Travaux dirigés, feuille 7 : Fubini, changement de variable - IMJ-PRG

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales
Int´ egration et Probabilit´ es 2010-2011
Travaux dirig´es, feuille 7 : Fubini, changement de variable
Fubini
Exercice 1 : graphe d’une fonction
Soient (E, A, µ) un espace mesur´e σ-fini et f:E→Rune fonction mesurable.
1) Montrer que l’application g:E×R→R2d´efinie par (x, t)7→ g(x, t)=(f(x), t) est A⊗B(R)-mesurable.
En d´eduire que le sous-ensemble suivant de E×R, appel´e graphe de f, est mesurable:
G(f) = {(x, t)∈E×R|f(x) = t}.
2) Soit (x, t)∈E×R. V´erifier que G(f)(x, t) = {f(x)}(t) et en d´eduire la valeur de µ⊗λ(G(f)).
3) En r´eciproque `a la question 1), montrer que si fest positive et que le sous-ensemble de E×Rd´efini
par Hyp(f) = {(x, t)∈E×R|0≤t<f(x)}, appel´e hypographe de f, est dans A⊗B(R), alors fest
A-mesurable.
Indication: Montrer que Hyp(f)t={x∈E|(x, t)∈Hyp(f)}est mesurable.
Exercice 2 : int´egration par parties
Soient µ1et µ2des mesures finies sur (R,B(R)) de densit´e fet gpar rapport `a la mesure de Lebesgue. On
note F(x) = µ1(] − ∞, x]), G(x) = µ2(] − ∞, x]).
Soient ∆1={(x, y)|a≤y < x ≤b}, et ∆2={(x, y)|a≤x≤y≤b}. En consid´erant de deux mani`eres
diff´erentes la quantit´e (µ1⊗µ2)(∆1∪∆2), ´etablir la formule “d’int´egration par parties” :
F(b)G(b)−F(a)G(a) = Z[a,b] F(x)g(x)dλ(x) + Z[a,b] G(x)f(x)dλ(x)
Exercice 3
1) Pour x∈R, calculer RR
dλ(y)
x2+y2.
2) Soit f:R→Rune fonction telle que la fonction x7→ f(x)
xsoit int´egrable. Montrer que pour tout y∈R∗,
la fonction x7→ f(x)
x2+y2est int´egrable.
3) Pour y∈R∗, posons g(y) = RR
f(x)
x2+y2dλ(x) et g(0) = 0. Montrer que gest int´egrable et que
ZR
g(y)dλ(y) = πZR
f(x)
|x|dλ(x).
Exercice 4
1) Montrer que la fonction f: [0,1] ×R+→Rd´efinie par f(x, y) = e−ycos(xy) est λ2-int´egrable.
2) Montrer que, pour tout x∈[0,1], R[0,+∞[e−ycos(xy)dλ(y) = 1
x2+1 .
3) Calculer R]0,+∞[e−ysin y
ydλ(y).
1

Exercice 5
Soient a, b tels que −1< a < b. Montrer que la fonction f(x, y) = yxest int´egrable dans le rectangle
a≤x≤b, 0≤y≤1. Calculer l’int´egrale R]0,1[
yb−ya
ln ydλ(y).
Exercice 6
Soit f:]0,∞[→Ctelle que x7→ f(x)
1+x2soit λ−int´egrable.
1) Montrer que la fonction g:]0,∞[→C, g(u) = R]0,∞[f(x) exp(−ux)dλ(x) est continue.
2) Pour 0 < a < b, on pose Ia,b =R[a,b]g(u) sin u dλ(u). Montrer que
Ia,b =Z]0,∞[ f(x)Z[a,b] sin uexp(−ux)dλ(u)dλ(x).
3) Montrer que lim
a→0,b→∞ Ia,b =Z]0,∞[
f(x)
1 + x2dλ(x).
Exercice 7
Soit E= [0,1] ×[0,1] muni de la tribu bor´elienne et de la mesure de Lebesgue.
1) Soit f:E→Rd´efinie par f(x, y) = (x2−y2
(x2+y2)2)si (x, y)6= (0,0) ;
0 sinon.
Calculer R[0,1] R[0,1] f(x, y)dλ(x)dλ(y), puis R[0,1] R[0,1] f(x, y)dλ(y)dλ(x).
Indication : remarquer que ∂
∂x −x
x2+y2=x2−y2 (x2+y2)2.
2) Mˆeme question avec g:E→Rd´efinie par: g(x, y) = x−1
2−3si 0 < y < x−1 2;
0 sinon.
3) On munit maintenant un des intervalles [0,1] de la mesure µde comptage. Soit h(x, y) = 1 si x=y;
0 sinon.
Calculer R[0,1] R[0,1] h dλdµ, et R[0,1] R[0,1] h dµdλ.
4) Montrer que f, g, h sont mesurables, et expliquer pourquoi le th´eor`eme de Fubini ne s’applique pas dans
les trois cas pr´ec´edents.
Exercice 8
Soient (Ω,T, µ) un espace mesur´e σ−fini et f: Ω →R+une fonction mesurable. On rappelle que le graphe
et l’hypographe de f(voir d´efinitions dans l’exercice 1) sont T ⊗B(R)-mesurables. Montrer que, pour p > 0,
on a ZΩ
fpdµ =pZ[0,∞[ yp−1µ({x∈Ω|0≤y≤f(x)}dλ(y).
Exercice 9
Soit µune mesure sur (R,B(R)) telle que µ(K)<+∞pour tout compact K⊂R. Pour tout x∈R, on
pose G(x) = µ([0, x]) si x≥0, et G(x) = −µ(]x, 0[) si x < 0.
1) Montrer que la fonction G:R→Rest mesurable.
2) Soit ϕ:R→Rune fonction de classe C1telle que l’ensemble {x∈R:ϕ(x)6= 0}soit born´e. Montrer
que la fonction x∈R7→ G(x)ϕ0(x) est int´egrable sur Rpar rapport `a la mesure de Lebesgue λ1, et que ϕ
est µ-int´egrable sur R.
2

