Université Paris Diderot - Paris 7 Intégration et Probabilités L3 Maths Fondamentales 2010-2011 Travaux dirigés, feuille 7 : Fubini, changement de variable Fubini Exercice 1 : graphe d’une fonction Soient (E, A, µ) un espace mesuré σ-fini et f : E → R une fonction mesurable. 1) Montrer que l’application g : E × R → R2 définie par (x, t) 7→ g(x, t) = (f (x), t) est A ⊗ B(R)-mesurable. En déduire que le sous-ensemble suivant de E × R, appelé graphe de f , est mesurable: G(f ) = {(x, t) ∈ E × R | f (x) = t}. 2) Soit (x, t) ∈ E × R. Vérifier que 1G(f ) (x, t) = 1{f (x)} (t) et en déduire la valeur de µ ⊗ λ(G(f )). 3) En réciproque à la question 1), montrer que si f est positive et que le sous-ensemble de E × R défini par Hyp(f ) = {(x, t) ∈ E × R | 0 ≤ t < f (x)}, appelé hypographe de f , est dans A ⊗ B(R), alors f est A-mesurable. Indication: Montrer que Hyp(f )t = {x ∈ E | (x, t) ∈ Hyp(f )} est mesurable. Exercice 2 : intégration par parties Soient µ1 et µ2 des mesures finies sur (R, B(R)) de densité f et g par rapport à la mesure de Lebesgue. On note F (x) = µ1 (] − ∞, x]), G(x) = µ2 (] − ∞, x]). Soient ∆1 = {(x, y) | a ≤ y < x ≤ b}, et ∆2 = {(x, y) | a ≤ x ≤ y ≤ b}. En considérant de deux manières différentes la quantité (µ1 ⊗ µ2 )(∆1 ∪ ∆2 ), établir la formule “d’intégration par parties” : Z Z F (b)G(b) − F (a)G(a) = F (x)g(x)dλ(x) + G(x)f (x)dλ(x) [a,b] Exercice 3 R 1) Pour x ∈ R, calculer R [a,b] dλ(y) . x2 +y 2 ∗ 2) Soit f : R → R une fonction telle que la fonction x 7→ f (x) x soit intégrable. Montrer que pour tout y ∈ R , est intégrable. la fonction x 7→ xf2 (x) +y 2 R 3) Pour y ∈ R∗ , posons g(y) = R xf2 (x) dλ(x) et g(0) = 0. Montrer que g est intégrable et que +y 2 Z Z g(y) dλ(y) = π R R f (x) dλ(x) . |x| Exercice 4 1) Montrer que la fonction f : [0, 1] × R+ → R définie par f (x, y) = e−y cos(xy) est λ2 -intégrable. R 2) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], [0,+∞[ e−y cos(xy) dλ(y) = x21+1 . R 3) Calculer ]0,+∞[ e−y siny y dλ(y). 1 Exercice 5 Soient a, b tels que −1 < a < b. Montrer que la fonction f (x, y) = y x est intégrable dans le rectangle R b a a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ 1. Calculer l’intégrale ]0,1[ y ln−yy dλ(y). Exercice 6 Soit f :]0, ∞[→ C telle que x 7→ f (x) 1+x2 soit λ−intégrable. R 1) Montrer que la fonction g :]0, ∞[→ C, g(u) = ]0,∞[ f (x) exp(−ux) dλ(x) est continue. R 2) Pour 0 < a < b, on pose Ia,b = [a,b] g(u) sin u dλ(u). Montrer que Z Z sin u exp(−ux) dλ(u)dλ(x) . f (x) Ia,b = ]0,∞[ Z 3) Montrer que lim a→0,b→∞ Ia,b = ]0,∞[ [a,b] f (x) dλ(x). 1 + x2 Exercice 7 Soit E = [0, 1] × [0, 1] muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. ( x2 −y 2 si (x, y) 6= (0, 0) ; 2 +y 2 )2 ) (x 1) Soit f : E → R définie par f (x, y) = 0 sinon. R R R R Calculer [0,1] [0,1] f (x, y) dλ(x) dλ(y), puis [0,1] [0,1] f (x, y) dλ(y) dλ(x). 2 −y 2 ∂ −x = (xx2 +y Indication : remarquer que ∂x 2 2 2 )2 . x +y −3 si 0 < y < x − 21 ; x − 12 2) Même question avec g : E → R définie par: g(x, y) = 0 sinon. 1 3) On munit maintenant un des intervalles [0, 1] de la mesure µ de comptage. Soit h(x, y) = 0 R R R R Calculer [0,1] [0,1] h dλ dµ, et [0,1] [0,1] h dµ dλ. si x = y ; sinon. 