) =
−∞
f est appelée
densité de
f (t) dt
X
Remarque:
On note x1 < x2 < · · · < xn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞
Soit x ∈ R. Il existe un unique k ∈ J0, nK tel que : xk ≤ x < xk+1 . On a alors :
F (x) =
k−1 Z
X
i=0
xi+1
xi
f (t) dt +
Z
x
xk
f (t) dt
Remarque:
Une telle fonction f n'est pas unique. C'est pourquoi dit que f est une densité de X .
En particulier, si g est une fonction qui ne dière de f qu'en un nombre ni de points, g
est aussi une densité de X .
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Proposition :
Soit f une densité de probabilité, on admet qu'il existe une variable aléatoire X admet f comme
densité.
B) Fonctions de répartition
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité, de densité f , et F sa fonction de répartion.
G F est croissante.
G lim F (x) = 0, lim F (x) = 1
x→−∞
x→+∞
G F est continue sur R.
G F est de classe C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points.
En dehors de ces points, on a F 0 = f .
Démonstration :
Proposition : Réciproque
Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F . On suppose :
G F est continue sur R.
G F est de classe C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points.
Alors X est à densité et une densité est donnée par f = F 0 aux points où F est dérivable, et par ce
qu'on veut ailleurs.
Méthode
Démonstration :
Comment montrer qu'une variable aléatoire est à densité ?
G Calculer sa fonction de répartition de F .
G Vérier que F est continue sur R.
G Vérier que F est C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points ;
G Aux points où F est dérivable, la densité est donnée par f = F 0 et par ce qu'on veut
ailleurs. (souvent on choisit 0).
Proposition :
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f . On a :
G ∀a ∈ R, P([X = a]) = 0
2
Z
b
G ∀a, b ∈ R , P([a ≤ X ≤ b]) =
a
f (t) dt
C) Fonction d'une variable aléatoire à densité
Positionnement du problème :
Soit X une variable aléatoire à densité f et φ une fonction telle que X(Ω) ⊂ Def (φ).
On considère Y = φ(X) et on souhaite savoir si Y est à densité.
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité f et (a, b) ∈ R2 . On suppose a 6= 0.
Alors Y = aX + b est une variable aléatoire à densité.
Démonstration :
Étudier P(Y ≤ y) suivant le signe de a.
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Remarque:
Si a = 0, Y est certaine, et donc elle n'est pas à densité.
Méthode
Cas général
Si φ est de classe C 1 , étudier P(Y ≤ y) = P(φ(X) ≤ y) (et sa dérivée) en faisant intervenir
le sens de variation de φ.
Si φ n'est pas monotone, dresser le tableau de variation de φ et s'aider du graphe de φ.
Exemple :
© Soit X une variable à densité f . Etudier Y
= exp(X).
Proposition :
Soit X une variable à densité f et soit n un entier.
Alors X n est à densité.
D) Somme de variables aléatoires à densité indépendantes
Dénition : Produit de convolution
Soit f et g deux densités de probabilités sur R.
On appelle produit de convolution de f et de g l'application :
+∞
Z
f ? g : z 7→
−∞
f (x)g(z − x) dx
Cette intégrale impropre est eectivement convergente pour tout z ∈ R.
Théorème :
Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de densité respectives fX et fY .
Alors Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est
fX ? fY
Ainsi, une densité de Z est :
Z
+∞
fZ : t 7→
x=−∞
fX (x)fY (t − x) dx
et sa fonction de répartition est :
Z
z
Z
+∞
P(Z ≤ z) = F (z) =
t=−∞
x=−∞
fX (x)fY (t − x) dx dt
Corollaire :
Si de plus X et Y sont à valeurs positives ou nulles, alors une densité de X + Y est l'application
f: R → R
Z z

fX (x)fY (z − x) dx si z > 0
z 7→
0

0
sinon
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E) Minimum et maximum de variables aléatoires à densité indépendantes
Soit (Xk )16k6n n variables aléatoires à densité indépendantes. On note fk une densité de Xk et Fk sa
fonction de répartition.