3) En utilisant le Th´eor`eme de Fubini, montrer que
ZR
Gϕ0dλ1=−ZR ϕ dµ .
On suppose dans la suite que µ=gλ1pour une fonction g:R→R+continue.
4) Montrer que l’on a bien µ(K)<+∞pour tout compact K⊂R.
5) Montrer que Gest de classe C1sur R, et calculer G0.
6) Montrer la formule obtenue `a la question 3) sans utiliser le Th´eor`eme de Fubini.
Changement de variable
Exercice 10
Calculer l’int´egrale RD(y−x)dλ(x, y) o`u D={(x, y)|1< xy < 4,0<2x < y, x +y < 8}.
Indication : poser u=√xy, v =x+y
2et utiliser Fubini.
Exercice 11
On pose Ω = {(x, y)∈R2|x > 0, y > 0,1< x2+ 4y2<4}, G ={(x, y)∈Ω|y < x},
Ω0={(x, y)∈R2|1<x<4, y > 0}et G0={(x, y)∈Ω0|y < 1}.
1) Trouver un C1-diff´eomorphisme T: Ω →Ω0tel que T(G) = G0.
2) Soit f:R2→R, f(x, y) = (x2−4y2
4x2si x6= 0
0 sinon . Montrer que fest bor´elienne int´egrable sur Get
calculer son int´egrale.
Indication : utiliser la question 1).
Exercice 12
Soient f, g les fonctions d´efinies par :
f(x) = 1
π√1−x2|x|<1et g(x) = xexp(−x2
2)x>0.
Soit I(a) = RP(a)f(x)g(y)dλ(x, y) o`u P(a) = {(x, y)∈R2|xy ≤a}. Montrer que
I(a) = 1
√2πZ]−∞,a[
e−t2/2dλ(t).
Indication : poser (u, v)=(xy, y)puis z=√v2−u2.
Exercice 13 : volume de la boule unit´e dans Rd
Soient un entier n≥1 et ωnle volume de la boule euclidienne unit´e Bnde Rnd´efinie par
Bn=(x1, x2, . . . , xn)∈Rn, x2
1+··· +x2 n≤1.
1) Calculer ω1et ω2.
2) Montrer que λn(Bn) = λn(◦ Bn).
3

