(ABCDA`B`C`D`) (chaque face est un

Il comprend 5 feuilles d’exercices suivie d’éléments de correction (à ne regarder qu’après une étude détaillée des
questions. Il est préconisé de découper au fur et à mesure les énoncés, les coller sur un cahier ou des feuilles et les
faire. ;Vous pouvez vous aider du cours et des exercices qui ont été faits durant l’année.
BONNES VACANCES SUR LA PLAGE MATHS
Exercice 1 Le plan (P) est muni du repère orthonormal.
1°)a) Déterminer une fonction trinôme du 2nd degré f telle que f(2)=2 , f(4)=4 , et f ‘(4)=0
b) Etudier les variations de f et construire la courbe C représentative de f pour x[0;8]
2°)a) Déterminer une fonction trinôme du 2nd degré g telle que la droite (D) d’équation
y x 23
2
soit
tangente à C’ courbe représentative de g au point d’abscisse 1 et telle que g(2)=2.
b) Etudier les variations de g et construire C’ pour x[0;8].
3°) Etudier la position de C par rapport à C’.
Exercice 2 f étant la fonction définie par
f x x x ( )
1
23 2
2
. On appelle C sa courbe représentative dans un plan
muni d’un repère orthonormal
( ; , ) O i j
.
1°) Etudier le sens de variation de f et construire C.
2°) m désigne un paramètre réel. a) Quel est , selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation
f(x)=m ? (A faire de deux façons : graphiquement et par le calcul)
b) Pour quelles valeurs de m l’équation f(x)=m a-t-elle 2 solutions distinctes x’ et x’’ telles que x’<0<x’’ ?
3°) m désignant toujours un paramètre réel, on considère
D
m
la droite passant par le point A(
3
2
;0) et de
coefficient directeur m. Etudier, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersection de Cet
D
m
.Pour
quelles valeurs
m
0
et
m
1
de m la droite
D
m
coupe-t-elle C en un seul point ? Déterminer les abscisses
x
0
et
x
1
de ces points. Vérifier que
D
m
0
et
D
m
1
sont tangentes à C.
Exercice 3 Soit f la fonction définie de  dans  par
f x x x ( )
3
3 1
1°) Etudier le sens de variation de f et construire C, courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère
orthonormal
( ; , ) O i j
.
2°) Soit le point de C d’abscisse 0. a) Donner une équation de la tangente T à C en .
b) Etudier la position de C par rapport à T. c) Montrer que  est centre de symétrie de C.
3°) Construire la parabole P d’équation
y x x
2
2 1
et étudier PC.
Exercice 4 Soit l’application f de  dans  définie par
f x x x ( )
2
8
.
a) Etudier les limites de f en +et -. Montrer que la courbe C, représentative de la fonction f admet pour
asymptotes les droites d’équation y=0 en + et y=-2x en -.
b) Etudier les variations de f.
c) Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1.
d) Tracer les asymptotes, C et T dans un repère orthonormal
( ; , ) O i j
.
Exercice 5 Soit f la fonction définie sur -1 ;0 par
f x x x
x x
( )
2 2 1
2
2
et C sa courbe représentative dans un repère
orthonormal
( ; , ) O i j
.
1°) Déterminer les réels a, b, c tels que pour tous réels x-1 ;0 on ait
f x a b
xc x
( )
1
.
2°) Montrer que la droite  d’équation
x
1
2
est axe de symétrie pour C.
3°) Etudier la fonction f (variations et limites) et tracer C.
4°) On considère la suite
( ) u
n
définie pour tout entier n non-nul, par
u f n
n
2 ( )
.
a) calculer
S u u u
n n 1 2
.....
. b) Déterminer
lim
nn
S
.
CAHIER DE VACANCES N 1
Feuille 1

Exercice 1 Soit f la fonction définie sur  par
f x x
x
( )
2 1
1
et g la fonction définie sur [-2 ;+[ par
g x x ( ) 2
.
Déterminer gof et fog ainsi que leur ensemble de définition.
Exercice 2 Soit
f x x x ( ) 322
a) Etudier les variations de f. b) Montrer que la droite  d’équation y = x – 3 est asymptote oblique à C
courbe représentative de f . c) Tracer C et ses asymptotes.
Exercice 3 Etant donné un triangle (ABC), construire les points I, J et K définis par I est le barycentre de (A,2) et (C,1) ;
J est le barycentre de (A,1) et (B,2) ; K est le barycentre de (C,1) et (B,-4).