On s'intéresse à Mn = max Xn et mn = min Xk .
16k6n
16k6n
Maximum
G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(Mn 6 x) en remarquant :
Méthode
P(Mn 6 x) = P(X1 6 x, X2 6 x, . . . , Xn 6 x)
= P(X1 6 x)P(X2 6 x) . . . P(Xn 6 x)
= F1 (x)F2 (x) . . . Fn (x)
G On remarque que F est continue sur R et C 1 sauf en un nombre ni de points car
F1 , . . . , Fn le sont.
G On conclut que Mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .
Minimum
G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(mn 6 x) en remarquant :
Méthode
P(mn > x) = P(X1 > x, X2 > x, . . . , Xn > x)
= P(X1 > x)P(X2 > x) . . . P(Xn > x)
= (1 − F1 (x))(1 − F2 (x)) . . . (1 − Fn (x))
G On a alors F (x) = 1 − (1 − F1 (x))(1 − F2 (x)) . . . (1 − Fn (x))
G On remarque que F est continue sur R et C 1 sauf en un nombre ni de points car
F1 , . . . , Fn le sont.
G On conclut que mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .
II Espérance et variance
A) Dénition
Dénition : Espérance
SoitZ X une variable aléatoire réelle de densité f .
Si
+∞
tf (t) dt est absolument convergente, on dit que X admet une espérance.
Z +∞
Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note E(X) la valeur
tf (t) dt.
−∞
−∞
B) Linéarité de l'espérance
Proposition :
Soit X variable aléatoire à densité sur R admettant une espérance. Soient α et β deux réels.
Alors, αX + β admet une espérance. De plus :
E(αX + β) = αE(X) + β
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Théorème : Linéarité de l'espérance
Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant toutes deux une espérance.
On suppose que X + Y est aussi à densité.
Alors X + Y admet une espérance et on a :
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Dénition :
Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et que celle-ci est nulle.
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance.
Alors X − E(X) est centrée.
C) Théorème de transfert
Théorème :
Soient X une variable aléatoire de densité f , et φ une fonction continue sur un intervalle I , sauf en
un nombre ni de points.
On suppose que Y = φ(X) est une variableZ aléatoire à densité.
Y admet une espérance si et seulement si
Z +∞
Dans ce cas, E(Y ) =
φ(t)f (t) dt.
+∞
−∞
φ(t)f (t) dt est absolument convergente.
−∞
Exemple :
Soit X une variable à densité f et Y = exp(X).
Montrer
le théorème de transfert dans ce cas.
©
Si X admet pour densité la fonction f dénie par f (t) = 21 exp(−|t|), étudier E(Y ).
D) Variance
Dénition : Variance
Soit X une variable aléatoire à densité.
On dit que X admet une variance et on note
V(X) = E (X − E(X))2
si cette espérance existe.
Remarque:
X 2 admet une espérance si et seulement si X admet une espérance et une variance.
Proposition : Formule de Koenig
Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une espérance et une variance.
On a :
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2
Démonstration :
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Dénition : Ecart-type
Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance.
On dénit
l'écart-type de
X par σ(X) =
p
V(X)
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. Soit a, b ∈ R. Alors :
V(aX + b) = a2 V (X), σ(aX + b) = |a|σ(X)
Dénition :
Soit X une variable à densité admettant une variance.
On dit que X est centrée et réduite si E(X) = 0 et V (X) = 1.
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.
On appelle variable aléatoire centrée réduite associée à X , la variable aléatoire X ∗ dénit par :
X∗ =
X − E(X)
σ(X)
Elle est centrée réduite.
E) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème :
Soit X une variable aléatoire à densité
p admettant une variance.
On note m = E(X) et σ = σ(X) = V (X). Soit ε > 0.
P ([|X − m| ≥ ε]) ≤
σ2
ε2
Démonstration :
Lemme : Inégalité de Markov
Soit Y une variable aléatoire positive et à densité, admettant une espérance.