4) Montrer que f, g, h sont mesurables, et expliquer pourquoi le théorème de Fubini ne s’applique pas dans les trois cas précédents. Exercice 8 Soient (Ω, T , µ) un espace mesuré σ−fini et f : Ω → R+ une fonction mesurable. On rappelle que le graphe et l’hypographe de f (voir définitions dans l’exercice 1) sont T ⊗ B(R)-mesurables. Montrer que, pour p > 0, on a Z Z f p dµ = p y p−1 µ({x ∈ Ω | 0 ≤ y ≤ f (x)} dλ(y) . Ω [0,∞[ Exercice 9 Soit µ une mesure sur (R, B(R)) telle que µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ R. Pour tout x ∈ R, on pose G(x) = µ([0, x]) si x ≥ 0, et G(x) = −µ(]x, 0[) si x < 0. 1) Montrer que la fonction G : R → R est mesurable. 2) Soit ϕ : R → R une fonction de classe C 1 telle que l’ensemble {x ∈ R : ϕ(x) 6= 0} soit borné. Montrer que la fonction x ∈ R 7→ G(x)ϕ0 (x) est intégrable sur R par rapport à la mesure de Lebesgue λ1 , et que ϕ est µ-intégrable sur R. 2 3) En utilisant le Théorème de Fubini, montrer que Z Z 0 Gϕ dλ1 = − ϕ dµ . R R On suppose dans la suite que µ = gλ1 pour une fonction g : R → R+ continue. 4) Montrer que l’on a bien µ(K) < +∞ pour tout compact K ⊂ R. 5) Montrer que G est de classe C 1 sur R, et calculer G0 . 6) Montrer la formule obtenue à la question 3) sans utiliser le Théorème de Fubini. Changement de variable Exercice 10 R Calculer l’intégrale D (y − x) dλ(x, y) où D = {(x, y)|1 < xy < 4, 0 < 2x < y, x + y < 8}. √ Indication : poser u = xy, v = x+y 2 et utiliser Fubini. Exercice 11 On pose Ω = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, 1 < x2 + 4y 2 < 4}, G = {(x, y) ∈ Ω | y < x}, Ω0 = {(x, y) ∈ R2 |1 < x < 4, y > 0} et G0 = {(x, y) ∈ Ω0 | y < 1}. 1) Trouver un C 1 -difféomorphisme T : Ω → Ω0 tel que T (G) = G0 . ( 2 2 x −4y si x 6= 0 4x2 2) Soit f : R2 → R, f (x, y) = . Montrer que f est borélienne intégrable sur G et 0 sinon calculer son intégrale. Indication : utiliser la question 1). Exercice 12 Soient f, g les fonctions définies par : 1 1|x|<1 f (x) = √ π 1 − x2 Soit I(a) = R P (a) f (x)g(y)dλ(x, y) et g(x) = x exp(− x2 )1x>0 . 2 où P (a) = {(x, y) ∈ R2 | xy ≤ a}. Montrer que Z 1 2 e−t /2 dλ(t) . I(a) = √ 2π ]−∞,a[ √ Indication : poser (u, v) = (xy, y) puis z = v 2 − u2 . Exercice 13 : volume de la boule unité dans Rd Soient un entier n ≥ 1 et ωn le volume de la boule euclidienne unité Bn de Rn définie par Bn = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , x21 + · · · + x2n ≤ 1 . 1) Calculer ω1 et ω2 . ◦ 2) Montrer que λn (Bn ) = λn (B n ). 3 3) Soit n ≥ 3. En remarquant que (x21 + · · · + x2n ≤ 1) ⇐⇒ (x21 + x22 ≤ 1 et x23 + · · · + x2n ≤ 1 − x21 − x22 ) , et en utilisant Fubini, montrer que Z ωn = (1 − x21 − x22 )(n−2)/2 dλ2 (x1 , x2 ) ωn−2 . B2 4) Utiliser les coordonnées polaires pour établir que ωn = 2π ωn−2 . n n π2 5) En déduire que la suite an = vérifie la même relation de récurrence que la suite (ωn ), où Γ est n Γ( 2 + 1) la fonction Gamma déjà étudiée . On rappelle que Γ(s + 1) = sΓ(s) pour tout s > 0. √ 6) Conclure. On rappelle que Γ(1/2) = π, Γ(1) = 1. Exercice 14 Pour α ≥ 0, on pose Z I(α) = [1,+∞[×R x2 y 2 1 dλ(x, y) . + x2 + α 1) Montrer que I(α) est bien définie. 2) Montrer que I(α) est finie. 3) Montrer que I : R+ → R et de classe C 1 . 4) Calculer I(α) à l’aide du changement de variables x = √ t2 − α , y = √ tu . −α t2 Exercice 15 Soit m ∈ N∗ . On note h., .i le produit scalaire usuel sur Rm . Soit A une matrice réelle m × m, symétrique et définie positive (i.e. hAx, xi > 0 pour tout x 6= 0). 