semaine du 03/10 au 08/10 - Sébastien Godillon
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Programme de khôlles no 3 semaine du 3 au 8 octobre Mots-clefs — Nombres complexes : l’ensemble des complexes C, écriture algébrique, partie réelle, partie imaginaire, propriétés des opérations sur les complexes, représentation géométrique du plan complexe, conjugué, module, inégalité triangulaire, argument, le cercle unité U, formules d’Euler, formule de Moivre, factorisation par l’angle moitié, écriture exponentielle, écriture trigonométrique, cas d’égalité de l’inégalité triangulaire, exponentielle complexe, équations du second degré à coefficients réels. — Cercle trigonométrique : le cercle trigonométrique S1 , les fonctions trigonométriques cos, sin et tan, ensemble de définition de tan, formules de trigonométrie (parités et symétries, décalages et périodicités, valeurs remarquables, formules d’Euler, formule de Moivre, factorisation par l’angle moitié, formules d’addition, formules de duplication, formules de bissection, transformation de produits en sommes, transformation de sommes en produits, inégalités de comparaison). — Fonctions trigonométriques réciproques : les fonctions trigonométriques réciproques arccos, arcsin et arctan, formules de réciprocité, résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques (note aux khôlleurs : les courbes représentatives n’ont pas encore été vues). — Généralités sur les suites : définition, notation, l’ensemble des suites KN , représentation graphique de suites, suite constante, suite stationnaire, suite périodique, suite pré-périodique, opérations sur les suites, relation d’ordre sur les suites réelles, suite minorée, suite majorée, suite bornée, suite croissante, suite strictement croissante, suite décroissante, suite strictement décroissante (note aux khôlleurs : pas de suites arithméticogéométriques ou récurrentes linéaires d’ordre deux cette semaine). Savoir-faire — — — — — — — — — — — Résoudre des équations et des inéquations de nombres réels (y compris avec paramètres). Manipuler des nombres complexes. Manipuler des équations du second degré à coefficients réels (résolution et et relations coefficients-racines). Déterminer les racines n-ièmes de l’unité (note aux khôlleurs : le résultat n’est pas à connaître, il faut le redémontrer à chaque fois en rappelant la définition des racines n-ièmes). Déterminer un argument d’un complexe (à l’aide d’une équation trigonométrique ou d’une factorisation par l’angle moitié). Simplifier a cos(θ) + b sin(θ). Linéariser cosp (θ) sinq (θ) (note aux khôlleurs : la formule du binôme de Newton n’a pas encore été vue). Développer cos(nθ) et sin(nθ) (note aux khôlleurs : idem). Transformer un produit de cosinus ou sinus en somme. Transformer une somme de cosinus ou sinus en produit. Résoudre des équations et des inéquations trigonométriques à l’aide des fonctions trigonométriques réciproques. Exemples de questions de cours — — — — — — — Démontrer l’inégalité triangulaire complexe : ∀(z, w) ∈ C2 , |z + w| 6 |z| + |w|. Étudier le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire complexe. Rappeler les formules d’Euler, la formule de Moivre et les formules de factorisation par l’angle moitié. Rappeler des formules de trigonométrie. Rappeler les définitions des fonctions arccos, arcsin et arctan. Montrer que (un )n>n0 est bornée si et seulement si (|un |)n>n0 est majorée. Montrer qu’une suite bornée à partir d’un certain rang est bornée. BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 Sébastien Godillon