Soit t ∈ R∗+ . On a :
P ([Y ≥ t]) ≤
Démonstration :
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E(Y )
t
Appliquer le lemme à Y = (X − m)2 .
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III Loi uniforme
A) Dénition
Dénition :
Soit a et b deux réels a < b.
On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour densité la fonction
f: R → R
x 7→
1
b−a
0
si x ∈ [a, b]
sinon
On note X ,→ U([a, b]).
B) Fonction de répartition
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b].
Notons F sa fonction de répartition. On a :
F : R → R

 0
t−a
t 7→
 b−a
1
si t < a
si a ≤ t ≤ b
si t > b
f
1
→
−
j
F
1
→
−
j
1
b−a
a
a
O
→
− 1 b
i
O
→
− 1 b
i
C) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b].
On a :
E(X) =
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(b − a)2
a+b
, V (X) =
2
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IV Loi exponentielle
A) Dénition
Dénition :
Soit λ > 0.
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction
f: R → R
0
x 7→
λe−λx
si x < 0
si x ≥ 0
On note : X ,→ E(λ).
B) Fonction de répartition
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Notons F sa fonction de répartition. On a :
F : R → R
0
si t < 0
t 7→
1 − exp(−λt) si t ≥ 0
f
F
1
→
−
j
O
1
→
−
j
→
− 1
i
O
→
− 1
i
C) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On a :
E(X) =
1
1
, V (X) = 2
λ
λ
D) Invariance temporelle
Théorème :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Soient s, t ∈ R+ .
P[X>t] (X > s + t) = P(X > t)
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V Loi normale
A) Dénition
Dénition :
On dit que X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité
la fonction
f: R → R
2
1
x
√ exp −
2
2π
x 7→
On note : X ,→ N (0, 1)
Dénition :
Soit m ∈ R et σ ∈ R∗+ .
On dit que X suit la loi normale de paramètre m et σ 2 si elle admet pour densité la fonction
f: R → R
x 7→
1
(x − m)2
√
exp −
2σ 2
2πσ
On note : X ,→ N (m, σ 2 )
B) Fonction de répartition
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale centrée réduite.
Notons Φ sa fonction de répartition. On a :
Φ: R → R
2
Z t
1
x
√ exp −
t 7→
dx
2
2π
−∞
Φ vérie les propriétés suivantes :
â Φ(0) =
1
2
â ∀t ∈ R+ , Φ(−t) = 1 − Φ(t)
â φ ne s'exprime pas simplement, on utilise des tables de la loi normale.
f
1
F
→
−
j
O
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1
→
−
j
→
− 1
i
O
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→
− 1
i
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C) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale de paramètre m et σ . On a :
E(X) = m, V (X) = σ 2
D) Loi de aX + b
Proposition :
Soit X une variable aléatoire admettant une espérance m et une variance σ 2 avec σ > 0.
Soit a ∈ R∗ et b ∈ R. On a :
aX + b ,→ N (am + b, a2 σ 2 )
Remarque:
Soit X une variable aléatoire. On suppose X ,→ N (m, σ 2 )
Alors X ∗ ,→ N (0, 1)
E) Sommes de gaussiennes indépendantes
Théorème :
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On suppose :
X ,→ N (m, σ 2 ) e t Y ,→ N (m0 , σ 0 )
2
Alors
2
X + Y ,→ N (m + m0 , σ 2 + σ 0 )
Ce résultat se généralise au cas de n variables aléatoires gaussiennes et indépendantes.