2 1) Montrer que la fonction x 7→ e−αkxk est intégrable sur Rm pour α > 0. En utilisant ce résultat montrer que la fonction f définie par f (x) = exp(−hAx, xi) est dans L1 (Rm ). 2) Montrer que Z exp(−hAx, xi) dλ(x) = π m/2 (det A)−1/2 . Rm Indication : on utiliser une base de vecteurs propres de A pour faire un changement de variables; on R pourra 2 −t rappelle que R e dt = π 1/2 . R 2 3) Soit F la fonction de R dans C définie par F (t) = R eitx e−x dλ(x). Montrer que F est de classe C 1 sur R et qu’elle vérifie 2F 0 (t) + tF (t) = 0. En déduire F . R 4) Pour z ∈ Rm , calculer I(z) = Rm exp(ihz, xi − hAx, xi) dλ(x). Exercice 16 R 2 Soit f :]0, ∞[→ R définie par f (t) = ]0,∞[ e−t(x−1) dλ(x). R 2 2 2 1) On pose In = R2 e−n(x +y −1) dλ(x, y), (n ∈ N∗ ). Calculer In au moyen de f , puis calculer limn→∞ In . √ R 2) Soit h une fonction continue bornée sur R2 . Calculer limn→∞ n R2 h(x, y) exp(−n(x2 +y 2 −1)2 ) dλ(x, y). 4 Exercice 17 Soient P = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, y ≥ 0} et A un borélien de P . On note à le sous-ensemble de R3 image de A par la symétrie de révolution d’axe Oz. 1) Montrer que à est borélien. Indication : décrire à pour A = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, 0 ≤ y < a, b < z < c} où a, b, c sont des réels fixés. R 2) Montrer que λ(Ã) = 2π A y dλ(y, z). 3)Calculer le volume du tore à associé à A = {(0, y, z) | (y − a)2 + z 2 ≤ r2 } où a > r > 0. Espaces Lp , convolution, transformée de Fourier Exercice 18 : convolution Soient f et g deux fonctions de R dans R. Pour x ∈ R, si y 7→ f (y)g(x − y) est intégrable, on définit le produit de convolution de f et g en x, noté (f ∗ g)(x), par Z f (y)g(x − y) dλ(y) . (f ∗ g)(x) = R Nous avons déjà vu dans l’exercice 4 du TD 6 que f ∗ g est bien défini sur R si f ∈ Lp (R) et g ∈ Lq (R) avec p et q exposants conjugués. 1) Vérifier que si f ∗ g est bien défini, on a f ∗ g = g ∗ f . 2) On suppose f ∈ L1 (R), g ∈ Lp (R), (1 ≤ p < ∞). Montrer que f ∗ g est défini presque partout, et que f ∗ g ∈ Lp (R). Majorer kf ∗ gkp en fonction de kf k1 et kgkp . Mêmes questions si p = +∞ Indication : on pensera à appliquer l’inégalité de Hölder pour la mesure de densité |f |. 3) On suppose f et g dans L1 (R). On note fb (respectivement gb) la tranformé de Fourier de f (respectivement de g), définie par Z b ∀x ∈ R , f (x) = f (t)e−itx dλ(t) . R Montrer que f[ ∗ g = fb × gb. Exercice 19 : suite régularisante R Soient K et f deux fonctions définies sur R intégrables. On suppose que K ≥ 0 et que R K(u) dλ(u) = 1, et on pose pour tout n ∈ N∗ , Kn : x 7→ nK(nx). On considère le produit de convolution de Kn et de f , défini sur R par Z Z (Kn ∗ f )(u) = Kn (u − y)f (y) dλ(y) = nK(n(u − y))f (y) dλ(y) . R R Le but de cet exercice est de montrer que Kn ∗ f converge vers f dans L1 (R, B(R), λ) quand n tend vers l’infini. Nous montrerons également que si K est régulier, Kn ∗ f l’est aussi. 1) Montrer que Kn ∗ f est définie λ-pp, et intégrable. R 2) Montrer que kKn ∗ f − f k1 = R K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t), où pour tout u ∈ R, fu est défini par fu (x) = f (x + u). 