1°) Montrer que B est le barycentre de (K,3) et (C,1)
2°) Quel est le barycentre de (A ,2) (K,3) et (C,1) ?
3°) Déduire du 2°) que I , J et K sont alignés et que J est le milieu de [IK].
4°) L étant le milieu de [CI] et M le milieu de [KC], montrer que (IJML) est un parallélogramme dont le centre
G est l’isobarycentre des points A B et C.
Exercice 4 Soient A et B deux points distincts. I est le milieu de [AB], M est un point du plan et H le projeté orthogonal de
M sur (AB).
1°)a) montrer que
MA MB AB IH
2 2
2
b) Montrer que
MA MB MI AB
2 2 2 2
22
2°) Soit (ABC) un triangle de côtés a b et c. On désigne par
m m m
1 2 3
, ,
les longueurs des médianes issues de A
B et C . Montrer que
m m m a b c
1222322 2 2
3
4
( )
.
Exercice 5 On considère la famille de courbes
C
m
dont une équation est
x y m x m y m
2 2
2 1 2 2 3 10 8 0 ( ) ( )
où
m est un réel.
1°) Construire
C
0
et
C
2
. 2°) Montrer que toutes les courbes
C
m
sont ou bien des cercles ou bien l’ensemble
vide . 3°) Dans le cas où les courbes
C
m
sont des cercles , déterminer l’ensemble des centres de ces cercles.
Exercice 6 On considère un demi-cercle de diamètre [AB] et de rayon R. On construit les cordes [AC] et [CD]
respectivement égales au côté du carré inscrit et au côté de l’hexagone régulier inscrit dans le cercle de rayon
R. A, C, D et B sont dans cet ordre sur le demi-cercle.
1°) Calculer les longueurs BD et AD en fonction de R.
2°) Calculer l’angle ADC. 3°) Calculer l’aire du quadrilatère (ABDC).
Exercice 7 On considère un triangle (ABC) ; E est le symétrique de A par rapport à B ; D est le symétrique de A par
rapport à C ; M désigne le milieu de [BD] et N celui de [CE].
Les droites (AM) et (BC) se coupent en P ; les droites (AN) et (BC) se coupent en Q. I désigne le milieu de
[CD] et J le milieu de [BE].
Montrer, en utilisant une homothétie, que I, M, N et J sont alignés.
Exercice 8 Soit (ABC) un triangle direct (cela veut dire de A vers B, de B vers C dans le sens direct).On construit les
carrés (ABDE) et (ACFG) extérieurement à (ABC).
Prouver que les droites ( EC) et (BG) sont perpendiculaires . (Penser à utiliser la rotation de centre A et
d’angle
2
).
Exercice 9 Soit un repère orthonormal direct
( ; , ) O i j
. On considère la rotation r de centre O et d’angle
4
, les points
A(1 ;2) B(-1 ;-1) et I le milieu de [AB].Déterminer les coordonnées de A’=r(A), B’=r(B) et I’=r(I).
Exercice 10 On considère un parallélépipède (ABCDA’B’C’D’) (chaque face est un parallélogramme) et G le centre de
gravité du triangle (A’BD). Montrer que G appartient à (AC’) et que AG=
1
3
AC’.
1ère S vers Tale S Feuille 2

Exercice 1 Soit (ABC) un triangle du plan (P). Déterminer l’ensemble des points M du plan (P) tels que
( ) ( )2 0 MA MB MC MB MC
.
Exercice 2 Soit r la rotation de centre O et d’angle
4
. Soit A un point quelconque . Construire un point M tel que A soit
le milieu de [ MM’], où M’=r(M).
Exercice 3 On considère la suite réelle U définie par
u u
0 1
1 1 ,
et par la relation
u u u
n n n 2 1
3
21 2
pour tout n
entier naturel. Soit V la suite définie par
v u u
n n n 1
.
1°) Montrer que la suite V est une suite géométrique. Calculer
v
n
en fonction de n.
2°) En déduire le terme général
u
n
en fonction de n (calculer
v
i
i
n
0
1
). Quelle est la limite de la suite U quand n
tend vers l’infini ?
3°) Déterminer le plus petit entier
n
0
tel que : pour tout n,
n n
0
, on ait
u
n
310
5
.
Exercice 4 Les questions sont indépendantes.
1°) On considère la suite
( ) u
n
pour tout n entier naturel, définie par
u
0
=0 et pour tout nIN
S u u u n n
n n 0 1 2
1
3
........ ( ).
