semaine du 03/10 au 08/10 - Sébastien Godillon

Programme de khôlles no3
semaine du 3 au 8 octobre
Mots-clefs
—Nombres complexes : l’ensemble des complexes C, écriture algébrique, partie réelle, partie imaginaire, pro-
priétés des opérations sur les complexes, représentation géométrique du plan complexe, conjugué, module, in-
égalité triangulaire, argument, le cercle unité U, formules d’Euler, formule de Moivre, factorisation par l’angle
moitié, écriture exponentielle, écriture trigonométrique, cas d’égalité de l’inégalité triangulaire, exponentielle
complexe, équations du second degré à coefficients réels.
—Cercle trigonométrique : le cercle trigonométrique S1, les fonctions trigonométriques cos,sin et tan, en-
semble de définition de tan, formules de trigonométrie (parités et symétries, décalages et périodicités, valeurs
remarquables, formules d’Euler, formule de Moivre, factorisation par l’angle moitié, formules d’addition, for-
mules de duplication, formules de bissection, transformation de produits en sommes, transformation de sommes
en produits, inégalités de comparaison).
—Fonctions trigonométriques réciproques : les fonctions trigonométriques réciproques arccos,arcsin et
arctan, formules de réciprocité, résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques (note aux khôlleurs :
les courbes représentatives n’ont pas encore été vues).
—Généralités sur les suites : définition, notation, l’ensemble des suites KN, représentation graphique de suites,
suite constante, suite stationnaire, suite périodique, suite pré-périodique, opérations sur les suites, relation
d’ordre sur les suites réelles, suite minorée, suite majorée, suite bornée, suite croissante, suite strictement
croissante, suite décroissante, suite strictement décroissante (note aux khôlleurs : pas de suites arithmético-
géométriques ou récurrentes linéaires d’ordre deux cette semaine).
Savoir-faire
— Résoudre des équations et des inéquations de nombres réels (y compris avec paramètres).
— Manipuler des nombres complexes.
— Manipuler des équations du second degré à coefficients réels (résolution et et relations coefficients-racines).
— Déterminer les racines n-ièmes de l’unité (note aux khôlleurs : le résultat n’est pas à connaître, il faut le
redémontrer à chaque fois en rappelant la définition des racines n-ièmes).
— Déterminer un argument d’un complexe (à l’aide d’une équation trigonométrique ou d’une factorisation par
l’angle moitié).
— Simplifier acos(θ) + bsin(θ).
— Linéariser cosp(θ) sinq(θ)(note aux khôlleurs : la formule du binôme de Newton n’a pas encore été vue).
— Développer cos(nθ)et sin(nθ)(note aux khôlleurs : idem).
— Transformer un produit de cosinus ou sinus en somme.
— Transformer une somme de cosinus ou sinus en produit.
— Résoudre des équations et des inéquations trigonométriques à l’aide des fonctions trigonométriques réciproques.
Exemples de questions de cours
— Démontrer l’inégalité triangulaire complexe : ∀(z, w)∈C2,|z+w|6|z|+|w|.
— Étudier le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire complexe.
— Rappeler les formules d’Euler, la formule de Moivre et les formules de factorisation par l’angle moitié.
— Rappeler des formules de trigonométrie.
— Rappeler les définitions des fonctions arccos,arcsin et arctan.
— Montrer que (un)n>n0est bornée si et seulement si (|un|)n>n0est majorée.
— Montrer qu’une suite bornée à partir d’un certain rang est bornée.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 Sébastien Godillon