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F) Table de la loi normale centrée réduite
On tabule ici les valeurs de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite N (0, 1). Par
dénition,
1
φ(x) = √
2π
Z
x
2 /2
e−t
−∞
dt
Les décimales se lisent sur les lignes, et on ajoute les centièmes rangés en colonnes. Par exemple, la
valeur de Φ(1, 93) est donnée à l'intersection de la ligne 1, 9 et de la colonne 0, 03, et l'on peut lire
Φ(1, 93) = 0, 9732, à 10−4 près. Au delà de la valeur x = 3, 9, la valeur de Φ(x) est presque égale à 1
(toujours à 10−4 près), elle n'est donc plus tabulée. Enn, pour les valeurs négatives de x, on utilise la
relation Φ(−x) = 1 − Φ(x)
x
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
.5
.5039 .5079 .5119 .5159 .5199 .5239 .5279 .5318 .5358
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7793 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 8849
.8869 .8888 .8906 .8925 .8943 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767
2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817
2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857
2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890
2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916
2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936
2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952
2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964
2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974
2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981
2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986
3.0 .9986 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990
3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993
3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995
3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997
3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998
3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998
3.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999
3.7 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999
3.8 9999
.9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999
3.9 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000
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VI Simulations de loi
A) Obtenir un tracé expérimental de la densité
L'objectif est le suivant :
G On dispose d'un nombre important de simulations d'une variable aléatoire dont on soupçonne
qu'elle puisse être à densité.
G On voudrait un tracé expérimental d'une densité.
On note X la variable aléatoire, F sa fonction de répartiton, et f une densité.
Obtenir un graphique d'une densité
G Soit L la liste comprenant les simulations de la variable aléatoire.
Méthode
G On calcule le minimum m et le maximun M de la liste L
G On discrétise l'intervalle [m, M ] en un certain nombre N de petits intervalles.
(Par exemple N = 30)
M −m
et pour i ∈ J0, N K, on pose xi = m + i ∗ h
On pose alors h =
N
G Une valeur approchée de la fonction de répartition F en x est donnée par la fréquence
des simulations vériant X 6 x.
F (xi+1 ) − F (xi )
G Une valeur approchée de la densité en xi est donnée par
h
G On compte donc le nombre ni de simulations dans l'intervalle [xi , xi+1 ] et on considère
ni
donc que f (xi ) ≈
len(L) ∗ h
G Faire un graphique !
from random import random
import matplotlib . pyplot as plt
from math import ∗
import numpy as np
def densite ( L ) :
m = min( L )
M = max( L )
h = ( M−m ) /30
f = [0] ∗ 31
for x in L :
k = floor (( x−m )/ h )
f [ k ] += 1
for k in range ( len ( f ) ) :
f [ k ] = f [ k ]/( len ( L ) ∗ h )
return f
def
densite_graphe ( L ) :
f = densite ( L )
m = min( L )
M = max( L )
X = [ m + i ∗ ( M−m ) /30
plt . plot ( X , F )
plt . show ()
for
i
in range (31) ]
On peut aussi faire :
import matplotlib . pyplot as plt
plt . hist ( s , 100 , normed=True ) #
de la densit é .
plt . show ()
2014-2015
histogramme tout fait
normed = True permet la repr é sentation
C. Courant
page 12
BCPST 952
Variables aléatoires à densité
Lycée du Parc
B) Loi uniforme
def
uniforme ( a , b ) :
return ( b−a ) ∗ random ()
Loi uniforme
+a
C) Loi exponentielle
def
expon ( mu ) :
x=random ()
return (− log (1 − x )/ mu )
np . random . exponential ( beta , N )
Loi exponentielle
Loi exponentielle toute faite
# simule N f o i s une l o i exponentielle
# de paramè tre mu=1/beta
D) Loi normale
G On cherche à simuler une loi normale centrée réduite.
Pour le cas général, on utilise que si X ,→ N (0, 1) alors σX + µ ,→ N (µ, σ 2 ).
G On peut utiliser la même idée que pour la loi exponentielle. Cependant, on ne connait pas de
forme explicite Φ−1 .