Montrer que
( ) u
n
est une suite arithmétique.
2°) Déterminer la raison et le premier terme
w
1
de la suite géométrique décroissante
( ) w
n n 1
sachant que
w w w
1 2 3
64
et
w w w
122232
84
.
Exercice 5 On définit les suites réelles
( ) u
n n 0
et
( ) v
n n 0
par
u u u
u
nn
n
0 1
2
25
2
;
et
vu
u
nn
n
5
5
.
1°) Montrer que, pour tout n0 on a
v v
n n 12
. En déduire la relation
v v
n
n
02( )
pour tout n0.
2°) Montrer que
v
02
1
2 5 ( )
et en déduire la majoration
v
0
1
16
. Déterminer alors la limite de la suite
( ) v
n n 0
, puis celle de la suite
( ) u
n n 0
quand n tend vers l’infini.
Exercice 6 On considère la suite U définie par
uet u u n
n n0 1
11
31
si n0 et la suite V définie par
v u n
n n
4 6 15
.
1°) Montrer que V est une suite géométrique. Calculer
v
0
puis
v
n
en fonction de n.
En déduire que , pour tout entier naturel n, on a
un
nn
19
41
3
615
4
.
2°) Montrer que la suite U peut s’écrire sous la forme U=T+W où T est une suite géométrique et W une suite
arithmétique.
3°) Calculer
T t t t
n n 0 1
.......
et
W w w w
n n 0 1
........ .
En déduire
U u u u
n n 1 2
......... .
Exercice 7 On considère la suite
( ) u
n n 0
définie par
u u
0 0
4
et
u u
n n 1
4 2
.
1°) Montrer que la suite
( ) u
n n 0
est définie pour tout n de IN.
2°) Démontrer que pour n1, on a
u
n
2
3°) Montrer que, pour tout n,
u u
n n 1
a le même signe que
u
n
.
4°) On suppose que
u
0
1
.Démontrer que la suite
( ) u
n n 0
est monotone.
1ère S vers Tale S Feuille 3

Exercice 1 On Considère la suite
( ) u
n n 0
définie par
u u
0 1
1 3 ;
et
u a u a u
n n n 221
1
23( )
a étant un réel. Soit la
suite
( ) v
n n 0
définie par
v u u
n n n 1
.
1°) On pose a=2.
a) Vérifier que la suite
( ) v
n n 0
est constante. b) En déduire que
( ) u
n n 0
est une suite arithmétique dont
on précisera la raison et le premier terme. Exprimer, en fonction de n,
u
n
et
S u
n i
i
n
0
.
c) En déduire la somme des entiers naturels impairs inférieurs à 100.
2°) On pose a=4
a) Vérifier que la suite
( ) v
n n 0
est une suite géométrique . Exprimer
v
n
en fonction de n.
b) Calculer la somme
s v
n i
i
n
0
en fonction de n.
c) En déduire que pour tout n de IN :
s u
n n 1
1
. Montrer que
( ) u
n n 0
est divergente.
Exercice 2 Montrer que les expressions suivantes ont une valeur constante :
1)
A x sin x x sin x x ( ) cos cos
4 4 2 2
2
2)
B x x sin x sin x ( ) cos
4 4 2
2
3)
C x sin x x sin x x ( ) cos cos
6 6 2 2
3
Exercice 3 Résoudre dans  ,les équations suivantes et faire figurer les images des solutions sur le cercle trigonométrique
1)
sinx x cos2
2)
cos( ) x sin x
32
3)
cos
2 2
x sin x
4)
sin x x x sinx 2 2 0 cos cos
5)
2 3 1 0
2
tan tan x x
6)
6 5 0
2
sin x x cos
7)
4 2 2 3 6 0
2
sin x sinx ( )
(rem :
( )3 2 5 2 6
2
)
Exercice 4 1°) calculer
sin ( )
12
et
sin ( )
5
12
2°) Déterminer sin(3) en fonction de sin()
3°) utiliser le changement de variable x = sin pour résoudre l’équation
4 3 2
20
3
x x
(ne pas oublier que c’est x que l’on cherche)
Exercice 5 Résoudre les inéquations suivantes :
1°)
cos( )2 3
2
x
dans [0 ;2[ 2°)
tan x
1
2
dans [0 ;2[
3°)
sinx sin x ( )2 0
dans [0 ;] 4°)
4 2 2 3 6 0
2
cos ( )cos x x
dans [-;]
Exercice 6 On considère l’équation
2 2 2 1 2 5 2 0
2 2
x x (cos )cos cos
. (0    )
Pour quelles valeurs de , cette équation admet-elle deux solutions distinctes ? Quel est alors leur signe ?