3) Montrer que Z ∀ε > 0 , ∃a > 0 , ∀n > 0 , K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t) ≤ ε . ]−∞,−a[∪]a,+∞[ 5 4) Nous avons montré dans l’exercice 5 du TD 6 que lim kfu − f k1 = 0 . u→0 Soit ε > 0, et le a associé à ε dans la question 3). En utilisant le résultat de l’exercice 5 du TD 6, montrer que Z K(t) × kf−t/n − f k1 dλ(t) ≤ ε . ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 , [−a,a] 5) En déduire que lim kKn ∗ f − f k1 = 0. n→∞ 6) Soit φ une fonction C ∞ à support compact. Montrer que φ ∗ f est bien défini sur R, est dans L1 , et est C ∞ . En déduire que les fonction C ∞ intégrables sont denses dans L1 . 1 Indication : On pourra utiliser la fonction φ définie sur R par φ(x) = 1]−1,1[ (x) exp − . 1 − x2 Exercice 20 : inversion de la transformée de Fourier 2 R +1 sin(x/2) 1 1 ixt = 2π On pose K(x) = 2π −1 (1 − |t|)e dt, pour tout x ∈ R, et Kn (x) = nK(nx), pour tout x/2 R n > 0. On admettra que R K dλ = 1. Ainsi la convolution par Kn a les propriétés considérées dans l’exercice précédent. On sait donc que pour f ∈ L1 (R), on a limn→∞ kf − Kn ∗ f k1 = 0. R 1) Pour f, h ∈ L1 (R) telles que h(x) = R H(t)eixt dλ(t) avec H ∈ L1 (R), montrer que Z (f ∗ h)(x) = H(t)fb(t)eixt dλ(t) , où l’on a fb(t) = R −itx dλ(x). R f (x)e 2) Montrer que " lim n→+∞ x 7→ 1 2π Z [−n,n] 3) Montrer que si f ∈ L1 et fb ∈ L1 , on a |t| 1− n 1 b b 2π f = !# fb(t)eitx dλ(t) =f dans L1 . fˇ λ-pp, où fˇ(t) = f (−t). Exercice 21 Soient f ∈ L2 (R, λ), k ∈ L2 (R2 , λ2 ). R 1) Montrer que Kf (x) = R f (y)k(x, y) dλ(y) est défini pour λ-presque tout x ∈ R, que l’on a Kf ∈ L2 (R, λ) et kKf k2 ≤ kkk2 kf k2 . R 2) Soit g ∈ L2 (R2 , λ2 ). Montrer que h(x, y) = R k(x, z)g(z, y) dλ(z) est défini pour λ2 -presque tout (x, y), que l’on a h ∈ L2 (R2 , λ2 ) et que khk2 ≤ kkk2 kgk2 . Exercice 22 Cet exercice utilise l’inversion de la transformée de Fourier, prouvée dans l’exercice 20. Soit f (x) = (1 − |x|)1[−1,1] (x), x ∈ R. . 1) a) Montrer par un calcul direct que fˆ(t) = 2 1−cos(t) t2 b) Calculer la transformée de Fourier de la fonction remarquant que f = 1[−1/2,1/2] ∗ 1[−1/2,1/2] . 1[−a,a] (x) avec a > 0. Retrouver l’expression de fˆ en 6 2) En déduire que 1 (1 − |x|)1[−1,1] (x) = π Exercice 23 Z Pour σ ∈]0, 1], on pose fσ (t) = [0,1] Z e−itx R 1 − cos(t) dλ(t) . t2 (t−x)2 1 √ e− 2σ2 dλ(x). On rappelle que σ 2π Z R u2 1 √ e− 2 dλ(u) = 1. 2π C∞ 1) Montrer que fσ est pour tout σ ∈]0, 1]. Indication : une méthode simple et rapide utilise le changement de variable u = (t − x)/σ. 2) On fixe p ∈ [1, +∞[. En faisant le même changement de variable, montrer que : Z Z p u2 1 fσ − 1[0,1] p dλ ≤ √ e− 2 1[σu,σu+1] (t) − 1[0,1] (t) dλ(u, t) . 2π R R2 3) En déduire que 1[0,1] est limite dans Lp d’une suite de fonctions C ∞ . Exercice 24 Cet exercice utilise l’inversion de la transformée de Fourier, prouvée dans l’exercice 20. Soit a > 0 et b > 0. On considère les fonctions fa (t) = e−at 1]0,+∞[ (t), ga (t) = fa (t) + fa (−t), ha (t) = fa (t) − fa (−t). 1) Donner les graphes et les trnasformées de Fourier transformées de Fourier de fa (t), ga (t) et ha (t). 2) En déduire les transformées de Fourier de t 7→ 1 1+t2 et t 7→ 1 . 2−2t+t2 3) Montrer que si f ∈ L1 est C 1 et si f 0 ∈ L1 alors fb0 (t) = itfˆ(t). En déduire la transformée de Fourier de t 7→ (1+tt 2 )2 . 4) En déduire la valeur des intégrales Z cos(ωx) dλ(x) , 2 R+ 1 + x 5) Calculer a2 Z R+ 1 1 ∗ 2 . 2 +t b + t2 7 x sin(ωx) dλ(x) . (1 + x2 )2