3) Soit n≥3. En remarquant que
(x2
1+··· +x2 n≤1) ⇐⇒ (x2 1+x2 2≤1 et x2 3+··· +x2 n≤1−x2 1−x2 2),
et en utilisant Fubini, montrer que
ωn=ZB2 (1 −x2
1−x2 2)(n−2)/2dλ2(x1, x2)ωn−2.
4) Utiliser les coordonn´ees polaires pour ´etablir que ωn=2π
nωn−2.
5) En d´eduire que la suite an=πn
2
Γ(n
2+ 1) v´erifie la mˆeme relation de r´ecurrence que la suite (ωn), o`u Γ est
la fonction Gamma d´ej`a ´etudi´ee . On rappelle que Γ(s+ 1) = sΓ(s) pour tout s > 0.
6) Conclure. On rappelle que Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1.
Exercice 14
Pour α≥0, on pose
I(α) = Z[1,+∞[×R
1
x2y2+x2+αdλ(x, y).
1) Montrer que I(α) est bien d´efinie.
2) Montrer que I(α) est finie.
3) Montrer que I:R+→Ret de classe C1.
4) Calculer I(α) `a l’aide du changement de variables x=√t2−α,y=tu
√t2−α.
Exercice 15
Soit m∈N∗. On note h., .ile produit scalaire usuel sur Rm. Soit Aune matrice r´eelle m×m, sym´etrique
et d´efinie positive (i.e. hAx, xi>0 pour tout x6= 0).
1) Montrer que la fonction x7→ e−αkxk2est int´egrable sur Rmpour α > 0. En utilisant ce r´esultat montrer
que la fonction fd´efinie par f(x) = exp(−hAx, xi) est dans L1(Rm).
2) Montrer que ZRm
exp(−hAx, xi)dλ(x) = πm/2(det A)−1/2.
Indication : on pourra utiliser une base de vecteurs propres de Apour faire un changement de variables; on
rappelle que RRe−t2dt =π1/2.
3) Soit Fla fonction de Rdans Cd´efinie par F(t) = RReitxe−x2dλ(x). Montrer que Fest de classe C1sur
Ret qu’elle v´erifie 2F0(t) + tF (t)=0.En d´eduire F.
4) Pour z∈Rm, calculer I(z) = RRmexp(ihz, xi−hAx, xi)dλ(x).
Exercice 16
Soit f:]0,∞[→Rd´efinie par f(t) = R]0,∞[e−t(x−1)2dλ(x).
1) On pose In=RR2e−n(x2+y2−1)2dλ(x, y),(n∈N∗). Calculer Inau moyen de f, puis calculer limn→∞ In.
2) Soit hune fonction continue born´ee sur R2. Calculer limn→∞ √nRR2h(x, y) exp(−n(x2+y2−1)2)dλ(x, y).
4

Exercice 17
Soient P={(x, y, z)∈R3|x= 0, y ≥0}et Aun bor´elien de P. On note ˜ Ale sous-ensemble de R3image
de Apar la sym´etrie de r´evolution d’axe Oz.
1) Montrer que ˜ Aest bor´elien.
Indication : d´ecrire ˜ Apour A={(x, y, z)∈R3|x= 0,0≤y < a, b < z < c}o`u a, b, c sont des r´eels fix´es.
2) Montrer que λ(˜ A)=2πRAy dλ(y, z).
3)Calculer le volume du tore ˜ Aassoci´e `a A={(0, y, z)|(y−a)2+z2≤r2}o`u a > r > 0.
Espaces Lp, convolution, transform´ee de Fourier
Exercice 18 : convolution
Soient fet gdeux fonctions de Rdans R. Pour x∈R, si y7→ f(y)g(x−y) est int´egrable, on d´efinit le
produit de convolution de fet gen x, not´e (f∗g)(x), par
(f∗g)(x) = ZR f(y)g(x−y)dλ(y).
Nous avons d´ej`a vu dans l’exercice 4 du TD 6 que f∗gest bien d´efini sur Rsi f∈Lp(R) et g∈Lq(R) avec
pet qexposants conjugu´es.
1) V´erifier que si f∗gest bien d´efini, on a f∗g=g∗f.
2) On suppose f∈L1(R), g ∈Lp(R),(1 ≤p < ∞). Montrer que f∗gest d´efini presque partout, et que
f∗g∈Lp(R). Majorer kf∗gkpen fonction de kfk1et kgkp. Mˆemes questions si p= +∞
Indication : on pensera `a appliquer l’in´egalit´e de H¨older pour la mesure de densit´e |f|.
3) On suppose fet gdans L1(R). On note b f(respectivement bg) la tranform´e de Fourier de f(respectivement
de g), d´efinie par
∀x∈R,b f(x) = ZR f(t)e−itx dλ(t).
Montrer que [ f∗g=b f×bg.
Exercice 19 : suite r´egularisante
Soient Ket fdeux fonctions d´efinies sur Rint´egrables. On suppose que K≥0 et que RRK(u)dλ(u) = 1,
et on pose pour tout n∈N∗,Kn:x7→ nK(nx). On consid`ere le produit de convolution de Knet de f,
d´efini sur Rpar
(Kn∗f)(u) = ZR Kn(u−y)f(y)dλ(y) = ZR nK(n(u−y))f(y)dλ(y).
Le but de cet exercice est de montrer que Kn∗fconverge vers fdans L1(R,B(R), λ) quand ntend vers
l’infini. Nous montrerons ´egalement que si Kest r´egulier, Kn∗fl’est aussi.
1) Montrer que Kn∗fest d´efinie λ-pp, et int´egrable.
2) Montrer que kKn∗f−fk1=RRK(t)× kf−t/n −fk1dλ(t), o`u pour tout u∈R,fuest d´efini par
fu(x) = f(x+u).
3) Montrer que
∀ε > 0,∃a > 0,∀n > 0,Z]−∞,−a[∪]a,+∞[ K(t)× kf−t/n −fk1dλ(t)≤ε .
5