Il faudra utiliser des approximations : la fonction norm.ppf du module scipy.stats nous fournit
la fonction.
from scipy . stats import ∗
def normal ( mu , sigma ) :
x = random ()
return sigma ∗ norm . ppf ( x )+mu
Loi normale
Mais bien sûr, c'est déjà programmé dans python (avec des méthodes bien plus précises) :
np . random . normal ( mu , sigma , N )
2014-2015
Loi normale toute faite
C. Courant
page 13
BCPST2
9
5
2
13
V. A. à densité
Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordre
cosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs(*)... Elle règne avec sérénité et en toute abnégation au milieu de la confusion sauvage. Francis Galton
(*) loi normale
© Exercice 1:
On note f la fonction dénie sur R par :
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd07.tex
∀x ∈ R, f (x) =
1
π(1 + x2 )
1◦ ) Montrer que f
est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f comme
densité : on dit que X suit la loi de Cauchy
2◦ ) a) Déterminer la fonction de répartition de X .
b) Calculer les probabilités : P (X ≤ 0), P (X ≥ 0), P (X ≤ −1) et P (X ≥ 1).
c) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
3◦ ) Soit V une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur − π2 , π2 Montrer que tan V suit la loi
de Cauchy.
4◦ ) a)
On pose h la fonction dénie sur R \ 1 par h(x) =
Étudier les variations de h.
b)
On dénit la variable aléatoire Y =
© Exercice 2:
1+x
1−x
1+X
. Montrer que Y suit également la loi de Cauchy.
1−X
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd04.tex
1 ) Soit X
une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1].
On dénit Y = X 2 . Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une
densité de Y .
◦
2 ) Espérance et variance de Y ?
◦
© Exercice 3:
Soit X une va suivant une loi normale de paramètre m et σ . On pose Y = exp X . Déterminer la
fonction de répartition de Y , ainsi que son espérance et sa variance.
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd05.tex
© Exercice 4:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd02.tex
Pour cet exercice, on utilisera une table de la loi normale centrée réduite.
Une société de service en informatique veut répondre à un appel d'ore pour réaliser le portail web
2014-2015
C. Courant
Exercices : I
BCPST 952
Exercices : V. A. à densité
Lycée du parc
d'une entreprise. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour
réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres m et σ où m vaut 400 jours et σ , 20
jours.
1◦ ) Quelle est la probabilité qu'il soit eectivement ni avant 400 jours ? Avant 410 jours ?
2◦ ) Quelle durée devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de nir dans les temps ?
3◦ ) Le commercial décide qu'on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le
projet est réalisable en 350 jours. Quelle est la probabilité que le projet soit ni dans les temps ?
© Exercice 5:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd03.tex
La Société Anonyme B.-N. fabrique des nains (de jardin) d'une hauteur moyenne de 1 mètre.
Notons X la hauteur d'un nain en bout de la chaîne de fabrication. On supposera que X suit une
loi normale de paramètres m et σ , telle que E(X 2 ) = 1, 01.
1◦ ) Déterminer m et σ .
2◦ ) Quelle est la probabilité qu'un nain mesure entre 98 centimètres et 1, 02m ?
© Exercice 6: Loi du χ2
Soit Y une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Déterminer la fonction de répartition de la
variable aléatoire X = Y 2 et montrer que X admet une densité que l'on déterminera. Déterminer
espérance et variance de X .
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd06.tex
© Exercice 7:
Soit f (x) = xe−x si x > 0 et f (x) = 0 sinon.
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad17.tex
1◦ ) Montrer
que f est une densité de probabilité.
2◦ ) Trois personnes A, B , C arrivent à deux guichets. C , par courtoisie, laisse passer A et B puis
prendra la place du premier parti.
On note TA et TB les temps de passage au guichet de A et B . On suppose que ces deux variables
aléatoires sont indépendantes et admettent f pour densité. Soit M le temps d'attente de C .
TA admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
3◦ ) Donner la loi de M .
4◦ ) Soit Y la partie entière de TA . Donner la loi de Y .
© Exercice 8:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad20.tex
Soit (Xi )16i62n+1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi uniforme sur
[0, 1]. On les range dans l'ordre croissant et on dénit la médiane Mn , c'est-à-dire la n + 1-ième
valeur.