Exercice 7 Soit
f x sin x sinx :
2
1°) Vérifier que f admet 2 pour période et calculer sa déruvée.
2°) Etude des variations de f et représentation graphique de f sur [0 ;2] dans un repère orthonormal
( ; , ) O i j
où
j 2
et le vecteur
v
tel que
v i
a pour norme 6.
Exercice 8 1°) Factoriser le trinôme
x x
2
12
.
2°) Déterminer les réels a et b pour que le polynôme
f x x x x ax b ( ) 2 4 33
4 3 2
soit divisible par le
trinôme
x x
2
12
.
3°) Résoudre alors f(x)=0 et f(x)0 1ère S vers Tale S feuille 4

Exercice 1 On considère les deux suites
( ) ( ) uet v
n n n n 1 1
définies par : pour tout n>0 :
u sin nsin nsin nsin n
n
vn n n
n
n
n
n
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2
........
........
1°) Démontrer que la suite
( ) v
n
converge vers
1
2
.
2°) On considère les fonctions f, g, h définies sur [0 ;+[ par :
f x x sinx ( )
;
g x xx ( ) cos 12
2
;
h x x xsinx ( )
3
6
.
a) En étudiant les variations des fonctions, montrer que chacune d’elle ne prend que des valeurs positives et
nulles
b) Montrer que pour tout n1 :
1 2 3
3 3 3 3 4
........ n n
.
c) Montrer que pour tout n1 :
vnu v
n n n
1
61
2
d) Démontrer que la suite
( ) u
n
est convergente et préciser sa limite.
Exercice 2 On considère dans le plan P muni d’un repère orthonormal
( ; , ) O i j
, le cercle () de centre O et de rayon 1.
Soit A le point de coordonnées (1 ;0) et A’ le point de coordonnées (-1 ;0).
1°) Par tout point H du segment ]AA’[ , on mène la perpendiculaire () à la droite (AA’). La droite () coupe le
cercle () en M et M’. On pose
OH x
. Calculer en fonction de x l’aire du triangle AMM’.
2°) Soit f la fonction numérique définie sur [-1 ;1] par
f x x x ( ) ( ) 1 1
2
et soit (C) sa courbe représentative
dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l’unité de longueur est 4 cm .
a) Etudier la dérivabilité de f en –1 et en 1. En déduire les tangentes à la courbe (C) aux points d’abscisses –1
et 1.
b) Dresser le tableau des variations de f ; on y précisera f(0).
c) Tracer la courbe (C).
3°) Montrer que le triangle AMM’ d’aire maximale est équilatéral.
4°) Justifier que l’équation f(x)=1 admet exactement deux solutions  et  (). Déterminer  et donner ,en
justifiant , une valeur approchée par défaut à
10
3
près de .
Exercice 3 Dans le plan, on considère le parallélogramme KLMN de centre O. Soit A un point de la droite (KN), distinct
de K et de N ;soit B le point d’intersection des droites (MA) et (LN). P et Q sont respectivement les projetés,
parallèlement à la droite (MN) de A sur la droite (KM) et de B sur la droite (LM).
1°) Faire une figure.
2°) a) On note h l’homothétie de centre K et de rapport
KA
KN
. Démontrer que h(M)=P. En déduire que le milieu
I du segment [AP] appartient à la droite (KL).
b) Indiquer l’homothétie qui permettrait de démontrer que le milieu J du segment [BQ] appartient à la droite
(KL).
3°) Justifier que les points N,P,Q sont les images respectives des points M,A,B par une symétrie dont on
précisera l’axe et la direction. En déduire que les points N,P,Q sont alignés.
Exercice 4 On considère dans le plan orienté un triangle ABC. Soit G le barycentre du système {(A,3),(B,1),(C,1)} ;Q est
le barycentre du système {(A,3),(C ,1)} ;R est le barycentre du système {(A,3),(B,1)}.
1°) Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.
2°) Soit P le milieu de [BC]. Démontrer que les points A,P,G sont alignés. Exprimer
PG
en fonction de
PA
.
3°) Soit E l’ensemble des points M du plan tels que (MB) soit perpendiculaire à (MC) .Quelle est la nature de E.
On suppose B et C fixes et que le point A décrit l’ensemble E. Déterminer l’ensemble E’ décrit par G.
1ère S vers Tale S Feuille 5