2n+1
X
2n + 1 i
x (1 − x)2n+1−i
1 ) Montrer : ∀x ∈ [0, 1], P (Mn 6 x) =
i
i=n+1
◦
2014-2015
C. Courant
Exercices : II
BCPST 952
Exercices : V. A. à densité
Lycée du parc
2◦ ) Montrer
que Mn est à densité et qu'elle admet une espérance.
3◦ ) Calculer E(Mn ).
Z
1
On rappelle que
xp (1 − x)q dx =
0
p!q!
.
(p + q + 1)!
© Exercice 9:
Soit (Xn )n>0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi E(1).
Xk
?
1◦ ) Loi de
k
n
X
Xi
◦
2 ) Montrer que Zn = max(X1 , . . . , Xn ) et
suivent la même loi.
i
i=1
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad29.tex
3◦ ) Montrer
que Zn admet une espérance et une variance.
Montrer que : 1 6 E(Zn ) 6 n et
1
6 V(Zn ) 6 n
n
© Exercice 10:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad05.tex
© Exercice 11:
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd26.tex
Roméo et une Juliette se donnent rendez-vous à minuit (sous un balcon). L'heure d'arrivée de la
Juliette suit une loi normale d'espérance minuit et d'écart-type 4 minutes. L'heure d'arrivée de
Roméo suit une loi normale d'espérance minuit et cinq minutes (il a envie de se faire attendre) et
d'écart-type 3 minutes. Elle est prête à attendre au plus 10 minutes, lui au plus 5 minutes. Quelle
est la probabilité que cette grande histoire d'amour ne commence jamais ?
A l'aide de la loi normale, calculer les intégrales suivantes :
◦
1 )
2◦ )
3◦ )
Z
+∞
e
−∞
Z +∞
−∞
Z +∞
−2x2 −4x−2
xe−2x
dx
2 −2x−1
x2 e−2x
dx
2 −8x−1
dx
◦
4 )
5◦ )
6◦ )
−∞
© Exercice 12:
Z
+∞
−1
Z +∞
−∞
Z +∞
2 −4x−1
e−2x
dx
x3 e−2x
2 −4x−1
dx
x4 e−2x
2 −6x−1
dx
−∞
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd24.tex
Une usine a une chaine de montage. On commence à fabriquer des objets à l'instant t = 0.
Il y a n machines qui travaillent en parallèle. On note Xi le temps de fabrication d'un objet sur la
i-ème machine. Lorsque l'objet est fabriqué, la machine s'arrête.
On suppose que Xi ,→ U([0, 1]).
Soit t ∈ [0, 1].
2014-2015
C. Courant
Exercices : III
BCPST 952
Exercices : V. A. à densité
Lycée du parc
1◦ ) Soit Nt
le nombre d'objet fabriqués à l'instant t. Reconnaitre la loi de Nt .
2◦ ) Soit Tk le temps nécéssaire à la fabrication de k objets.
Montrer P(Tk 6 t) = P(Nt > k).
Exprimer P(Tk 6 t) comme une somme.
3◦ ) Montrer que Tk est à densité et qu'une densité est donnée par
fk (t) =
4◦ ) Déterminer
n!
tk−1 (1 − t)n−k
(k − 1)!(n − k)!
l'espérance de Tk .
© Exercice 13:
Soit n ∈ N et fn dénie par
/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd32.tex

 e−t tn
si
t>0
fn (t) =
 0 n!
sinon
Z x
Z x
e−x xn
◦
∗
fn (t) dt =
1 ) Montrer : ∀x ∈ R+ ,
+
fn+1 (t) dt.
n!
0
0
Z +∞
fn (t) dt = 1. En déduire que fn est une densité de probabilité.
Montrer que
0
2 ) Soit Xn
admettant fn comme densité de probabilité. Montrer que Xn admet une espérance et
une variance et les calculer.
3◦ ) Soit Yt ,→ P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant 0 et l'instant t. Soit
Zn le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées.
a) Montrer [Zn 6 t] = [Yt > n]
b) En déduire que Zn admet une densité de la forme fk avec k à préciser.
◦
2014-2015
C. Courant
Exercices : IV